Уравнение колебаний решить краевую задачу

Реферат: Численное решение краевых задач для двумерного уравнения колебания

Численное решение краевых задач

для двумерного уравнения колебания»

Понятие «экономичных схем» относится к числу важнейших при решении многомерных краевых задач. Первые экономичные схемы были предложены и обоснованы в 1955-1956 годах одновременно Писменом Рэкфордом и Дугласом. С тех пор появились много хороших экономичных методов решения многомерных краевых задач. В большинстве случаев эти схемы были схемами в дробных шагах. В теории экономичных схем сложную задачу редуцируют к системе более простых задач, последовательное решение которых приводит в итоге к приближенному или точному решению исходной задачи.

Актуальность работы: разработка экономичных методов расщепления.

Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходные задачи.

Целью данной работы является – численное исследование разностных схем расщепления для первой краевой задачи двумерного уравнения колебания.

Основной задачей выпускной работы является:

— рассмотреть методы расщепления для двумерного уравнения колебания;

В выпускной работе четыре параграфа. В первом параграфе дана теоретическая часть, в котором отражены основные понятия из теории разностных схем.

Второй параграф выпускной работы посвящен основным понятиям и истории вопроса экономичных разностных схем.

Третий и четвертый параграф содержит материалы собственных исследований по методам расщепления для двумерного уравнения колебания.

Выпускная работа состоит из введения, четырех параграфов (разностных методов решения задач для дифференциальных уравнений, основных понятий и истории вопроса элементарных разностных схем, схемы расщепления с последовательным переходом, схемы расщепления с параллельным переходом), заключения и списка использованной литературы.

(основные понятия теории разностных схем)

Теория разностных схем является самостоятельным разделом вы­числительной математики, где изучаются методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем замены их конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).

Пусть имеем дифференциальную задачу, записанную в символичес­кой форме:

где хG, f — заданная функция, L — линейный дифференциальный опе­ратор. Предполагается, что дополнительные условия дифференциаль­ного уравнения (граничные и начальные) учтены оператором L и пра­вой частью f.

Рассмотрим примеры. Пусть имеем дифференциальную задачу

которую запишем в виде (1.1):

запишется в виде (1.1), если положить

Для записи в виде (1.1) задачи

с краевыми условиями на обеих концах отрезка надо положить:

Конечно-разностный метод (метод сеток) — один из мощных доста­точно универсальных методов современной вычислительной матема­тики. Этот метод относится к классу машинных методов решения широкого круга задач для дифференциальных уравнений [4].

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку G_h -конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределе­ния которых характеризуется параметрами h — шагом сетки. Пусть об­ласть изменения аргумента х есть отрезок. Разобьем этототрезок точками на n равных частей длины каждая. Множество точек называется равномернойсеткой на отрезке и обозначим , а число h -расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка точками можно производить произвольным образом —. Тогда получаем сетку с шагами , которое зависит от номера узла сетки. Если хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают . Точки х₀ и х_n назовем граничными узлами и обозначим их. Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их w_h . Узлы соседние с гранича­щими назовем приграничными. Тогда имеем [4].

1.2. Сеточная функция. Пространство сеточных

Функция y=y(x_i ) дискретного аргумента х_i называется сеточной функцией, определенной на сетке . Сеточные функции можнорассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т.е.. Далее мы будем писать .

Сеточная область w_h зависит от параметра h. При различных значениях параметра h имеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции y_h (x) зависят от параметра h.

Функции u(х) непрерывного аргумента являются элементами функ­ционального пространства H. Множество сеточных функций y_h (x) образует пространство H_h . Таким образом, в методе сеток простран­ство Н, заменяется пространством H_h сеточных функций y_h (x).

Так как рассматривается множество сеток h >, то мы получаем множество h >пространств сеточных функций, определенных на h >.

Пусть u(х) — решение исходной непрерывной задачи (1.1), uH; y_h -решение разностной задачи. y_h H_h . Для теории приближенных вычис­лений представляет большой интерес оценка близости u(х) и y_h (x), но u(х) и y_h (х) являются элементами из различных пространств. Прост­ранство Н отображается на пространство H_h . Каждой функции u(х)Н ставится в соответствие сеточная функция y_h (x), х w_h , так что y_h =P_h u Н_h , где P_h — линейный оператор из Н в H_h . Это соответствиеможно осуществить различными способами, т.е. зависит от выбора оператора P_h . Теперь, имея сеточную функцию u_h , образуем разность y_h -u_h , которая является вектором пространства H_h Близость y_h и u_h , характеризуется числом , где — норма на H_h .

Соответствие функций u(х) и u_h можно установить различными спо­собами, например,

u_h =u(x), х w_h .

В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.

В линейном пространстве H_h введем норму , которая являетсяаналогом нормы || • ||_н в исходном пространстве Н. Обычно принятовыбирать норму в пространстве H_h так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие

, (1.2)

где — норма в пространстве функций, определенных на отрезке,

которому принадлежит решение.

Условие (1.2) называют условием согласования в пространствах H_h , и Н.

Рассмотрим простейшие типы норм в H_h для случая сеток w_h =i =ih> на отрезке .

1.Норма

удовлетворяет условию (1.2), если в качестве Н рассматривать прост­ранство непрерывных функций с нормой

а сеточную функцию определять в виде (1.2), т.е.

удовлетворяет условию (1.2), если за Н принять пространство непре­рывных функций с нормой

а сеточную функцию определять в виде

[4, 6].

Пусть имеем дифференциальный оператор . Этот операторможно аппроксимировать несколькими способами. Например,

— правая разностнаяпроизводная;(1.3) — левая разностная производная;(1.4)

— центральная разностная производная. (1.5)

Можно взять их линейную комбинацию

,(1.6)

где — вещественный параметр.

При =1 из (1.6) получаем аппроксимацию (1.3); при =0 — аппроксимацию (1.4), а при =0.5 — аппроксимацию (1.5).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по фор­муле Тейлора

, (1.7)

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрест­ности

(х- h_o ,x + h₀ ) точки х, h 0 в узле если , т.е.

, M = const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор Lv = v»(x).

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, х, x+h).

Замечая, имеем

Пользуясь разложением (1.7), покажем, что порядок аппроксима­ции равен двум, т.е.

так как [1].

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями — начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями(смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо также аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu = f(x), xG(1.8)

с дополнительным условием

lu = (х), хГ.(1.9)

Введем в области сетку

и поставим в соответствие задаче (1.8), (1.9) разностную задачу
L_h y_h =f_h , xw_h ,(1.10)

, xy_h .(1.11)

Функции У_h (х), f_h (x), зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций , зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1 . Имеем задачу Коши

После этого имеем разностную схему:

Расчетный алгоритм имеет вид

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши

Воспользуемся следующими аппроксимациями:

После этого имеем разностную схему

[4].

Пусть имеем дифференциальную задачу

Lu = f(x), xG, (1.12)

lu = (х), хГ (1.13)

и на сетке аппроксимируем ее разностной схемой

L_h y_h =f_h , xw_h , (1.14)

, xy_h . (1.15)

Задача (1.12), (1.13) поставлена корректно, если выполнены условия:

1) задача однозначно разрешима при любых правых частях fH,
Н;

2) решение задачи непрерывно зависит от правых частей fH, Н, т.е.

Аналогично определяется понятие корректности разностной схемы (1.14), (1.15). Говорят, что разностная схема (1.14), (1.15) корректна, если при всех достаточно малых |h| 0, М₂ >0 не зависящие от h и такие, что
при любых f_h H_h ,H_h справедлива оценка

(1.16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, назы­вается устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.

Пример 1 . Пусть имеем задачу:

(1.17)

Точным решением задачи (1.17) является функция

Если ввести новую функцию , то получим задачу

(1.18)

Решением задачи (1.18) является функция

Задачу (1.18) аппроксимируем на равномерной сетке схемой:

(1.19)

Перепишем схему (1.19) в виде

Рассмотрим фиксированную точку и выберем последовательность сеток таких, чтобы , т.е. является узлом сетки при

Вычислим значение у в этой точке .Taк как при и любых h, то при любом h. Из этого нера­венства видно, что решение разностной схемы (1.19) непрерывно зависит от входных данных. В таких случаях говорят, что разностная схема устойчива по входным данным (по начальным условиям и по правой части).

Пример 2. Имеем уравнение

. (1.20)

Точным решением задачи (1.20) является функция

.

Отсюда следует неравенство

|u(x)||u_o |(1.21)

при .

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (1.20) должно быть выполнено условие вида (1.21), т.е.

(1.22)

Задачу (1.20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

(1.23)

Выражая решение схемы (1.23) через начальное условие, имеем

Неравенство (1.22) будет выполнено, если

т.е. .

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3 . Для численного решения задачи (1.20) используем неявную схему Эйлера

при .

Схема (1.24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (1.22) при любом h.

Пример 4 . Задачу (1.20) аппроксимируем схемой с весом

(1.25)

Условие (1.22) будет выполнено, если

т.е.

Схема абсолютно устойчива при

и

т.е. схема (7.25) условно устойчива при [4].

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции у(х), мы должны их сравнить. Пусть u h значение функции u(х) на сеточной области , т.е. u h H_h .

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (1.14), (1.15), которая аппроксимирует на сетке дифференциальную задачу (1.12), (1.13).

Введем функцию погрешности решения

где y_h — решение схемы (1.14), (1.15), u h — решение задачи (1.12), (1.13) на сетке . Подставив y_h = z_h + u h в линейную задачу (1.14), (1.15), полу­чим для z_h задачу того же вида, что и (1.14), (1.15):

(1.26)

(1.27)

где (1.28)

Функции (1.28) называются погрешностью аппроксимации задачи (1.12), (1.13), схемой (1.14), (1.15) на решении задачи (1.12), (1.13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (1.14), (1.15) сходится к решению задачи (1.12), (1.13), если

при

Разностная схема сходится со скоростью O(h h ) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом hh₀ выполняется неравенство

где М>0, не зависит от h, n>0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации,

Если

т.е.

Теорема Лакса . Пусть дифференциальная задача (1.12), (1.13) постав­лена корректно, разностная схема (1.14), (1.15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (1.12), (1.13). Тогда решение раз­ностной схемы (1.14), (1.15) сходится к решению исходной задачи (1.12), (1.13), причем порядок точности совпадает с порядком апп­роксимации.

Доказательство . Если схема (1.14), (1.15) корректна, то нетрудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппрокси­мации (1.28).

Задача (1.26), (1.27) аналогична задаче (1.14), (1.15), поэтому для неепользуясь априорной оценкой вида (1.16), получим оценку

(1.29)

Таким образом, если схема (1.14), (1.15) корректна и аппроксими­рует задачу (1.12), (1.13), то она сходится при h0. Норма погреш­ности | при

h0, если и при h0.

Из оценки (1.28) видно, что порядок точности схемы (1.14), (1.15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(h n ), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

Пример 1 . Рассмотрим явную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для получаем схему:

(1.30)

Разложим по формуле Тейлора в точке , имеем

(1.31)

Подставляя (1.31) в , получим т.е. имеем первый порядок аппроксимации. Из (1.30) имеем

При имеем Выражая через , получим:

Отсюда видно, что при . Для точности схемы имеем

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Прим ер 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.20). Для пог­решности решения получаем разностную схему:

Подставляя разложение (1.31) в , получим

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для

Множитель при . Выражая через , имеем

Отсюда , т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий ус­тойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпа­дает с порядком погрешности аппроксимации[4].

1. Одним из основных критериев оптимальности в теории чис­ленных методов является требование минимума арифметических опе­раций.

Для одномерных задач математической физики особых затруд­нений в этом плане нет. Разностные схемы в этом случае реализу­ются экономичным алгоритмом прогонки, который на слое сетки допускает количество арифметических операций про­порциональное количеству узлов.

Особую остроту приобретает вопрос об экономичности вычис­лительных алгоритмов в численном решении многомерных задач ма­тематической физики. Многомерные краевые задачи моделировать многомерными разностными схемами и решать непосредственно эти схемы нецелесообразно, так как алгоритм становится сложным, не­экономичным и нереализуемым на ЭВМ.

Пусть в цилиндре ищется решение уравнения (2.1)

(2.2)

(2.3)

где -мерный единичный куб, — боковая поверхность .

Задачу (2.1)-(2.3) моделируем разностной схемой с весом: (2.4)

где — вещественный параметр.

Разностное уравнение запишем в операторном

где Е — единичный_ оператор.

Нахождение при требует обращения многомерного оператора, что связано с весьма трудоемкой вычислительной работой, поскольку соответствующая этому опера­тору матрица порядка не имеет специального вида. Обраще­ние такой матрицы производится по методу Гаусса, что требуетарифметических операций или методом итераций, кото­рый также требует много машинного времени. По этой причине не­посредственное решение схемы (2.4)-(2.6) даже при нецеле­сообразно, так, как возникают серьезные проблемы памяти ЭВМ и резко возрастает количество арифметических операций на слое сеткой. Схема может оказаться нереализуемой на современных ЭВМ.

Если в уравнении (2.4) , то получаем явную схему

которую перепишем в виде

В этом случае обращается диагональная матрица, требующая лишь 0(N) арифметических операций.

Условием устойчивости схемы (2.4)-(2.6) будет

Отсюда видно, что условием устойчивости явной схемы будет

Из условия (2.7) видно, что схемы о , в том числе чисто неявная схема при и симметричная схема при , абсолютно устойчивы.

Если имеем уравнение с переменными коэффициентами, т.е.

(2.8)

то

Условие устойчивости схемы (2.4)-(2.6) с эллиптическим оператором (2.8) имеет вид

Отсюда получаем условие устойчивости явной схемы в виде

(2.9)

Условие устойчивости (2.9) налагает весьма жесткие огра­ничения на шаг по времени и выход на заданный момент време­ни по явной схеме требует неоправданно большого числа вре­менных шагов.

Из условия (2.9) видно, что выбор шага существенно за­висит от количества пространственных переменных р и от вели­чины М. С ростом числа р и для быстро меняющегося коэффици­ента теплопроводности K=K(x,t) шаг становится еще мель­че. В этом случае схема (2.4)-(2.6) при становится неэф­фективной, так как выход на заданный момент времени t=T тре­бует слишком большого числа временных шагов.

Чисто неявная схема () (2.4)-(2.6) абсолютно устойчива, т.е. на параметры сетки h и не налагаются ограничения. Поэтому счет можно вести более крупными шагами hи и тем самым удается значительно понизить порядок системы, уменьшить количество временных шагов, необходимых для достижения момента времени t = Т .

В неявных схемах придется решать системы алгебраических уравнений, как правило, высокого порядка и с разреженными матри­цами. Итак, реализация систем алгебраических уравнений для мно­гомерных задач в общем случае представляется невозможной из-за громоздкости порядка системы (проблема памяти ЭВМ), большого объема арифметических операций.

Таким образом, лучшими качествами явной и неявной схем являются количество арифметических операций, равное 0(N) в явной схеме, и абсолютная устойчивость неявной схемы, недостат­ками — условная устойчивость явной схемы и большое количество арифметических операций в неявной схеме. Отсюда ясно, что если построим разностные схемы, сочетающие в себе лучшие качества обычных явных и неявных разностных схем, то можно эффективно решать многомерные задачи математической физики.

Итак, безусловная (абсолютная) устойчивость и независимость количества арифметических операций, требуемые для вычисления приближенного решения задачи в отдельной точке сетки от общего количества узлов сеточной области, определяют класс экономичных схем.

Уравнение (2.1) можно аппроксимировать по-другому, стремясь упростить вычислительный процесс. Уравнение (2.1) аппроксимируем разностным уравнением

В этой схеме аппроксимация по первому направлению неявная, а по всем остальным — явная.

Реализация этой схемы идет по направлению , как в од­номерном случае методом линейной прогонки, затратой арифметичес­ких операций порядка . Однако схемы (2.10), (2.5), (2.5) условно устойчивы. Таким образом, из требований экономичности разностной схемы первое условие не выполнено, а второе — выпол­нено. Поэтому схемы типа (2.10), (2.5), (2.6) не относятся к классу экономичных схем, они конструируются специальным образом.

2. Достижением вычислительной математики является разра­ботка экономичных методов решения многомерных краевых задач ма­тематической физики. Первые экономичные схемы были схемами в дробных шагах по времени t. Они предложены и обоснованы в 1955 г. одновременно американскими учеными D.W. Peacemdn , H.H.Rachford и J.Douglas.

Характерной особенностью экономичных схем этого периода является то, что все они основывались на идее ведения дробных моментов времени и поэтапном решении р задач в промежутках . Решением исходной задачи будет решение последней р -й задачи в момент времени . Решения осталь­ных (р-1) задач являются вспомогательными в моменты времени . Таким образом, наряду с основной сеткой по рассматривается вспомогательная сетка. Все эконо­мичные схемы этого периода относятся к схемам последовательного перехода по времени t. Следуя Н. Н. Яненко, назовем их ме­тодом дробных шагов.

В 1965г. А. А. Самарский предложил и обосновал экономичный метод без привлечения вспомогательной сетки , т.е. экономичная схема конструируется на исходной сетке . Таким образом, характерной областью экономичных схем этого периода является то, что сетка не вводится, вспомогательные функции рассматриваются на верхнем слое. Составная схема конструируется на исходной сетке . Как будет показано ниже, отказ от вспомогательной сетки дает широкие возможности для построения различных экономичных схем и тем самым удается значительно расширить их класс. Экономичные методы, построенные на такой основе, назовем методом целых шагов. На основе метода целых шагов строятся экономичные схемы последовательного и параллельного (одновременного) перехода с нижнего слоя на верхний слой по t.

Любая разностная схема, моделирующая исходную дифференциальную краевую задачу, должна удовлетворять данным условиям устойчивости, аппроксимации на решение исходной задачи и простоты. Если эти требования для одномерной разностной схемы выполняются сравнительно легко, то при переходе к двумерной (многомерной) задаче возникают значительные трудности.

Перед вычислительной математикой встала сложная задача по­строения экономичных методов решения многомерных задач матема­тической физики. Стало невозможным разрешить эту проблему на базе однородных разностных схем, где при переходе от одного вре­менного слоя к другому одновременно удовлетворяются условия ус­тойчивости и аппроксимации. При этом, конечно, формула получает­ся более простой, но схема становится менее гибкой и имеет в своем распоряжении небольшое количество произвольных параметров, что создает основные трудности выполнения вышеописанных требова­ний. Экономичные схемы, расчленяя переход от нижнего слоя к верхнему на ряд промежуточных этапов и не требуя на каждом эта­пе обязательного выполнения свойств аппроксимации исходного уравнения и устойчивости, имеют в своем распоряжении набор па­раметров, что дает возможность выбора наиболее эффективного вы­числительного алгоритма.

Пусть имеем уравнение теплопроводности

Разрабатывая в 1955г. первые экономичные схемы переменных направления, Писмен, Рэкфорд и Дуглас имели в виду упростить решение алгебраической системы уравнений высокого порядка, со­хранить абсолютную устойчивость и приемлемую точность, тем самым удовлетворили до некоторой степени вышеописанные требования. Идея метода заключается в следующем. Уравнение (2.2) аппроксимируется разностным уравнением

(2.12)

Нетрудно заметить, что схема (2.12) является условно устой­чивой и симметризуется так, чтобы и менялись ролями от шага к шагу

(2.13)

Если в схему (2.23) счет повторяется при переходе с j–го слоя на (j+2)-й, то (j+1)-й слоя выступает в роли вспомогательного слоя.

Поэтому, введя дробные моменты времени , схему (2.13) можно переписать в виде

(2.14)

Путем исключения вспомогательных функций в дробные моменты времени получаем эквивалентную ей однородную схему

(2.15)

Схема (2.15) и эквивалентная ей схема (2.14) аппроксимируют уравнение (2.11), как и схема

.

Безусловная устойчивость схемы (2.15) или (2.14) устанав­ливается методом Неймана. Схема (2.14) решается двумя одномерны­ми прогонками, что не только упрощает алгоритм счета, но и умень­шает объем вычислений. Из (2.13) или (2.14) видно, что методы Писмена, Рэкфорда и Дугласа предполагают обязательную аппрокси­мацию дифференциального уравнения по каждому направлению. Они представляют неявный метод переменных направлений.

Заметим, что этот метод не годится для пространства нечет­ного числа измерений. Например, при р=3 интегрирование в каждом направлении происходит один раз неявно, а явно. Тогда возрастание ошибки в явной схеме не компенсируется убыванием ее в неявной схеме. Это подтверждается точным анали­зом устойчивости при р=3. Заметим также, что метод пере­менных направлений не годится для уравнений со смешанными про­изводными даже при р=2.

Для решения трехмерного уравнения (2.2) в работе J.Douglas, H.Rachfozd была предложена следующая схема:

(2.16)

Методом исключения функций в дробные моменты времени пока­зывается аппроксимация, а методом Неймана устанавливается устой­чивость. Из (2.16) видно, что первое уравнение дает полную ап­проксимацию уравнения (2.11)(p= 3), а следующие два уравнения дают поправку на устойчивость. Такие схемы называются схемами стабилизируюшей поправки или схемами с поправкой на устойчи­вость.

В основу работ советских авторов положен метод расщепления сложных разностных операторов на более простые. При таком под­ходе, схемы дробных шагов обязаны удовлетворять условиям аппрок­симации и устойчивости только на целом шаге.

Ниже будет показано, что это дает возможность построения гибких разностных схем для многомерных задач математической фи­зики.- Первой в этом направлении является работа А.А.Багриновского, С.К.Годунова, где был предложен метод расщепления многомерных разностных уравнений, аппроксимирующих системы ги­перболических уравнений, путем сведения их к простейшим разност­ным схемам. Такой метод Н.Н.Яненко называет методом расщепления. Идею метода покажем на примере уравнения (2.2), которое аппроксимируется явной схемой вида

(2.17)

Схема (2.17) заменяется «расщепленной» схемой

. (2.18)

Действительно, просуммировав (2.18) по , получим схему (2.17). Однако, практически яв­ная растепленная схема (2.16) не имеет преимуществ по сравнению многомерной схемой (2.17) ни в точности, ни в объеме вычисли­тельной работы. Отсюда видно, что метод расщепления может быть эффективным только в сочетании с неявными схемами указанные выше затруднения метода переменных направлений и яв­ного метода расщепления впервые были устранены в работе Н.Н.Ясненко, где автор использует на каждом дробном шаге только неявные операторы. На каждом дробном шаге в правой части аппрок­симируется оператор полная аппроксимация достигается только на полном шаге.

Неявный метод расщепления для уравнения (2.11) (например, при р=3) имеет вид:

(2.19)

При методе исключения величин на промежуточных дробных шагах видно, что схема (2.19) аппроксими­рует уравнение (2.11). Безусловная устойчивость показывается ме­тодом Неймана. Схема (2.19) при удовлетворяет принципу экстремума, поэтому решение схемы (2.29) сходится в пространст­ве С к решению дифференциального уравнения (2.11). В ра­ботах для повышения точности решения используются схе­мы с весами. Метод расщепления был применен Н.Н.Яненко для уравнений теплопроводности со смешанными производными, доказана общая теорема сходимости для системы линейных уравнений парабо­лического типа с постоянными и переменными коэффициентами.

Метод расщепления был обоснован Г.И.Марчуком для прибли­женного интегрирования нерегулярных систем в динамической мет­рологии, при решении многомерных кинетических уравнений Больцмана. Для некоторых динамических и статических за­дач теории упругости метод расщепления был сформулирован и обоснован впервые А.Н.Коноваловым. G.A. Baker, J.А. Oliphant предложили метод факторизации разностного оператора для интегрирования уравнения типа (2.11). Уравнение (2.11) (р = 2) аппроксимируется схемой вида:

(2.20)

где — разностный оператор на старшем слое, — результат применения разностных операторов на младших слоях.

Если ограничиться рассмотрением девятиточечных операторов, то можно выбрать оператор так, чтобы его можно было предста­вить в виде произведения двух трехточечных операторов А и В.

Схема (2.20) возникла из трехслойной аппроксимации

уравнение (2.11), где — некоторый девятиточечный оператор. В этом случае

. (2.21)

При этом оператор подбирается так, чтобы аппроксимация

имела второй порядок точности и оператор из (2.21) пред­ставлялся в виде произведения двух трехточечных операторов. Тогда уравнение (2.20) можно представить в виде двух уравнений: каждое из которых решается алго­ритмом линейной прогонки.

Н.Н.Яненко в работе обосновал метод приближенной фак­торизации разностного оператора на примере уравнения (2.11). Рассматривается разностное уравнение

которое представляется в виде

(2.22)

Оператор факторизуется приближенно с точностью членов порядка

(2.23)

Схема (2.22) заменяется факторизованной схемой

Водятся вспомогательные величины с помощью неравенств

Отсюда видно, что схема (2.24) является схемой расщепления, эквивалентной схеме приближенной факторизации оператора (2.23).

Следует заметить, что схема точной факторизации оператора не применима в случае уравнения диффузии с переменными коэффи­циентами, так как при этом потребуются дополнительные итерации, в то время как метод приближенной факторизации оста­ется в силе и для уравнений о переменными, коэффициентами. Для решения уравнения (2.11) (р=з) в работе была предложена абсолютно устойчивая схема, получаемая из схемы стабилизирующей поправки применением приема предиктора-корректора (пересчет), которая имеет вид:

(2.25а)

(2.25б)

(2.25в)

(2.25г)

Уравнения (2.25а, б, в) представляют собой предиктор (схему стабилизирующей поправки), уравнение (2.25г) — коррек­тор.

Для нелинейных уравнений метод предиктор-корректор может служить при восстановлении дивергентности схемы, с помощью которой строятся безытерационные разностные схемы.

К классу экономичных разностных схем относятся разностные схемы с расщепляющимся оператором на верхнем слое. Метод использует алгоритм счета основанный на расщеплении оператора. Он был предложен Е.Г.Дьяконовым для случая параллелепипеда и для более сложных областей. Заметим, что для урав­нений с постоянными коэффициентами разностные расщепляющиеся операторы по существу встречались в экономичных разностных схе­мах метода расщепления. Обычно неявные разностные схемы для не­стационарных задач имеют вид

(2.26)

где — вектор значений функций на слое сетки — заданный вектор, — некоторые разностные операторы.

Е.Г.Дьяконов называет разностный оператор А расщепляю­щимся, если его можно представить в виде , где — операторы размерности меньшей, чем р. Если все од­номерные операторы, то нахождение из (2.26) сводится к последовательному решению p систем уравнений .

Наиболее близким к идее расщепляющегося разностного опера­тора на верхнем слое является метод факторизации разностного оператора на верхнем слое. Однако, как уже было отме­чено выше, факторизация расщепляющегося оператора по методу возможна лишь для уравнений с неразделяющимися переменными. В этом случав расщепляющийся оператор А можно факторизовать лишь неполностью, при этом из-за неполной фактори­зации оператора А возникает необходимость на каждом временном слое применять итерационный процесс, являющийся некоторым видо­изменением метода.

В работах Е.Г.Дьяконова дан анализ краевого усло­вия первого рода для метода расщепления, из которого видно, что в методе расщепления встречаются некоторые затруднения на гра­нице областей, составленных даже из прямоугольников.

Более подробный анализ краевых условий для метода расщеп­ления дается в работе. Н.Н.Яненко. В ней анализируются три реализации краевого условия первого рода для метода расщепления:

1) реализация Е.Г.Дьяконова;

2) реализация краевого условия с погрешностью аппроксимации
порядка ;

3) реализация способа аппроксимации краевого условия первого рода
с погрешностью аппроксимации порядка .

В работе показывается, что реализация 2) годится для областей произвольной формы. В то время как реализация 3) ста­новится неэффективной даже в случае области, состоящей из ко­нечного числа прямоугольников. Более общий прием реализации краевого условия первого рода был предложен почти одновременно С.А.Кряквиной и Н.Н.Анучиной (по Н.Н.Яненко). Сущность метода состоит в замене граничных значений неопределенными функ­циями. После чего задача состоит в том, чтобы минимизировать ошибку R_n Н.Н.Яненко в работе придает методу неопреде­ленных функций более общую формулировку, где неопределенные функции вводятся сразу в правых частях расщепленных разностных схем.

Вопросы анализа краевого условия второго рода для области о криволинейной границей заметно усложняются. В работе предлагается итерационный процесс решения второй краевой задачи для метода расщепления.

Дальнейшим развитием метода дробных шагов является локально-одновременный метод переменных направлений А.А.Самар­ского, пригодный для решения широкого класса задач матема­тической физики для областей произвольной формы. Дадим краткое описание метода на примере уравнения (2.11).

В каждом слое рассматривается одномерное дифференциальное уравнение

(2.27)

Для решения (2.27) используются однородные разностные схемы

(2.28)

Таким образом, разностной схемой ПУ, соответствующей уравнению (2.11) является совокупность (блок) одномерных схем . Каждая из схем имеет погрешность ап­проксимации

где u – решение уравнения (2.11). Погрешность аппроксимации схемы определяется суммой

.

Все вычисляются на решении исходной задачи. Если то , где .

Сходимость решения разностной схемы (2.28) к решению задачи (2.11) доказывается специально разработанным для однородных разностных схем методом априорных оценок. Дифференциальные задачи аппроксимируются семейством однородных разностных схем, коэффициенты которых задаются шаблонными функционалами. Метод построения семейства однородных разностных схем, предложенный А.Н.Тихоновым и А.А.Самарским успешно используется в локально-одномерном методе переменных направлений. В нем гра­ничные условия для вспомогательных функций задаются естественным образом, поэтому граничная проблема здесь не возникает. Для случая области сложной формы впервые вопрос расщепления краево­го условия третьего рода был рассмотрен И.В.Фрязиновым. Некоторые обобщения метода переменных направлений даются в работах В.П.Ильина. A.R.Mitchell в рабо­те методом неопределенных коэффициентов строит схемы пере­менных направлений повышенной точности, из которых в частном случав получает схемы Писмена, Рэкфорда и Дугласа и схему стабилизирующей поправки Дугласа, Рэкфорда.

В работах Н.Н.Яненко и Г.В.Демидова метод рас­щепления трактуется как метод слабой аппроксимации для много­мерной задачи Коши. В работе был рассмотрен вопрос сходи­мости метода дробных шагов в дифференциальной форме при решении корректной задачи Коши в банаховом пространстве. В работе для однородного уравнения параболического типа второго порядка с однородными условиями первого рода методом Фурье можно показать, что решение р-го расщепленного дифференциального уравнения совпадает с решением исходного уравнения, т.е. . Неоднородная абстрактная задача Коши в банаховом пространстве Н рассмотрена в работе А.А.Самарского.

Методу слабой аппроксимации посвящены работы Н.Н.Яненко, А.А.Самарского, Г.И.Марчука, Д.Г.Гордезиани, Г.В.Мелидзе, Е.Г.Дьяконова, В.И.Лебедева, Г.А.Бюлера, Н.М.Охлопкова и др. Метод слабой аппроксимации использу­ется как конструктивный метод построения экономичных разностных.

Г.И.Марчук разработал методы покомпонентного расщепления для широкого класса задач математической физики. Различным аспектам метода дробных шагов расщепления посвящены работы В.Б.Андреева, В.И.Лебедева, А.Н.Коновалова, Г.А.Бюлера, И.В.Фрязинова, Н.М.Охлопкова и многих др.

До сих пор мы рассматривали экономичные разностные схемы, построенные на основе классических явных и неявных разностных схем. Следует отметить, что наиболее экономичные разностные схе­мы могут быть построены на основе явно-неявных разностных схем с помощью расщепления разностного оператора и сеточной области. Такие схемы, как правило, реализуются явным образом, поэтому они наиболее эффективны в смысле количества арифметических опе­раций и программирования на ЭВМ. Их изучали В.К. Саульев, Н.Н.Яненко, А.А.Самарский, В.П.Ильин, Н.М.Охлопков и многие другие [2,9].

Требуется найти функцию u(x₁ ,x₂ ,t), удовлетворяющую следующим условиям:

, 0 — , u(l₁ , x ₂ ,t ) = μ₁ + (3)

l₂

X₂

II

I

l₁

0 X₁

3.2. Последовательный переход

(4)

(5)

Приближенным решением исходной задачи является решение задачи (5), т.е.

Задача (4) аппроксимируется схемой

(6) (7)

Суммарная погрешность аппроксимации

Задача (6) решается методом правой прогонки по направлению .

Решением задачи на каждом слое будет решение второй схемы (7)

Задача (6) – вспомогательная.

Схемы (6) и (7) сведем к стандартному виду

, (*)

по х₁ : ,1 , 0 ,

, , ,

0 , 1 ,

по х₂ : , , ,

, , ,

, ,

Построим сетку по времени и по пространству с шагами и h:

Метод правой прогонки

, ,

, , (**)

,

X₂ x₂

Схема(6) Схема(7)

Требуется найти функцию u(x₁ ,x₂ ,t), удовлетворяющую следующим условиям:

, 0 — , u(l₁ , x ₂ ,t ) = μ₁ + (3)

u( x ₁ ,0,t ) = μ₂ — , u(x₁ , l₂ ,t ) = μ₂ +

Задачи (1) — (3) расщепляем на две автономные задачи по направлениям осей координат.

(8)

(9)

Решение задачи определяется в виде

(или 0) (10)

(или ) (11)

Схема (10) решается методом правой прогонки по направлению . Схема (11) решается методом правой прогонки по направлению . Схемы (10) и (11) свести к стандартному виду (*) и решить методом правой прогонки (**).

, , , Т=1.

x₂ l₁ x₂

Схема(10) Схема(11)

l₁

4.4. Погрешность аппроксимации.

Погрешность аппроксимации понимаем в суммарном смысле, т.е. экономичные схемы (6) – (7) и (10) – (11) аддитивные. Покажем погрешность аппроксимации схемы (6) – (7). Для этого введем функции погрешности решения

, ,

, (12)

Подставляем (12) в (6) и (7), имеем

где

.

,

Отсюда ,

Покажем погрешность аппроксимации схемы (10) – (11). Для этого подставим (12) в (10) и (11), имеем

где

,

Отсюда , .

Устойчивость схемы (6) – (7) вычисляется по схемам (6) и (7) по отдельности устойчивы. Действительно, решение схемы (6) ищем в виде

(14)

Подставим (14) в (6), имеем при

,

. Отсюда

. Для устойчивости схемы должно выполнятся условие (Корни квадратного уравнения . Если ). Отсюда условие выполняется при любом . Схема (вычислительный алгоритм) абсолютно устойчив.

Аналогично покажем устойчивость схемы (7).

Решение схемы ищем в виде .

Подставим (15) в (7), имеем .

Отсюда

Схема (алгоритм) абсолютно устойчива. Устойчивость схем (10), (11) показываются аналогично (решаем обратное однородное уравнение, т.е. ).

Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач. В этом смысле теория разностных схем – это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно – разностными уравнениями (разностными схемами). Такое понимание вычислительной математики получило распространение на первоначальном этапе развития вычислительной математики. В связи с интенсивным развитием вычислительной техники и ее использованием во всех отраслях народного хозяйства, вычислительную математику в широком смысле определяют как раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ.

Крупнейшим достижением вычислительной математики второй половины XX века является разработка экономичных методов решения многомерных краевых задач математической физики.

Экономичные разностные схемы подразделяются на факторизованные и аддитивные. В факторизованных схемах аппроксимацию исходной дифференциальной задачи понимают в обычном смысле, в аддитивных – в суммарном смысле.

В данной работе проведено теоретическое исследование разностных схем расщепления для первой краевой задачи двумерного уравнения колебания.

Для достижения цели исследования была решена следующая задача:

— рассмотрены методы расщепления для двумерного уравнения колебания.

Рассматриваем решение разностных задач методом правой прогонки.

Аддитивная схема обладает суммарной аппроксимацией, если каждая схема номера

Исследованы аппроксимация и устойчивость аддитивной схемы. Рассмотренные аддитивные схемы отличны от ранее рассмотренных схем и поэтому в некотором смысле являются новыми.

1. Самарский А.А. Теория разностных схем.М.:Наука,1977.

2. Охлопков Н.М. Методологические вопросы теории и практики разностных схем.Иркутск:ИГУ,1989.

3. Охлопков Н.М., Охлопков Г.Н. Введение в специальность “Прикладная математика” ч.1. Якутск: Изд-во ЯГУ, 1997.

4. Охлопков Н.М., Охлопков Г.Н. Введение в специальность “Прикладная математика” ч.2. Якутск: Изд-во ЯГУ, 1997.

5. Охлопков Н.М. Численные методы решения обыкновенных диффе­ренциальных уравнений. Якутск: Изд-во ЯГУ, 1993.

6. Охлопков Н.М. Численные методы решения краевых задач матема­тической физики. Якутск: Изд-во ЯГУ, 1993.

7. Охлопков Н.М. О некоторых разностных методах решения задач для дифференциальных уравнений. Иркутск:ИГУ,1986.

8. Охлопков Н.М. Метод целых шагов решения многомерных нестационарных задач математической физики. Иркутск:ИГУ,1983.

9. Охлопков Н.М. Об экономичных методах решения задач математической физики. Якутск,ЯГУ,1982.

10. Охлопков Н.М., Николаев В.Е. Модульная технология решения задач математической физики. Иркутск:ИГУ,1989.

11. Охлопков Н.М., Николаев В.Е. Пакет программ численного решения задач математической физики.ч.2.Якутск,ЯГУ,1989.

12. Охлопков Н.М. Методологические и технологические вопросы прикладной и вычислительной математики. Якутск,1991.

13. Охлопков Н.М. Методические разработки по модульному анализу задач для дифференциальных уравнений. Якутск,ЯГУ,1996.

для двумерного уравнения колебания

Двумерное уравнение колебания с постоянными коэффициентами.

Уравнение колебаний решить краевую задачу

А. А. Гусак. Высшая математика. Том 2.
Глава 27. Простейшие дифференциальные уравнения математической физики

В этой главе рассматриваются некоторые уравнения математической физики, т.е. уравнения с частными производными второго порядка, к которым приводят следующие задачи: задача о колебаниях струны, задача о распространении тепла и др.

27.1. Вывод уравнения колебаний струны

Рассмотрим туго натянутую струну, закрепленную на концах. Выведем струну из положения равновесия (оттянув ее или ударив по ней), струна начнет колебаться.

Предположим, что любая точка струны колеблется по прямой, перпендикулярной к исходному положению струны, и струна все время находится в одной и той же плоскости.

Выберем в этой плоскости декартову прямоугольную систему координат Охu. В качестве оси Ох возьмем прямую, на которой находилась струна в положении равновесия, за ось Оu примем прямую, проходящую через левый конец струны и перпендикулярно к оси Ох (рис. 27.1).

Отклонение струны от положения равновесия обозначим через u; очевидно, u зависит от абсциссы х точки струны и времени t, т.е. u = u(х, t).

При фиксированном t графиком функции u = u(х, t) в плоскости Охu является форма струны в данный момент времени t. Угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой х равен частной производной по х от функции u(х, t) т.е.

где α = α (x, t) – угол наклона касательной.

Чтобы составить представление о колебаниях струны, необходимо начертить ряд графиков функции u = u(х, t) при различных значениях t.

При фиксированном значении х функция u = u(х, t) определяет закон движения точки с абсциссой х. Эта точка движется по прямой, параллельной оси Оu. Скорость и ускорение указанного движения выражаются соответственно формулами

Будем изучать малые колебания струны, т.е. такие, при которых угол α = α (x, t) (угол наклона касательной к графику функции u = u(х, t) при каждом фиксированном значении t) настолько мал, что его квадратом можно пренебречь, т.е. приближенно считать

то отсюда следует, что

sin α = α, cos α = 1.

tg α – sin α = tg α(1 – cos α) = tg α · 0 = 0 ,

Принимая во внимание (27.3) – (27.5), заключаем, что

tg² α = 0 , или

Следовательно, длина дуги струны, ограниченной точками M1(x1, u1), M2(x2, u2) выразится формулой

Соотношение (27.7) означает, что длина любого участка струны остается постоянной.

Будем предполагать струну абсолютно гибкой, что означает следующее: если удалить участки ОМ1, M2L (см. рис. 27.1), то их действия на участок М1М2 заменяются соответственно действием сил натяжения T1 и Т2, направленных по касательным к графику функции u = u(х, t) в точках М1 и М2 (рис. 27.2). Поскольку по предположению точки струны движутся по прямым, параллельным оси Оu, то сумма проекций сил T1, Т2 на ось Ох равна нулю. Проектируя эти силы на ось Ох, получаем T2сos α2 – T1cos α1 = 0, где T1, Т2 – величины сил T1, Т2.

На основании второго из равенств (27.4) заключаем, что T1 = T2 т.е. величина силы натяжения остается постоянной. Обозначая ее через T, получаем

Проектируя силы T1, Т2 на ось Оu, находим

С учетом равенства (27.1) получаем

где х – абсцисса точки М1; х + Δх – абсцисса точки М2.

Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении дифференцируемой функции, находим, что

поэтому проекция сил натяжения T1 и Т2 на ось Ох выразится формулой

Предположим, что на струну действуют также внешние силы, параллельные оси Оu, плотность распределения* которых равна g(x, t), тогда величина равнодействующей этих сил, приложенных к участку М1М2, приближенно равна g(x, t)Δx. Силами сопротивления внешней среды пренебрегаем.

* Под плотностью понимают предел средней плотности распределения сил на данном отрезке, когда длина отрезка стремится к нулю; средняя плотность – отношение величины равнодействующей сил к длине отрезка, на котором они приложены.

Будем считать струну однородной, обозначим через ρ ее линейную плотность, тогда масса участка М1М2 выразится так: ρ М1М2 = ρ Δх, m = ρ Δх

В соответствии со вторым законом Ньютона mw = F (произведение массы на ускорение равно действующей силе) получаем

Уравнение (27.10) называется уравнением колебаний струны, или одномерным волновым уравнением.

Если g(x, t) = 0 (внешние силы отсутствуют), то уравнение (27.10) принимает вид

Уравнение (27.12) называется уравнением свободных колебаний, уравнение (27.10) — уравнением вынужденных колебаний струны.

27.2. Начальные и краевые условия. Задача Коши

Чтобы из множества решений уравнения с частными производными второго порядка выбрать определенное решение, необходимо задать дополнительные условия.

Так, в случае уравнения (27.10) или (27.12) нужно указать отклонение и скорость движения в начальный момент времени t0 (будем полагать t0 = 0), т.е.

где f(x), F(x) – заданные функции, а также зафиксировать отклонения концов струны. Поскольку концы закреплены, то

где l – длина струны.

Условия (27.13) называются начальными условиями, а условия (27.14) – краевыми (или граничными) условиями.

Итак, задача о свободных колебаниях струны ставится следующим образом. Найти решение u = u(х, t) линейного однородного уравнения с частными производными второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям u(х, 0) = f(x), u'(х,0) = F(x) и краевым условиям u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.

Функции f(х) и F(x) определены на отрезке [0, l], из краевых условий следует, что f(0) = 0, f(l) = 0. Можно доказать, что при некоторых предположениях относительно функций f(x) и F(x) поставленная задача имеет единственное решение.

В случае, когда предполагается, что струна является неограниченной, граничные условия не налагаются.

Задача о свободных колебаниях неограниченной струны ставится так. Найти решение u = u(х, t) уравнения с частными производными второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям

где f(x) и F(x) – заданные функции, определенные на всей действительной оси. Эта задача называется задачей Коши.

27.3. Задача о свободных колебаниях бесконечной струны. Метод Д’Аламбера

Как уже отмечалось, задача о свободных колебаниях бесконечной струны, или задача Коши, состоит в следующем.

Найти решение u = u(х, t) линейного однородного уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

где f(х), F(x) – заданные функции, определенные в бесконечном промежутке (-∞, +∞).

Уравнение (27.15) перепишем так: и (положив t = у) сравним его с уравнением (26.9). Поскольку В² — АС = а² > 0, то уравнение является уравнением гиперболического типа.

Уравнение характеристик Ady² — 2Bdxdy + Cdx² = 0 принимает вид a²dt² — dx² = 0 или dx² — a²dta² = 0. Оно распадается на два уравнения dx – adt = 0, dx + adt = 0, откуда получаем х – at = С1, х + at – С1.

Введя новые переменные ξ и η по формулам

преобразуем уравнение (27.15) к каноническому виду.

Выражаем частные производные по переменным х, t через частные производные по ξ, η :

Подставляя в уравнение (27.15) выражения для частных производных второго порядка, получаем

Проинтегрируем последнее уравнение. Положим тогда

Следовательно, , или u = φ(ξ) + ψ(η) , где φ(ξ), ψ(η) – произвольные дважды дифференцируемые функции своих аргументов. Принимая во внимание (27.17), последнюю формулу можно записать так:

Формула (27.18) определяет общее решение уравнения (27.15).

Среди всех этих решений найдем то, которое удовлетворяет условиям (27.16), Для функции (27.18) и ее частной производной по t

условия (27.16) принимают вид

Второе равенство проинтегрируем по отрезку [0, х]. Обозначив переменную интегрирования через z получим

где С = φ (0) + ψ (0)

Это уравнение и первое из уравнений (27.19) позволяют определить функции φ (x) и ψ (x):

Подставляя в эти формулы вместо х соответственно х – at и х + at, получаем

В соответствии сформулой (27.18) находим

Формула (27.20) представляет решение Д’Аламбера рассматриваемой задачи Коши для уравнения колебаний неограниченной струны. Читателю предлагается непосредственной проверкой убедиться в том, что функция (27.20) удовлетворяет уравнению (27.15) и условиям (27.16).

А. А. Гусак. Высшая математика. Том 2. Стр. 247-253.