Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Пусть поверхность задана в неявном виде: $F(x,y,z)=0$ и пусть точка $M_0(x_0,y_0,z_0)$ принадлежит данной поверхности. Тогда уравнение касательной плоскости к этой поверхности в точке $M_0$ таково:
Уравнение нормали имеет вид:
Если же уравнение поверхности задано в явном виде $z=f(x,y)$, то уравнение касательной плоскости имеет вид:
Уравнение нормали в случае явного задания поверхности таково:
Примечание (желательное для более полного понимания текста): показать\скрыть
Формулы (3) и (4) легко получить из формул (1) и (2). Если $z=f(x,y)$, то перенося $z$ в правую часть равенства получим: $f(x,y)-z=0$. Обозначая $F(x,y,z)=f(x,y)-z$, получим: $F_
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=3x^2y^4-6xy^3+5x-4y+10$ в точке $M_0(-2;1;20)$.
Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$, $y_0$, $z_0$ (координаты точки $M_0$) в нашем случае таковы: $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$. Но перед тем, как переходить к решению, осуществим небольшую проверку. Убедимся, что точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Эта проверка не является обязательной, но желательна, ибо ошибка в условиях подобных задач – дело вовсе не редкое. Подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в уравнение нашей поверхности и убедимся, что $z_0$ действительно равно 20:
$$ z_0=3x_<0>^<2>y_<0>^<4>-6x_0y_<0>^<3>+5x_0-4y_0+10=3\cdot (-2)^2\cdot 1^4-6\cdot (-2)\cdot 1^3-4\cdot 1+10=12+12-4=20. $$
Проверка пройдена, точка $M_0$ действительно лежит на заданной поверхности. Теперь найдём частные производные, т.е. $z_
Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ в выражения частных производных:
Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_
Подставляя $x_0=-2$, $y_0=1$, $z_0=20$, $z_
Ответ: Касательная плоскость: $-13x+80y-z-86=0$; нормаль: $\frac
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z=5\sqrt
Поверхность задана в явном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (3) и (4). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=3$, $y_0=-4$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:
Теперь, как и в предыдущем примере, перейдём к нахождению частных производных $z_
Подставляя $x_0=3$, $y_0=-4$, $z_0=10$, $z_
Ответ: Касательная плоскость: $11x-10y-z-63=0$; нормаль: $\frac
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $3xy^2z+5xy+z^2=10xz-2y+1$ в точке $M_0(1;-2;3)$.
Перенесём все слагаемые в левую часть равенства и обозначим полученное в левой части выражение как $F(x,y,z)$:
Используем формулы (1) и (2). Значения $x_0$, $y_0$ и $z_0$ как и ранее обозначают координаты точки $M_0$, т.е. $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$.
Проверим, действительно ли точка $M_0$ лежит на данной поверхности. Для этого подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражение $3xy^2z+5xy+z^2-10xz+2y-1$ и выясним, равен ли нулю полученный результат:
Итак, точка $M_0$ действительно лежит на данной поверхности. Естественно, что данная проверка не является обязательной, но она крайне желательна. Перейдём к дальнейшему решению. Нам нужно найти $F_
Нас интересуют значения частных производных именно в точке $M_0$, посему подставим $x=x_0$, $y=y_0$ и $z=z_0$ в выражения частных производных:
Подставляя $x_0=1$, $y_0=-2$, $z_0=3$, $F_
Ответ: Касательная плоскость: $-4x-29y+8z-78=0$; нормаль: $\frac
Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности $z^3+4xyz=-3x^2+5y+7$ в точке $M_0(0;-3;z_0)$.
Поверхность задана в неявном виде, посему для нахождения уравнений касательной плоскости и нормали будем применять формулы (1) и (2). Значения $x_0$ и $y_0$ (первая и вторая координаты точки $M_0$) заданы по условию: $x_0=0$, $y_0=-3$. Третью координату (т.е. $z_0$) нужно определить самостоятельно, подставив в заданное уравнение $x=x_0$ и $y=y_0$:
Перенесём все слагаемые в левую часть равенства:
Обозначим $F(x,y,z)=z^3+4xyz+3x^2-5y-7$ и применим формулы (1) и (2). Найдём частные производные первого порядка $F_
Подставляя $x_0=0$, $y_0=-3$, $z_0=-2$, $F_
Ответ: Касательная плоскость: $-24x-5y+12z+9=0$; нормаль: $\frac
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 0 , y0 = 1 , тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М0(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0
Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0
Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х0, y0) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 1, y0 = 2, тогда z0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М0(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0
Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение
Уравнение касательной к плоскости и нормали
Вы будете перенаправлены на Автор24
Данный вопрос изучается в разделе высшей математики о дифференциальном исчислении функции нескольких переменных. Обычно этой теме предшествует изучение дифференциального исчисления функции одной переменной, где рассматриваются теория и практика предела функции, производной, касательной и нормали. Для решения заданий на тему данной статьи, необходимо помимо вышеперечисленных пунктов также уметь находить частные производные.
В данной статье будем исходить из того, что читателю известны основные понятия и методы математического анализа: понятия функции, предела и основные теоремы. Поэтому изложение этих основных понятий и сопутствующих методов в данной статье будут опущены. Также в данной статье не будет рассматриваться графическое представление, так как для его понимания нужно вводить дополнительно понятия градиента и других, что для решения примеров не обязательно.
Для облегчения понимания теоретической и практической частей, стоит напомнить, что изучение данного раздела должно происходить с отвлечением от физического или иного конкретного смысла той или иной величины (переменной). На практике подобный анализ находит своё место в различных расчётах, необходимых, например, в поиске природных закономерностей, моделирования работы производств или процессов, экономике и прочем.
Теоретическая часть
Касательная плоскость к поверхности $P$ в точке $M_0$ — это плоскость, которая проведена через точку $M_0$ и содержит касательные ко всем кривым, проходящим через $M_0$ и лежащим на поверхности $P$.
Уравнение касательной плоскости к поверхности $F(x,y,z)=0$ в точке $M_)(x_0,y_0,z_0)$:
Рисунок 1. Уравнение касательной плоскости к поверхности. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Готовые работы на аналогичную тему
Если поверхность $P$ задана уравнением $z=f(x,y)$, то:
Рисунок 2. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Предполагается, что частные производные существуют, непрерывны и хотя бы одна из них не равна нулю.
Нормаль к поверхности в точке $M_0$ — это прямая, которая проведена перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в точке $M_)(x_0,y_0,z_0)$.
Уравнение нормали к поверхности $F(x,y,z)$ в точке $M_)(x_0,y_0,z_0)$:
Рисунок 3. Уравнение нормали к поверхности. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 4. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Практическая часть в примерах
Задана поверхность $\frac
Рисунок 5. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
следует $6(x-6)+3(y-6)+(z-8)=0; 6x-36+3y-18+z-8=6x+3y+z-62=0$;
Задание то же. Задана поверхности $z=\frac<5y>
Получается, что мы имеем абсциссу $x_0=2$ и ординату $y_0=-1$ точки касания. Найдём аппликату этой точки: $z_0=\frac<5\cdot(-1)><1-2>=5.$ Для составления искомых уравнений нам потребуются значения частных производных в точке касания:
Рисунок 6. Значения частных производных. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 7. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 8. Уравнение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Другие примеры имеют аналогичный характер.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 09 05 2021
http://math.semestr.ru/math/tangent-plane.php
http://spravochnick.ru/matematika/uravnenie_kasatelnoy_k_ploskosti_i_normali/