Формулы пружинного маятника
Определение и формулы пружинного маятника
Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.
Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.
Уравнения колебаний пружинного маятника
Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:
где $<щu>^2_0=\frac
где $<\omega >_0=\sqrt<\frac
В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:
\[Re\ \tilde
Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника
Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:
Так как частота колебаний ($\nu $) — величина обратная к периоду, то:
Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника
Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($\varphi $).
Амплитуду можно найти как:
начальная фаза при этом:
где $v_0$ — скорость груза при $t=0\ c$, когда координата груза равна $x_0$.
Энергия колебаний пружинного маятника
При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.
Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:
учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,
тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:
Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:
где $\dot
Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:
- Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
- Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.
Примеры задач с решением
Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600\ \frac<Н><м>$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1\ \frac<м><с>$?
Решение. Сделаем рисунок.
По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:
где $E_
Потенциальная энергия равна:
В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:
Из (1.4) выразим искомую величину:
Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:
Ответ. $x_0=1,5$ мм
Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A<\cos \left(\omega t\right),\ \ >\ $где $A$ и $\omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_
Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:
Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:
В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_
Уравнение колебаний пружинного маятника массой 200 г имеет вид
Условие задачи:
Уравнение колебаний пружинного маятника массой 200 г имеет вид \(x = 0,05\cos \left( <8\pi t + \frac<\pi ><3>> \right)\) (м). Определите жесткость пружины, если её массой можно пренебречь.
Задача №9.3.9 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»
Решение задачи:
Известно, что уравнение колебаний пружинного маятника в общем виде выглядит следующим образом:
В этой формуле \(A\) – амплитуда колебаний, \(\omega\) – циклическая частота колебаний, \(\varphi_0\) – начальная фаза колебаний.
Из сравнения данного в условии уравнения и уравнения (1) понятно, что циклическая частота колебаний пружинного маятника \(\omega\) равна \(8\pi\) рад/с.
Вообще, циклическую частоту колебаний пружинного маятника \(\omega\) можно найти по формуле:
В этой формуле \(k\) – коэффициент жесткости пружины, \(m\) – масса колеблющегося груза.
Возведем обе части уравнения (2) в квадрат:
Откуда искомая жесткость пружины \(k\) равна:
Ответ: 126,2 Н/м.
Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.
Уравнение колебаний тела на пружине имеет вид
Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.
Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):
| . |
В этом соотношении – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:
| . |
Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими .
Таким образом, груз некоторой массы , прикрепленный к пружине жесткости , второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором .
 | ||||||||||||||||
| Рисунок 2.2.1. Круговая частота свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:
откуда
Частота называется собственной частотой колебательной системы. Период гармонических колебаний груза на пружине равен
При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину , равную
и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты и периода колебаний справедливы и в этом случае. Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела и координатой : ускорение является второй производной координаты тела по времени :
Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде
или
где Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида
Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний . Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний или период . Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда m и начальная фаза , определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени. Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние и затем в момент времени отпущен без начальной скорости, то m = , . Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость Таким образом, амплитуда m свободных колебаний и его начальная фаза определяются начальными условиями . Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол возникает момент сил упругой деформации кручения:
Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина аналогична жесткости пружины . Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)
где – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, – угловое ускорение. По аналогии с грузом на пружине можно получить:
Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки. источники: http://easyfizika.ru/zadachi/kolebaniya-i-volny/uravnenie-kolebanij-pruzhinnogo-mayatnika-massoj-200-g-imeet-vid/ http://physics.ru/courses/op25part1/content/chapter2/section/paragraph2/theory.html |
то 
