Уравнение колебаний круглой мембраны matlab

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Факультет «Информатика и вычислительная техника»

Кафедра «Информационные технологи»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3
по дисциплине «Специальные главы математики»
Вариант № 18

Выполнила:
Студент Почапская Е.А.
Группа ВИАС22
Проверил:

Лабораторная работа № 3

Тема: Уравнение колебаний мембраны

Цель работы: Изучение инструмента pdetool, получение навыков решения задач математической физики методом конечных элементов.

(1)

(2)

на границе области (условие Дирихле) (3)

Решение в среде MatLab.
Запустим ппрограмму MatLab. В командном окне введем pdetool и нажмем «Enter». Появится окно «PDE Modeler [Untitled]».

1) Задаем область .В появившемся окне рисуем квадрат, а затем в нарисованной области двойным кликом левой кнопки мыши вызываем окно редактирования координат прямоугольника и вводм точные координаты вершин.

2) Теперь выберем тип уравнения .В окне «PDE Modeler [Untitled]» выбираем меню «PDE — PDE Specification» и в появившемся окне выберем тип «Hiperbolic», вводим параметры, указанные в задании.

3) Введем краевые условия на границе области. Для этого в окне PDE Modeler выбираем меню «Boundary — Specify Boundary Conditions…» и в появившемся окне выбираем h = 1, r = 0.

4) Введем начальные условия и промежуток времени. Для этого в окне PDE Modeler выбираем меню «Solve — Parameters…» и в строке Time вводим 0:5;

в строке u(t0): вводим формулу -sin((pi*x)/3).*y*(y–2); в строке u’(t0): вводим 0.

5) Введем сеточную область. Разобъем область на треугольные элементы. После выберем меню «Plot — Parameters…» и отметим флажки «Height(3-D plot», «Plot in x-y grid», «Shou mesh».

Для построения нажимаем кнопку «Plot».

Текст программы

Выполните эксперименты и ответьте на вопросы

1) Какие изменения надо внести в программу, чтобы колебания были долгими?
Чтобы колебания были долгими, нам нужно увеличить внешнюю силу, прилагаемую к мембране.

2) Какие изменения надо внести в программу, чтобы получить нулевое решение (мембрана находится в покое)?
Чтобы мембрана находилась в покое, нужно, чтобы внешняя сила, изначальное ускорение мембраны и ее начальное положение были равны 0.

3) Какие изменения надо внести в программу, чтобы амплитуда колебаний была больше?
Чтобы амплитуда колебаний была больше, нужно чтобы ее начальное положение было дальше от оси ОХ.

4) Какие изменения надо внести в программу, чтобы амплитуда колебаний была меньше?
Чтобы амплитуда колебаний была больше, нужно чтобы ее начальное положение было ближе к оси ОХ.

5) Какие изменения надо внести в программу, чтобы получить свободные колебания?
Чтобы колебания были свободными, нужно чтобы отсутствовала внешняя сила.

Колебания круглой мембраны

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Метод Фурье разделения переменных применяется также при изучении колебаний ограниченных тел, плоских или объемных. Рассмотрим в качестве примера задачу о свободных колебаниях под действием начальных возмущений однородной круглой мембраны радиуса г о с центром в начале координат, закрепленной по краю. Уравнение колебаний мембраны имеет вид Введем полярные координаты г, (р. Тогда отклонение точек мембраны будет функцией полярных координат г, и времени ).

Пользуясь выражением для оператора Лапласа в полярных координатах, запишем уравнение колебаний мембраны в сле/ующем виде: Колебания круглой мембраны (мембрана закреплена по краю) и начальным условиям Таким образом, задача о колебаниях мембраны ставится так: найти фу нкцию ti(r, удовлетворяющую уравнению граничным условиям.

Ограничимся важным частным случаем осесимметричных колебаний, когда начальные функции f nF не зависят от Ясно, что тогда в любой момент времени t > О величина отклонения мембраны не будет зависеть от полярного угла а будет только функцией г и t, и = u(r, t). Это означает, что при любом фиксированном t форма колеблющейся мембраны будет описываться поверхностью вращения.

При этом предположении задача сводится к отысканию решения ti(r, t) уравнения (4) при граничном условии (5) и начальныхусловиях ди I Применяя метод разделения переменных, будем искать нетривиальные решения уравнения (4),удовлетворяющие граничному условию (5), в виде Подставляя функцию «(г, t) в форме (7) в уравнение (4) и разделяя переменные, получим Равенства (8) приводят к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям (условие выражает естественное требование ограниченности решения u(r, t) в центре мембраны, т. е. при г = 0).

Задача (10)-( 11) имеет очевидное тривиальное решение Я(г) = 0, которое нас не устраивает.

Итак, мы пришли к задаче на собственные значения: найти те значения параметра А, при которых существуют нетривиальные решения задачи (10)—(11), и отыскать эти решения. Запишем уравнение (10) в следующем виде: Это дифференциальное уравнение Бесселя с v = 0. Его общее решение . Из условия |+оо следует, что Сг = 0 (функция Неймана .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Таким образом, Граничное условие Д(г0) = 0 дает откуда следует, что число л/Аго должно быть одним из нулей функции Бесселя т.е. где Рк — нуль функции Jo

имеет вид Колебания круглой мембраны Функция будет решением уравнения (4), удовлетворяющим граничному условию (5). Она определяет стоячие осесимметричные вол ны круглой мембраны. Решение исходной задачи (4)-(6) ищем в виде формального ряда (12) коэффициенты Ап и Вп которого определяются из начальных условий т.е. мы приходим к разложению данных функций /r) в ряды по функциям Бесселя. Нетрудно проверить, что при т ф п функции Jr) ортогональны на [0, го] с весом г.

Известно, что всякая функция Ф(, удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье—Бесселя Колебания круглой мембраны Пользуясь этим, при достаточно гладких начальных условиях /(г) и F(r) получаем для коэффициентов Фурье—Бесселя функций /(г) и F(r) сле/^гощие формулы: Подставим найденные значения An и Bn в формулу (12). Если при этом ряд (12) сходится равномерно, так же как и ряды, получаемые из него двукратным почленным дифференцированием по каждому из аргументов t и г, то мы получаем решение задачи (4)-(6).

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Разностный метод для уравнения колебаний мембраны

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 3527 ; Нарушение авторских прав

Б) Уравнение колебаний струны. Неявная схема

А) Уравнение колебаний струны. Явная схема

Рассмотрим задачу о малых колебаниях натянутой стру­ны с распределенной по длине нагрузкой f(x, t) (рис. 8.1):

u_tt(x_i, t_k)=

u_xx(x_i, t_k)=

Обозначим через u_i,k приближенные значения искомой (функции в точках (x_i, t_k). Тогда из уравнения (8.11) полу­чим разностное уравнение (разностную схему), которое аппроксимирует уравнение (8.11) с порядком О(h 2 + τ 2 ):

На рис. 8.2, б изображен шаблон «крест» разностного уравнения (8.16). Разностное уравнение (8.16) связывает значения неизвестной функции на трех слоях (k – 1, k, k + 1)

На слое k = 0 заданы начальные условия (8.12), из ко­торых следует, что

Чтобы найти значения неизвестной функции на слое k = 1, используем условие для производной u_t(x, 0) из (8.12). Для этого построим разложение в ряд Тейлора:

u(x_i, t₁) = u(x_i, τ) = u(x_i, 0) + u_t(х_i, 0)τ + u_tt(x_i, 0)τ 2 + O(τ 3 ). (8.18)

Из уравнения (8.11), учитывая первое условие в (8.12), выразим вторую производную

Теперь, учитывая условие u_t(x, 0) = μ₀(x) в (8.12), из (8.18), (8.19) выводим формулу для вычисления значений функции на первом слое:

u(x_i, t₁) = μ(x_i) + μ₀(x_i)τ + (с 2 μ»(х_i) + f(х_i, 0)) + О(τ 3 ). (8.20)

С учетом (8.13) окончательно получим для приближен­ных значений искомой функции на первом слое формулы

u_{i, 1} = μ(x_i) + μ₀(x_i)τ +

Учитывая граничные условия (8.13), из (8.16) выводим формулы для вычисления значений на слоях k = 2. М:

u_{i, k} = 2u_{i, k — 1} — u_{i, k — 2} +

Таким образом, получены явные формулы (8.17), (8.21), (8.22) ре­шения разностной задачи.

Разностная схема называется устойчивой, если она имеет единственное решение и малым изменениям исход­ных данных отвечают малые изменения решения.

Известен следующий факт: для выполнения условия устойчивости разностной схемы (8.16) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось усло­вие Куранта сτ 0 находим методом прогонки.

2.1. Вычислим правые части (8.26):

(8.29)

2.2. Вычислим прогоночные коэффициенты;

(8.30)

(8.31)

. (8.32)

Рассмотрим задачу для уравнения колебаний однород­ной прямоугольной мембраны: