Уравнение касательной в 10 классе

Уравнение касательной к графику функции. 10-й класс

Класс: 10

Презентация к уроку

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока.

Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить в чем состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
1. Развивать логическое мышление, математическую речь.
2. Воспитывать волю и упорство для достижения конечных результатов.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер.

I. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока и целей.

II. Актуализация знаний.

(Вспомнить с учащимися геометрическое определение касательной к графику функции. Привести примеры, показывающие, что данное утверждение не полно.)

Вспомним, что же такое касательная?

“Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку”. (Слайд № 2)

Обсуждение правильности данного определения. (После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.) Для наглядного доказательства их умозаключения приводим следующий пример.

Рассмотрим пример. (Слайд № 3)

Пусть дана парабола и две прямые , имеющая с данной параболой одну общую точку М (1;1). Проводится обсуждение, почему первая прямая не является к данной параболе касательной (Рис. 1), а вторая является (Рис.2).

На данном уроке, мы с вами должны выяснить, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?

Рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

Для этого, вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной и правила дифференцирования. (Слайд № 4)

III. Подготовительная работа к изучению нового материала.

IV Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике (Рис. 3) точку P с абциссой . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Если к графику функции y = f (x) в точке х = а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной. (Слайд № 10)

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной. (Слайд № 11)

Причем, если :

1. 
2. 
3. .

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления m воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и m в уравнение прямой:

– уравнение касательной к графику функции. (Слайд № 12)

Составим уравнение касательной:

1. к параболе в точке (Слайд № 13)
2. к графику функции в точке

Решая эти примеры мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем: (Слайд № 15)

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой a.
2. Вычислим .
3. Найдем и .
4. Подставим найденные числа , в формулу

Рассмотрим типичные задания и их решение.

№1 Составить уравнение касательной к графику функции в точке .

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере .

1)

2)

3) ;

4) Подставим найденные числа ,, в формулу.

, т.е.

Ответ:

№2 К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой . (Слайд № 17)

Решение. Уточним формулировку задачи. Требование “провести касательную” обычно означает “составить уравнение касательной”. Воспользуемся алгоритмом составления касательной, учитывая, что в данном примере .

Искомая касательная должна быть параллельна прямой . Две прямые параллельны, тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: .Но . Следовательно: ; .

Из уравнения ,т.е. , находим, что и . Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Действуем по алгоритму.

1) ,

2) ,

3)

4) Подставив значения ,, , получим , т.е. .

Подставив значения ,, , получим , т.е.

Ответ: , .

V. Решение задач.

1. Решение задач на готовых чертежах (Слайд № 18 и Слайд № 19)

2. Решение задач из учебника: № 29.3 (а,в), № 29.12 (б,г), № 29.18, № 29.23 (а) (Слайд № 20)

VI. Подведение итогов.

1. Ответьте на вопросы:

• Что называется касательной к графику функции в точке?
• В чем заключается геометрический смысл производной?
• Сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной?

2. В чем были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?

3. Выставление отметок.

VII. Комментарии к домашней работе

№ 29.3 (б,г), № 29.12 (а,в), № 29.19, № 29.23 (б) (Слайд №22)

Литература. (Слайд 23)

1. Алгебра и начала математического анализа: Учеб. Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала математического анализа: Задачник, Для 10-11 кл. для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / Под редакцией А.Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2009.
3. Алгебра и начала анализа. Самостоятельные и контрольные работы для 10-11 классов. / Ершова А.П., Голобородько В.В. – М.: ИЛЕКСА, 2010.
4. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В8. Рабочая тетрадь / Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – M.: Издательство МЦНМО, 2010.

Урок алгебры «Уравнение касательной»(10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Интегрированный урок.doc

Урок алгебры и начал анализа в 10 классе.

Автор: Кузнецов А.Ю., учитель математики

Очень близки и понятны мне слова великого Паскаля, в которых говорится, что «жизнь украшена двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием». И для меня очень важно, чтобы каждый урок – главная составная часть учебного процесса – достигая своей цели, обеспечивал качество подготовки учащихся. Чтобы содержательная и методическая наполненность урока, его атмосфера не только вооружали знаниями и умениями, но и вызывали у детей искренний интерес, подлинную увлеченность, формировали их творческое сознание. Чтобы они шли ко мне на урок без боязни перед сложностью предмета, ведь математика объективно считается наиболее трудным для усвоения школьным курсом. Из опыта знаю, что некоторые темы не очень понятны ученикам, и, как следствие, нелюбимы ими. «Уравнение касательной» – один из них. Захотелось сделать так, чтобы ученики испытали удовольствие от изучения этой темы. По-моему, это мне удалось…

Оборудование: компьютер (Презентация), проектор, экран, карточки для устной фронтальной работы, карточки для групповой работы.

Цели урока (слайд 2) :

1. Уточнить понятие «касательной».
2. Повторить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции у = f (x)».
3. Продолжить отработку умений и навыков в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.
4. Формировать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования, развивать математическую речь.

Структура урока:

1. Постановка цели.
2. Устная работа по теме «Производная».
3. Домашнее задание.
4. Историческая справка.
5. Повторение алгоритма «составления уравнения касательной».
6. Устная работа.
7. Закрепление. Отработка умений и навыков в составлении уравнения касательной.
8. Домашнее задание.
9. Подведение итогов урока.

Ход урока

1. Постановка цели урока (слайд 2)

2. Устная работа на карточках. (слайд 3)

При его проведении проверяется знание основных правил дифференцирования.

3. Проверка домашнего задания (слайд 4) .

Учащимся класса к уроку было дано задание расшифровать, как Исаак Ньютон называл производную функцию и ответ занести в таблицу:

8

4/3

-9/4

-4

-1

3

-7,5

От вет: ФЛЮКСИЯ (слайд 5).

4. Историческая справка (слайд 6,7) .

(Информацию об ученых можно взять с электронного издания «Репетитор по математике Кирилла и Мефодия» либо через Интернет с сайта. Какова история происхождения этого названия?)

Сообщение приготовил учащийся

Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.

Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой .

Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.

Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.

На прошлом уроке нами было получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.

5. Повторение алгоритма

Давайте уточним, что же называют касательной к графику функции.

Ученик: Предельное положение секущей называют касательной к графику кривой в точке х=а.(слайд 8)

Учитель: Запишите на доске уравнение касательной.

y = f(a) + f ‘( а ) · (x-a). (слайд 9)

Используя эту формулу, вспомним, как можно задать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x) :

1. Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
2. Вычислим f(a).
3. Найдем f ‘( х) и вычислим f ‘( а).
4. Подставим найденные значения числа а, f( а), f ‘( а) в уравнение касательной. (слайд 10)

6. Устная работа. (слайд 11)

№809 (а) (задачник)

а) в точке а касательная параллельна оси оy, значит, угол α между касательной и положительным направлением оси ох равен 0˚, tg α = 0, k = 0 .

б) в точке b касательная составляет с положительным направлением оси ох тупой угол, tg α

в) в точке c угол α – острый, tg α > 0, k > 0 .

№810 (а) (рисунок 46).

Производная равна о в точках х = 0 и х = 3,5.

Если в некоторой точке графика нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производной. Нельзя провести касательную в точке х = -1.

7. Закрепление (слайд 11) .

К доске вызывается один ученик и выполняет самостоятельно задание на карточке:

1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² — 3х + 5 в точке с абсциссой

Составим уравнение касательной (по алгоритму).

1. а = -1;
2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
3. f ‘(x) = 2х – 3,
   f ‘(a) = f ‘(-1) = -2 – 3 = -5;
4. y = 9 – 5 · (x + 1),

y = 4 – 5x.

К доске вызывается ученик и весь класс выполняет с ним следующее задание:

2) Составить уравнение касательной, проходящей через точку пересечения графика функции

f(x) = (3 – х)/(х + 1) с прямой y = 1.

Найдем абсциссу точки касания:

(3 – а)/(а + 1) = 1, а = 1.

Составим уравнение касательной по алгоритму:

y = 2 – х.

3) № 831 (а) (задачник)

Касательная к графику функции y = х² должна быть параллельна прямой y = 2х + 1. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту данной прямой.

Ответ: в точке А (1;1) касательная параллельна прямой.

Самостоятельная групповая работа парами на местах с заданиями на карточках.

а) Составить уравнение касательной к графику функции у = (х³ + 1)/х в точке пересечения его с осью абсцисс. (Голышков С, Челноков М)

Решение: Найдем абсциссу точки пересечения графика функции у = (х³ + 1)/х с осью абсцисс. У=0; =0; х 3 + 1 = 0, х ≠ 0; х = -1, а = -1; f ( a ) = f (-1) = (-1+1)/ -1=0; f ´(х) = ; f ´ (-1) = ; у=0 — 3(х + 1) = -3х – 3. Ответ: у = -3х — 3

б) Найти касательную, проведенную к кривой у = 2х 5 — 5х² в точке, абсцисса которой равна -1. (Родяшов В, Кукушкин А)

Решение: а = -1, f (а) = f (-1) = -2 -5 = -7; f ´ (х) = 10х 4 – 10х, f ´ (-1) = 10 + 10 = 20. у= -7 + 20(х + 1) = 20х + 13. Ответ: у = 20х + 13.

в) Под каким углом пересекаются графики функции у = 8 – х и у = 4√(х + 4)

(Голышков А, Федяков А)

Решение: Чтобы найти, под каким углом пересекаются графики, нужно найти угол наклона касательной, проведенной в точку пересечения этих графиков. Найдем абсциссу точки пересечения графиков функций: 8 – х = 4 , (8-х) 2 =16(х+4), 64-16х+х 2 = 16х+64, х 2 – 16х – 16х = 0, х 2 – 32х = 0, х(х-32) = 0, х₁=0, х₂ = 32, проверка показывает, что х=32 – посторонний корень.Следовательно, графики пересекаются в точке с абсциссой х=0. f ´ (а) = k = tg α, f ´ (х) = , f ´ (0) = 1, k = tg α = 1, α=45º. Ответ: 45º.

г) Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х² — 4х + 3 в точке М (0;3).

(Торнова О, Лукин А)

Решение: а = 0, f ´ (а)=к, f ´(х) = 2х – 4, f ´ (а) = f ´ (0) = — 4 = к, к = — 4. Ответ: к = — 4.

д) (Кузин Ю). Составьте уравнение касательной к графику функции у = х 2 в точке с абсциссой х = 3.

Решение: 1) а=3, 2) f (а) = f (3) = 9, f ´ (х) = 2х, f ´ (3) = 6, у = 9 + 6(х – 3) = 9 + 6х – 18, у = 6х – 9. Ответ: у = 6х – 9.

Оценки за групповую работу выставляются на следующем уроке после проверки.

4) Дополнительно: №828 .

Решение: у=9-х 2 , у´(х) = -2х, 9-х 2 =0, х_1,2=± 3, а=3, а=-3, у´(3)=- 6, у´(-3) = 6, у₁ = — 6(х-3)=18-6х, у₂=6(х+3)= 18+6х

Ответ: у = 18 ± 6х

8. Домашнее задание выбрано с материалов ЕГЭ (слайд 12) .

А) Касательная, проведенная к графику функции у = х³ — х в точке с абсциссой х = 0, параллельна прямой:

1) у = 7 – х 2) у = х – 7 3) у = 2х – 7 4) √3 ·х +7

Б) Уравнение касательной к графику функции f (х) = 2х² — 3х – 1, проведенной в точке с абсциссой а = 1, имеет вид:

1) у = х — 3 2) у = х — 1 3) у = -2х + 3 4) у = -11х — 1

В) Для функции у = 4х — х² касательная, параллельная оси абсцисс, проведена через точку касания:

1) (0;0) 2) (4;0) 3) (2;4) 4) (-1;-5)

Г) Уравнение касательной, проведенной к графику функции f (х) = 3х² — 2х +5 в точке А (2;13):

1) у = 76х -502 2) у = 10х – 7 3) у = 10х+33 4) у = 76х – 139

Д) Найти тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции

у = 4х ² — 5х в точке с абсциссой а = 2.

1) 0,83 2) 2 3) 3 4) 7

9. Подведение итогов.

Учитель: Подведем итоги урока.

1) Дайте определение касательной.

2) Повторите алгоритм составления уравнения касательной

Выставляются оценки за работу на уроке, комментируются учителем.

Выбранный для просмотра документ презентация к уроку Уравнение касательной.ppt

1. Уравнение касательной к графику функции

Теория:

Даны функция \(y=f(x)\) и точка \(M(a;f(a))\); известно, что существует f ′ ( a ) .
Уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(M\) имеет вид \(y=kx+m\). Найдём значения коэффициентов \(k\) и \(m\).

Известно, что k = f ′ ( a ) . Для вычисления значения \(m\) воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку \(M(a;f(a))\).
При подстановке координаты точки \(M\) в уравнение прямой, получим верное равенство \(f(a)=ka+m\), т. е. \(m=f(a)-ka\).

Подставим найденные значения коэффициентов \(k\) и \(m\) в уравнение прямой:

y = kx + m ; y = kx + ( f ( a ) − ka ) ; y = f ( a ) + k ( x − a ) ; y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

Нами получено уравнение касательной к графику функции \(y=f(x)\) в точке \(x=a\).

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции \(y=f(x)\)

1. Обозначаем абсциссу точки касания буквой \(a\).

3. Находим f ′ ( x ) и вычисляем f ′ ( a ) .

4. Подставляем найденные числа \(a\), \(f(a)\), f ′ ( a ) в формулу y = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

Для функции \(y=f(x)\), имеющей производную в фиксированной точке \(x\), справедливо приближенное равенство Δ y ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x ;

или, подробнее, f ( x + Δ x ) − f ( x ) ≈ f ′ ( x ) ⋅ Δ x .

В этом приближённом равенстве заменим \(x\) на \(a\), вместо x + Δ x будем писать \(x\) и тогда Δ x будет равно \(x-a\). Получим:

f ( x ) − f ( a ) ≈ f ′ ( a ) ( x − a ) или f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) .

Смысл равенства заключается в том, что приближенное значение функции в точке \(x\) равно значению касательной в этой точке.