Уравнение колебаний физического маятника в интегральной форме

Физического маятника

Определение момента инерции тел методом колебаний

Физический маятник – это твёрдое тело, способное совершать колебания вокруг оси, лежащей выше его центра масс. Такое «устройство» оказывается весьма полезным. Так, с его помощью очень просто и с огромной степенью точности определяется ускорение силы тяжести. Также физический маятник позволяет определять моменты инерции различных твёрдых тел.

Малые колебание маятника вокруг оси – это его небольшие повороты в противоположные стороны, поэтому понять колебания физического маятника – это понять механику вращения. Механика вращения имеет тесную аналогию с механикой поступательного движения. Аналогия проявляется в основных понятиях механики, её идеях и закономерностях, и как следствие – в формулах и уравнениях, что удобно представить в виде «таблицы аналогий », которую следует твердо усвоить:

Поступательное движение Вращательное движение

Основной закон динамики (уравнение движения)

a=F/m

ε =M/Iz

(Рекомендуем студенту дополнить этот перечень аналогий для кинематики равномерного и равноускоренного движения, а также для работы, энергии и законов сохранения).

Мы видим, что в динамике вращения появились три новые величины с замысловатыми названиями: момент силы, момент инерции, момент импульса (он же угловой момент, он же вращательный импульс!). Да не болит голова у читателя по поводу таких названий; они появились в результате терминологических недоразумений прошлых веков с добавкой неадекватности перевода с иностранных языков; совершенно бесполезно вникать в смысл этих названий. Их надо просто запомнить. Для момента импульса это недоразумение достигает максимума – целых три названия. К счастью, одно из них оказалось порядочным – вращательный импульс, что просто отражает его аналогию соответствующей величине поступательного движения – обычному импульсу.

Дадим пояснения моменту силы M и моменту инерции I_z .

Момент силы. Возьмём твёрдое тело, закреплённое на оси. Приложим к нему в некоторой точке силу, и пусть линия действия силы пересекает ось вращения. Такая сила либо изогнёт ось вращения, либо вырвет ось из своего укрепления вместе с телом, ничего более.

Изменим немного опыт – сдвинем линию действия той же силы от оси на расстояние l . Эффект скажется незамедлительно: тело начнёт легко поворачиваться. Сила приобрела способность поворачивать тело. Эту способность силы поворачивать называют «моментом силы». Повседневный опыт говорит, что способность силы поворачивать тело зависит не только от силы, но и от «плеча силы» l (кратчайшего расстояния от линии действия силы до оси вращения). В итоге величина момента силы равна произведению силы на плечо:

Момент инерции относительно оси. Как уже было отмечено в «таблице аналогий», момент инерции (не обращать внимание на заумное название!) – величина, характеризующая инертность тела при вращении. Рассмотрим два совершенно одинаковых по форме и размерам волчка, но с заметно отличающими массами, скажем, алюминиевый и свинцовый. Мы легко обнаружим, что раскрутить до некоторой скорости (а так же потом остановить!) алюминиевый волчок гораздо легче, чем свинцовый. Значит, инертность тела при его вращении пропорциональна массе.

Далее, если бы у нас была возможность сильно расплющить любой волчок, отодвинув значительную часть его массы как можно дальше от оси вращения, превратив его в диск, то мы бы тот час обнаружили, что раскручивать (и останавливать) его стало заметно труднее, по сравнению с тем, когда он был компактным. Значит, инертность тела при вращении зависит не только от массы, но и от степени удаления её частей от оси вращения.

Момент инерции материальной точки массы m, находящейся на расстоянии r относительно оси z(рис.1), есть величина, равная произведению её массы на квадрат расстояния до оси вращения

I_z = mr 2 (2)

А чему равен момент инерции произвольного тела (рис.2)? Опыт показывает, что он равен сумме моментов инерции частей, на которые можно разбить любое тело. Замечательно при этом, что величина момента инерции не зависит от способа разбиения целого на части (это свойство называется аддитивностью; оно нам при годится для проверки результатов лабораторной работы). Разбивая тело на весьма малые, почти точечные массы Dm_i , каждая из которых отстоит от оси вращения на расстоянии r_i, учитывая аддитивность момента инерции и определение (2) для I_z материальной точки, получаем общее выражение момента инерции произвольного тела относительно оси Zв виде суммы моментов инерции материальных точек, на которые разбито тело:

(3)

В пределе, когда Dm_i строго превращаются в материальные точки, сумма(3)сводится к интегралу по объёму тела, и для тел простой (правильной) формы она точно вычисляется (таблицу моментов инерции тел правильной формы можно найти в справочниках и учебниках по общей физике). Отметим в заключение полезную формулу, известную как теорема Штейнера, позволяющую найти момент инерции тела относительно произвольной оси Z, если известен момент инерции тела I_c относительно оси, проходящей через центр инерции C (он же — центр масс, он же — центр тяжести) и параллельной данной оси:

здесь m – масса тела, a – расстояние между осями.

Теперь мы готовы к рассмотрению колебаний физического маятника (рис.3). Если отклонить его от положения равновесия на малый угол φ и предоставить самому себе, он начнёт совершать «малые» колебания. Для описания колебаний будем использовать один из основных способов решения физических задач – метод уравнения движения.

Уравнение движения в динамике вращения уже записано в «таблице аналогий»; оно отражает основной закон динамики вращения: если на тело действует внешняя сила, приводящая к возникновению момента силы, то тело вращается, причём его угловое ускорение пропорционально моменту силы и обратно пропорционально его моменту инерции:

(5)

Будем считать, что сила тяжести – единственная сила в нашей задаче, приложена к центру масс маятника (в теоретической механике этот прием строго обосновывается). Эта сила создает относительно оси вращения момент, равный

M = -Pl = — Pa sinφ = — mga sinφ ≈ — mgaφ (6)

Здесь учтено, что при малых отклонениях маятника синус угла можно заменить его аргументом (выраженным в радианах) sinφ ≈φ. Знак минус говорит о том, что при отклонении маятника на угол φ против часовой стрелки возникает момент силы тяжести, стремящийся повернуть маятник по часовой стрелке, т.е. возвратить его к положению равновесия.

В уравнении (5) искомая величина I_z. Остаётся расшифровать угловое ускорение. Угол отклонения φ (угловой путь!)зависит от времени, а угловое ускорение всегда есть вторая производная углового пути по времени (см. «таблицу аналогий»):

(7)

Подставляя (6) и (7) в (5), получаем уравнение движения малых колебаний физического маятника:

. (8)

Из математики известно, что решение такого уравнения существенно зависит от знака коэффициента при φ . Величина mga/I_Z заведомо положительна. Чтобы подчеркнуть это важное обстоятельство, mga/I_Z записывают в виде квадрата некоторой действительной величины w_o:

(9)

Теперь уравнение движения маятника принимает вид стандартного уравнения движения для гармонических колебаний

(10)

Решение этого уравнения представляет собой гармоническую функцию:

Это легко доказать, подставляя из (11) выражение для φ и в (10), в результате чего получаем 0=0.

В гармоническом колебании (10) φ_max – амплитуда колебаний, а w_oобретает точныйсмысл циклической частоты – числа колебаний за 2π секунд. (Учитывая, что за период колебания Т аргумент косинуса возрастает на 2π, имеем w_o(t+T)=w_ot+2π, откуда w_o =2π/T, т.е. именно число периодов за 2π секунд).

(12)

В итоге получаем формулу для экспериментального определения момента инерции физического маятника:

(13)

Уравнение колебаний маятника

Рис.1

Исследуем выражение (2) в зависимости от разности фаз (φ₂ — φ₁):

1) φ₂ — φ₁ = ±2mπ (m = 0, 1, 2, . ), тогда A=A₁+A₂, т. е. амплитуда результирующего колебания А будет равна сумме амплитуд складываемых колебаний;

2) φ₂ — φ₁ = ±(2m+1)π (m = 0, 1, 2, . ), тогда A=|A₁–A₂|, т. е. амплитуда результирующего колебания будет равна разности амплитуд складываемых колебаний.

Для практики представляет особый интерес случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. После сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А, а частоты равны ω и ω+Δω, причем Δω

23 Колебания физического маятника.

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Определения

• — угол отклонения маятника от равновесия;
• — начальный угол отклонения маятника;
• — масса маятника;
• — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
• — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
• — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

.

[править] Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Основная статья: Приведённая длина

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

.

Полагая , предыдущее уравнение можно переписать в виде:

.

Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной . Величина называется приведённой длиной физического маятника.

[править] Центр качания физического маятника

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен , а момент силы тяжести относительно той же оси . Легко заметить, что уравнение движения не изменится.

[править] Теорема Гюйгенса

[править] Формулировка

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

[править] Доказательство

Вычислим приведенную длину для нового маятника:

.

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

[править] Период колебаний физического маятника

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания. Для этого умножим левую часть этого уравнения на , а правую часть на . Тогда:

.

Интегрируя это уравнение, получаем.

,

где произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты . Получаем: . Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

.

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

.

Удобно сделать замену переменной, полагая . Тогда искомое уравнение принимает вид:

.

Здесь — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

.

Здесь — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

[править] Период малых колебаний физического маятника

Если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

.

24 Колебания математического маятника

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит [1] от амплитуды и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция x(t) ― это угол отклонения маятника в момент t от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; , где L ― длина подвеса, g ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

.

[править] Решения уравнения движения

[править] Гармонические колебания

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

где A — амплитуда колебаний маятника, θ₀ — начальная фаза колебаний, ω — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

[править] Нелинейный маятник

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

где — это синус Якоби. Для он является периодической функцией, при малых совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр определяется выражением

где — энергия маятника в единицах t −2 .

Период колебаний нелинейного маятника

где K — эллиптический интеграл первого рода.

[править] Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись в исходное положение.

25 Затухающие колебания. Зависимость амплитуды от времени.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.

Пускай имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется так:

где F_c — сила сопротивления, F_y — сила упругости

или в дифференциальной форме

где k — коэффициент упругости в законе Гука, c — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

Величину ω называют собственной частотой системы, ζ — коэффициентом затухания.

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

Сделав замену x = e λt , получают характеристическое уравнение

Корни которого вычисляются по следующей формуле

[править] Решения

Зависимость графиков колебаний от значения ζ.

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

Если , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

• Граница апериодичности

Если , два действительных корня совпадают , и решением уравнения является:

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

Если , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

Где — собственная частота затухающих колебаний.

Константы c₁ и c₂ в каждом из случаев определяются из начальных условий:

26 Вынужденные колебания. Понятие резонанса.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Автоколебания отличаются от вынужденных колебаний тем, что последние вызваны периодическим внешним воздействием и происходят с частотой этого воздействия, в то время как возникновение автоколебаний и их частота определяются внутренними свойствами самой автоколебательной системы.

Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону: .

Физический маятник

Как выглядят колебания и период физического маятника. Узнайте про период колебаний, уравнение и формулу физического маятника, вращательный момент и инерцию.

Период у физического маятника находится в зависимости от момента инерции точки поворота и дистанции к центру масс.

Задача обучения

• Вычислить параметры, воздействующие на период физического маятника.

Основные пункты

• Физический маятник – обобщенный случай простого. Представлен любым твердым телом, осуществляющим колебания вокруг точки поворота.
• В случае небольших амплитуд период основывается исключительно на моменте инерции вокруг точки поворота и дистанции от оси вращения к центру масс:
• На период колебания маятника не влияет общая масса твердого объекта и массовое распределение. Изменение формы, размера и распределения массы повлияет на момент инерции и период.

Термины

• Физический маятник – стержень или нить не лишены массы и способны увеличивать свой размер.
• Массовое распределение – пространственное распределение и вычисление центра масс в объекте.

Физический маятник

Простой маятник представлен подвешенным грузом к безмассовой нити или стержню, лишенным трения. Здесь можно не учитывать эффекты от нити. А вот в физическом маятнике нить приобретает вес и способна растягиваться. Тогда период зависит от момента инерции вокруг точки поворота.

Мы видим, как силы влияют сквозь центр масс. Можно вычислить период маятника, выявив момент инерции вокруг точки поворота

Гравитация влияет сквозь центр масс твердого тела. Тогда длина маятника приравнивается к линейной дистанции между осью вращения и центром массы (h).

Уравнение вращательного момента:

τ = Iα (α – угловое ускорение, τ – вращательный момент, I – момент инерции).

Гравитация создает вращательный момент:

τ = mghsinθ (h – дистанция от центра масс к точке поворота, а θ – угол от вертикали).

То есть при небольшом угловом приближении:

Та же форма, что и у обычного простого маятника, где период:

И частота физического маятника:

Если мы располагаем моментом инерции, то можем вычислить период у физического маятника. Рассмотрим однородный стержень, повернутый из рамы. Центр масс расположен на дистанции L/2 от точки подвеса:

Жесткий стержень с равномерным распределением массы свисает с точки поворота. Это пример физического маятника

Момент инерции жесткого стержня вокруг его центра:

Также нужно выявить момент инерции относительно точки поворота, а не центра масс, поэтому применим теорему о параллельной оси:

Добавим результат к уравнению за период:

Только отметьте, что период физического маятника все еще зависит от массы. Зато лишен влияния массового распределения твердого тела. Перемены в форме, размере или распределении массы повлияют и на момент инерции, а это изменит период.