Уравнение когда в уравнение нет рациональных корней

Нахождение рациональных корней

Содержание:

Теорема о рациональных корнях

Если для многочлена с целыми коэффициентами существует рациональный корень, то этот корень имеет вид

Доказательство:

Пусть несократимая дробь является корнем многочлена с целыми коэффициентами:

Умножим обе части равенства на :

Так как в последнем равенстве каждый член, кроме члена , содержит множитель и каждый член, кроме члена , содержит множитель , то коэффициент должен делится на , а коэффициент должен делится на .

Задача пример №8

Найдите рациональные корни многочлена .

Решение:

свободный член 6, старший коэффициент 2.

Для , запишем все возможные числа вида

, т.е. одним из множителей является двучлен . Другие множители найдем, используя синтетическое деление:

Так как, , получим, что являются корнями многочлена.

Следствие 1. Если старший коэффициент ±1 и многочлен имеет рациональный корень, то он является целым числом.

Следствие 2. Целые корни многочлена с целыми коэффициентами (если они имеются) являются делителями свободного члена.

Задача пример №9

Найдите корни многочлена .

Решение:

по теореме о рациональных корнях многочлена, целый корень данного многочлена (если он существует) надо искать среди делителей числа 5. Это числа ±5; ±1.

Запишем это короче при помощи синтетического деления и проверим, являются ли эти числа корнями многочлена.

Так как , то, решив квадратное уравнение , получим другие корни: . Значит данный многочлен третьей степени имеет три корня: —.

Внимание! Если коэффициенты многочлена являются рациональными числами, то для нахождения рациональных корней уравнения сначала обе части уравнения надо умножить на такое число (отличное от нуля), чтобы коэффициенты стали целыми.

Например, для нахождения корней многочлена надо умножить все члены уравнения на 12, а затем решить полученное уравнение .

Для нахождения рациональных корней выполните следующие действия:

1. Записывается множество всех возможных дробей, числителями которых являются делители свободного члена, а знаменателями являются делители старшего коэффициента.

2. Из этих чисел выбирается число (обращающее значение многочлена в нуль), которое является корнем многочлена, т.е. определяется двучлен , на который многочлен делится без остатка.

3. Для данного многочлена при помощи синтетического деления на двучлен определяется другой множитель.

4. Если другой множитель является квадратным трехчленом или его можно разложить при помощи формул сокращенного умножения, находятся другие корни. Иначе все линейные множители находятся синтетическим делением.

5. Возможно, что ни одно число из списка не будет нулем многочлена. В этом случае многочлен не имеет рациональных корней. Например, рациональными корнями многочлена могут являться числа ±1.

Проверим: ; . Значит, многочленах не имеет рациональных корней.

Исследование:

1) Перепишите примеры в тетрадь и проведите обсуждение.

a) Многочлен первой степени имеет один корень:

b) Многочлен второй степени имеет два корня: , ;

c) Многочлен третьей степени имеет три корня:

d) Многочлен четвертой степени имеет четыре корня:

e) Принимая во внимание, что уравнение имеет кратные корни, получим 5 корней:

2) Укажите степень и найдите корни многочленов, разложение на множители которых имеет вид .

3) Равна ли степень произвольного многочлена количеству его корней?

Покажем на примере, что многочлен n-ой степени имеет n корней.

Задача пример №10

Найдите все корни многочлена .

Решение:

рациональными корнями данного многочлена (если они существуют), согласно правилу, могут являться числа ±1, ±5. Проверим:

.

Значит, является корнем данного многочлена . Другие корни найдем синтетическим делением.

В выражении для множителя вновь применим теорему о рациональных корнях и синтетическое деление. Тогда ; . Решим уравнение ; ; (корень кратности 2); ;

Корни:

Во всех рассмотренных нами примерах уравнение n-ой степени всегда имеет n корней, включая кратные корни (действительных или комплексных).

Эта лекция взята из раздела решения задач по математике, там вы найдёте другие лекци по всем темам математики:

Другие темы которые вам помогут понять математику:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Какое уравнение не имеет корней? Примеры уравнений

Решение уравнений в математике занимает особое место. Этому процессу предшествует множество часов изучения теории, в ходе которых ученик узнает способы решения уравнений, определения их вида и доводит навык до полного автоматизма. Однако далеко не всегда поиск корней имеет смысл, так как их может попросту не быть. Существуют особые приемы нахождения корней. В данной статье мы разберем основные функции, их области определения, а также случаи, когда их корни отсутствуют.

Какое уравнение не имеет корней?

Уравнение не имеет корней в том случае, если не существует таких действительных аргументов х, при которых уравнение тождественно верно. Для неспециалиста данная формулировка, как и большинство математических теорем и формул, выглядит очень размытой и абстрактной, однако это в теории. На практике все становится предельно просто. Например: уравнение 0 * х = -53 не имеет решения, так как не найдется такого числа х, произведение которого с нулем дало бы что-то, кроме нуля.

Сейчас мы рассмотрим самые базовые типы уравнений.

1. Линейное уравнение

Уравнение называется линейным, если его правая и левая части представлены в виде линейных функций: ax + b = cx + d или в обобщенном виде kx + b = 0. Где а, b, с, d — известные числа, а х — неизвестная величина. Какое уравнение не имеет корней? Примеры линейных уравнений представлены на иллюстрации ниже.

В основном линейные уравнения решаются простым переносом числовой части в одну часть, а содержимого с х — в другую. Получается уравнение вида mx = n, где m и n — числа, а х — неизвестное. Чтобы найти х, достаточно разделить обе части на m. Тогда х = n/m. В основном линейные уравнения имеют только один корень, однако бывают случаи, когда корней либо бесконечно много, либо нет вовсе. При m = 0 и n = 0 уравнение принимает вид 0 * х = 0. Решением такого уравнения будет абсолютно любое число.

Однако какое уравнение не имеет корней?

При m = 0 и n = 0 уравнение не имеет корней из множества действительных чисел. 0 * х = -1; 0 * х = 200 — эти уравнения не имеют корней.

2. Квадратное уравнение

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 при а = 0. Самым распространенным способом решения квадратного уравнения является решение через дискриминант. Формула нахождения дискриминанта квадратного уравнения: D = b 2 — 4 * a * c. Далее находится два корня х_1,2= (-b ± √D) / 2 * a.

При D > 0 уравнение имеет два корня, при D = 0 — корень один. Но какое квадратное уравнение не имеет корней? Пронаблюдать количество корней квадратного уравнения проще всего по графику функции, представляющем собой параболу. При а > 0 ветви направлены вверх, при а 2 – 8x + 72 = 0 не имеет корней, так как имеет отрицательный дискриминант D = (–8) 2 – 4 * 1 * 72 = -224. Это значит, что парабола не касается оси абсцисс и функция никогда не принимает значение 0, следовательно, уравнение не имеет действительных корней.

3. Тригонометрические уравнения

Тригонометрические функции рассматриваются на тригонометрической окружности, однако могут быть представлены и в декартовой системе координат. В данной статье мы рассмотрим две основные тригонометрические функции и их уравнения: sinx и cosx. Так как данные функции образуют тригонометрическую окружность с радиусом 1, |sinx| и |cosx| не могут быть больше 1. Итак, какое уравнение sinx не имеет корней? Рассмотрим график функции sinx, представленный на картинке ниже.

Мы видим, что функция является симметричной и имеет период повторения 2pi. Исходя их этого, можно говорить, что максимальным значением этой функции может быть 1, а минимальным -1. Например, выражение cosx = 5 не будет иметь корней, так как по модулю оно больше единицы.

Это самый простой пример тригонометрических уравнений. На самом деле их решение может занимать множество страниц, в конце которых вы осознаете, что использовали неправильную формулу и все нужно начинать сначала. Порой даже при правильном нахождении корней вы можете забыть учесть ограничения по ОДЗ, из-за чего в ответе появляется лишний корень или интервал, и весь ответ обращается в ошибочный. Поэтому строго следите за всеми ограничениями, ведь не все корни вписываются в рамки задачи.

4. Системы уравнений

Система уравнений представляет собой совокупность уравнений, объединенных фигурной или квадратной скобками. Фигурные скобки обозначают совместное выполнение всех уравнений. То есть если хотя бы одно из уравнений не имеет корней или противоречит другому, вся система не имеет решения. Квадратные скобки обозначают слово «или». Это значит, что если хотя бы одно из уравнений системы имеет решение, то вся система имеет решение.

Ответом системы с квадратными скобками является совокупность всех корней отдельных уравнений. А системы с фигурным скобками имеют только общие корни. Системы уравнений могут включать абсолютно разнообразные функции, поэтому такая сложность не позволяет сказать сразу, какое уравнение не имеет корней.

Обобщение и советы по нахождению корней уравнения

В задачниках и учебниках встречаются разные типы уравнений: такие, которые имею корни, и не имеющие их. В первую очередь, если у вас не получается найти корни, не думайте, что их нет совсем. Возможно, вы совершили где-нибудь ошибку, тогда достаточно лишь внимательно перепроверить ваше решение.

Мы рассмотрели самые базовые уравнения и их виды. Теперь вы можете сказать, какое уравнение не имеет корней. В большинстве случаев сделать это совсем не трудно. Для достижения успеха в решении уравнений требуется лишь внимание и сосредоточенность. Практикуйтесь больше, это поможет вам ориентироваться в материале гораздо лучше и быстрее.

Итак, уравнение не имеет корней, если:

• в линейном уравнении mx = n значение m = 0 и n = 0;
• в квадратном уравнении, если дискриминант меньше нуля;
• в тригонометрическом уравнении вида cosx = m / sinx = n, если |m| > 0, |n| > 0;
• в системе уравнений с фигурными скобками, если хотя бы одно уравнение не имеет корней, и с квадратными скобками, если все уравнения не имеют корней.

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения

Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что когда

Пример №202

Решите уравнение

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:

Окончательно получим уравнение:

Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду

2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если то где

Пример №203

Решите уравнение

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:

По основному свойству пропорции имеем:

Решим это уравнение:

откуда

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду

3) записать целое уравнение и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Получим: а после упрощения: то есть откуда или

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

где — натуральное число,

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи

Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.

Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

если натуральное число, то