Уравнение касательной к двум кривым

Касательная к кривой второго порядка

Касательная к кривой

После того, как мы можем рассчитывать по произвольным координатам ту или иную кривую второго порядка на плоскости по точкам, возникла возможность рассчитать касательную в данной точке этой прямой.

Что же такое касательная? Касательная — это такая прямая которая перескает линию вида

в двух совпадающих точках ( либо целиком входит в состав этой линии)

Выше приведенная формула — есть уравнение кривой второго порядка, а значит при различных заданных коэффициентах, мы можем с помощью этого бота рассчитать уравнение касательной для:

В дальнейшем мы рассмотрим примеры, и Вы сами сможете проверить правильность вычислений.

Уравнение касательной в общем виде выглядит так:

Таким образом, зная все коэффициенты, мы очень легко найдем уравнение касательной в произвольной точке.

Синтаксис

kp2p коэффиценты;координата точки

Где коэффициенты кривой , разделенные как минимум одним пробелом, а координата точки это точка на кривой к которой и надо провести касательную.

Примеры

Вычислить уравнение касательной в точке (3:1) к окружности выраженной формулой

Геометрическое применение производной: уравнения касательной и нормали, угол между кривыми

Касательная и нормаль к кривой

Касательная прямая — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Прямая, проходящая через точку касания, перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой.

Если кривая определена уравнением $y=f(x)$, то уравнение касательной к ней в точке $M(x_0;y_0)$ имеет вид:

а уравнение нормали:

Задание. Написать уравнение касательной и нормали к кривой $y=x^2-3x+4$ в точке с абсциссой $x_0=0$.

Решение. Находим значение функции в заданной точке:

Далее вычислим значение производной функции в точке $x_0=0$:

а тогда уравнение касательной запишется в виде:

или после упрощения:

$$y-4=-\frac<1><-3>(x-0) \Rightarrow x-3 y+12=0$$

Ответ. Уравнение касательной: $3x+y-4=0$

Уравнение нормали: $x-3y+12=0$

Угол между кривыми

Углом между кривыми на плоскости в их общей точке $M(x_0;y_0)$ называется наименьший из двух возможных углов между касательными к этим кривым в данной точке. Если уравнения касательных, проведенных к кривым $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, соответственно $y=k_<1>x+b_<1>$ и $y=k_<2>x+b_2$, то тангенс угла между кривыми определяется соотношением:

Задание. Найти тангенс угла между кривыми $y=x^2-1$ и $y=x^3-1$ в точке их пересечения, которая имеет большую абсциссу.

Решение. Вначале найдем точки пересечения графиков заданных функций, для этого совместно разрешим уравнение заданных кривых:

Таким образом, искомая точка $x=1$.

Далее находим производные заданных функций в найденной точке:

Итак, искомый тангенс:

Ответ. $\operatorname \phi=\frac<1><7>$

Геометрическое применение производной

Вы будете перенаправлены на Автор24

Что такое касательная и нормаль к кривой

Касательная — прямая которая совпадает и проходит через точку кривой с точностью до первого порядка.

Нормаль к кривой — прямая перпендикулярно проходящая через точку касания.

Рисунок 1. Нормаль и касательная к кривой

Для кривой вида y = f(x) уравнение касательной в точке М(x0,y0):

Для кривой вида y = f(x) уравнение касательной в точке М(x0,y0):

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой $x_0=1$:

1. Найдем значение функции в точке: \[y_ <0>=3\cdot 1^ <2>-2\cdot 1+11=12\]
2. Найдем производную в данной точке: \[y'(x_ <0>)=\left(3x^ <2>-2x+11\right) <<'>> =6x-2\] \[y'(1)=6\cdot 1-2=4\]
3. Запишем уравнение касательной: \[y-y_ <0>=y`(x_ <0>)(x-x_ <0>)\] \[y-12=4(x-1)\] \[y-4x-8=0\]
4. Запишем уравнение нормали: \[y-12=-\frac<1><4>(x-1)\] \[4y+x-49=0\]

Угол между двумя кривыми в точке М(x0,y0) является наименьшим из возможных углов между касательными. Пусть уравнения касательных имеют вид:

Тогда тангенс угла между двумя кривыми находится по формуле:

Найти тангенс угла между кривыми, в точке имеющей большую абсциссу.

Для того чтобы определить точки пересечения кривых необходимо решить систему уравнений: \[\left\<\begin-3> \\ \end\right. \] \[2x^ <2>-3=4x-2\] \[2x^ <2>-4x=1\] \[2x(x-2)=1\]

Значит, кривые пересекаются в точках 0,5 и 2. Максимальной, из которых, является точка x = 2.

Готовые работы на аналогичную тему

Что такое длина касательной и нормали, подкасательная и поднормаль

Длина отрезка от пересечения касательной оси ОХ до пересечения с нормалью или кривой называется длиной касательной.

Проекция отрезка от пересечения касательной оси ОХ до пересечения с нормалью или кривой на ось Ох называется подкасательной (ST).

Длина отрезка от пересечения нормали с касательной или кривой до точки соприкосновения с осью Ох называется длиной нормали, а проекция отрезка на ось — поднормалью (SN).

Найти длину подкасательной и поднормали для эллипса x = acost, y = bsint

Рисунок 2. Эллипс

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 15 12 2021