Парабола
Парабола, её форма, фокус и директриса.
Параболой называется линия, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
y^<2>=2px\label
$$
при условии \(p > 0\).
Из уравнения \eqref
Форма параболы известна из курса средней школы, где она встречается в качестве графика функции \(y=ax^<2>\). Отличие уравнений объясняется тем, что в канонической системе координат по сравнению с прежней оси координат поменялись местами, а коэффициенты связаны равенством \(2p=a^<-1>\).
Фокусом параболы называется точка \(F\) с координатами \((p/2, 0)\) в канонической системе координат.
Директрисой параболы называется прямая с уравнением \(x=-p/2\) в канонической системе координат (\(PQ\) на рис. 8.11).
Рис. 8.11. Парабола.
Свойства параболы.
Расстояние от точки \(M(x, y)\), лежащей на параболе, до фокуса равно
$$
r=x+\frac
<2>.\label
$$
Вычислим квадрат расстояния от точки \(M(x, y)\) до фокуса по координатам этих точек: \(r^<2>=(x-p/2)^<2>+y^<2>\) и подставим сюда \(y^<2>\) из канонического уравнения параболы. Мы получаем
$$
r^<2>=\left(x-\frac
<2>\right)^<2>+2px=\left(x+\frac
<2>\right)^<2>.\nonumber
$$
Отсюда в силу \(x \geq 0\) следует равенство \eqref
Заметим, что расстояние от точки \(M\) до директрисы также равно
$$
d=x+\frac
<2>.\nonumber
$$
Следовательно, мы можем сделать следующий вывод.
Для того чтобы точка \(M\) лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой параболы.
Докажем достаточность. Пусть точка \(M(x, y)\) одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы:
$$
\sqrt<\left(x-\frac
<2>\right)^<2>+y^<2>>=x+\frac
<2>.\nonumber
$$
Возводя это уравнение в квадрат и приводя в нем подобные члены, мы получаем из него уравнение параболы \eqref
Параболе приписывается эксцентриситет \(\varepsilon=1\). В силу этого соглашения формула
$$
\frac
$$
верна и для эллипса, и для гиперболы, и для параболы.
Уравнение касательной к параболе.
Выведем уравнение касательной к параболе в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\), лежащей на ней. Пусть \(y_ <0>\neq 0\). Через точку \(M_<0>\) проходит график функции \(y=f(x)\), целиком лежащий на параболе. (Это \(y=\sqrt<2px>\) или же \(y=-\sqrt<2px>\), смотря по знаку \(y_<0>\).) Для функции \(f(x)\) выполнено тождество \((f(x))^<2>=2px\), дифференцируя которое имеем \(2f(x)f'(x)=2p\). Подставляя \(x=x_<0>\) и \(f(x_<0>)=y_<0>\), находим \(f'(x_<0>)=p/y_<0>\) Теперь мы можем написать уравнение касательной к параболе
$$
y-y_<0>=\frac
$$
Упростим его. Для этого раскроем скобки и вспомним, что \(y_<0>^<2>=2px_<0>\). Теперь уравнение касательной принимает окончательный вид
$$
yy_<0>=p(x+x_<0>).\label
$$
Заметим, что для вершины параболы, которую мы исключили, положив \(y_ <0>\neq 0\), уравнение \eqref
Касательная к параболе в точке \(M_<0>\) есть биссектриса угла, смежного с углом между отрезком, который соединяет \(M_<0>\) с фокусом, и лучом., выходящим из этой точки в направлении оси параболы (рис. 8.12).
Рассмотрим касательную в точке \(M_<0>(x_<0>, y_<0>)\). Из уравнения \eqref
$$
(\overrightarrow
<2>y_<0>+py_<0>=y_<0>(x_<0>+\frac
<2>).\nonumber
$$
Но \(|\overrightarrow
Заметим, что \(|FN|=|FM_<0>|\) (см. рис. 8.12).
Уравнение касательной к графику функции
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую \(y=f(x)\).
Выберем на ней точку A с координатами \((x_0,y_0)\), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке \(x_0\): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: \((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)\).
Для \(A(x_0,y_0),\ B(x,y)\) получаем: \begin
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде \(y=kx+b\), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=\underbrace
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой \(y=f(x)\), абсцисса точки касания \(x_0\).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания \(f(x_0)\)
Шаг 2. Найти общее уравнение производной \(f’ (x)\)
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания \(f'(x_0 )\)
Шаг 4. Записать уравнение касательной \(y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)\), привести его к виду \(y=kx+b\)
На выходе: уравнение касательной в виде \(y=kx+b\)
Пусть \(f(x)=x^2+3\). Найдем касательную к этой параболе в точке \(x_0=1\). |
\(f(x_0)=1^2+3=4 \)
\(f'(x)=2x \)
\(f'(x_0)=2\cdot 1=2\)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: \(y=2x+2\)
п.3. Вертикальная касательная
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода \(x_0\notin D\), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку \(x_0\in D\), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку \((x_0,y_0)\).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида \(y=\sqrt[n]
Пусть \(f(x)=\sqrt[5] Найдем касательную к этой кривой в точке \(x_0=1\). |
\(f(x_0)=\sqrt[5]<1-1>+1=1\)
\(f'(x)=\frac15(x-1)^<\frac15-1>+0=\frac15(x-1)^<-\frac45>=\frac<1><5(x-1)^<\frac45>> \)
\(f'(x_0)=\frac<1><5(1-1)^<\frac45>>=\frac10=+\infty\)
В точке \(x_0\) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: \(x=1\)
Ответ: \(y=2x+2\)
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции \(f(x)=2x^2+4x\)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0\Rightarrow 2x(x+2)=0\Rightarrow \left[ \begin Касательная в точке \(x_0=0\): \begin |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
Общее уравнение касательной: \(f'(x)=4x+4\) По условию \(f'(x_0)=tg\alpha=tg45^\circ=1\) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1\Rightarrow 4x_0=-3\Rightarrow x_0=-\frac34 $$ Точка касания \(x_0=-\frac34\) \begin |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой \(2x+y-6=0\). Напишите уравнение этой касательной.
Найдем угловой коэффициент заданной прямой: \(y=-2x+6\Rightarrow k=-2\). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже \(k=-2\). Получаем уравнение: \begin |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
У горизонтальной прямой \(k=0\). Получаем уравнение: \(f'(x_0)=0\). \begin |
Ответ: а) \(y=4x\) и \(y=-4x-8\); б) \(y=x-\frac98\); в) \(2x+y+\frac92=0\); г) \(y=-2\)
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции \(f(x)=\frac
Угловой коэффициент данной прямой \(k_1=11\).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_2=-\frac<1>
Уравнение касательной при \(x_0=-14\) \begin
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение \(y=-\frac
и точка касания (8;-2), уравнение \(-\frac
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам \(y=x^2-5x+6\) и \(y=x^2+x+1\). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: \begin
Запишем уравнения касательных \(g_1(x)\) и \(g_2(x)\) через эти переменные. \begin
Точки касания: \begin
Ответ: касательная \(y=-\frac x3+\frac59\); точки касания \(\left(\frac73;-\frac29\right)\) и \(\left(-\frac23;\frac79\right)\)
Пример 5*. Докажите, что кривая \(y=x^4+3x^2+2x\) не пересекается с прямой \(y=2x-1\), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: \(x^4+3x^2+2x=2x-1\) \begin
Значит, \(x\in\varnothing\) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом \(k=2\), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой \(y=2x-1\).
Строим уравнение касательной. По условию: \(f'(x)=4x^3+6x+2=2\) \begin
Уравнение касательной: \(y=2(x-0)+0=2x\)
Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: \(y=2x\) и \(y=2x-1\). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую \(y=2x-1\) имеет угловой коэффициент \(k=-\frac12\), его уравнение: \(y=-\frac12 x+b\). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и \(b=0\). |
Уравнение перпендикуляра: \(y=-\frac x2\).
Находим точку пересечения прямой \(y=2x-1\) и перпендикуляра \(y=-\frac x2\): \begin
Находим расстояние \(OA=\sqrt<0,4^2+(-0,2)^2>=0,2\sqrt<2^2+1^2>=\frac<\sqrt<5>><5>\)
Ответ: \(\frac<\sqrt<5>><5>\)
Изучение свойств треугольников, вписанных в параболу
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов
«Первые шаги в науку»
Изучение свойств треугольников, вписанных в параболу
Выполнил:
ученик 11 класса
ГУО«Речицкий районный лицей»
ГУО«Речицкий районный лицей»
2. Парабола и аналитическая геометрия……………………………………. 6
3. Парабола и треугольник……………………………………………………. 8
4. Об одном свойстве параболы………………………………………………..11
В школьной программе заметное место уделяется построению графиков функций. Моя работа посвящена изучению параболы. Я думаю, она будет интересна и поучительна всем тем, кто увлечен таким предметом, как математика. Линию такую как парабола, мы изучали в 8 классе. В курсе аналитической геометрии, она имеет другую формулу и график. Свойства, которые я буду исследовать, найдут применение в различных предметах. Исследование начинается с элементарных фактов и заканчивается весьма удивительными вещами. В своей работе я буду наблюдать за параболой, около которой будет описан или в которую вписан треугольник. А также рассмотрю интересные задачи олимпиадного уровня. В основном упор будет делаться на задачи с треугольниками, так как там можно увидеть интересные вещи, которые могут быть исследованы в других работах. Тема моей исследовательской работы актуальна и может быть полезна школьникам старших классов, учителям, а также учащимся физико-математического направления, и просто тем, кто увлечен математикой.
1. Парабола в алгебре
Парабола – это график квадратичной функции вида y=ax2+bx+c. Ее также можно представить видом . Координаты вершины
(m, n) ее можно определить:, . Направление ветвей на графике зависит от коэффициента а, если a>0, то ветви направлены вверх, а если a
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/uravnenie-kasatelnoj-k-grafiku-funkcii/
http://pandia.ru/text/78/044/82915.php