Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 0 , y0 = 1 , тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М0(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0
Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0
Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х0, y0) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 1, y0 = 2, тогда z0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М0(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0
Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение
Экстремум функции двух переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции двух переменных
ПЛАН
Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Экстремум функции двух переменных.
Необходимые и достаточные условия существования
экстремума функции z = f(х, у).
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности S в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности S через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной равнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
Вектор называется вектором нормали к поверхности S в точке М0. Вектор нормали перпендикулярен касательной плоскости.
Нормалью к поверхности S в точке М0 называется прямая, проходящая через эту точку и имеющая направление вектора N. Канонические уравнения нормали к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0), где z0 = f(x0,y0), имеют вид:
(2)
Пусть поверхность задана уравнением
(3)
в неявном виде. Будем считать, что и в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные, одновременно не равные нулю. Тогда
(4)
Условимся писать вместо .
Уравнение касательной плоскости к в точке запишется так:
, (5)
а уравнение нормали к в точке — так:
. (6)
Пример 1. Уравнение
(7)
определяет круговой конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью (рис. 1).
Левая часть уравнения (7) имеет частные производные
,
одновременно не равные нулю, если точка . В любой такой точке, которую обозначим через , касательная плоскость определяется уравнением
.
Нормаль к в точке , т. е. прямая, проходящая через эту точку, перепендикулярно к касательной плоскости, очевидно, имеет уравнение
.
Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности
в точке
Решение: Имеем
Тогда, согласно (1), уравнение касательной плоскости к данной поверхности в указанной точке будет иметь вид: z — 6 = — 4(x + 1) + 2(y — 2), то есть
4x — 2y + z + 2 = 0, а уравнение нормали, согласно (2):
Пример 3. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к конусу
Решение. Имеем
Уравнение касательной плоскости запишем в виде
или .
Уравнение нормали имеет вид
Экстремум функции двух переменных
Пусть функция z = f(х, у) определена в некоторой области D и точка М0(х0, у0) ÎD (внутренняя точка области).
Определение. Точка М0(х0, у0) называется точкой максимума(минимума) функции z = f(х, у), если в достаточно малой d-окрестности точки М0 для каждой точки М(х, у) отличной от точки М0(х0, у0), выполняется неравенство:
На рис.1 М0 – точка максимума, а
точка М1 – точка минимума функ-
ции z = f(х, у).
Значение функции в точке макси-
мума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции
называется её экстремумом.
Замечание. Согласно определению, точка экстремума функции является внутренней точкой области определения функции. Максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значения функции в точке М0(х0, у0) сравниваются с её значениями в точках достаточно близких к М0(х0, у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
Дипломный проект – это исследование на научную тему
Рассмотрим график данной функции: и его сечения вертикальными плоскостями и . Как отмечалось выше, прямые, касательные к сечениям графика в этих плоскостях, наклонены, соответственно, к осям и под углами и , такими, что и .
Проведём плоскость через эти две взаимно перпендикулярные касательные. Эта плоскость будет касательной к поверхности графика . Найдём её уравнение.
где , и покажем, что плоскость (7.13) в пространстве , где расположен график, обладает нужными свойствами. Действительно, эта плоскость проходит через точку касания , что проверяется подстановкой координат этой точки в уравнение плоскости (7.13). При , то есть в сечении плоскости (7.13) вертикальной плоскостью , получаем
откуда тангенс угла наклона прямой, лежащей в пересечении плоскостей, с осью равен
Значит, плоскость (7.13) пересекается с вертикальной плоскостью в точности по касательной к сечению графика. Аналогично, плоскость пересекается с плоскостью (7.13) в точности по касательной этого вертикального сечения.
Уравнение (7.13) можно записать также в виде
Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной плоскости к поверхности , называется нормалью к этой поверхности, проведённой в точке , или нормальной прямой .
очевидно, перпендикулярен к касательной плоскости (поскольку его координаты равны коэффициентам при и в уравнении касательной плоскости) и, следовательно, параллелен нормали, проведённой через точку касания, то уравнения нормали мы получим как канонические уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно известному вектору :
проходящих через точку . (Заметим, что эта поверхность — график функции — эллиптический параболоид.)
Частные производные от , вычисленные в точке , равны
Подставляя координаты точки касания и значения производных в уравнения касательной плоскости и нормали, получаем
Заметим, что касательная плоскость pасположена гоpизонтально , то есть задаётся уpавнением , если значения частных пpоизводных в точке pавняются 0:
Такие точки называются стационаpными точками функции .
Академик А. А. Марков вел непримиримую борьбу с реакционной политикой царского правительства. Так, в 1903 роду письменным заявлением Марков отказывается от всех царских орденов. В 1908 году Марков наотрез отказывается доносить о революционных настроениях студентов, как этого требовал циркуляр Министерства просвещения.
http://lektsii.org/16-81514.html
http://matkb.ru/arf4/arf64.html