Уравнение касательной от параметрической функции

Касательная и нормаль к графику функции

Основные формулы

Пусть на некотором интервале X задана функция . Нас интересуют геометрические характеристики графика этой функции в некоторой заданной точке при значении аргумента , где . Пусть функция имеет в производную, которую будем обозначать как . Тогда через точку мы можем провести касательную к графику. Тангенс угла α между осью абсцисс x и касательной равен производной функции в точке :
(1) .
А само уравнение касательной имеет вид:
(2) .
В аналитической геометрии тангенс угла между прямой и осью абсцисс называют угловым коэффициентом прямой. Таким образом производная равна угловому коэффициенту касательной в .
См. Геометрический смысл производной

Прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через точку , называется нормалью к графику функции в этой точке. Уравнение нормали имеет вид:
(3) .
См. Уравнение прямой с угловым коэффициентом ⇓

Пусть две кривые и пересекаются в точке . Тогда угол φ между касательными к этим кривым в точке называется углом между кривыми. Он определяется по формуле:
(4) , где .
Отсюда .
при .
Вывод формулы ⇓

Определения

Здесь мы приводим определения, которые встречаются в литературе, и имеют отношение к касательной и нормали. Вывод формул приводится в примере 1 ⇓.

Определение касательной приводится здесь. Уравнение касательной:
.

Касательная TM₀, нормаль M₀N, подкасательная TP, поднормаль PN. Нормалью к графику функции в точке называется прямая, перпендикулярная касательной, проведенной через эту точку. Уравнение нормали:
.
Отрезком касательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и точкой .
.
Отрезком нормали называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и точкой .
.
Подкасательной называют отрезок между точкой пересечения касательной с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Поднормалью называют отрезок между точкой пересечения нормали с осью абсцисс и проекции точки на эту ось.
.
Углом между кривыми в точке их пересечения называют угол между касательными к кривым, проведенных через точку .

Полезные формулы из аналитической геометрии

Далее приводятся некоторые сведения из аналитической геометрии, которые могут оказаться полезными при решении задач.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.
Здесь – направляющий вектор прямой.

Умножив это уравнение на , получим уравнение прямой в другом виде:
.
Здесь – вектор нормали прямой. Тогда само уравнение означает равенство нулю скалярного произведения векторов и .

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид:
.
Вектор называется направляющим вектором данной прямой. Это уравнение можно написать в параметрическом виде, введя параметр t :

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
.
Вектор называется вектором нормали данной прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k , проходящей через точку :
.
Угол α между прямой и осью x определяется по формуле:
.
Если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты и связаны соотношением:
.

Уравнение прямой в отрезках, пересекающей оси координат в точках :
.

Примеры решения задач

Все примеры Ниже рассмотрены примеры решений следующих задач.
1. Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Решение ⇓
2. Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде
, проведенных в точке . Решение ⇓
3. Заданной в неявном виде . Решение ⇓
4. Найти угол между кривыми и Решение ⇓

Пример 1

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке . Найти длины отрезков касательной, нормали, подкасательной и поднормали.

Находим значение функции при :
.

Находим производную:
.
Находим производную в точке :
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2):
;
;
;
– уравнение касательной.
Строим касательную на графике. Поскольку касательная – это прямая, то нам нужно знать положения двух ее точек, и провести через них прямую.
При ;
при .
Проводим касательную через точки и .

Касательная и нормаль к графику функции y=x 2 в точке M₀(1;1).

Найдем угол α между касательной и осью абсцисс по формуле (1):
.
Подставляем :
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3):
;
;
;
;
;
– уравнение нормали.
Строим нормаль по двум точкам.
При ;
при .
Проводим нормаль через точки и .

Находим длину отрезка касательной . Из прямоугольника имеем:
.
Поясним использованную формулу. Поскольку , то . Тогда
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка подкасательной . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка нормали . Поскольку и , то треугольники и подобны. Тогда . Из прямоугольника имеем:
.
Подставляем :
.

Находим длину отрезка поднормали . Из прямоугольника имеем:
.

Примечание.
При выводе формул, можно сначала определить длины отрезков подкасательной и поднормали, а затем из прямоугольников, по теореме Пифагора, найти длины отрезков касательной и нормали:
;
.

Уравнение касательной: ; уравнение нормали: ;
длина отрезка касательной: ; длина отрезка нормали: ; длина подкасательной: ; длина поднормали: .

Пример 2

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в параметрическом виде , проведенных в точке .

Находим значения переменных при .
;
.
Обозначим эту точку как .

Находим производные переменных x и y по параметру t .
;
;
;
;
.

Подставляя , находим производную y по x в точке .
.

Касательная и нормаль к циссоиде в точке (2;2).

Применяя формулу (2), находим уравнение касательной к циссоиде, проходящей через точку .
;
;
;
.

Применяя формулу (3), находим уравнение нормали к циссоиде в точке .
;
;
;
.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 3

Составить уравнения касательной и нормали к циссоиде, заданной в неявном виде:
(П3) ,
проведенных в точке .

Для получения уравнение касательной и нормали, нам нужно знать значение производной функции в заданной точке. Функция (П3) задана неявно. Поэтому применяем правило дифференцирования неявной функции. Для этого дифференцируем (П3) по x , считая, что y является функцией от x .
;
;
;
.
Отсюда
.

Находим производную в заданной точке, подставляя .
;
.

Находим уравнение касательной по формуле (2).
;
;
;
.

Находим уравнение нормали по формуле (3).
;
;
;
.

Касательная и нормаль к циссоиде изображены на рисунке ⇑.

Уравнение касательной: .
Уравнение нормали: .

Пример 4

Найти угол между кривыми и .

Найдем множество точек пересечения кривых, решая систему уравнений.

Левые части равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования.
;
(П4) .
Поскольку функция строго монотонна, то уравнение (П4) имеет один корень:
.
При . Кривые пересекаются в единственной точке . Обозначим ее как , где .

Введем обозначения для функций, с помощью которых заданы кривые:
.
Найдем их производные.
;
.
Найдем значения производных в точке , подставляя .
;
.

Ниже приводятся графики функций ⇓ и вывод формулы угла между кривыми.

Вывод формулы для угла между кривыми

Изложим вывод формулы (4). Для иллюстрации используем только что рассмотренный пример ⇑, в котором .

Рассмотрим две кривые, заданные уравнениями и , и пересекающиеся в некоторой точке . Докажем, что угол между кривыми определяется по формуле (4):
, где .
Или ;
при .

Проведем касательные к графикам функций в точке . Углы, которые образуют касательные с осью x обозначим как и . За положительное направление выберем направление против часовой стрелки. На рисунке . Считаем, что значения углов принадлежат интервалам . Согласно геометрическому смыслу производной,
.

В аналитической геометрии принято, что угол φ между прямыми равен наименьшему значению угла между ними.
Если , то ;
если , то .
Таким образом величина угла φ между касательными может находиться только в пределах
(Ф2) .

На рисунке угол между лучами и больше 90°, а между лучами и – меньше. Поэтому .

При доказательстве мы будем использовать соотношение:
, которое выполняется при .
Тогда в силу (Ф2),
.
Случай мы рассмотрим отдельно.

1) Пусть .
Тогда угол между прямыми . И мы имеем:
.
В конце мы подставили (Ф1).

2) Пусть .
Тогда ; . Поэтому . Это можно записать так: . Также применим формулу: . В результате получаем:

.

Этот случай изображен на рисунке ⇑.

3) Пусть .
При этом касательные взаимно перпендикулярны, . В этом случае , что указано в (4).

Использованная литература:
П.Е. Данько, А.Г. Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1. Москва, Высшая школа, 1980.
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, Физматлит, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 30-06-2021

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Касательная, нормальная плоскость, соприкасающаяся плоскость, бинормаль, главная нормаль, репер Френе

Краткие теоретические сведения

Кривая в пространстве

Рассмотрим в пространстве гладкую кривую $\gamma$.

Пусть точка $M$ принадлежит данной кривой и отвечает значению параметра $t=t_0$. Тогда радиус-вектор и координаты данной точки равны:

\begin \vec=\vec(t_0), \quad x_0=x(t_0),\, y_0=y(t_0), \, z_0=z(t_0). \end

Пусть в точке $M$ $ \vec(t_0)\neq\vec<0>$, то есть $M$ не является особой точкой.

Касательная к кривой

Касательная к кривой, проведенная в точке $M$, имеет направляющий вектор коллинеарный вектору $\vec(t_0)$.

Пусть $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки касательной, тогда уравнение этой касательной имеет вид

Здесь $\lambda\in(-\infty,+\infty)$ — параметр, определяющий положение точки на касательной (то есть разным значениям $\lambda$ будут соответствовать разные значения $\vec$).

Если $\vec=\$, $M = (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$, то можно записать уравнение касательной в каноническом виде:

Нормальная плоскость

Плоскость, проходящую через данную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной в этой точке, называют нормальной плоскостью.

Пусть $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки нормальной плоскости, тогда ее уравнение можно записать в векторном виде через скалярное произведение векторов $\vec-\vec(t_0)$ и $\vec(t_0)$:

Если расписать покоординатно, то получим следующее уравнение:

\begin x'(t_0)\cdot(X-x(t_0))+y'(t_0)\cdot(Y-y(t_0))+z'(t_0)\cdot(Z-z(t_0))=0. \end

Соприкасающаяся плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ параллельно векторам $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, когда они неколлинеарны, называют соприкасающейся плоскостью кривой.

Если $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки соприкасающейся плоскости, то ее уравнение можно записать через смешанной произведение трех компланарных векторов $\vec-\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$:

Зная координаты точки и векторов, определяющих плоскость, запишем смешанное произведение через определитель. Получим следующее уравнение соприкасающейся плоскости:

\begin \left| \begin X-x(t_0) & Y-y(t_0) & Z-z(t_0) \\ x'(t_0) & y'(t_0) & z'(t_0)\\ x»(t_0) & y»(t_0) & z»(t_0) \\ \end \right|=0 \end

Бинормаль и главная нормаль

Прямая, проходящая через точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно касательной к кривой в этой точке, называется нормалью.

Таких кривых можно провести бесконечно много, все они образуют нормальную плоскость. Мы выделим среди нормалей две — бинормаль и главную нормаль.

Нормаль, перпендикулярную соприкасающейся плоскости, называют бинормалью.

Нормаль, лежащую в соприкасающейся плоскости, называют главной нормалью.

Из определения бинормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна соприкасающейся плоскости) следует, что в качестве ее направляющего вектора мы можем взять векторное произведение $ \vec(t_0)\times\vec(t_0)$, тогда ее уравнение можно записать в виде:

Как и раньше, $\vec$ — радиус-вектор произвольной точки бинормали. Каноническое уравнение прямой:

Из определения главной нормали (перпендикулярна касательной и перпендикулярна бинормали) следует, что в качестве ее направляющего вектора можно взять векторное произведение $\vec(t_0) \times\left[\vec(t_0),\vec(t_0)\right]$:

Уравнение в каноническом виде распишите самостоятельно.

Спрямляющая плоскость

Плоскость, проходящую через заданную точку $M$ кривой $\gamma$ перпендикулярно главной нормали, называют спрямляющей плоскостью.

Другое определение: Плоскость, определяемую касательной к кривой и бинормалью в той же точке, называют спрямляющей плоскостью.

Второе определение позволяет записать уравнение спрямляющей плоскости через смешанное произведение трех компланарных векторов, определяющих эту плоскость $\vec-\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)\times\vec(t_0)$: \begin \left(\vec-\vec(t_0),\, \vec(t_0),\, \vec(t_0)\times\vec(t_0)\right)=0. \end Зная координаты соответствующих векторов, можно легко записать это смешанное произведение через определитель, раскрыв который, вы получите общее уравнение спрямляющей плоскости.

Репер Френе

Орт (то есть единичный вектор) касательной обозначим: $$ \vec<\tau>=\frac<\vec(t_0)><|\vec(t_0)|>. $$ Орт бинормали: $$ \vec<\beta>=\frac<\vec(t_0)\times\vec(t_0)><|\vec(t_0)\times\vec(t_0)|>. $$ Орт главной нормали: $$ \vec<\nu>=\frac<\vec(t_0) \times[\vec(t_0),\,\vec(t_0)]><|\vec(t_0) \times [\vec(t_0),\,\vec(t_0)]|>. $$

Правая тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ называется репером Френе.

Решение задач

Задача 1

Кривая $\gamma$ задана параметрически:

Точка $M$, принадлежащая кривой, соответствует значению параметра $t=0$. Записать уравнения касательной, бинормали, главной нормали, нормальной плоскости, соприкасающейся плоскости и спрямляющей плоскости, проведенных к данной кривой в точке $M$. Записать векторы репера Френе.

Решение задачи 1

Задачу можно решать разными способами, точнее в разном порядке находить уравнения прямых и плоскостей.

Начнем с производных.

\begin 1\cdot X+0\cdot Y+1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X+Z=1. \end

\begin \left| \begin X-0 & Y-0 & Z-1 \\ 1 & 0 & 1\\ 0 & 2 & 1 \\ \end \right|=0 \end Раскрываем определитель, получаем уравнение: \begin -2X-Y+2Z-2=0 \end

\begin 1\cdot X-4\cdot Y-1\cdot (Z-1)=0\,\,\ \Rightarrow \,\, X-4Y-Z+1=0. \end

Поскольку направляющий вектор главной нормали у нас был найден как векторное произведение направляющих векторов касательной и бинормали, тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\beta>$ не будет правой (по определению векторного произведения вектор $\vec<\tau>\times\vec<\beta>$ направлен так, что тройка векторов $\vec<\tau>$, $\vec<\beta>$, $\vec<\nu>=\vec<\tau>\times\vec<\beta>$

— правая). Изменим направление одного из векторов. Например, пусть

Теперь тройка $\vec<\tau>$, $\vec<\nu>$, $\vec<\tilde<\beta>>$ образует репер Френе для кривой $\gamma$ в точке $M$.

Задача 2

Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой $$ x=t,\,\, y=\frac<2>,\,\, z=\frac<3>, $$ проходящей через точку $N(0,0,9)$.

Решение задачи 2

Нетрудно заметить, что точка $N$ не принадлежит заданной кривой $\gamma$. Следовательно соприкасающаяся плоскость проведена в какой-то точке $M(t=t_0)\in\gamma$, но при этом плоскость проходит через заданную точку $N(0,0,9)$.

Найдем значение параметра $t_0$.

Для этого запишем уравнение соприкасающейся плоскости, проведенной в произвольной точке $M(t=t_0)$. И учтем, что координаты $N$ должны удовлетворять полученному уравнению.

Соприкасающаяся плоскость определяется векторами $\vec(t_0)$, $\vec(t_0)$, поэтому записываем определитель \begin \left| \begin X-t_0 & Y-t_0^2/2 & Z-t_0^3/3 \\ &&\\ 1 & t_0 & t^2_0 \\ &&\\ 0 & 1 & 2t_0 \end \right|=0 \quad \Rightarrow \end

\begin (X-t_0)\cdot t_0^2 — (Y-t_0^2/2)\cdot 2t_0 + (Z-t_0^3/3)=0. \end Подставляем вместо $X$, $Y$, $Z$ координаты точки $N$: $X=0$, $Y=0$, $Z=9$, упрощаем и получаем уравнение относительно $t_0$: \begin 9-t_0^3/3=0 \quad \Rightarrow \quad t_0=3. \end Подставив найденное $t_0$ в записанное ранее уравнение, запишем искомое уравнение соприкасающейся плоскости: $$ 9X-6Y+Z-9=0. $$

Задача 3

Через точку $P\left(-\frac45,1,2\right)$ провести плоскость, являющуюся спрямляющей для кривой: $$ x=t^2,\,\, y=1+t,\,\, z=2t. $$

Решение задачи 3

Как и в предыдущей задаче нам неизвестны координаты точки, в которой проведена спрямляющая плоскость к заданной кривой. Найдем их.

Спрямляющая плоскость определяется касательной и бинормалью, то есть векторами $\vec(t_0)$ и $\vec(t_0)\times\vec(t_0)$.

Записываем уравнение спрямляющей плоскости: \begin \left| \begin X-t_0^2 & Y-1-t_0 & Z-2t_0 \\ 2t_0 & 1 & 2\\ 0 & 4 & -2 \end \right|= 0 \end

Раскрываем определитель. Подставляем в уравнение координаты точки $P$: $X=-4/5$, $Y=1$, $Z=2$. Упрощаем и получаем уравнение для нахождения $t_0$: \begin 5t_0^2-8t_0-4=0 \,\, \Rightarrow \,\, t_<01>=2,\, t_<02>=-\frac25. \end

Уравнения соприкасающихся плоскостей к заданной кривой, проходящих через $P$, принимают вид: \begin & 5X-4Y-8Z+24=0,\\ & 25X+4Y+8Z=0. \end

Параметрическое задание кривой

Параметрическое задание кривой

• Кривая параметрическая Н°1.Подход к делу problem. So до сих пор мы рассматривали только 2 вида назначений кривых: уравнение v = f (x) (явная задача) или уравнение F (x, y)= O (неявная задача)).Однако теоретическая механика очень естественно приводит к различным видам линий assignments. In дело в том, что

установка движения точки-это средство нахождения положения (то есть координат) любого момента времени t. Чтобы полностью определить движение точки, определите линию, на которой будет находиться точка move. So, в этом примере линии даны с использованием

So например, эквационный х = 2Т г = 3Т-2(1） Людмила Фирмаль

2 равенств (I).Конечно, очень легко получить более знакомые задачи в той же линии. Именно так. Для любого момента x 3x /будет t = — q, t y =-2. Это соединение X и y обеспечивает явное определение линии*).Видно, что эта задача получается путем исключения времени t из Формулы (1). В рассматриваемом

примере, тот факт, что переменная T показывает время не играет никакой роли. Например, предположим, что следующие X и y зависят от вспомогательных переменных: х = Т-ФЛ, г = т \ Изменение его даст вам различные точки(.x, комбинация которых состоит из нескольких линий. значение t обозначается равенством t = x-1 с соответствующим значением x, поэтому y =(x-I) 1 для

• любой точки линии, и я получил явную задачу линии. Из этого видно, что вы обрабатываете 1 пару болтов. Чтобы суммировать вышесказанное, пара уравнений Где t-вспомогательная переменная, определяющая lnnnu. Способ определения этой линии называется параметрическим, а переменная t называется

параметром. за исключением t, вы получаете нормальное (явное или неявное) уравнение для той же строки. Замечание. Если функция Людмила Фирмаль

и последовательным в интервале[i, b]), является непрерывной кривой, поскольку она также может Параметрические уравнения для окружностей и эллипсов. Рассмотрим окружность с радиусом R, центрированную вокруг начала координат

(рис.181).Положение любой точки M в этой окружности полностью определяется установкой угла f, который образуется осью Ox и радиусом OM. It естественно выразить координаты x и y точки M под этим углом. Из рисунков это сразу понятно (2） х = р COS в ТТ г = РС \ НТ. Эти уравнения (*) являются параметрическими

уравнениями окружности. Параметр T может быть изменен с-oo на — | — oo, но если вы хотите получить каждую точку круга по 1 разу, достаточно пройти t через зазор. Однако, это более удобно для обработки закрытых пробелов. Так, т, как правило,

изменяется в пределах 0 ^ / ^ 2ir, но точка с получает в 2 раза. T= 0 и в = 2ir. Чтобы получить нормальное уравнение окружности, необходимо исключить параметр T из (2).Это проще всего, если вы возьмете уравнение (2) на 2 квадрата и добавите результат. Очевидно, это приводит к известному уравнению Найти

параметрическое уравнение эллипса (3） Полезно помнить, что он получается из круга * * + > ■ = A (4)рисунок 181. Имеют диаметр с большой осью эллипса, иногда используют сжатие、 То есть любая точка M в эллипсе(3) берется из точки N в окружности (4). Б Ордината точки Н В соответствии с вышеизложенным

параметрическое уравнение окружности(4) имеет вид x = acos/, ^ = asin/.Но тогда понятно, что параметрическое уравнение (3) эллипса получается умножением. форма ординаты y имеет вид） (5） * = acosf, г = БС \ НТ. Чтобы получить все точки овала, достаточно

изменить Т выпускного вечера. Жуткий 0 ^ t ^кроме того, каждая точка эллипса, кроме точки (a, 0), получается только 1 раз, а точки(a, 0) — 2 раза (t = 0 и t = 2k).Если мы разделим первое уравнение (5) на a, а затем разделим 2-е уравнение на b, то полученное уравнение будет добавлено на 2 и станет каноническим уравнением эллипса(3).

Сравнение параметрических уравнений окружности и эллипса дает удобный метод построения любого числа точек в эллипсе. То есть, пара уравнений х-acoet, у = грех Т(6） U определяет окружность с радиусом A вокруг начала координат и пару уравнений х = б сое т, у = B грех Т(7） — Окружность b с тем же центром и радиусом; чтобы получить точку (l, y), как показывает уравнение (5), p / 82.Если

вы лежите на овале, вам нужно найти x Используйте первое выражение(6) и 2-е выражение (7) с y. но эти xn-y легко найти графически, так как в формулах (6) и (7) параметром T является угол наклона радиус-вектора точки относительно оси Ox. So, чтобы составить точку M (q, y) эллипса (5), нарисуйте окружность (6) и (7)

и нарисуйте луч на оси Ox под углом t от начала координат. Найдите точки A и B пересечения этого луча и ранее упомянутой окружности и проведите через них прямую линию, параллельную оси, вы получите точку M (см. Рисунок 182).П°3.Циклоида * важные

кривые-давайте познакомимся с циклоидой. Это также хороший пример параметрического определения линии. Определение циклоида представляет собой линию, которая представлена точкой окружности, которая катится без скольжения или вращения Из этого определения сразу видно, что циклоида состоит из ряда дуг, как

показано на рисунке 1. 183, высота этих арок равна 2R. R-радиус окружности. Ниже расстояние между соседними точками разворотаAB, BC,…равно 2π/?Это значение по умолчанию. Найдите параметрические уравнения циклоиды. В качестве оси Ox возьмите прямую линию, по которой катится круг, и для начала координат

возьмите положение точки M, которая представляет собой циклоиду острия в этой точке. Эта точка находится на оси Ox. Нарисуйте этот момент как первый момент, вращающийся круг в первый момент, а затем второй. t представляет собой угол, образованный в момент t радиусом вращающейся окружности, направленной

к точке A окружности, которая касается точки I и оси Ox, представляющей циклоиду. (Рисунок 184) радиус CXM и u \° С / а возьмем этот угол т. 184. Попробуйте параметр 8a Через него отрегулируйте точки x и y м-циклоиды. Что касается координат Y, то это довольно просто. г => ВМ = объявление = ОБК-CjZ)= /? — R cos t.

(8） Чтобы найти абсциссу X, нужно рассмотреть эквивалентность отрезка OA и дуги AM. OA = AM. (9 )） При таком равенстве окружность не будет скользить или вращаться. Следующий метод проверки эквивалентности очень очевиден(9): представьте себе катящийся круг, выполненный в виде деревянного кольца. Накройте этот обруч лентой, которая не растягивается, прибив ее правый край гвоздем

к точке O оси Ox, а левый край-к обручу. При вращении обруча лента начинает растекаться по оси Ox, и в момент t отсечение оси OA закрывается той частью ленты, которая упала вниз. С дугой AM обруч. Это*) доказывает(9). еще проще: t-значение угла AC% M, так как это Радиан、 AM = Rt Так… x = OB = OA-BA = AM-MD = Rt-Rsint (10） Если

сравнить (8)и(10), то получим параметрическое уравнение циклоиды х = р(т-Син т), г = р (- стоимость). Параметр Т может изменяться от-ОО до-Е-ОО. Пересечение начала координат и ближайших к нему справа циклоид соответствует значению Ox = t * 2.Это происходит потому, что круг качения приобретается после 1 rotation. In в этом случае

t будет n; = 2nR. In кроме того, из (11) видно, что координаты (π/,, 2/) находятся в высшей точке соответствующего cycloid. To будьте осторожны невозможно представить Y в качестве одной из основных функций Икс. И от x до y возможно| f = Arccos ^ l, но результат Формула очень трудоемкая. Параметрическое уравнение

проще. в N°4.Эвольвента circle. In в теории зацепления используется кривая, называемая эвольвентой окружности. Эвольвента окружности определения-это линия, которая описывается точкой нити и расстегивается от этой окружности, пока она прочно растянута. Предполагается, что нить неэластична и предварительно обмотана вокруг вышеуказанных кругов. Найти параметрическое

уравнение для эвольвенты circle. To сделайте это, поместите начало координат в центр круга и нарисуйте ось Ox Ноль ноль В тот момент, когда нить еще полностью обмотана вокруг окружности, точка окружности, в которой расположена точка, описывающая эвольвенту. Рисунок 185 эта точка обозначается A. 185 показывает положение потока виртуальной машины в некоторой точке в time. So, здесь B-

точка, в которой нить исчезает из окружности, а M-точка, в которой она описывает эвольвенту. Радиус окружности? Угол наклона оси Ox и Луча OB представлен через t. поскольку нить не является растяжимой、 Отрезок VM равен дуге AB окружности. То есть, BM = RT. обратите внимание, что нить остается прочно натянутой, поэтому она спускается по касательной от окружности. Таким образом,

нить VM перпендикулярна радиусу органического вещества. Поэтому углы AOB и MBD равны углам, где каждая сторона перпендикулярна друг другу. Следовательно,£МБД = T, и из треугольника МВС См = РТ грех ЦБ = стоимость РТ. Теперь вы можете легко найти X и y координаты точки м. Другими словами、 х = ое = ОД + де = ОД-ТСМ = стоимости Р + РТ грех г = ВС = ДК = ДБ-КБ = Р грех Т-РТ стоимость. Рисунок 185.Наконец. х = /?(потому что * — Ф — * грех/),; г = р (т Син-/ Кос Т), (’ Где: 0 f > = » K0(13） В точке M (x, y), соответствующей значению параметра T. To сделайте это, дайте

t приращение At и в результате получите ту же самую точку кривой AfCtf-J-A * » Y + AC) (13).Угловой коэффициент Т * Секущий MN равен или равен Важно отметить, что производная, фигурирующая в (15) , должна быть рассчитана для величины t, определяющей контакт M. Угловой коэффициент m интересующего тангенса является

пределом формулы (14) для N — + M, то есть, но так как D * — > 0 Вы будете Работать ДД： (15 )） Так… Образцы. Нарисуйте касательную к кривой + г = Тл-7т(16） Очки*)А!(2). Решение. Координаты точки M определяются из(16). xi = 17, y%=2.In сложение, x \ = bP—4/, y \ = 4P-7.So, t = 2 — Это X / = 20, yt = 25, угловой коэффициент Желаемый тангенс. Форма искомого уравнения имеет вид y-2 = 4 (l-17> Замечание.

Приведенная выше строка g:=?( * ), Y =φ (f), функция равна (t), φ (/).Если эти функции не только непрерывны, но и имеют непрерывные производные от y’0, то, как показывает уравнение (15), кривая имеет определенную касательную в каждой точке, и ее положение непрерывно изменяется с изменением контакта.

Кроме того, указанные касательные никогда не будут параллельны оси Oy. Учитывая, что координаты x и y полностью равны, линии x =

.Где f (/j u f ( / ) имеет непрерывную производную、 а В частности, под это определение подпадает линия y = f ( * ), где f (x) имеет непрерывную производную. Где роль параметра T-абсцисса ш=■»+*?> ми- Теперь зададим следующие общие вопросы: пусть

x и y зависят от вспомогательных переменных t, как показано в (13). в первом выражении (13) обозначим t из x, а затем присвоим его 2-му выражению, вы увидите, что y является функцией x, то есть y = f(x).Попробуйте найти производную этой функции. Для этого достаточно вспомнить, что интересующей нас производной является только угловой коэффициент касательной прямой y = / ( * ),

а ее параметрическим уравнением является уравнение (13).Таким образом, она задается формулой(15). Чтобы правильно понять это важное выражение, следует помнить, что точка дифференцирования t справа от (17) является значением параметра, и согласно формуле x = y (t) она соответствует точке дифференцирования x, где Y’x находится. Соотношения(17) легко получить с помощью чисто формальных

вычислений. dypy / ДТ Вау, х]’ Затем попробуйте найти 2-ю производную yx той же функции y = f (x).Это легко сделать, используя формулу (17).То есть он временно представляет y’X с Z. А затем… ** ух-з» (17) Значение (18） Однако, поскольку Z = yx = — m、 / ГМ-ГМ Узнайте, наконец, из (18)и (19) Образцы. Установите вогнутое направление

кривой х =(* + 3Т + л> г = 2Т * — (21） В точке Af (l). Решение. Из (21), x’f = 2t + 3, x? = 2,г \ = г \ г! = 12 /.Итак, если t = 1, то это выглядит так:= jc / = 2, y ’ 0, кривая точки M (21) направлена вогнутой поверхностью вверх.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института