Уравнение колебаний скорости частиц среды

Уравнение колебаний скорости частиц среды

В среде на расстоянии d друг от друга находятся одинаковые излучатели плоских акустических монохроматических волн (S₁ и S₂, рис.16). Оба излучателя колеблются по закону x = Acos( w t ), где x — смещение излучателя из положения равновесия при колебаниях, A — амплитуда, w — круговая частота при колебаниях излучателя.

Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 1

Исходные данные для каждого варианта задания представлены в таблице.

Амплитуда А , мм

Скорость волны в среде с, м/ с

1) вывести уравнение колебаний частиц среды в т. М, находящейся на расстоянии l от второго излучателя. Считать, что направления колебаний частиц среды в т. М совпадают;

2) определить отношение амплитуды смещений частиц среды к длине волны l ;

3) вывести уравнение колебаний скорости частиц среды. Найти амплитуду скорости частиц среды и её отношение к скорости распространения волны;

4) вывести уравнение колебаний деформаций частиц среды. Найти связь амплитуды деформаций с амплитудой скорости частиц среды.

Найдём уравнения двух волн, источниками которых являются и . Круговая частота равняется:

(1)

(2)

(3)

Выберем начало координат в точке нахождения первого источника . Тогда координата второго источника равняется . Оба источника колеблются по одинаковому закону . Поэтому уравнения двух волн источников и , распространяющихся в направлении оси ox , имеют вид:

(4)

(5)

Результирующая волна , образующаяся при наложении двух волн и , имеет вид:

(6)

Преобразуем уравнение (6) к виду:

(7)

Учитывая выражения (1) и(3), получим:

(8)

Точка M имеет координату . Поэтому уравнение колебаний в точке M имеет вид:

Таким образом, уравнение колебаний в точке M :

(9)

Подставляя числовые значения, получим:

Согласно выражению (8) амплитуда смещений частиц среды равняется:

(10)

Длина волны определяется выражением (2), поэтому отношение амплитуды смещений частиц среды к длине волны равняется:

(11)

Подставляя числовые значения, получим:

Найдём уравнение скорости колебаний частиц среды. Так как , тогда получим:

Таким образом, уравнение скорости колебаний частиц среды имеет вид:

(12)

Подставляя числовые значения, получим:

Амплитуда скорости частиц среды:

(13)

Числовое значение амплитуды скорости частиц среды . Отношение амплитуды скорости частиц среды к скорости волны в среде равняется:

(14)

Выведем уравнение деформаций частиц среды. Деформация , поэтому:

Таким образом, уравнение деформаций имеет вид:

(15)

Подставляя числовые значения, получим:

Амплитуда деформаций равняется:

(16)

Числовое значение . Разделим выражение (13) на выражение (16) и получим:

(17)

Откуда следует, что амплитуда скорости частиц среды и амплитуда деформаций связаны следующим соотношением:

(18)

Уравнение колебаний частиц среды в точке M :

Отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны:

Уравнение скорости колебаний частиц среды:

Амплитуда скорости колебаний частиц среды:

Отношение амплитуды скорости частиц среды к скорости волны в среде:

Связь амплитуды деформаций с амплитудой скорости колебаний частиц среды:

Уравнение колебаний скорости частиц среды

2018-05-31
Уравнение бегущей плоской звуковой волны имеет вид $\chi = 60 \cos (1800t — 5,3x)$, где $\chi$ в микрометрах, $t$ в секундах, $x$ в метрах. Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и ее связь с амплитудой колебания скорости частиц среды.

$\xi = 60 \cos (1800 t 5 \cdot 3 x)$

$\xi = a \cos ( \omega t — kx)$, где $a = 60 \cdot 10^ <-6>м$
$\omega = 1800 $ в секунду и $k = 5,3$ на метр

и $k = \frac< \omega>$, поэтому $v = \frac< \omega> = 340 м/с$

Таким образом, амплитуда колебаний скорости

$\left ( \frac< \partial \xi> < \partial t>\right )_ $ или $v_ = a \omega = 0,11 м / с$ (1)

и искомое отношение амплитуды колебаний скорости к скорости распространения волны

(в) Относительная деформация $= \frac< \partial \xi> < \partial x>= ak \sin ( \omega t — kx) $

Таким образом, относительная амплитуда деформации

$= \left ( \frac< \partial \xi > < \partial x>\right )_ = ak = (60 \cdot 10^ <-6>\cdot 5,3) м = 3,2 \cdot 10^ <-4>м$ (2)

КОЛЕБА́ТЕЛЬНАЯ СКО́РОСТЬ ЧАСТИ́Ц

КОЛЕБА́ТЕЛЬНАЯ СКО́РОСТЬ ЧАСТИ́Ц, ско­рость, с ко­то­рой дви­жут­ся в зву­ко­вой вол­не бес­ко­неч­но ма­лые час­ти­цы сре­ды по от­но­ше­нию к сре­де в це­лом. К. с. ч. $v$ сле­ду­ет от­ли­чать как от ско­ро­сти дви­же­ния са­мой сре­ды, так и от ско­ро­сти рас­про­стра­не­ния зву­ко­вой вол­ны $c$ . В пло­ской бе­гу­щей зву­ко­вой вол­не $v=p/(\rho c)$ , где $p$ – зву­ко­вое дав­ле­ние, $\rho$ – плот­ность сре­ды. Ве­ли­чи­на $v$ мно­го мень­ше $c$ в лю­бых сре­дах – га­зо­об­раз­ных, жид­ких, твёр­дых – и при лю­бых дос­ти­жи­мых ин­тен­сив­но­стях зву­ка. В воз­ду­хе на по­ро­ге слы­ши­мо­сти че­ло­ве­че­ским ухом ( $p=2·10^<–5>$ Па на час­то­те 1 кГц) К. с. ч. рав­на $5·10^<–8>$ м/с, вбли­зи ре­ак­тив­но­го дви­га­те­ля при зву­ко­вом дав­ле­нии $10^4 $ Па К. с. ч. со­став­ля­ет 25 м/с; в во­де при зву­ко­вом дав­ле­нии $10 $ Па – $7·10^<–6>$ м/с, при $10^5 \ Па – 7·10^<–2>$ м/с. В твёр­дых те­лах из-за боль­ших зна­че­ний $\rho c$ К. с. ч. ещё мень­ше, чем в во­де.