Уравнение касательной проведенной в точке к гиперболе
Гипербола и её свойства
Гипербола и её форма.
Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением $$ \frac>>-\frac>>=1.\label $$
Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы \(|x| \geq a\), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины \(2a\) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами \((a, 0)\) и \((-a, 0)\), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.
Рис. 8.6. Гипербола.
Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.
Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.
Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде \(y=kx\), поскольку мы уже знаем, что прямая \(x=0\) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения $$ \frac>>-\fracx^<2>>>=1. $$ Поэтому, если \(b^<2>-a^<2>k^ <2>> 0\), то $$ x=\pm \frac<\sqrt-a^<2>k^<2>>>. $$ Это позволяет указать координаты точек пересечения \((ab/v, abk/v)\) и \((-ab/v, -abk/v)\), где обозначено \(v=(b^<2>-a^<2>k^<2>)^<1/2>\). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении \(k\) (рис. 8.7).
Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.
Числитель дроби \(ab/v\) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при \(k=0\). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина \((a, 0)\). С ростом \(k\) знаменатель убывает, и \(x\) растет, стремясь к бесконечности, когда \(k\) приближается к числу \(b/a\). Прямая \(y=bx/a\) с угловым коэффициентом \(b/a\) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.
Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то \(k\) будет убывать, \(k^<2>\) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом \(-b/a\).
К прямой \(y=-bx/a\) относится все, что было сказано о \(y=bx/a\): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.
Прямые с уравнениями \(y=bx/a\) и \(y=-bx/a\) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.
Уравнение касательной проведенной в точке к гиперболе
Действительная и мнимая оси гиперболы. Эксцентриситет.
Асимптоты гиперболы. Уравнение касательной к гиперболе.
Условие касания прямой и гиперболы.
Гиперболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F1 и F2 , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.
Уравнение гиперболы ( рис.1 ) :
Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.
Отрезок F1F2 = 2 с , где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осьюгиперболы. Число e = c / a , e > 1 называется эксцентриситетомгиперболы. Прямые y = ± ( b / a ) x называются асимптотами гиперболы.
Пусть Р ( х1 , у1 ) – точка гиперболы, тогда уравнение касательной к гипер боле в данной точке имеет вид:
Условие касания прямойy = m x + kи гиперболых 2 / a 2 – у 2 / b 2 = 1 :
Касательная к графику функции, как составить уравнение, свойства, угловой коэффициент касательной проведенной к графику функции, формула, примеры решения
На экзаменах по дисциплинам с физико-математическим уклоном или при расчетах встречается тип задач о касательной к графику функции.
Однако следует разобраться в основных терминах и соотношениях.
Специалисты рекомендуют пользоваться специальным алгоритмом, позволяющим правильно находить точку касания прямой с какой-либо фигурой.
Общие сведения
Определения и понятия
Геометрический смысл
Касательные к фигурам и графикам
Одна и несколько окружностей
Эллипс, гипербола и парабола
Примеры решения
Рекомендации специалистов
Упражнения и ход вычислений
Общие сведения
Касательной называется прямая, имеющая с фигурой или графиком заданной функции одну общую точку. Однако иногда она проходит через 2 точки. В этом случае ее называют секущей. Прямая задается следующим уравнением: y = kx + b. Значение «k» — это угловой коэффициент.
Для решения задач следует разобрать основные понятия, определения, формулы и свойства касательной.
Кроме того, очень важно понять ее геометрический смысл, поскольку без него будет сложно разобраться в более сложных дисциплинах с физико-математическим уклоном.
Определения и понятия
У касательной есть определенный параметр — угол наклона (а).
Его необходимо отсчитывать от оси абсцисс (только положительное направление) к прямой, заданной графиком y = kx + b.
От него зависит ее расположение.
Коэффициент «к» равен значению тангенса угла наклона, т. е. tg(a).
Математики сделали некоторые выводы, которые основываются на значении углового коэффициента:
В первом, втором и третьем случаях коэффициент является положительным, а в последнем — отрицательным. Эти факты следует учитывать при решении задач. Касательная прямая может являться и секущей, т. е. соприкасаться с графиком функции сразу в двух и более точках. Следует отметить, что при параллельности прямой оси ОХ (y = b), она может пересекать функцию бесконечное число раз.
Существует еще одно определение: касательной к функции вида y = f(x) в точке (х0, f(x0)) является прямая, которая проходит через эту точку с тем условием, что отрезок имеет множество значений, близких к ней (х -> x0).
Геометрический смысл
Пусть дана некоторая функция y = f(x) и секущая АВ (рис. 1). Координаты последней в точках А и В следующие: А(х0;f(x0)) и В(х0+zx;f(x0+zx)). Величина «zx» — приращение аргумента по х, которое показано стрелками. Если подставить координаты в функцию, то она имеет такой вид: zy = zf(x) = f(x0+zx) — f(zx).
Рисунок 1. Геометрический смысл.
Соотношение, которое было получено выше, называется производной. Если к графику в точке проведена секущая или касательная, то тангенс угла будет равен самой производной заданной функции в точке с координатой х0.
Из этого определения можно сделать вывод о существовании производной. Если значение последней равно 0, то, следовательно, не существует общих точек с заданной фигурой.
Касательные к фигурам и графикам
При решении задач следует обратить внимание на частные случаи. Нужно произвести расчеты уравнения прямой или найти точки соприкосновения с окружностью, эллипсом, гиперболой или параболой. Очень распространенная задача встречается также в механике о ременной передаче.
Частные случаи позволят найти оптимальное решение и метод расчета, поскольку экономия времени является важным элементом при научных исследованиях, написании контрольных работ и сдаче экзаменов. Важный этап — идентификация типа задачи. Касательная к вышеперечисленным фигурам — основной тип заданий, но существуют и более сложные функции.
Например, сложно составить уравнение прямой, которая имеет точки касания с какой-либо сложной функцией.
В некоторых случаях необходимо перед выполнением расчетов ее упростить, т. е. привести подобные слагаемые, раскрыть скобки или воспользоваться другими приемами для упрощения выражения.
Одна и несколько окружностей
Радиус, который проводится через точку касания, составляет с касательной прямой угол (перпендикулярен). Перпендикуляр к касательной, проходящий через точку касания, является радиусом или диаметром заданного круга. Из этого следует, что радиус является нормалью по отношению к прямой. Секущая — прямая, которая проходит через график или фигуру, но имеет от двух и более точек пересечения.
Формула окружности с центром в точке О (xc;yc) и радиусом R имеет следующий вид: sqr(х-хc) + sqr(y-yc) = R^2.
Для решения следует выразить значение у, но при этом нужно рассматривать 2 случая:
y = sqrt[R^2 — (х-хc)^2] + yц.
y = -sqrt[R^2 — (х-хc)^2] + yц.
Две функции являются полукругами и вместе образуют окружность. Чтобы составить график круга в точке (х0;у0), нужно уравнение в этой точке. В точках с координатами (хц;yц+R) и (хц;yц-R) уравнения касательных к окружности задаются следующими уравнениями: y = yц + R и y = yц — R. Если взять точки (хц+R;yц) и (хц-R;yц), они будут иметь такую форму: x = xц + R и x = xц — R.
В случае для двух окружностей всего можно провести до 4 касательных (2 внешних и 2 внутренних). Это зависит от случая расположения фигур. Точкой пересечения внешних считается внешняя гомотетия (подобие), а внутренних — в центре внутреннего подобия. Внешними называются прямые, которые касаются внешних точек круга. Если касательные являются внутренними, то они пересекают линию, соединяющую центры окружностей.
Следует отметить, что внешний и внутренний центры гомотетии лежат на некоторой прямой. Она проходит через центры заданных окружностей. Это был рассмотрен случай, когда одна окружность меньше другой.
Однако при равенстве их диаметров появляются некоторые свойства: внешние касательные параллельны и внешнего центра гомотетии не существует.
Основные соотношения можно вывести, используя уравнение прямой (касательной) и расстояние от точки до прямой. Пусть окружности с радиусами R1 и R2 имеют следующие координаты центров: с1(х1;у1) и с2(х2;у2). Уравнение прямой записывается таким образом: ах + by + c = 0. Расстояния до прямой от точек с1 и с2 вычисляются таким образом: ах1 + by1 + c = R1 и ах2 + by2 + c = R2. Формула находится с помощью вычитания первого уравнения из второго: а(х2 — х1) + b(y2 — у1) = R2 — R1. Следовательно, расстояние вычисляется по следующей формуле: d = sqrt[(х2 — х1)^2 + (y2 — у1)^2].
Эллипс, гипербола и парабола
Пусть задан эллипс с полуосями a и b.
Его центром является точка с координатами (xц;уц). Уравнение, описывающее фигуру имеет такой вид: [(х — хц)^2 / a^2] + [(y — yц)^2 / b^2] = 1. Необходимо выразить переменную y. Функция будет состоять из двух полуэллипсов: y = (b/a) * sqrt[a^2 — (x-xц)^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[a^2 — (x-xц)^2] + yц. Касательные к геометрической фигуре могут быть параллельными оси ОХ или ОУ.
В некоторых случаях график задан уравнениями кривых, к которым относятся гипербола и парабола. Пусть первая имеет координаты центра (xц;уц) с вершинами (xц+а;уц) и (xц-a;уц). Ее уравнение принимает такой вид: [(х — хц)^2 / a^2] — [(y — yц)^2 / b^2] = 1. Если же ее вершины имеют такие координаты (xц;уц+b) и (xц;уц-b), то она описывается следующим равенством [(х — хц)^2 / a^2] — [(y — yц)^2 / b^2] = -1. В последнем равенстве меняется знак. При решении нужно разбить на две объединенные функции:
y = (b/a) * sqrt[(x-xц)^2 — a^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[(x-xц)^2 — a^2] + yц.
y = (b/a) * sqrt[(x-xц)^2 + a^2] + yц и y = -(b/a) * sqrt[(x-xц)^2 + a^2] + yц.
В первом случае прямые параллельны оси ординат, а во втором — абсцисс. Чтобы написать уравнение прямой, нужно определить, к какой из функций принадлежит точка, выполнив подстановку в текущие равенства. После этого их следует проверить на тождественность.
Чтобы записать уравнение прямой-касательной к параболе y = ax^2 + bx + c в точке с координатами (x0;y(x0)), нужно привести равенство к следующему виду: y = y'(x0) * (x-x0) + y(x0). Из формулы можно сделать вывод о том, что прямая параллельна оси абсцисс. Параболу нужно рассматривать, как объединение двух функций (x = ay^2 + by + c). Рекомендуется решить его относительно y. Дискриминант вычисляется таким образом: D = b^2 — 4a(c — x).
В зависимости от его значения находятся корни:
D>0: y = [-b + sqrt(D)] / 2a и y = [-b — sqrt(D)] / 2a.
D=0: y = -b / 2a.
D
Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта «Образование».
Рис. 8.6. Гипербола.
Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.
, называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осью гиперболы. Число e = c / a , e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые y = ± ( b / a ) x называются асимптотами гиперболы.
