Уравнение колебаний имеет вид где амплитуда

Уравнение колебаний имеет вид где амплитуда

Гармоническое колебательное движение и волны

Уравнение колебаний имеет вид х = А sin 2πν₁ t, причем амплитуда А изменяется со временем по закону A = A₀ (1+cos 2πν₂ t). Из каких гармонических колебаний состоит колебание? Построить график слагаемых и результирующего колебаний для A₀ = 4 см, ν₁ = 2 Гц, ν₂ = 1 Гц. Начертить спектр результирующего колебания.

Дано:

Из каких гармонических колебаний состоит колебание?

Построить график слагаемых и результирующего колебаний.

Начертить спектр результирующего колебания

Решение:

Подставляя второе уравнение в первое, получим

Таким образом, рассматриваемое колебание может быть разложено на сумму трех гармонических колебаний с частотами ν₁, ν₁ – ν₂, ν₁ + ν₂ и с амплитудами А₀ , А₀/2 и А₀/2. Амплитуда результирующего колебания будет меняться во времени. Такого рода колебание уже не представляет собой гармонического колебательного движения и называется модулированным колебанием.

Гармонические колебания

О чем эта статья:

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

• сама колебательная система
• источник энергии
• устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x max .

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

l — длина нити [м]

g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]

На планете Земля g = 9,8 м/с 2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

• Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
• Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулы

• Уравнение гармонических колебаний

где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия;
t — время; А, ω, φ— соответственно амплитуда, угловая частота,
начальная фаза колебаний; — фаза колебаний в момент t.

• Угловая частота колебаний

, или ,

где ν и Т — частота и период колебаний.

• Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

• Ускорение при гармоническом колебании

• Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

где a₁и А₂— амплитуды составляющих колебаний; φ₁ и φ₂— их начальные фазы.

• Начальная фаза φ результирующего колебания может быть найдена из формулы

• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна­чению частотами ν₁ и ν₂,

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами A₁ и A₂ и начальны­ми фазами φ₁ и φ₂,

Если начальные фазы φ₁ и φ₂ составляющих колебаний одинако­вы, то уравнение траектории принимает вид

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз , уравнение
принимает вид

т. е. точка движется по эллипсу.

• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма­териальной точки

, или ,
где m — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы (k=тω 2 ).

• Полная энергия материальной точки, совершающей гармони­ческие колебания,

• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин­ный маятник),

где m — масса тела; k — жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко­торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав­нении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где l — длина маятника; g — ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси

колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний;

— приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч­но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ошибка в значении периода не превышает 1 %.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний
, или ,

где r — коэффициент сопротивления; δ — коэффициент затухания: ; ω₀— собственная угловая частота колебаний *

• Уравнение затухающих колебаний

где A (t) — амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω — их угловая частота.

• Угловая частота затухающих колебаний

О Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени

I

где А₀ — амплитуда колебаний в момент t=0.

• Логарифмический декремент колебаний

где A (t) и A (t+T) — амплитуды двух последовательных колеба­ний, отстоящих по времени друг от друга на период.

• Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

, или

,

где — внешняя периодическая сила, действующая на
колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные
колебания; F₀ — ее амплитудное значение;

• Амплитуда вынужденных колебаний

• Резонансная частота и резонансная амплитуда и

Примеры решения задач

Пример 1.Точка совершает колебания по закону x(t)= , где А=2 см. Определить начальную фазу φ, если

x(0)= см и х , (0)

Подставив в это выражение значение t=0 и поочередно значения
начальных фаз и , найдем

Так как всегда A>0 и ω>0, то условию удовлетворяет толь­
ко первое значение начальной фазы.
Таким образом, искомая начальная
фаза

По найденному значению φ постро-­
им векторную диаграмму (рис. 6.1).
Пример 2.Материальная точка
массой т=5 г совершает гармоничес-­
кие колебания с частотой ν =0,5 Гц.
Амплитуда колебаний A=3 см. Оп-­
ределить: 1) скорость υточки в мо-­
мент времени, когда смещение х=
= 1,5 см; 2) максимальную силу
F_max, действующую на точку; 3)
Рис. 6.1 полную энергию Е колеблющейся точ­
ки.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

(1)

а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения:

(2)

Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квад­рат, разделим первое на А 2 , второе на A 2 ω 2 и сложим:

, или

Решив последнее уравнение относительно υ, найдем

Выполнив вычисления по этой формуле, получим

см/с.

Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус — ког­да направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.

Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением

Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ.

2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Нью­тона:

(3)

где а — ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости:

, или

Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим

Отсюда максимальное значение силы

Подставив в это уравнение значения величин π, ν, т и A, найдем

3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента вре­мени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинети­ческая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия E колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии

(4)

Максимальную скорость определим из формулы (2), положив
: . Подставив выражение скорости в фор­-
мулу (4), найдем

Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычис­ления, получим

или мкДж.

Пример 3. На концах тонкого стержня длиной l = 1 м и массой m₃=400 г укреплены шарики малых размеров массами m₁=200 ги m₂=300г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен-

дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем.

Решение. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением

(1)

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; т — его масса; l_С — расстояние от центра масс ма­ятника до оси.

Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков J₁ и J₂ и стержня J₃:

(2)

Принимая шарики за материальные точки, вы­разим моменты их инерции:

Так как ось проходит через середину стержня, то
его момент инерции относительно этой оси J₃=
= . Подставив полученные выражения J₁ , J₂ и
J₃ в формулу (2), найдем общий момент инерции фи-­
зического маятника:

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

Рис. 6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы
стержня:

Расстояние l_С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое рас­стояние l равно координате центра масс маятника, т. е.

, или

Подставив значения величин m₁, m₂, m, l и произведя вычисле­ния, найдем

см.

Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника:

Пример 4.Физический маятник представляет собой стержень
длиной l= 1 м и массой 3т₁ с прикрепленным к одному из его концов
обручем диаметром и массой т₁. Горизонтальная ось Oz

маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Т колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника опреде­ляется по формуле

(1)

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; т — его масса; l_C — расстояние от центра масс маятника до оси колебаний.

Момент инерции маятника равен сумме мо­ментов инерции стержня J₁и обруча J₂:

(2).

Момент инерции стержня относительно оси,
перпендикулярной стержню и проходящей
через его центр масс, определяется по форму-­
ле . В данном случае т=3т₁ и

Момент инерции обруча найдем, восполь-­
зовавшись теоремой Штейнера ,
где J — момент инерции относительно про-­
извольной оси; J₀ — момент инерции отно-­
сительно оси, проходящей через центр масс
параллельно заданной оси; а — расстояние
между указанными осями. Применив эту фор-­
мулу к обручу, получим

Подставив выражения J₁ и J₂ в форму­лу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вра­щения:

Расстояние l_С от оси маятника до его центра масс равно

Подставив в формулу (1) выражения J, l_с и массы маятника , найдем период его колебаний:

После вычисления по этой формуле получим T=2,17 с.

Пример 5.Складываются два колебания одинакового направле-­
ния, выражаемых уравнениями ; х₂=
= , где А₁=1см, A₂=2 см, с, с, ω =
= . 1. Определить начальные фазы φ₁ и φ ₂ составляющих коле-

баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

(1)

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

(2)

Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

рад и рад.

2. Для определения амплитуды А результирую­щего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис.6.4. Согласно теореме косинусов, получим

(3)

где — разность фаз составляющих колебаний.
Так как , то, подставляя найденные
значения φ₂ и φ₁ получим рад.

Подставим значения А₁, А₂и в формулу (3) и
произведем вычисления:

Тангенс начальной фазы φ результирующего колебания опреде-­
лим непосредственно из рис. 6.4: , отку-­
да начальная фаза

= рад.

Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы,
то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это
позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде
, где A=2,65 см, , рад.

Пример 6.Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравне­ния которых

(1).

(2)

где a₁=1 см, A₂=2 см, . Найти уравнение траектории точ-­
ки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать
направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, ис­ключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь-

зуемся формулой . В данном случае
, поэтому

Так как согласно формуле (1) , то уравнение траекто-­
рии

(3)

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от —1 до +1 см по оси Ох и от —2 до +2 см по оси Оу.

Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию см, и составим таблицу:

Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на пло­скость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колеба­ния в соответствии с уравнениями движе­ния (1) и (2) (рис. 6.5).

Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как из­меняется ее положение с течением времени. В начальный момент t=0 координаты точ­ки равны x(0)=1 см и y(0)=2 см. В по­следующий момент времени, например при t₁=l с, координаты точек изменятся и ста­нут равными х (1)= —1 см, y(t)=0. Зная положения точек в начальный и последую­щий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 6.5 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в мо­мент t₂ = 2 с колеблющаяся точка достиг­нет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.

Кинематика гармонических колебаний

6.1. Уравнение колебаний точки имеет вид ,
где ω=π с -1 , τ=0,2 с. Определить период Т и начальную фазу φ
колебаний.

6.2.Определить период Т, частоту v и начальную фазу φ коле­баний, заданных уравнением , где ω=2,5π с -1 ,
τ=0,4 с.

6.3.Точка совершает колебания по закону ,
где A=4 см. Определить начальную фазу φ, если: 1) х(0)=2 см и
; 2) х(0) = см и ; 3) х(0)=2см и ; 4)
х(0)= и . Построить векторную диаграмму для
момента t=0.

6.4.Точка совершает колебания .по закону ,
где A=4 см. Определить начальную фазу φ, если: 1) х(0)=2 см и
; 2) x(0)= см и ; 3) х(0)= см и ;
4) x(0)= см и . Построить векторную диаграмму для
момента t=0.

6.5.Точка совершает колебания по закону ,
где A=2 см; ; φ= π/4 рад. Построить графики зависимости
от времени: 1) смещения x(t); 2) скорости ; 3) ускорения

6.6.Точка совершает колебания с амплитудой A=4 см и перио­дом Т=2 с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в
момент t=0 смещения x(0)=0 и . Определить фазу
для двух моментов времени: 1) когда смещение х=1см и ;
2) когда скорость = —6 см/с и x 2 . Найти угловую частоту ω колебаний, их период Т
и амплитуду А. Написать уравнение колебаний, приняв началь­ную фазу равной нулю.

6.12.Точка совершает колебания по закону . В не­который момент времени смещение х₁точки оказалось равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение х, стало равным 8 см. Найти амплитуду А колебаний.

6.13. Колебания точки происходят по закону .
В некоторый момент времени смещение х точки равно 5 см, ее скорость
= 20 см/с и ускорение =—80 см/с 2 . Найти амплитуду A, угло­вую частоту ω, период Т колебаний и фазу в рассматри­ваемый момент времени.

6.14.Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами A₁=10 см и A₂=6 см складыва­ются в одно колебание с амплитудой А=14 см. Найти раз­ность фаз складываемых колебаний.

6.15.Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складывают­ся в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз складываемых колебаний.

6.16.Определить амплитуду А и начальную фазу ф результи­
рующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний
одинаковых направления и периода: и
, где A₁=A₂=1 см; ω=π с -1 ; τ=0,5 с. Найти уравнение резуль­тирующего колебания.

6.17. Точка участвует в двух одинаково направленных колеба­ниях: и , где а₁=1см; A₂=2 см; ω=
= 1 с -1 . Определить амплитуду А результирующего колебания,
его частоту v и начальную фазу φ. Найти уравнение этого движе­ния.

6.18. Складываются два гармонических колебания одного на­
правления с одинаковыми периодами T₁=T₂=1,5 с и амплитудами
А₁=А₂=2см. Начальные фазы колебаний и . Опре­делить амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колеба­ния. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба
векторную диаграмму сложения амплитуд.

6.19.Складываются три гармонических колебания одного на­правления с одинаковыми периодами Т₁=Т₂=Т₃=2 с и амплиту­дами A₁=A₂=A₃=3 см. Начальные фазы колебаний φ₁=0, φ₂=π/3, φ₃=2π/3. Построить векторную диаграмму сложения ампли­туд. Определить из чертежа амплитуду А и начальную фазу φ ре­зультирующего колебания. Найти его уравнение.

6.20.Складываются два гармонических колебания одинаковой
частоты и одинакового направления: и x₂=
= . Начертить векторную диаграмму для момента
времени t=0. Определить аналитически амплитуду А и начальную
фазу φ результирующего колебания. Отложить A и φ на векторной
диаграмме. Найти уравнение результирующего колебания (в три­гонометрической форме через косинус). Задачу решить для двух
случаев: 1) А₁=1см, φ₁=π/3; A₂=2 см, φ₂=5π/6; 2) А₁=1см,
φ₁=2π/3; A₂=1 см, φ₂=7π/6.

6.21. Два камертона звучат одновременно. Частоты ν₁ и ν₂ их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период Т биений.

6.22. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания,
выражаемых уравнениями и , где
а₁=2 см, A₂=1 см, , τ=0,5 с. Найти уравнение траектории
и построить ее, показав направление движения точки.

6.23. Точка совершает одновременно два гармонических колеба­ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям
и выражаемых уравнениями и ,
где а₁=4 см, A₁=8 см, , τ=1 с. Найти уравнение траекто­рии точки и построить график ее движения.

6.24. Точка совершает одновременно два гармонических колеба­ния одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпендикуляр­ным направлениями выражаемых уравнениями: 1) и

Найти (для восьми случаев) уравнение траектории точки, пост­роить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: А=2 см, A₁=3 см, А₂=1см; φ₁=π/2, φ₂=π.

6.25. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди­кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и
, где A₁=2 см, A₂=1 см. Найти уравнение траектории
точки и построить ее, указав направление движения.

6.26. Точка одновременно совершает два гармонических колеба­ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям
и выражаемых уравнениями и , где А₁=
=0,5 см; A₂=2 см. Найти уравнение траектории точки и построить
ее, указав направление движения.

6.27. Движение точки задано уравнениями и у=
= , где A₁=10 см, A₂=5 см, ω=2 с -1 , τ=π/4 с. Найти
уравнение траектории и скорости точки в момент времени t=0,5 с.

6.28. Материальная точка участвует одновременно в двух вза­имно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями
и , где A₁=2 см, A₂=1 см. Найти
уравнение траектории и построить ее.

6.29. Точка участвует одновременно в двух гармонических коле­баниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлени­ям описываемых уравнениями: 1) и

Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: A=2 см; A₁=з см.

6.30. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди­-
кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и

y=A₂ sin 0,5ωt, где A₁=2см, A₂=3 см. Найти уравнение траекто­рии точки и построить ее, указав направление движения.

6.31.Смещение светящейся точки на экране осциллографа явля­ется результатом сложения двух взаимно перпендикулярных коле­баний, которые описываются уравнениями: 1) х=А sin 3ωt и у=A sin 2ωt; 2) х=А sin 3ωt и y=A cos 2ωt; 3) х=А sin 3ωt и y=A cos ωt.

Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, построить траекторию светящейся точки на экране. Принять А=4 см.

Динамика гармонических колебаний. Маятники

6.32.Материальная точка массой т=50 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид х=А cos ωt, где А = 10 см, ω=5 с -1 . Найти силу F, действующую на точку, в двух случаях: 1) в момент, когда фаза ωt=π/3; 2) в положении наибольшего смещения точ­ки.

6.33.Колебания материальной точки массой т=0,1 г происхо­дят согласно уравнению х=A cos ωt, где A=5 см; ω=20 с -1 . Опре­делить максимальные значения возвращающей силы F_max и кинети­ческой энергии Т_mах.

6.34.Найти возвращающую силу F в момент t=1 с и полную энергию Е материальной точки, совершающей колебания по закону х=А cos ωt, где А = 20 см; ω=2π/3 с -1 . Масса т материальной точки равна 10 г.

6.35.Колебания материальной точки происходят согласно урав­нению х=A cos ωt, где A=8 см, ω=π/6 с -1 . В момент, когда возвра­щающая сила F в первый раз достигла значения —5 мН, потенци­альная энергия П точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени t и соответствующую ему фазу ωt.

6.36.Грузик массой m=250 г, подвешенный к пружине, колеб­лется по вертикали с периодом Т=1 с. Определить жесткость k пружины.

6.37. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на х=9 см. Каков будет период Т коле­баний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить?

6.38.Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A =4 см. Определить полную энергию Е колебаний гири, если жесткость k пружины равна 1 кН/м.

6.39.Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5.

6.40. Математический маятник длиной l=1м установлен в лиф­те. Лифт поднимается с ускорением а=2,5 м/с 2 . Определить период Т колебаний маятника.

6.41. На концах тонкого стержня длиной l=30 см укреплены оди­наковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d=10 см от одного из концов стержня. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого физического ма­ятника. Массой стержня пренебречь.

6.42. На стержне длиной l=30 см укреплены два одинаковых грузика: один — в середине стержня, другой — на одном из его концов. Стержень с грузиком колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведен­ную длину L и период Т колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь.

6.43. Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной l=30 см (рис. 6.6), колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период Т колебаний системы. Массами стержней пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки.

6.44. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизон­тально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Ра­диус R обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча.

6.45. Однородный диск радиусом R=30 см колеблется около го­ризонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилинд­рической поверхности диска. Каков период Т его колебаний?