Уравнение кирхгофа в интегральном виде

Закон Кирхгофа

Вы будете перенаправлены на Автор24

Закон Кирхгофа связывает между собой параметры, связанные с тепловым излучением тел. Такие как монохроматический коэффициент поглощения (поглощательная способность) ($A_<\nu ,T>$) и спектральная плотность энергетической светимости тела ($E_<\nu ,T>$). Напомню, что коэффициент $A_<\nu ,T>\ $ определяется как:

где $dW_$- элемент энергии, который падает на единичную площадку поверхности в единицу времени, $dW_$ — элемент энергии, поглощаемый единичной площадкой поверхности в единицу времени.

Выражение, определяющее величину $E_<\nu ,T>$ имеет вид:

где $dW$- энергия теплового излучения единицы площади поверхности тела, в единицу времени при частоте, которая находится в интервале от $\nu $ до $\nu $+d$\nu $.

Дифференциальная форма закона Кирхгофа

Между вышеназванными величинами для любого непрозрачного тела существует соотношение, которое называют законом Кирхгофа. В дифференциальной форме он имеет следующий вид:

где $<\varepsilon >_<\nu ,T\ >$— излучательная способность абсолютно черного тела. Уравнение (3) показывает, что для любой температуры и частоты отношение излучательной способности тела к его поглощательной способности одинаково для любых тел и равно излучательной способности черного тела. $<\varepsilon >_<\nu ,T\ >=<\varepsilon >_<\nu ,T\ >(\nu ,T)$ — функция частоты и температуры ее еще называют функцией Киргхофа.

Из закона Кирхгофа следует, что если в данном интервале частот $A_<\nu ,T>=0$, то есть тело не поглощает излучение, то $E_<\nu ,T>=0$, то есть тело в этом же интервале частом не может и излучать. Чем больше тело излучает, на какой — то определенной частоте, тем больше поглощает на той же частоте. Наибольшее излучение при заданной температуре у абсолютно черного тела.

Интегральная форма закона Кирхгофа

Прежде, чем записать закон Кирхгофа в интегральной форме введем еще несколько необходимых физических величин, которые характеризует тепловое излучение тела. Интегральная излучательная способность (энергетическая светимость) тела ($E_T$) равна поверхностной плотности мощности теплового излучения тела. Математически определение $E_T$ записывается как:

где $E_<\lambda ,T>=\frac<с><<\lambda >^2>E_<\nu ,T>$ — излучательная способность тела. $E_T$ также называют энергией излучения всех возможных частот, которые испускаются с единицы поверхности тела на единицу времени. Интегральная излучательная способность ($<\varepsilon >_$) — абсолютно черного тела равна:

Соотношение между интегральной излучательной способностью серого тела ($^$) и его поглощательной способностью ($A_T$) имеет вид:

Интегрирование уравнения Кирхгофа

Рассмотрим интегрирование уравнения Кирхгофа для случая пос­тоянного давления системы Р = const (для случая постоянного объема системы V = const рассмотрение аналогично):

d∆Н = ∆Ср dT,

а) Простейший случай; ∆С не зависит от температуры:

Тогда после интегрирования получаем:

где const — константа интегрирования.

Взяв определенный интеграл, получаем:

∆Ср

где ∆Н₁, и ∆Н₂ — тепловые эффекты реакции при температуре Т₁, и Т₂ соответственно. После интегрирования окончательно имеем:

Однако независимость теплоемкостей реагентов от температуры может приближенно наблюдаться лишь для узкого температурного интервала, когда изменение ∆С мало и для этого температурного интервала его можно принять приближенно за среднее значение. И действительности теплоемкости реагентов изменяются с изменени­ем температуры, поэтому при более точном определении зависимости ∆Н от температуры величину ∆С нельзя считать постоянной.

б) Пусть ∆Сp = f(Т), т.е. есть функция температуры (изменяется с изменением температуры). Тогда следует учитывать зависимость ∆Сp от температуры Т, например, в виде полинома типа (2.9):

∆Ср = ∆a + ∆b Т + ∆c Т 2 + ∆c’ Т -2 ,

где коэффициенты а, b,с, c’должны быть известны для всех участни­ков реакции. Тогда

где ∆Н₁ , и ∆Н₂ — тепловые эффекты при температурах Т₁ и Т₂ соответс­твенно.

Если взять неопределенный интеграл, то после интегрирования получаем:

∆H_T = ∆aТ + ∆bТ₂ 2 /2 + ∆cT 3 /3 — ∆c’/Т + const,

где константа интегрирования const — постоянная для данной реакции; ∆Н_Т — тепловой эффект реакции при температуре Т.

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)