Уравнение клейна гордона волновое уравнение

КЛЕ́ЙНА – ФО́КА – ГО́РДОНА УРАВНЕ́НИЕ

КЛЕ́ ЙНА – Ф О́ КА – Г О́ РДОНА УРАВ­Н Е́ НИЕ, од­но из ос­но­во­по­ла­гаю­щих урав­не­ний ре­ля­ти­ви­ст­ской кван­то­вой тео­рии по­ля (КТП), оп­ре­де­ляю­щее за­ви­си­мость вол­но­вой функ­ции $φ(x, t)$ час­тиц с ну­ле­вым спи­ном от вре­ме­ни и ко­ор­ди­нат (вол­но­вую функ­цию час­тиц со спи­ном 1 / 2 оп­ре­де­ля­ет Ди­ра­ка урав­не­ние ). К. — Ф. — Г. у. объ­е­ди­ня­ет прин­цип кван­то­вой ме­ха­ни­ки со спец. тео­ри­ей от­но­си­тель­но­сти. В не­ре­ля­ти­ви­ст­ском пре­де­ле, т. е. ко­гда час­ти­цы дви­жут­ся со ско­ро­стя­ми, мно­го мень­ши­ми ско­ро­сти све­та, оба урав­не­ния сво­дят­ся к вол­но­во­му Шрё­дин­ге­ра урав­не­нию .

Уравнение клейна гордона волновое уравнение

Библиографическая ссылка на статью:
Дангян А.Э. Новое уравнение релятивистской квантовой механики // Современные научные исследования и инновации. 2013. № 12 [Электронный ресурс]. URL: https://web.snauka.ru/issues/2013/12/30356 (дата обращения: 30.01.2022).

Введение

В работе проводится анализ аналитического решения стационарного уравнения Клейна-Гордона для атома водорода и водородоподобных ионов (изоэлектронный ряд водорода). На основании сравнения энергии связи водородоподобных ионов, полученных при аналитическом решении, с соответствующими экспериментальными значениями, делается вывод о том, что решения уравнения Клейна-Гордона все более значительно отклоняются от экспериментальных значений при увеличении заряда ядра Z.

Предлагается новое релятивистское уравнение более адекватно описывающее атом водорода и изоэлектронный ряд водорода.

Данную статью можно скачать в формате PDF по ссылке — http://r-lib.snauka.ru/2013/12/1118

1. Анализ решений уравнения Клейна-Гордона

Приведем кратко вывод стационарного уравнения Клейна-Гордона.

Используя выражения релятивистской энергии (1.1) и релятивистского импульса (1.2)

(1.1) , (1.2)

Получается соотношение связи энергии и импульса : (1.3)

Откуда (1.4)

В стационарном потенциальном поле выражение (1.4) принимает вид : (1.5) откуда (1.6)

Подставляя в (1.6) выражение для квадрата импульса (1.7) приходим к стационарному уравнению Клейна-Гордона: (1.8)

В центральном поле ядра атома водорода потенциальная энергия электрона зависит только от одной координаты, расстояния от центра. (1.9)

Оператор Лапласа в сферических координатах выглядит следующим образом: (1.10)

Волновую функцию представим в виде (1.11) Подставляя (1.9), (1.10) и (1.11) в уравнение (1.8) с учетом получим радиальное уравнение Клейна-Гордона в системе СИ. (1.12)

В рамках данной работы будем рассматривать сферически симметричные состояния с нулевым орбитальным моментом . С учетом сказанного уравнение (1.12) примет вид (1.13)

Далее будем использовать систему атомных единиц Хартри. В этой системе приняты следующие единицы:

За единицу длины принято среднее расстояние электрона от ядра в атоме водорода (радиус Бора) м.

За единицу массы принята масса покоя электрона кг.

За единицу заряда принято абсолютное значение заряда электрона Кл.

За единицу действия принята постоянная Планка Дж*с.

За единицу энергии принята удвоенная энергия основного состояния электрона в атоме водорода, называемая Хартри. 1 Хартри= Дж=27.21138386эВ.

За единицу скорости принята скорость электрона на внутренней орбите боровской модели атома водорода.

Скорость света в атомных единицах Хартри равна .

Все сказанное можно записать следующим образом:

Запишем радиальное уравнение Клейна-Гордона (1.13) в атомных единицах Хартри ( ) (1.14)

Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом W olframAlpha http://www.wolframalpha.com/

Решение для радиальной волновой функции имеет следующий вид:

(1.15) где вырожденная гипергеометрическая функция второго рода, константа интегрирования.

Как известно, из аналогичных решений уравнения Шредингера, первый параметр вырожденной гипергеометрической функции является радиальным квантовым числом . И для основного состояния радиальное квантовое число принимается равным нулю . Из этих соображений, получаем уравнение для определения энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов в следующем виде:

(1.16)

Решая уравнение (1.16) получаем формулу для расчета энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, в атомных единицах Хартри, в следующем виде: (1.17) Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электронвольтах. эВ (1.18)

Построим сравнительную диаграмму значений энергии полученных аналитическим решением (формула (1.18)) и экспериментальных значений первых 29 элементов таблицы Менделеева. Экспериментальные значения имеются на сайте [2].

Рис.1 Теоретические и экспериментальные значения энергии водородоподобных ионов. Решения уравнения Клейна-Гордона.

Как видно из диаграммы, полученные при решении уравнения Клейна-Гордона значения энергии, плохо согласуется с экспериментальными значениями по мере увеличения заряда ядра . Эти значения даже хуже чем соответствующие решения нерелятивистского стационарного уравнения Шредингера . То есть при приближении к релятивистским скоростям отклонения увеличиваются . Хотя логично было бы ожидать обратное.

2. Вывод нового релятивистского уравнения

Сделаем предположение, что в атоме водорода имеют место следующие соотношения энергии и импульса:

(2.1) (2.2)

Формулу энергии (2.1) преобразуем следующим образом: (2.3)

Подставим квадрат импульса в формулу энергии (2.3) (2.4) возведя в квадрат и перегруппировав, получим новое соотношение энергии и импульса в виде: (2.5) Действуя по аналогии с уравнением Клейна-Гордона получим следующее уравнение:

(2.6)

Условно назовем полученное уравнение .

Дальнейшее преобразование дает радиальное уравнение для сферически симметричных состояний с нулевым орбитальным моментом в виде:

(2.7)

Перепишем уравнение (2.7) в атомных единицах Хартри

(2.8)

Для решения полученного уравнения, воспользуемся математическим интернет ресурсом W olframAlpha http://www.wolframalpha.com/

Решение для радиальной волновой функции имеет следующий вид:

(2.9) где вырожденная гипергеометрическая функция второго рода, константа интегрирования.

Для нахождения формулы энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, приравниваем к нулю первый параметр гипергеометрической функции: (2.10)

Решая уравнение (2.10) получаем формулу для расчета энергии основного состояния атома водорода и водородоподобных ионов, в атомных единицах Хартри, в следующем виде:

(2.11) Полученная энергия включает в себя энергию покоя электрона . Учитывая это окончательно запишем формулу энергии в электронвольтах.

эВ (2.12)

Построим сравнительную диаграмму значений энергии, полученных аналитическим решением (формула (2.12)) и экспериментальных значений первых 29 элементов таблицы Менделеева. Экспериментальные значения имеются на сайте [2].

Рис.2 Теоретические и экспериментальные значения энергии водородоподобных ионов. Решения уравнения М2.

Как видно из диаграммы полученные при решении уравнения М2 значения энергии хорошо согласуется с экспериментальными значениями.

Отметим, что в рамках данной работы не анализируются причины такого поведения электрона в атоме водорода и в водородоподобных ионах. Возможно этой проблеме будет посвящена отдельная статья.

Библиографический список

1. Основы квантовой теории и атомной физики: Учеб. пособие /Ю.Н.Колмаков, Ю.А.Пекар, Л.С.Лежнева, В.А.Семин; Тул.гос.ун-т. – Тула, 2005. – 147 с.
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Ionization_energies_of_the_elements_(data_page)

Количество просмотров публикации: Please wait

Связь с автором (комментарии/рецензии к статье)

Оставить комментарий

Вы должны авторизоваться, чтобы оставить комментарий.

Если Вы еще не зарегистрированы на сайте, то Вам необходимо зарегистрироваться:
Регистрация

&copy 2022. Электронный научно-практический журнал «Современные научные исследования и инновации».