Уравнение касательной в общем виде конспект

План-конспект учебного занятия «Уравнение касательной к графику функции»
план-конспект урока по математике (11 класс)

Уравнение касательной к графику функции. Дистанционный урок

Скачать:

Предварительный просмотр:

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ГОРОДА МОСКВЫ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение города Москвы

(ГБПОУ Юридический колледж)

ПЛАН-КОНСПЕКТ учебного занятия

по ОУДб.04 Математика

учебной дисциплине/междисциплинарному курсу

для обучающихся курс 1

Раздел 4. Начала математического анализа

Тема 4.1. Производная и ее применение

Занятие 37. Уравнение касательной к графику функции

Цель занятия: продолжить формирование представления о производной, введение понятия касательной к графику функции в точке

Обучающая : формирование понятия геометрического смысла производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций;

Воспитательная: воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций; формирование умения рационально, аккуратно оформить задание в тетради;

Развивающая: развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, развивать логическое мышление, исследовательские навыки, функционального мышления, математической речи

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. М., Просвещение, 2019.

1. Башмаков М.И. Математика. М., «Академия», 2014

2. Богомолов Н.В. Сборник задач (учебное пособие) – М.: Дрофа, 2015.

Образовательный портал Решу ЕГЭ.

Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Открытый банк заданий по математике

Информационные, тренировочные и контрольные материалы.

Междисциплинарные связи: алгебра и начала анализа, физика, естествознание

Внутридисциплинарные связи: геометрия

1.АКТУАЛИЗАЦИЯ РАНЕЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА УЧЕБНОГО КУРСА

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Найдите производную функции:

Найдите производную функции:

Найдите производную функции:

Найдите производную функции:

Найдите производную функции:

2.ИЗУЧАЕМЫЕ ВОПРОСЫ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

1. Уравнение касательной к графику функции

Вопрос 1. Уравнение касательной к графику функции

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции? Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Данное утверждение не верно.

«Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»

1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе. Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе .
2) Аналогично, прямая x = π не является касательной к графику y = cos x , хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = — 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида ; (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика .

Рисунок 1

Рисунок 2

Выясним что такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Что нам для этого понадобиться?

Вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной, правила дифференцирования

1. Таблица производных элементарных функций
   
2. Вспомним правила дифференцирования
   
3. Составьте уравнение прямой y = kx + 4 , проходящей через точку А(3; -2).
   Ответ: y = -2x+4
4. Составьте уравнение прямей y = 3x + b , проходящей через точку С(4; 2).
   Ответ: y = 3x – 2
5. Сформулируйте определение производной
6. Какие из указанных прямых параллельны? у = 0,5х; у = — 0,5х; у = — 0,5х + 2. Почему?

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловой
коэффициент и координаты одной точки.

• Начнём с углового коэффициента

Рисунок 3

Рассмотрим график функции y = f(x) дифференцируемой в точке А (x 0 , f(x 0 )) .
Выберем на нём точку M (x 0 + Δх, f(x 0 + Δх)) и проведем секущую AM .
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)

Будем приближать по дуге точку M к точке A . В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A , приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению — прямой AT . Другими словами AT , обладающую таким свойством, называют касательной к графику функции y = f(x) в точке А(x 0 , f(x 0 )).

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f ‘(x 0 ) . Значение производной в точке х 0 примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0 .

Существование производной функции в точке x 0 эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x 0 , f(x 0 )) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f ‘(x 0 ) . В этом состоит геометрический смысл производной .

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной в этой точке. k кас. = f / (x 0 )

Определение касательной : Касательная к графику дифференцируемой в точке х 0 функции f — это прямая, проходящая через точку (x 0 , f(x 0 )) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х 0 ) .
Проведем касательные к графику функции y = f(x) в точках х 1 , х 2 , х 3 , и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направлении от положительного направления оси до прямой.)

Рисунок 4

Мы видим, что угол α 1 острый, угол α 3 тупой, а угол α 2 равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен. Поэтому f ‘(х 1 )>0, f ‘(х 2 ) = 0, f ‘(х 3 )

f ‘(х 1 )>0 f ‘(х 2 ) = 0 f ‘(х 3 ) 1 2 = 0 α 3 > 90º

Выведем теперь уравнение касательной к графику функции f в точке А( x 0 , f(x 0 ) ).

Общий вид уравнения прямой y = kx + b .

1. Найдём угловой коэффициент k = f ‘(х 0 ), получим y = f ‘(х0)∙x + b, f(x) = f ‘(х 0 )∙x + b
2. Найдём b . b = f(x 0 ) — f ‘(х 0 )∙x 0 .
3. Подставим полученные значения k и b в уравнение прямой: y = f ‘(х 0 )∙x + f(x 0 ) — f ‘(х 0 )∙x 0 или y = f(x 0 ) + f ‘(х 0 )(x — x 0 )

Решение опорных задач.
Рассмотрим четыре типа задач.

1. Если задана точка касания
Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2.
Решение:

1. Вычислим значение функции: f(-2) =(-2) 3 – 3(-2) – 1 = -3 ;
2. найдём производную функции: f ‘(х) = 3х 2 – 3;
3. вычислим значение производной: f ‘(-2) = — 9.;
4. подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Ответ: y = 9x + 15.

2. По ординате точки касания.
Составить уравнение касательной в точке графика с ординатой y 0 = 1.
Решение:

1. Найдем абсциссу точки касания: , х 0 = 1.
2. Найдём производную функции: f ‘(х) = .
3. Найдем угловой коэффициент касательной f ‘(х 0 ) : f ‘(1)= — 1
4. Теперь можно записать уравнение касательной: y = –1(x – 1) + 1 = –x + 2 .

3. Заданного направления.
Написать уравнения касательной к графику y = x 3 – 2x + 7 , параллельной прямой у = х .
Решение.
Искомая касательная параллельна прямой y = x . Значит, они имеют один и тот же угловой коэффициент k = 1, y'(х) = 3х2 – 2. Абсцисса х 0 точек касания удовлетворяет уравнению 3х 2 – 2 = 1 , откуда х 0 = ±1.
Теперь можно написать уравнения касательных: y = x + 5 и y = x + 9 .
Ответ: y = x + 5 , y = x + 9 .

4. Условия касания графика и прямой.
Задача. При каких b прямая y = 0,5x + b является касательной к графику функции f(х) = ?
Решение.
Вспомним, что угловой коэффициент касательной – это значение производной в точке касания. Угловой коэффициент данной прямой равен k = 0,5. Отсюда получаем уравнение для определения абсциссы x точки касания: f ‘(х) = = 0,5. Очевидно, его единственный корень –х = 1. Значение данной функции в этой точке у(1) = 1. Итак, координаты точки касания (1; 1). Теперь остается подобрать такое значение параметра b, при котором прямая проходит через эту точку, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: 1 = 0,5 ·1 + b, откуда b = 0,5.

3.ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

(ответить на вопросы (тестовые задания) и провести самооценку усвоенного материала)

Наименование изученного вопроса учебного занятия

Контрольное задание по изученному вопросу

1. Уравнение касательной к графику функции

Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)= х 3 + 27 в точке х 0 = -3

1. Уравнение касательной к графику функции

Составьте уравнение касательной к графику функции , параллельно прямой у = 3х.

1. Уравнение касательной к графику функции

Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= х 2 — 4 в точке с абсциссой х 0 = — 2.

1. Уравнение касательной к графику функции

Выясните, является ли прямая у = 12х – 10 касательной к графику функции у = 4х 3

1. Уравнение касательной к графику функции

В каких точках касательная к графику функции f(x) = 3х 2 — 12х + 7 параллельна оси х

4. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ НА СЛЕДУЮЩЕЕ ЗАНЯТИЕ

1. Написать уравнения касательной к графику y = x 3 – 2x + 7, параллельной прямой у = х.
2. Прямая у = 6х + 8 параллельна касательной к графику функции у = х 2 — 3х + 5. Найдите абсциссу точки касания.

Преподаватель Древаль В.И.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции

В данной методической разработке рассматривается введение понятия производной, ее геометрического и физического смысла. Разбираются примеры и весь материал базируется на применении презентации.

Уравнение касательной к графику функции

Сценарий урока « Уравнение касательной к графику функции»Предмет: математика, урок-закреплениеТема: Уравнение касательной к графику функцииПродолжительность: 2 урока по 40 минутКласс: 10Технолог.

Тема 30. УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ. Теория. Ключевые методы решения задач.

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э.

Тема 31. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМЕ № 30: «УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИЙ».

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э.

Решение учебно-тренировочных задач ЕГЭ по теме: «Уравнение касательной к графику функции».

Открытый урок по программе: «Профессиональное развитие и методический коучинг учителей РТ» (Сингапурская методика).

презентация по теме «Касательная к графику функции»

урок введения нового материала.

Разноуровневая контрольная работа по теме: » Применение непрерывности и производной. Касательная к графику функции «. 10 класс

Разноуровневая контрольная работа по теме: » Применение непрерывности и производной. Касательная к графику функции «. 10 класс.

Алгебра. Конспект. Тема: «Уравнение касательной». 11 класс

Конспект урока по алгебре на тему «Уравнение касательной».

Просмотр содержимого документа
«Алгебра. Конспект. Тема: «Уравнение касательной». 11 класс»

Конспект урока алгебры по теме «Уравнение касательной»

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: технология развивающего обучения, проблемный метод, контроля и взаимоконтроля, наглядный, частично-поисковый.

Осознание понятия касательной к графику функции в точке, геометрического смысла производной.

Вывод уравнения касательной; составление алгоритма уравнения касательной к графику функции у = f (x).

Рассмотрение трех типов задач на нахождение уравнения касательной к графику функции.

Отработка навыка в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.

Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.

Выработка коммуникативных навыков в работе, развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Отработать умения и навыки по применению производной;

Расширять кругозор; развивать математическую речь, внимание, скорость, память, логическое мышление.

Развивать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования.

Развивать навыки исследовательской работы.

1. Организационный момент

Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы урока.

2. Мотивация учащихся

Пусть слова, которые вы видите на экране, станут девизом сегодняшнего урока.

Плохих идей не бывает

Чтобы настроиться на урок повторим ранее изученный материал. Внимание на экран.

3. Актуализация знаний.

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции?

Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?

Давайте рассмотрим конкретные примеры:

1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = одну общую точку (1; 1), однако не является касательной к параболе.

Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе.

2) Прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку (π; 1). С другой стороны, прямая y = — 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида (π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика.

После обсуждения, учащиеся приходят к выводу, что данное определение неверно.

Попробуйте сами сформулировать цель урока.

На данном уроке, мы с вами должны понять, что же такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной и рассмотреть основные задачи на составление уравнения касательной.

4. Изучение нового материала

Посмотрите, чем отличается положение прямой х=1 от положения у=2х-1?

Сделайте вывод, что же такое касательная?

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости, нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Начнём с углового коэффициента

Примем за определение: касательная — это предельное положение секущей.

Говорят, что касательная есть предельное положение секущей при ∆х → 0.

Существование производной функции в точке x₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x₀, f(x₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f ‘(x₀) . В этом состоит геометрический смысл производной.

Определение касательной (записать в тетради)

Касательная к графику дифференцируемой в точке х₀ функции у = f(х) — это прямая, проходящая через точку (x₀, f(x₀)) и имеющая угловой коэффициент f ‘(х₀).
Проведем касательные к графику функции y = f(x) в точках х₁, х₂, х₃, и отметим углы, которые они образуют с положительным направлением оси Ох.

Мы видим, что угол α₁ острый, угол α₃ тупой, а угол α₂ равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла положителен, тупого — отрицателен. Поэтому

Раз касательная — это прямая линия, а нам нужно составить уравнение касательной, то, что, как вы думаете, нам нужно вспомнить?

Вспомнить общий вид уравнения прямой. (у= кх+b)

Как еще называют число к? (угловой коэффициент или тангенс угла между этой прямой и положительным направлением оси Ох) к = tg α

В чем заключается геометрический смысл производной?

Тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси оХ

То есть я могу записать tg α = yˈ(x₀).

Давайте проиллюстрируем это на чертеже.

Пусть дана функция y = f (x) и точка М, принадлежащая графику этой функции. Давайте определим её координаты следующим образом: х= x₀, у= f (x₀), т.е. М (x₀, f (x₀)) и пусть существует производная f ‘(x₀), т.е. в данной точке производная определена. Проведем через точку М касательную.

Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + b. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и b. Обратите внимание на доску, из того, что там записано, можно ли найти к? (да, k = f ‘(x₀).)

Подставим значение b и к в уравнение y = kx + b.

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = x₀.

Чтобы уверенно решать задачи на касательную, нужно четко понимать смысл каждого элемента в данном уравнении. Давайте ещё раз остановимся на этом:

2. f ‘(x₀) = tg α = к — тангенс угла наклона или угловой коэффициент

3. (х,у) – координаты любой точки касательной

И так мы вывели уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента в данном уравнении. Зная эту формулу, не нужно каждый раз заново проводить рассуждения по отысканию уравнения касательной. Надо просто найти входящие в неё значения f (х₀) и f'(х₀) и подставить их.

Давайте попробуем теперь вывести алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x).

Предлагаю составить алгоритм самим учащимся.

Алгоритм нахождения уравнения касательной в точке (записать в тетради)

1.Найти производную функции
2.Найти значение функции в точке касания
3.Найти значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)

5. Первичное закрепление изученного материала

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана абсцисса точки касания х_0.

2. Дан угловой коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке х₀.

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² — 3х + 5 в точке с абсциссой х₀ = -1.

Составим уравнение касательной (по алгоритму).

y = 9 – 5 · (x + 1), y = 4 – 5x.

Пример 2. Дана функция f(x)=+3-2x-2. Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x), параллельной прямой y=-2x+1.

Решение. Производная данной функции существует для любого х из R. Найдем ее:

(f(x))’ = (+3 — 2x — 2) = 3 + 6x — 2.

Поскольку касательная параллельна y = -2x + 1, получим уравнение:

Подставим и в уравнение функции и найдем и .

Подставляем найденные координаты в уравнение касательной и вычислив, получим:

Ответ: y = -2x; y = -2x +10.

Пример 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не принадлежит графику функции, так как f(– 3) ≠ 6

х₀ – абсцисса точки касания. f(х₀) = – х₀ 2 – 4 х₀ + 2.
Производная данной функции существует для любого х из R. Найдем ее:

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

Если х₀ = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если х₀ = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Ответ: y = 4x + 18; y = 6

6. Физкультминутка. Упражнение “Роняем руки” расслабляет мышцы всего корпуса. Дети поднимают руки в стороны и слегка наклоняются вперёд. По команде учителя снимают напряжение в спине, шее и плечах. Корпус, голова и руки падают вниз, колени слегка подгибаются. Затем дети выпрямляются, последовательно разгибаясь в тазобедренном, поясничном и плечевом поясе, и принимают исходное положение. Упражнение повторить несколько раз.

7. Самостоятельная работа с самопроверкой на уроке.

Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой а.

Вариант 1 Вариант 2

f(x) = х²+ х+1, а=1 f(x)= х-3х², а=2

Ответы: 1 вариант: у=3х; 2 вариант: у= -11х+12

8. Подведение итогов урока.

— что называется касательной к графику функции в точке?
— в чём заключается геометрический смысл производной?
— сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке.

9. Домашнее задание. П.5.2; № 5.21; №5.35; Подготовка к ЕГЭ В-8 № 3 — 10

10. Рефлексия деятельности на уроке.

Конспект урока по теме: Уравнение касательной в общем виде

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тема урока: Уравнение касательной в общем виде.

изучить алгоритм составления уравнения касательной;

научиться составлять уравнение касательной;

развивать логическое мышление;

развивать навыки самоконтроля.

Оборудование: доска, раздаточный материал (карточки с заданиями)

Проверка ранее изученного материала

Найдите производную функции

2 x 4 — x 3 +3 x +4

Найдите производную функции

Сообщение темы урока и целей.

Тема урока: Уравнение касательной в общем виде

Цель урока: изучить алгоритм составления уравнения касательной; научиться составлять уравнение касательной.

Актуализация опорных знаний

Напомню, что графиком функции y = k x + b является прямая линия .

Число k называется угловым коэффициентом прямой , а угол α – углом между прямой и осью Ох . Угловой коэффициент и угол между прямой и осью Ох связаны формулой k = tg α

Если k >0, то 0 α π /2; функция возрастает.

Далее вспомним, что же такое касательная?

Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку.

Изучение нового материала.

Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать угловой коэффициент и координаты одной точки.

Пусть дан график функции y = f ( x ) . На нем выбрана точка , в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найдем угловой коэффициент касательной.

Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике точку P. Координаты этой точки соответственно и . Угловой коэффициент секущей MP, т.е. тангенс угла между секущей и осью x, вычисляется по формуле (противолежащий катет к прилежащему катету) .

Если мы теперь устремим к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении . Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной k будет вычисляться по формуле .

Следовательно, .

Или по другому. Производная в точке х = а равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке .

Это и есть геометрический смысл производной .

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции f ( x ) в точке х равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке (х; f ( x )).

Выясним общий вид уравнения касательной.

Пусть, прямая задана уравнением . Мы знаем, что . Для вычисления b воспользуемся тем, что прямая проходит через точку . Подставим в уравнение. Получим , т.е. . Подставим найденные значения k и b в уравнение прямой:

— уравнение касательной к графику функции

Пример. Составим уравнение касательной к параболе в точке M (1;1)

Решение

Решая пример мы воспользовались очень простым алгоритмом, который заключается в следующем:

1. Найти значение функции f(а) в точке х _о =а

2. Вычислить производную функции f `(x)

3. Найти значение производной функции f `(а) в точке х _о =а

4. Подставить полученные числа в формулу

5. Привести уравнение к стандартному виду

Написать уравнение касательной к график у функции y = f ( x ) в точке с абсциссой х ₀ .