VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе
Краткие теоретические сведения
Кривая в пространстве
Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.
Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:
\begin
Пусть в точке $M$ $ \vec
Касательная к кривой
Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec
Пусть $\vec
Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec
Если $\vec
Нормальная плоскость
Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.
Пусть $\vec
Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:
\begin
Соприкасающаяся плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec
Если $\vec
Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:
\begin
Бинормаль и главная нормаль
Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.
Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.
Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.
Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.
Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec
Как и раньше, $\vec
Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec
Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.
Спрямляющая плоскость
Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.
Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.
Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec
Репер Френе
Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec<\tau>=\frac<\vec
Правая тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ называется репером Френе.
Решение задач
Задача 1
Кривая $\gamma$ задана параметрически:
Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.
Решение задачи 1
Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.
Начнем с производных.
\begin
\begin
\begin
Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec<\tau>\times\vec<\beta>$ направлен так, что тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\beta>$, $\vec<\nu>=\vec<\tau>\times\vec<\beta>$
— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть
Теперь тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\tilde<\beta>>$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.
Задача 2
Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac
Решение задачи 2
Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.
Найдем значение параметра $t_0$.
Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.
Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec
\begin
Задача 3
Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$
Решение задачи 3
Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.
Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec
Записываем уравнение спрямляющей плоскости: \begin
Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin
Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin
Лекция Пространственные кривые. Задание линии в пространстве. Касательная кривой. длина кривой. Натуральный параметр кривой
(лекции №3, 4, 5,практические занятия №2, 3, контр. работа 20 мин.)
1)Понятие кривой в пространстве. Параметрическое задание кривой.
2)Уравнения касательной в случае параметрического задания кривой и в случае задания кривой, как пересечения двух поверхностей.
3)Длина дуги кривой. Натуральный параметр кривой.
4)Определение 2.1 (Круг, радиус и центр кривизны, кривизна)
5)Определение 2.2 (главная нормаль и формула для её нахождения).
6)Определение 2.3 (бинормаль и формула для её нахождения).
7)Определение 2.4 (плоскостей сопровождающего трёхгранника).
8)Формулы Френе. Кручение.
9)Определение 2.5 (эволюты). Уравнение эволюты.
10)Определение 2.6 (эвольвенты).
2.1 ЗАДАНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Под кривой в пространстве будем понимать множествоГточек в пространстве, заданное, как непрерывный образ некоторого промежутка числовой оси.
Кривую можно задать параметрически:
(2.1)
или как годограф вектор-функции , .
2.2 КАСАТЕЛЬНАЯ КРИВОЙ.
Кривая называется дифференцируемой, непрерывно дифференцируемой, дважды дифференцируемой и т.д., если соответственно координатные функции в формуле (2.1) дифференцируемы, непрерывно дифференцируемы, дважды дифференцируемы и т.д.
ПустьГ– дифференцируемая кривая, заданная как годограф вектор-функции ; и Тогда прямая, являющаяся касательной к годографу вектор – функции в конце радиус – вектора , называется касательной к кривойГ.Поскольку по геометрическому смыслу является направляющим вектором касательной, уравнения касательной в точкеМ0(х0,y0,z0)можно записать в виде:
(2.2)
В случае задания кривой уравнениями
x=x,y=f(x),
(здесь роль параметра играет переменнаях), уравнения касательной имеют вид:
(2.3)
Составим уравнение касательной к кривой, заданной, как пересечение двух поверхностей, заданных уравнениями в неявной форме
Дифференцируя эти тождества, получим
Отсюда видно, что вектор касательной перпендикулярен каждому из векторов , т.е. коллинеарен их векторному произведению
(2.5)
Если на кривой указать положительное направление, соответствующее возрастанию параметраt,то вектор называют касательным вектором ориентированной кривой.
Углом между ориентированными кривыми, пересекающимися в некоторой точке, называется угол между их касательными в этой точке.
Пример 2.1Составить уравнения касательной к винтовой линии: в произвольной точкеtи для .
Решение. Так как то уравнение касательной в произвольной точке согласно (2.2) будет иметь вид
.
В частности при :
Пример 2.2Составить уравнения касательной к кривой Вивиани:x 2 +y 2 +z 2 =R 2 ,x 2 +y 2 =Rxв точкеМ0(R/2,R/2, ).
Решение: Кривая Вивиани является линией пересечения поверхностей сферы с центром в начале координат и кругового цилиндра с центром (образующей), смещенным вдоль оси (в данном случае)Охна величину, равную радиусу цилиндра. Диаметр цилиндра равен радиусу сферы.
Запишем уравнения поверхностей в неявном виде
x 2 +y 2 +z 2 –R 2 =0,
x 2 +y 2 –Rх=0.
Тогда и согласно (2.2) уравнения касательной в произвольной точке линии будут иметь вид
или
В точкеМ0(R/2,R/2, )уравнение касательной:
2.3ДЛИНА КРИВОЙ. НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР КИВОЙ.
Рассмотрим дугу непрерывно дифференцируемой кривой
Г: x=x(t), y=y(t), z=z(t), .
В разделе «Определённый интеграл» мы получили формулу для нахождения длины дуги кривой:
(2.6)
Если в качестве параметра выбрана координатах,и криваязадана уравнениями:x=x,y=y(x),z=z(x), ,то:
.
При переменном верхнем пределе длина дуги будет переменной величиной:
,отсюда:
.(2.7)
Если параметромtкривой является переменная длина дугиs, то координаты точки М кривой будут зависеть от длины дугиs=АМ:x=x(s),y=y(s),z=z(s)(естественная параметризация).Тогда в формуле (2.7) и, следовательно, , т.е. вектор будет единичным вектором касательной к кривой.
Точка(x(t0),y(t0),z(t0))кривой называется особой, если , и неособой, если .
Для всякой непрерывно дифференцируемой кривой без особых точек существует ее представление , в котором за параметрsвзята переменная длина дуги этой кривой, т.е. натуральнаяпараметризация.
Пример 2.3Найти длину дугиs(t)винтовой линии
x=acost,y=asint,z=bt, .(2.7)
Решение: Касательный вектор винтовой линии равен . Тогда
Пример 2.4Записать натуральную параметризацию винтовой линии.
Решение: Длина дуги линии .Отсюда Подставляяtв выраженияx(t),y(t),z(t),получим уравнение винтовой линии в естественной (натуральной) параметризации:
где
15.13. Уравнения касательной к пространственной линии. Кривизна пространственной линии
Рассмотрим пространственную линию(рис. 15.18), заданную векторнопараметрическим уравнением
Или параметрическими уравнениями
Где х (/), у (;), 2 (I) — дифференцируемые функции переменной (. Зафиксируем значение 10 параметра I, ему соответствует точка Л/0(х0, у0,20), где х0 = х (/0), Уо=У(*о)> 20=2(/0).
Уравнения касательной к пространственной линии (15.24) в точке М0(х0,у0,20) имеют вид
2о П5 25ч *'(*„) у’Но) 2′(‘оУ ‘
Нормальной плоскостью к пространственной линии в данной ее точке М называется плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной к данной кривой в той же точке.
Нормальная плоскость к линии (15.24) в точке М0(х0,у0,г0) имеет уравнение
*’ (*о) (х-х0) + / (10) (у — у0) + г'((0) (г-го) = О. (15.26)
Если 5 — длина дуги, то единичный вектор касательной X к линии у определяется формулой (15.22). Придав аргументу I приращение Д/, получим точку М линии у и соответствующий вектор касательной г + Дг. Степень изогнутости кривой можно характеризовать скоростью поворота вектора г.
Кривизной к линии у в точке М0 называется модуль производной вектор-функции т = г (а) в данной точке, т. е.
http://greleon.ru/vishmath/lekcii/182-lekciya-prostranstvennye-krivye-zadanie-linii-v-prostranstve-kasatelnaya-krivoy-dlina-krivoy-naturalnyy-parametr-krivoy.html
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/spravochnik-a-a-gusak-v-m-gusak/15-13-uravneniia-kasatelnoi-k-prostranstvennoi-linii-krivizna-prostranstvennoi-linii