Уравнение клаузиуса моссотти для неполярных газов и жидкостей

Уравнение Клаузиуса — Мосотти для неполярных газов и жидкостей

Между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостью молекул существует определенное соотношение, называемое уравнением Клаузиуса — Мосотти.

Индуцированные электрические моменты молекул неполярного газа или жидкости одинаковы у всех молекул однородного по составу диэлектрика. Индуцированный момент пропорционален напряженности действующего на молекулу поля:

где α — поляризуемость молекулы, которая считается одинаковой для всех молекул.

Поляризация, т. е. электрический момент единицы объема, равна

,

где п — число молекул в единице объема.

Локальное поле связано с напряженностью среднего поля соотношением , так что

.

С другой стороны, между поляризацией и средним полем существует соотношение .

Исключив Р и Е из соотношений и , получим уравнение Клаузиуса — Мосотти для диэлектрической проницаемости неполярных газов и жидкостей

,

где p_уд обозначена величина, называемая удельной поляризацией.

Уравнение Клаузиуса-Мосотти можно представить и в другой форме. Для этого умножим обе части уравнения на граммолекулярный объем, который равен отношению M/ρ, где M — молекулярный вес, а ρ — плотность,

.

Отношение n/ρ есть 1/m, где m — масса молекулы; отношение M/m представляет собой число Авогадро N = 6,06×10 23 . Следовательно,

,

где Р_M — молекулярная поляризация.

Для неполярных газов и жидкостей величина Р_M близка к величине молекулярной рефракции P_R

.

Действительно, согласно электромагнитной теории света Максвелла показатель преломления света

,

где μ — магнитная проницаемость газов.

Магнитная проницаемость всех веществ, за исключением ферромагнетиков, как известно, близка к единице. Поэтому или .

Расхождение между ε и n 2 объясняется тем, что при частотах электромагнитного поля, равных частоте света, не успевает образоваться поляризация, связанная со смещением ядер. Этот вид поляризации устанавливается при частотах порядка 10 12 —10 13 гц и ниже, и, следовательно, ε должна быть несколько больше, чем n 2 из-за присутствия ядерной поляризации. Однако величина поляризации ядерного смещения очень невелика, так что можно считать, что для неполярных газов и жидкостей ε в первом приближении равна n 2 и молекулярная поляризация равна молекулярной рефракции.

Уравнение Клаузиуса—Мосотти справедливо, когда на молекулу действует локальное поле, определяемое выражением .

Уравнение для неполярных газов можно упростить. Для таких газов значение ε близко к единице. Поэтому в знаменателе формулы можно принять, что ε = 1. Тогда получим

.

Это уравнение справедливо только в случае малых диэлектрических проницаемостей, т. е. для газов.

Формула Клаузиуса — Моcсотти

Вы будете перенаправлены на Автор24

Нахождение дипольного момента молекулы

Как уже неоднократно подчеркивалось, среднее макроскопическое поле в диэлектрике ($\overrightarrow$) не всегда можно считать равным с полем, которое действует на каждую молекулу вещества ($\overrightarrow$). В особенности это касается плотных диэлектриков, жидкостей и газов, в которых молекулы находятся достаточно близко друг к другу и в результате $\overrightarrow$ не однородно на протяжении молекулы.

Будем считать молекулы точечными, то есть пренебрежем их размерами в сравнении со средними расстояниями между ними. В таком случае изменениями поля в пределах молекулы можно пренебречь, то есть считать, что поле $\overrightarrow$ относится к центру молекулы, на которую оно действует. В таком случае для нахождения дипольного момента молекулы ($\overrightarrow

$) можно записать следующее выражение:

Локальное поле $\overrightarrow$ можно рассчитать, используя модель Лоренца. И для неполярных молекул $\overrightarrow\ $ равно:

где $\overrightarrow

$ — вектор поляризованности кристалла. Эту формулу приближенно можно применить не только для кристаллов кубической системы, но и к неполярным жидкостям и газам, в которых молекулы расположены хаотично, если под вектором $\overrightarrow$ понимать действующее поле, усредненное по времени.

Расчет поляризации диэлектрика

Используем формулу для расчета поляризации диэлектрика ($\overrightarrow

$):

где $n$ — концентрация молекул (количество молекул в единице объема) диэлектрика.

Формула Клаузиуса — Моссотти

Воспользуемся определением вектора смещения, получаем равенство:

Так как для изотропного диэлектрика $\overrightarrow=\varepsilon <\varepsilon >_0\overrightarrow,$ то из (4), следует, что:

Готовые работы на аналогичную тему

Формула (5), которая называется формулой Клаузиуса — Моссотти, показывает, что для неполярных диэлектриков отношение, стоящее в левой части прямо пропорционально концентрации молекул, и, следовательно, плотности диэлектрика. Что хорошо подтверждается опытом. Помимо этого, если $n=const$, $\varepsilon $ не зависит от температуры, так как $\beta $ зависит только от строения молекулы. Этот факт также хорошо согласуется с опытом.

Формула Моссотти — Клаузиуса находится в удовлетворительном согласии с опытом для жидких и газообразных диэлектриков с неполярными молекулами, несмотря на то, что в жидкостях не выполняется условие точечности молекул. Для полярных диэлектриков формула (5) неприменима.

В системе СГС формула Моссотти — Клаузиуса примет вид:

Формулу Моссотти — Клаузиуса можно представить в виде (СИ):

где $N_A$ — постоянная Авогадро, $<\rho >_m$ — плотность вещества, $\mu $ — молярная масса вещества.

Задание: Диэлектрическая восприимчивость ? аргона ($\mu =4\cdot 10^<-2>\frac<кг><моль>$) при нормальных условиях равна $\varkappa =5,54\cdot <10>^<-4>$. Определите диэлектрическую проницаемость жидкого аргона ($\varepsilon $), если его плотность при этом $\rho =1,4\cdot 10^3\frac<кг><м^3>.$

За основу решения примем формулу Моссотти — Клаузиуса в СИ:

При нормальных условиях концентрация молекул равна $n=2,\ 69\cdot 10^<25>м^<-3>$ (число Лошмидта).

Связь между диэлектрической восприимчивостью и поляризуемостью молекулы выражается формулой:

\[\varkappa =n \beta \left(1.2\right).\]

Тогда $\beta$ равно:

Выразим $\varepsilon $ из уравнения (1.1), получим:

\[\frac<\left(\varepsilon -1\right)><\varepsilon +2>=\frac<<\rho >_m\beta N_A><3\mu >\to 3\mu \left(\varepsilon -1\right)=<\rho >_m\beta N_A\left(\varepsilon +2\right)\to 3\mu \varepsilon -3\mu =<\rho >_m\beta N_A\varepsilon +2<\rho >_m\beta N_A\to \varepsilon =\frac<3\mu +2<\rho >_m\beta N_A><3\mu -<\rho >_m\beta N_A>\left(1.4\right).\]

Так мы получили, что диэлектрическая проницаемость жидкого аргона равна:

Рассчитаем сначала $\beta $ по формуле (1.3), чтобы уменьшить громоздкость вычислений:

Рассчитаем искомую диэлектрическую проницаемость, зная что $N_A=6,02\cdot <10>^<23>моль^<-1>$:

\[\varepsilon =\frac<3\cdot 4\cdot 10^<-2>+2\cdot 2,059\cdot 10^<-29>\cdot 6,02\cdot <10>^<23>\cdot 1400><3\cdot 4\cdot 10^<-2>-2,059\cdot 10^<-29>\cdot 6,02\cdot <10>^<23>\cdot 1400>\approx 1,507\]

Ответ: Для жидкого аргона $\varepsilon \approx 1,507.$

Задание: Определите при каком наибольшем значении $\varkappa =n\beta $, формула Моссотти — Клаузиуса примет вид более простой: $\varepsilon =1+\varkappa $, но погрешность при вычислении $\varepsilon $ в таком случае составит не больше чем 1%.

За основу решения примем формулу Моссотти — Клаузиуса в СИ:

Выразим из (2.1) диэлектрическую проницаемость, получим:

\[3\left(\varepsilon -1\right)=\beta n\left(\varepsilon +2\right)\to 3\varepsilon -3=\beta n\varepsilon +2\beta n\to 3\varepsilon -\beta n\varepsilon =2\beta n+3\ \left(2.2\right).\]

Получим что из (2.2)$\ \varepsilon $ равна:

Запишем уравнение для погрешности ($\delta $):

Из (2.4) получаем, что:

Рассмотрим случай 1, когда принимаем $1+\delta =1+0,01=1,01$, получаем из (2.5):

\[1,01\left(2\beta n+3\right)=\left(1+\beta n\right)\left(3-\beta n\right)\ \left(2.6\right).\]

Преобразуем (2.6) в квадратное уравнение получаем:

Если найти дискриминант такого уравнения он получится меньше нуля, следовательно, вещественных корней у уравнения нет.

Рассмотри второй случай. 1-$\ \delta =0,99$. Получим квадратное уравнение:

Ответ: $\varkappa \le 0,183$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 08 12 2021

КЛА́УЗИУСА – МОССО́ТТИ ФО́РМУЛА

КЛА́УЗИУСА – МОССО́ТТИ ФО́РМУЛА, вы­ра­жа­ет при­бли­жён­ную связь ме­ж­ду ста­ти­че­ской ди­элек­трич. про­ни­цае­мо­стью $ε$ ди­элек­три­ка, по­ля­ри­зуе­мо­стью $α$ со­став­ляю­щих его час­тиц (мо­ле­кул, ато­мов, ио­нов) и их чис­лом $N$ в 1 см 3 : $$\frac<ε-1><ε+2>=\frac<4\pi><3>\sum_kN_kα_k,\tag1 $$ где ин­декс $𝑘$ обо­зна­ча­ет час­ти­цы разл. сор­та. Час­то К. – М. ф. за­пи­сы­ва­ют в ви­де $$\frac<ε-1><ε+2>\frac

=\frac<4\pi><3>\sum_kN_Aα_k\tag2.$$