Уравнение касательной с абсциссой калькулятор

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Уравнение прямой касательной к графику функции в заданной точке

Эта математическая программа находит уравнение касательной к графику функции \( f(x) \) в заданной пользователем точке \( x_0 \).

Программа не только выводит уравнение касательной, но и отображает процесс решения задачи.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Статью из энциклопедии о касательной прямой вы можете посмотреть здесь (статья из Википедии).

Если вам нужно найти производную функции, то для этого у нас есть задача Найти производную.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> Введите выражение функции \( f(x)\) и число \(x_0\) — абсциссу точки в которой нужно построить касательную Найти уравнение касательной

Немного теории.

Угловой коэффициент прямой

Напомним, что графиком линейной функции \( y=kx+b\) является прямая. Число \(k=tg \alpha \) называют угловым коэффициентом прямой, а угол \( \alpha \) — углом между этой прямой и осью Ox

Уравнение касательной к графику функции

Если точка М(а; f(a)) принадлежит графику функции у = f(x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то из геометрического смысла производной следует, что угловой коэффициент касательной равен f'(a). Далее мы выработаем алгоритм составления уравнения касательной к графику любой функции.

Пусть даны функция у = f(x) и точка М(а; f(a)) на графике этой функции; пусть известно, что существует f'(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx + b, поэтому задача состоит в нахождении значений коэффициентов k и b.

С угловым коэффициентом k все понятно: известно, что k = f'(a). Для вычисления значения b воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f(a)). Это значит, что если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: \(f(a)=ka+b \), т.е. \( b = f(a) — ka \).

Осталось подставить найденные значения коэффициентов k и b в уравнение прямой:

Нами получено уравнение касательной к графику функции \( y = f(x) \) в точке \( x=a \).

Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции \( y=f(x) \)
1. Обозначить абсциссу точки касания буквой \( a \)
2. Вычислить \( f(a) \)
3. Найти \(f'(x) \) и вычислить \(f'(a) \)
4. Подставить найденные числа \( a, f(a), f'(a) \) в формулу \( y=f(a)+ f'(a)(x-a) \)

Метод Ньютона

Этот онлайн калькулятор ищет корень (нуль) заданной функции, используя метод Ньютона (также известный как метод касательных)

Этот онлайн калькулятор применяет метод Ньютона (также известный как метод касательных) используя калькулятор производных для получения аналитической формулы производной заданной функции (метод Ньютона требует вычисления производной). Под калькулятором можно прочитать краткое описание метода.

Метод Ньютона

Метод Ньютона 1

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных) — это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Метод был впервые предложен английским физиком, математиком и астрономом Исааком Ньютоном (1643—1727). Поиск решения осуществляется путём построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации.

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к графику исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка берётся в качестве следующего приближения. Далее процесс повторяется, пока не будет достигнута необходимая точность.

Уравнение касательной к графику функции выглядит следующим образом:
,
где — тангенс угла пересечения касательной с осью абсцисс.

Тангенс угла пересечения касательной с осью абсцисс, — не что иное, как значение производной в точке .
С учетом того факта, что в точке пересечения с осью абсцисс значение y равно нулю, можно записать следующее выражение для нахождения точки пересечения (следующей точки приближения):

Метод Ньютона является очень мощным методом поиска корней функции, так как имеет квадратичную скорость сходимости — количество значащих цифр примерно удваивается с каждым шагом итерации, однако существуют и ограничения, затрудняющие его применение. Так, например, если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись, если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня, если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена, если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

Теорема Канторовича дает следующие условия применимости метода для поиска корней функции:

1. функция должна быть ограничена;
2. функция должна быть гладкой, дважды дифференцируемой;
3. её первая производная f'(x) равномерно отделена от нуля;
4. её вторая производная f»(x) должна быть равномерно ограничена.

Уравнение касательной онлайн

Что такое касательная?

Касательная к графику функции f, дифференцируемой в точке x_о, — это прямая, проходящая через точку (x_о; f(x_о)) и имеющая угловой коэффициент f ′(x_о).

Условие существования касательной к графику функции, проходящей через данную точку: Функция должна быть дифференцируема в этой точке

Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс: k = tg α Что можно сказать о расположении касательных по отношению к оси абсцисс? (рис.1 и 2). A) Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1). Б) Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2). В) Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3). Г) Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c, где c – некоторое действительное число (рис.4). Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x_о:

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

Пример решения задачи на нахождение касательной:

Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение.

Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. 2). 1. a – абсцисса точки касания. 2. f(a) = – a 2 – 4a + 2. 3. f ‘(x) = – 2x – 4, f ‘(a) = – 2a – 4. 4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной. Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной. 6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a), a 2 + 6a + 8 = 0 a₁ = – 4, a₂ = – 2. Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18. Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6. В правительстве Украины вновь перемены. Первый зам министра, правая рука премьера уходит в отставку. Больше и подробнее о ситуации на Украине и не только