Уравнение колебания тока в резисторе

Вынужденные колебания. Переменный ток

Дадим определение понятию вынужденных колебаний.

Вынужденные колебания – это процессы, которые происходят в электрических цепях под воздействием периодического источника тока.

Основным отличием вынужденных колебаний по сравнению с собственными колебаниями в электрических цепях является то, что они являются незатухающими. Неизбежные потери энергии компенсируются за счет внешнего источника периодического воздействия, который не позволяет колебаниям затухать.

Что такое переменный ток?

Переменный ток — электрический ток, который с течением времени изменяется по величине и направлению или, в частном случае, изменяется по величине, сохраняя своё направление в электрической цепи неизменным.

Рассмотрим случай, когда электрическая цепь способна совершать собственные свободные колебания с некоторой частотой ω 0 . Предположим, что к этой цепи подключен внешний источник, напряжение которого изменяется по гармоническому закону с частотой ω .

Частота свободных колебаний в электрической сети ω 0 будет определяться параметрами этой сети. Вынужденные колебания, которые установятся при подключении внешнего источника ω , будут происходить на частоте этого внешнего источника.

Частота вынужденных колебаний устанавливается не сразу после включения внешнего источника, а спустя некоторое время Δ t . По порядку величины это время будет равно времени затухания свободных колебаний в сети τ .

Цепи переменного тока

Цепи переменного тока – это такие электрические цепи, в которых под воздействием периодического источника тока происходят установившиеся вынужденные колебания.

Рассмотрим устройство колебательного контура, в который включен источник тока с напряжением, изменяющимся по периодическому закону:

e ( t ) = ε 0 cos ω t,

где ε 0 – амплитуда, ω – круговая частота.

Фактически, это будет R L C -цепь.

Рисунок 2 . 3 . 1 . Вынужденные колебания в контуре.

Будем считать, что для изображенной на этом рисунке электрической цепи выполняется условие квазистационарности. Это позволит нам записать закон Ома для мгновенных значений токов и напряжений:

R J + q C + L d J d t = ε 0 c o c ω t.

Величину L d J d t принято называть напряжением на катушке индуктивности. Фактически, это ЭДС самоиндукции катушки, которую мы для простоты вычислений перенесли с противоположным знаком в левую часть уравнения из правой.

Уравнение вынужденных колебаний можно записать в виде:

u R + u C + u L = e ( t ) = ε 0 cos ω t.

где u R ( t ) , u C ( t ) и u L ( t ) – мгновенные значения напряжений на резисторе, конденсаторе и катушке соответственно. Амплитуды этих напряжений будем обозначать буквами U R , U C и U L . Напряжения при установившихся вынужденных колебаниях изменяются с частотой внешнего источника переменного тока ω .

Векторная диаграмма токов и напряжений

Для решения уравнения вынужденных колебаний мы можем использовать достаточно наглядный метод векторных диаграмм. Для этого используем векторную диаграмму, на которой с помощью векторов изобразим колебания определенной заданной частоты ω .

Давайте посмотрим, как построить векторную диаграмму токов и напряжений.

Рисунок 2 . 3 . 2 . Векторная диаграмма, на которой с помощью векторов изображены гармонические колебания A cos ( ω t + φ 1 ) , B cos ( ω t + φ 2 ) и их суммы C cos ( ω t + φ ) .

Наклон векторов к горизонтальной оси определяется фазой колебаний φ 1 и φ 2 , а длины векторов соответствуют амплитудам колебаний A и B . Относительный фазовый сдвиг определяет взаимную ориентацию векторов: ∆ φ = φ 1 — φ 2 . Для того, чтобы построить вектор, изображающий суммарное колебание, нам необходимо использовать правило сложения векторов: C → = A → + B → .

При вынужденных колебаниях в электрической цепи для построения векторной диаграммы напряжений и токов нам необходимо знать соотношения между амплитудами токов и напряжений и фазовый сдвиг между ними для любого участка цепи.

Источник переменного тока может быть подключен к:

• катушке индуктивности L ;
• резистору с сопротивлением R ;
• конденсатору с емкостью С .

Рассмотрим эти три примера подробнее. Будем считать, что напряжение на резисторе, катушке и конденсаторе во всех трех случаях равно напряжению внешнего источника переменного тока.

Резистор в цепи переменного тока

J R R = u R = U R cos ω t ; J R = U R R cos ω t = I R cos ω t

Мы обозначили амплитуду тока, который протекает через резистор, через I R . Соотношение R I R = U R выражает связь между амплитудами тока и напряжения на резисторе. Фазовый сдвиг в этом случае равен нулю. Физическая величина R – это активное сопротивление на резисторе.

Конденсатор в цепи переменного тока

u C = q C = U C cos ω t

J C = d q d t = C d u C d t = C U C ( — ω sin ω t ) = ω C U C cos ω t + π 2 = I C cos ω t + π 2 .

Соотношение между амплитудами тока I C и напряжения U C : 1 ω C I C = U C .

Ток опережает по фазе напряжение на угол π 2 .

Физическая величина X C = 1 ω C — это емкостное сопротивление конденсатора.

Конденсатор, катушка и резонанс в цепи переменного тока

теория по физике 🧲 колебания и волны

Опишем колебания, которые происходят в цепи переменного тока при включении в нее конденсатора и катушки индуктивности. А также рассмотрим условия, при выполнении которых в цепи переменного тока наступает резонанс. Получим формулы для вычисления амплитуд напряжений, введем понятия емкостного и индуктивного сопротивления и выясним, какую роль играют эти величины.

Конденсатор в цепи переменного тока

Постоянный ток не может существовать в цепи, содержащий конденсатор. Движению электронов препятствует диэлектрик, расположенный между обкладками. Но переменный ток в такой цепи существовать может, что доказывает опыт с лампой (см. рисунок ниже).

Пусть фактически такая цепь разомкнута, но если по ней течет переменный ток, конденсатор то заряжается, то разряжается. Ток, текущий при перезарядке конденсатора нагревает нить лампы, и она начинает светиться.

Найдем, как меняется сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивление проводов и обкладок конденсатора можно пренебречь (см. рис. выше). Напряжение на конденсаторе будет равно:

u = φ 1 − φ 2 = q C . .

Учтем, что напряжение на конденсаторе равно напряжению на концах цепи:

q C . . = U m a x cos . ω t

Следовательно, заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:

q = C U m a x cos . ω t

Тогда сила тока, представляющая собой производную заряда по времени, будет равна:

i = q ´ = − C U m a x sin . ω t = C U m a x cos . ( ω t + π 2 . . )

Следовательно, колебания силы тока опережают колебания напряжения на конденсаторе на π 2 . . (см. график ниже). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того, как напряжение достигнет максимума, сила тока становится равной нулю и т.д.

Амплитуда силы тока равна:

I m a x = U m a x C ω

Также будем использовать действующие значения силы тока и напряжения. Тогда получим, что:

Величина X C , равная обратному произведению циклической частоты на электрическую емкость конденсатора, называется емкостным сопротивлением. Роль этой величины аналогична роли активного сопротивления R в законе Ома.

Обратите внимание, что на протяжении четверти периода, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения, энергия поступает в цепь и запасается в конденсаторе в форме энергии электрического поля. В следующую четверть периода (при разрядке конденсатора), эта энергия возвращается в сеть.

Пример №1. Максимальный заряд на обкладках конденсатора колебательного контура q m a x = 10 − 6 Кл. Амплитудное значение силы тока в контуре I m a x = 10 − 3 А. Определите период колебания (потерями на нагревание проводника пренебречь).

Согласно закону сохранения энергии максимальное значение энергии электрического поля конденсатора равно максимальному значения магнитного поля катушки:

q 2 m a x 2 C . . = L I 2 m a x 2 . .

L C = q 2 m a x I 2 m a x . .

√ L C = q m a x I m a x . .

T = 2 π √ L C = 2 π q m a x I m a x . . = 2 · 3 , 14 10 − 6 10 − 3 . . ≈ 6 , 3 · 10 − 3 ( с )

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Соберем две электрических цепи, состоящих из лампы накаливания, катушки индуктивности и источника питания: в первом случае постоянного, во втором — переменного (см. рисунки «а» и «б» ниже).

Опыт покажет, что в цепи постоянного тока лампа светится ярче по сравнению с той, что включена в цепь переменного тока. Это говорит о том, что сила тока в цепи постоянного тока выше действующего значения силы тока в цепи переменного тока.

Результат опыта легко объясняется явлением самоиндукции. При подключении катушки к постоянному источнику тока сила тока нарастает постепенно. Возрастающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь спустя какое-то время сила тока достигает наибольшего значения, соответствующему данному постоянному напряжению.

Если напряжение быстро меняется, то сила тока не успевает достигнуть максимального значения. Поэтому максимальное значение силы тока в цепи переменного тока с катушкой индуктивности ограничивается индуктивность. Чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения, тем меньше амплитуда силы переменного тока.

Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь (см. рисунок ниже). Для этого найдем связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней.

Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри проводника в любой момент времени должна равняться нулю. Иначе, согласно закону Ома, сила тока была бы бесконечно большой. Равенство нулю напряженности поля оказывается возможным потому, что напряженность вихревого электрического поля → E i , порождаемого переменным магнитным полем, в каждой точке равна по модулю и противоположна по направлению напряженности кулоновского поля → E к , создаваемого в проводнике зарядами, расположенными на зажимах источника и в проводах цепи.

Из равенства → E i = − → E к следует, что удельная работа вихревого поля (т.е. ЭДС самоиндукции e i ) равна по модулю и противоположна по знаку удельной работе кулоновского поля.

Учитывая, что удельная работа кулоновского поля равна напряжения на концах катушки, можно записать:

Напомним, что сила переменного тока изменяется по гармоническому закону:

i = I m a x sin . ω t

Тогда ЭДС самоиндукции равна:

e i = − L i ´ = − L ω I m a x cos . ω t

Так как u = − e i , то напряжение на концах катушки оказывается равным:

u = L ω I m a x cos . ω t = L ω I m a x sin . ( ω t + π 2 . . ) = U m a x ( ω t + π 2 . . )

Амплитуда напряжения равна:

U m a x = L ω I m a x

Следовательно, колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока на π 2 . . , или колебания силы тока отстают от колебаний напряжения на π 2 . . , что одно и то же.

В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (см. график ниже).

Но в момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю. Амплитуда силы тока в катушке равна:

I m a x = U m a x L ω . .

Также будем использовать вместо амплитуд действующие значения силы тока и напряжения. Тогда получим:

Величина X L , равная произведению циклической частоты на индуктивность, называется индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление зависит от частоты. Поэтому в цепи постоянного тока, в котором отсутствует частота, индуктивное сопротивление катушки равно нулю.

Пример №2. Катушка с индуктивным сопротивлением X L = 500 Ом присоединена к источнику переменного напряжения, частота которого ν = 1000 Гц. Действующее значение напряжения U = 100 В. Определите амплитуду силы тока I m a x в цепи и индуктивность катушки L. Активным сопротивлением пренебречь.

Индуктивное сопротивление катушки выражается формулой:

X L = L ω = 2 π ν L

Так как амплитуда напряжения связана с его действующим значением соотношением U m a x = U √ 2 , то для амплитуды силы тока получаем:

Резонанс в электрической цепи

Механические и электромагнитные колебания имеют разную природу, но процессы, происходящие при этом, идентичны. Поэтому можно предположить, что резонанс в электрической цепи так же реален, как резонанс в колебательной системе, на которую действует периодическая сила.

Напомним, что в механической системе резонанс тем более заметен, чем меньше в колебательной системе трение между ее элементами. Роль трения в электрической цепи играет активное сопротивление R. Ведь именно наличие этого сопротивления в цепи приводит к превращению энергии тока во внутреннюю энергию проводника, который при этом нагревается. Следовательно, резонанс в электрической цепи будет отчетливо наблюдаться при малом активном сопротивлении R.

Если активное сопротивление мало, то собственная частота колебаний в колебательном контуре определяется формулой:

Сила тока при вынужденных колебаниях должна достигать максимальных значений, когда частота переменного напряжения, приложенного к контуру равна собственной частоте колебательного контура:

Резонанс в электрическом колебательном контуре — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура.

После включения внешнего переменного напряжения резонансное значение силы тока в цепи устанавливается не моментально, а постепенно. Амплитуда колебаний силы тока возрастает до тех пор, пока энергия, выделяющаяся за период на резисторе, не сравняется с энергией, поступающей в контур за это же время:

I 2 m a x R 2 . . = U m a x I m a x 2 . .

Упростив это уравнение, получим:

I m a x R = U m a x

Следовательно, амплитуда установившихся колебаний силы тока при резонансе определяется уравнением:

I m a x = U m a x R . .

При сопротивлении, стремящемся к нулю, сила тока возрастает до бесконечно больших значений. При большом сопротивлении сила тока возрастает незначительно. Это хорошо видно на графике ниже.

Пример №3. В цепь переменного тока с частотой ν = 500 Гц включена катушка индуктивностью L = 10 мГн. Какой емкости конденсатор надо включить в эту цепь, чтобы наступил резонанс?

Электрическая цепь, описываемая в условии, представляет собой колебательный контур. Резонанс в этой цепи наступит, когда частота переменного тока будет равна собственной частоте колебательного контура (ν = ν₀).

ν 0 = 1 2 π √ L C . .

К колебательному контуру подсоединили источник тока, на клеммах которого напряжение гармонически меняется с частотой ν.

Индуктивность L катушки колебательного контура можно плавно менять от максимального значения L_max до минимального L_min, а ёмкость его конденсатора постоянна.

Ученик постепенно уменьшал индуктивность катушки от максимального значения до минимального и обнаружил, что амплитуда силы тока в контуре всё время возрастала. Опираясь на свои знания по электродинамике, объясните наблюдения ученика.

Алгоритм решения

Решение

В колебательном контуре источником тока возбуждаются вынужденные колебания. Частота этих колебаний равна частоте источника — ν. Амплитуда колебаний зависит от того, как соотносятся между собой внешняя частота и частота собственных электромагнитных колебаний, которая определяется формулой:

ν 0 = 1 2 π √ L C . .

По мере увеличения внешней частоты от нуля до ν₀ амплитуда растет. Она достигает максимума тогда, когда происходит резонанс. При этом внешняя частота равна частоте собственных электромагнитных колебаний: ν = ν₀. Затем амплитуда начинает убывать.

В данном случае, ученик меняет не внешнюю частоту, а частоту собственных электромагнитных колебаний. При плавном уменьшении индуктивности контура от максимального значения L_max до минимального L_min частота возрастает от ν_0min до ν_0max. Причем:

ν 0 m i n = 1 2 π √ L m i n C . .

ν 0 m a x = 1 2 π √ L m a x C . .

Из того факта, что амплитуда всё время увеличивалась, можем сделать вывод, что частота ν₀ всё время приближалась к частоте источника тока, при этом ν > ν_0max. В противном случае наблюдалось бы уменьшений амплитуды силы тока.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания.

Из приведённого ниже списка выберите две величины, которые остаются постоянными при этих колебаниях.

а) период колебаний силы тока в контуре

б) фаза колебаний напряжения на конденсаторе

в) заряд конденсатора

г) энергия магнитного поля катушки

д) амплитуда колебаний напряжения на катушке

Алгоритм решения

1. Определить, от чего зависит каждая из перечисленных величин.
2. Установить, какие величины меняются, а какие нет.

Решение

В колебательном контуре происходят гармонические колебания. Поэтому период колебаний силы тока в контуре — величина постоянная.

Фаза — это величина, которая определяет положение колебательной системы в любой момент времени. Поскольку в системе происходят колебания, фаза меняется.

Заряд конденсатора — колебания происходят за счет постоянной перезарядки конденсатора. Следовательно, эта величина тоже меняется.

Энергия магнитного поля катушки — в колебательном контуре происходят взаимные превращения энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора, и обратно. Поэтому энергия магнитного поля катушки постоянно меняется.

В условии задачи сказано, что колебания незатухающие. Это значит, что полная механическая энергия колебательной системы сохраняется. Поскольку именно от нее зависит амплитуда колебаний напряжения на катушке, то эта величина также остается постоянной.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке приведён график зависимости силы тока i от времени t при свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре. Каким станет период свободных колебаний в контуре, если конденсатор в этом контуре заменить на другой конденсатор, ёмкость которого в 4 раза меньше? Ответ запишите в мкс.

Электромагнитные колебания — основные понятия, формулы и определения с примерами

Содержание:

Электромагнитные колебания:

Мы проживаем в различных городах и селах нашей республики. Они находятся в сотнях и тысячах километров от столицы. Несмотря на большие расстояния между населенными пунктами, мы постоянно поддерживаем связь. Кроме этого, нам известна информация о событиях со всего мира. Эти новости мы узнаем по телевизору, радио, мобильным телефонам. Каким образом информация доходит до нас по телевидению, через радиоприемники, мобильные телефоны?

Передача на большие расстояния речи, музыки, изображений или другой информации в виде электромагнитных сигналов называется телекоммуникацией. Передача информации в виде электрических сигналов с помощью проводников была изобретена в 1837 году английскими учеными У. Куком и Ч. Уитсоном. Американский художник С. Морзе изобрел передачу информации с помощью специального алфавита, состоящего из точек и тире. Этот метод в дальнейшем стал широко применяться во всем мире. В 1876 году А.Г. Белл изобрел телефон. В настоящее время, если телефоны в наших домах и различных ведомствах связаны со станцией через металлические проводники, то междугородные и международные телефонные станции связаны кабелями оптических волокон. Информация по этим кабелям передается с помощью лазерных лучей. По одной паре кабель одновременно может поддерживать связь 6000 телефонных абонентов. Наши радиоприемники и телевизоры могут получать информацию вообще без проводов. Мобильные телефоны также поддерживают беспроводную связь. В этих случаях информация передается с помощью электромагнитных волн.

Как поступает информация по проводам и воздуху в виде речи, изображения и звука в мобильные телефоны, радиоприемники и телевизоры? Ответы на эти вопросы вы, уважаемые ученики, найдете в данной главе.

Свободные электромагнитные колебания

Простые электромагнитные колебания можно создать в электрической цепи, состоящей из конденсатора и катушки индуктивности. Построим электрическую цепь, состоящую из конденсатора, катушки индуктивности, источника постоянного тока и включателя (рис. 3.1). Для упрощения не будем учитывать сопротивление электрической цепи. При включении включателя с левой стороны батареи пластинки конденсатора С заряжаются. При этом между обкладками конденсатора создается электрическое поле с максимальной энергией

В результате зарядки верхней обкладки конденсатора положительным, а нижней обкладки отрицательным зарядом он становится источником тока (1 случай). В результате с положительной обкладки конденсатора наблюдается перемещение зарядов на отрицательную обкладку через катушку индуктивности, т.е. образуется ток. Вокруг этого тока создается магнитное поле. Этот ток из-за индуктивности катушки постепенно увеличивается и достигает максимального значения (смотрите график на рисунке). Магнитное поле, созданное вокруг тока, протекающего через катушку, будет тоже растущим (2 случай). В этом случае энергия электрического поля между обкладками конденсатора уменьшается до нуля. Энергия магнитного поля вокруг катушки постепенно растет и достигает своего максимального значения Как известно из предыдущих тем, согласно явлению электромагнитной индукции на концах катушки, расположенной в изменяющемся магнитном поле, появляется разность потенциалов. Уменьшая значение тока эта разность потенциалов заряжает обкладки конденсатора противоположными зарядами (3 случай). Заряженный конденсатор через катушку индуктивности снова создает ток (4 случай). Этот ток тоже является растущим, его магнитное поле на концах катушки создает разность потенциалов. Уменьшается ток, и разность потенциалов снова заряжает конденсатор (5 случай). В 5-ом и 1-ом случаях знаки зарядов конденсатора одинаковы. Значит, последующие процессы повторяются, как было описано выше.

Из рассмотренных процессов сделаем следующие выводы:

1. В цепи, состоящей из конденсатора и катушки индуктивности, заряд, переданный конденсатору из источника тока, в замкнутой цепи создаст переменный ток.
2. Энергия, полученная от источника, сначала концентрируется в качестве энергии электрического поля между обкладками конденсатора, а затем превращается в энергию магнитного поля внутри катушки. Далее энергия магнитного поля превращается в энергию электрического поля и т.д., периодически происходят превращения.

Мы узнали, что любые процессы, которые периодически повторяются, называются колебаниями.

Значит, процесс в цепи, состоящей из конденсатора с и катушки, тоже имеет колебательный характер. Это явление называется электромагнитные колебания. Замкнутая цепь, состоящая из катушки (L) и конденсатора (С), в которой создаются электромагнитные колебания, называется колебательным контуром (рис. 3.3).

Формула определения периода (частоты) электромагнитного колебания в колебательном контуре найдена английским физиком У. Томсоном.

Здесь: Т-период колебания в секундах, -частота колебания измеряется в 1 /с = 1 Гц.

Когда происходят электромагнитные колебания в контуре, энергия электрического поля периодически превращается в энергию магнитного поля и наоборот. В идеальном колебательном контуре из-за отсутствия расхода энергии колебания не затухают. Полная энергия сохраняется и ее величина в любой момент времени равна:

Здесь: L- индуктивность катушки, С-емкость конденсатора, -мгновенные и максимальные значения силы тока соответственно: — мгновенные и максимальные значения заряда в конденсаторе соответственно.

Явления, происходящие в колебательном контуре, — это превращение энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и наоборот — энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора. Это явление можно сравнить с рассмотренным в 10-м классе примером, где потенциальная энергия растянутой пружины, пружинного маятника, превращается в кинетическую энергию груза и наоборот. Согласно этому в следующей таблице приведем аналогию величин, характеризующих механические и электрические колебания.

• х-координата
• v- скорость
• — масса
• -упругость пружины
• — потенциальная энергия
• -кинетическая энергия

• q- заряд
• -сила тока
• L — индуктивность
• 1/С-обратная величина емкости
• -энергия электрического поля
• — энергия магнитного поля

Следует отметить, что электромагнитные и механические колебания имеют разную природу, но выражаются аналогичными уравнениями.

Пример №1

Емкость конденсатора колебательного контура равна индуктивность катушки — 0,4 Гн. Максимальное напряжение конденсатора -2 В. Найдите период собственного колебания контура и максимальную энергию контура.

Дано: Найти:

Формула:

Решение:

Графическое изображение колебания затухающие электромагнитные колебания

В рассмотренном колебательном контуре для создания возникающих электромагнитных колебаний сначала в момент времени t=0 на конденсатор подается заряд qM, не оказывая других внешних воздействий. Колебания, возникающие при отсутствии внешних воздействий, называются свободными колебаниями.

Учитывая схожесть электромагнитных колебаний с механическими колебаниями, изученными в 10-м классе, изменение заряда конденсатора можно записать следующей формулой:

Если учесть, что для изменения напряжения конденсатора получим

Сила тока в катушке определяется согласно следующей закономерности:

Периодическое изменение физических параметров с течением времени по закону синуса или косинуса называется гармоническими колебаниями.

Модуль наибольшего значения колеблющейся величины называется амплитудой колебания, или амплитудной величиной.

Амплитуда в механических колебаниях равна наибольшему отклонению тела от положения равновесия, а в электромагнитных колебаниях — наибольшему значению электрического заряда на обкладках конденсатора.

Для изображения зависимости величин гармонических колебаний от времени удобен графический метод.

Нарисуем графики зависимости заряда, напряжения и силы тока электромагнитных колебаний от времени. Для этого воспользуемся формулами (3-3), (3-4) и (3-5). Сравнивая эти уравнения, можно увидеть, что колебания отличаются друг от друга по фазовым смещениям, т.е. имеют сдвиг по фазе.

Нарисуем графики вышеназванных уравнений. Ось абсцисс указывает в долях период времени, над ним соответствующие фазы колебания. По оси ординат выставлены величины (рис. 3.4).

Если на этих графиках будет известен масштаб, то по оси абсцисс можно найти период (время), а по оси ординат — амплитуду или мгновенное значение колеблющихся величин. Таким же образом сравнивая графики, можно найти сдвиг по фазе. Например, при максимальном значении заряда и напряжения на обкладках конденсатора сила тока равна нулю.

Колебания силы тока в контуре по фазам опережают колебания заряда на Заряд и напряжение изменяются в одной фазе.

Как было сказано выше, колебания, возникающие в идеальных колебательных контурах, не затухают. В реальных контурах из-за того, что сопротивление R не равняется нулю, электрическая энергия превращается в тепло и амплитуда колебания со временем уменьшается (рис. 3.5).

Такие колебания называются затухающим и колебаниями.

Следует отметить, что согласно формуле чем больше сопротивление контура, тем больше расходуется энергия. С увеличением сопротивления контура увеличится период колебания. Значит, затухающие колебания не являются гармоническими.

Затухающие колебания относятся к непериодичным колебаниям. Их уравнения выражаются через дифференциальные уравнения и являются сложными задачами, поэтому, не приводя их решения, ограничимся приведением их графиков.

Пример №2

На рисунке приведен график изменения тока в колебательном контуре. Объясните изменение энергии в промежутке времени: и

Решение: За приведенный промежуток времени с и с сила тока, протекающего через катушку, растет и достигает своего максимального значения.

Значит, энергия электрического поля конденсатора уменьшается до нуля и растет энергия магнитного поля катушки, достигая максимального значения.

Генераторы электромагнитных колебаний на транзисторах

Мы узнали, что в колебательном контуре возникают высокочастотные электромагнитные колебания. Если наблюдать на экране осциллографа колебания, возникающие в колебательном контуре, то увидим, что с течением времени амплитуда колебания уменьшается (рис. 3.6).

Причиной этого является электрическое сопротивление проводников катушки контура, используемых для соединения. Известно, что, имея сопротивление, проводник нагревается. Электрическая энергия превращается в тепловую энергию. Поэтому возникающие в контуре свободные электромагнитные колебания являются затухающими колебаниями.

Для того чтобы колебания не затухали, израсходованную энергию нужно периодически передавать колебательному контуру с помощью батарейки. Это означает, что включатель в контуре не должен постоянно оставаться включенным, его надо периодически выключать. Вспомните из 10-го класса фазы колебания. Согласно этому, во время перезарядки обкладки конденсатора включатель должен соединиться в тот момент, когда знаки зарядов на обкладках соответствуют полюсам батарейки.

Как при этом должен работать включатель? Представим себе, что частота колебания контура равна 1 МГц. В этом случае потребуется включатель включать-выключать миллион раз в секунду! Эту задачу не смогут выполнить никакие механические или электромеханические устройства.

Такую задачу может выполнить только электронный прибор, т.е. транзистор. Вспомним приведенный в 10-м классе принцип работы транзистора Чтобы через транзистор протекал ток, подключаются отдельные батарейки между базой-эмиттером и коллектором-эмиттером. В случае подсоединения к базе отрицательного полюса батарейки, к эмиттеру положительного полюса через транзистор протекает ток (включатель включен). Если поменять полюсы батарейки, ток не протекает (включатель выключен). Значит, транзистор может выполнять функцию включателя. Поэтому для создания незатухающего колебания в контуре его нужно подсоединить к источнику через транзистор.

На рис. 3.7 приводится схема генератора, в котором создаются высокочастотные незатухающие колебания. Здесь контур, состоящий из L и С, подсоединен к источнику тока через транзистор. В момент включения протекающий через катушку L ток имеет растущий характер. Магнитное поле, возникающее вокруг нее, тоже будет расти. Это магнитное поле, проходящее сквозь катушкусоздает электродвижущую силу взаимной индукции. На рис. 3.7 знаки внутри на концах катушки показаны в кружочках. Здесь на базу транзистора (Б) подастся напряжение с отрицательным знаком, на эмиттер (Э) — с положительным знаком и по транзистору протекает полный ток. В это время конденсатор С в контуре заряжается. Из-за индуктивности катушки (L) протекающий по нему ток перестанет увеличиваться. В не возникает электродвижущей силы и по транзистору ток не протекает. Теперь ключ выключим. Конденсатор С начинает разряжаться через катушку L, и в контуре появляются электромагнитные колебания. Когда в контуре происходят электромагнитные колебания, меняется и величина, и направление тока, протекающего по катушке L. Значит, знак электродвижущей силы, возникающей в , изменяется. Транзистор находится то в открытом, то в закрытом положении.

Таким образом, конденсатор С в контуре периодически заряжается от батарейки. Однако если источник напряжения подсоединяется в колебательный контур периодически, в те интервалы времени, когда обкладки конденсатора, подсоединенные к положительному полюсу, заряжаются положительно, конденсатор непрерывно заряжается. В этом случае колебания не затухнут. В противном случае колебания не возникнут. Значит, включение-выключение транзистора должно управляться колебаниями в контуре. Цепь база-эмиттер в транзисторе называется входной цепью, цепь коллектор-эмиттер — выходной цепью. Обычно напряжение (ток), приложенное во входной части на транзисторе, управляет выходным током. В транзисторных генераторах наоборот, напряжение при выходе (в контуре) управляет входным напряжением . Такие процессы называются обратной связью. Благодаря этой обратной связи контур периодически обеспечивается энергией.

Чтобы обратная связь обеспечила колебания, напряжение входных и выходных цепей по фазе должно отличаться на 180°.

Частота электромагнитных колебаний, вырабатываемых генератором, выражается по формуле Томсона (3-1).

Таким образом, в генераторе образуются незатухающие автоколебания. Автоколебания являются вторым типом незатухающих колебаний. Основная их разница от вынужденных колебаний заключается в том, что им не нужны внешние периодичные действия. В этих системах имеется собственный источник энергии. Система сама обеспечивает и управляет пополнением израсходованной энергии. Любая система автоколебания состоит из следующих частей: источник энергии, колебательная система и электронный ключ.

Частоты автоколебания изменяются в очень широком диапазоне. Они используются для радиосвязи, телевидения, ЭВМ и в других устройствах.

Электромагнитные колебания могут быть как полезными, так и вредными для живых организмов. Каждый орган человеческого организма имеет свойственную ему резонансную частоту. Когда частота внешнего колебания равняется этой резонансной частоте, действия будут сильными. Доказано, что электромагнитные излучения влияют на психику человека.

В современной медицине все шире распространяются методы лечения с помощью высокочастотных электромагнитных колебаний. Кроме того, электромагнитные излучения оптического диапазона (УФ-излучения) используются для лечения и диагностики различных заболеваний.

Активное сопротивление в цепи переменного тока

В предыдущих темах мы познакомились с графическими изображениями изменения некоторых физических величин в зависимости от времени. Для их описания также широко применяется метод векторной диаграммы. Скажем, изменение тока в цепи задается уравнением

Возьмем вектор длиной и приведем в движение по направлению против часовой стрелки. Пусть время для одного вращения равно периоду изменения величины . В этом случае проекция на вертикальной оси вектора м равна мгновенному значению величины
В повседневной жизни, быту и технике к цепи переменного тока подсоединяются различные бытовые приборы. Утюг, электрическая лампочка, вентилятор и т.д — в этих приборах электрическая энергия превращается в тепловую, световую, механическую и другие виды энергии. Когда эти приборы подсоединяются к источнику напряжения, то они оказывают различное сопротивление протеканию тока. Для изучения их природы попробуем подсоединить разные приборы к цепи переменного тока.

Сначала рассмотрим случай, когда к цепи переменного тока подсоединено заранее известное нам сопротивление (рис. 3.9). Пусть это сопротивление будет активным сопротивлением. Такое сопротивление называется активным, потому что когда через него протекает ток, электрическая энергия полностью превращается в другие виды (тепло, свет и др.) энергии. Проводник подсоединен к источнику переменного тока, имеющего сопротивление R и напряжение U. Это напряжение задается уравнением

Используя закон Ома для участка цепи, находим мгновенное значение силы тока, протекающего по сопротивлению R

Здесь амплитудное значение силы тока. Таким образом, изменение силы тока в цепи, состоящей только активного сопротивления, будет иметь вид

Если сопоставить уравнение изменения напряжения (3-6) с полученным уравнением для силы тока (3-7), можно прийти к выводу, что колебания напряжения и силы тока в активном сопротивлении будут происходить в одинаковой фазе. Графики колебания напряжения и силы тока приведены на рис. 3.10.

Зависимость между колебаниями напряжения и силы тока можно показать через векторную диаграмму (рис. 3.11).

На диаграмме амплитуда переменного тока и амплитуда переменного напряжения изображены в виде параллельных векторов, а угол между ними, т.е. разница фазы колебания равна нулю.

Частота потребляемого в быту электрического напряжения равна 50 Гц. Это означает, что в секунду электрическая лампочка накаливания 100 раз включается и выключается. Чувствительность человеческого глаза такова, что он способен уловить изменение процесса только до 16-20 раз в секунду, поэтому мы не чувствуем включение-выключение электрической лампочки с такой частотой. По этой причине важно знать мощность переменного тока.

Мощность цепи с активным сопротивлением

Мгновенная мощность переменного тока определяется как Если выражения (3-7) и (3-6) использовать для определения мгновенных значений силы тока и напряжения, получим,

Здесь: называется максимальным значением мощности переменного тока. Из-за того что выражение имеет постоянно положительный знак, мгновенное значение мощности переменного тока тоже будет иметь положительный знак (рис. 3.12).

Как видно из рис. 3.12, величина мгновенной мощности переменного тока меняется периодически. По какой формуле в этом случае можно определить количество тепла, выделенного при протекании переменного тока в электрической плите? Для этого введем понятие эффективного значения переменного тока.

Эффективным значением переменного тока называется величина, равная количеству тепла, выделяемому при протекании переменного тока через активное сопротивление, равное силе постоянного тока, при котором выделяется такое же количество тепла за единицу времени.

Опыты показывают, что эффективное значение силы тока связано с его максимальным значением и определяется следующей формулой:

Эффективное значение переменного напряжения можно записать формулой (3-9):

Пример №3

При подсоединении резистора в цепь переменного тока с максимальным напряжением 30 В по нему протекает максимальный ток 2 А. Найдите среднюю мощность, выделяемую в резисторе.
Дано: Найти:

Формула:

Решение:

Конденсатор в цепи переменного тока

Опыты показывают, что, подсоединяя конденсатор к цепи постоянного тока, по ней ток не протекает, так как пространство между обкладками конденсатора разделено диэлектриком. Если конденсатор подсоединить к цепи переменного тока, то по ней ток течет.

Для изучения вопроса, от каких физических параметров зависит сила тока, протекающего через конденсатор, рассмотрим случай, когда к цепи переменного тока подсоединен только конденсатор (рис. 3.13).

Пусть емкость конденсатора равна С и приложенное напряжение изменяется согласно закономерности

сопротивление соединительных проводов R = 0. В этом случае напряжение конденсатора будет: Здесь: q — заряд обкладок конденсатора и его значение Чтобы найти силу тока в цепи, возьмем производную первого порядка формулы заряда:

sinco= Если это сопоставить с мгновенным значением силы тока, получим: Здесь — максимальное значение силы тока. Тогда уравнение силы тока, протекающего через конденсатор, будет иметь вид:

Если сопоставить это уравнение с напряжением, приложенным к конденсатору (3-11), мы увидим, что колебания силы тока в цепи опережают колебания напряжения на (рис. 3.14). На рис. 3.15 приводится векторная диаграмма силы переменного тока и напряжения для случая, когда к цепи подсоединен только конденсатор. Емкостное сопротивление конденсатора в цепи:

В этом случае значение амплитуды силы тока будет следующим:

Это выражение является законом Ома для участка цепи переменного тока с конденсатором. На месте активного сопротивления стоит величина . Поэтому его называют емкостным сопротивлением (реактивным сопротивлением). Емкостное сопротивление тоже измеряется в омах.

Отсюда вытекает, что сила тока, протекающего через конденсатор, зависит от емкости конденсатора и частоты переменного тока. Чем больше емкость и частота, тем меньше сопротивление цепи, и соответственно сила тока будет больше.

Пример №4

К цепи переменного тока с частотой 50 Гц подсоединен конденсатор емкостью 50 мкФ. Чему равно емкостное сопротивление цепи?

Дано: Найти:

Формула:

Решение:

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Проведем такой опыт. К источнику постоянного тока последовательно подсоединим электрическую лампочку и катушку индуктивности. Обратим внимание на яркость лампочки. Затем последовательно подсоединим электрическую лампочку и катушку индуктивности к источнику с эффективным напряжением, равным постоянному напряжению обратим внимание на яркость лампочки. Тогда яркость лампочки, соединенная с цепью переменного тока, будет меньше. Для определения этого явления рассмотрим случай, когда подсоединена только катушка индуктивности (рис. 3.16).

Сила тока, протекающего по катушке с индуктивностью L, изменяется согласно закономерности

Сопротивление соединительных проводов и катушки пусть будет

Ток, протекающий по катушке, из-за индуктивности катушки создаст электродвижущую силу (ЭДС) самоиндукции. Ее мгновенное значение определяется выражением

Здесь: — производная первого порядка, взятая от силы тока по времени. Если учесть мгновенное значение ЭДС равно

ЭДС цепи, напряжение на концах катушки и падение потенциала на активном сопротивлении связаны через следующее соотношение

Если учесть, что R = 0, формула (3-16) примет вид

тогда напряжение определяется следующей формулой:

Если сопоставить напряжение с мгновенным значением напряжения, то вытекает — амплитудное значение напряжения. В

таком случае уравнение напряжения, приложенного к концам катушки, будет выглядеть так:

Если сопоставить это уравнение с выражением (3-14) силы тока, протекающего по катушке, можем увидеть, что колебания напряжения, приложенного к концам катушки, по фазе опережают колебания силы тока на (рис.3.17). На рис. 3.18 приводится векторная диаграмма силы тока и напряжения для случая, где в цепь переменного тока подсоединена только катушка индуктивности.

Если амплитудное значение напряжения катушки сопоставимо с законом Ома, написанным для участка цепи, известно, что произведение выражает сопротивление. Введем знак:

Тогда сопротивление катушки будет:

В таком случае амплитудное значение силы тока будет следующим:

Это выражение является законом Ома для участка цепи переменного тока с катушкой. На месте активного сопротивления стоит величина поэтому его называют индуктивным сопротивлением (реактивным сопротивлением). Индуктивное сопротивление тоже измеряется в омах.

Отсюда вытекает, что сила тока, протекающего по катушке, зависит от индуктивности катушки и частоты переменного тока. Чем больше индуктивность и частота, тем больше будет сопротивление цепи, а сила протекающего тока соответственно будет меньше.

Пример №5

К цепи переменного тока с частотой 10 кГц подсоединена катушка с индуктивностью 5 Гн. Чему равно индуктивное сопротивление цепи?

Дано: Найти:

Формула:

Решение:

Закон ома для цепи переменного тока при последовательном соединении активного, индуктивного и емкостного сопротивления

Составим цепь, последовательно соединяя резистор с сопротивлением R, катушку индуктивности с индуктивностью L и конденсатор с емкостью С (рис. 3.19). На концы подаем переменное напряжение По причине последовательного соединения составных частей цепи сила тока, протекающего по ним, будет одинаковой. Пусть эта сила тока изменяется закономерностью

общее напряжение равно сумме векторов падения напряжения в потребителях:

Здесь: — общее напряжение в цепи, — напряжение на резисторе,

напряжение на конденсаторе и — напряжение на катушке. Их амплитудные значения обозначим как и построим векторную диаграмму.

Амплитуду силы тока возьмем как вектор, направленный по горизонтальной оси (рис. 3.19). Фаза колебания напряжения в активном сопротивлении соответствует фазе колебания силы тока. Колебания напряжения в конденсаторе по фазе отстают на — от колебания силы тока. В катушке колебания напряжения опережают колебания силы тока на . В векторной диаграмме напряжение в конденсаторе и напряжение в катушке направлены противоположно. Итоговое напряжение будет

Чтобы найти общее напряжение (U), вектор сложим с вектором . Из рис. следует Отсюда находим выражение максимального значения общего напряжения:

Подставим в выражение (3-22)

Это выражение называют законом Ома для полной цепи переменного тока.

подставим в выражение (3-23) и получим

сопротивление называется реактивным сопротивлением.

Выражение

называется полным сопротивлением цепи переменного тока.

Разницу фаз между колебаниями тока и колебаниями напряжения в цепи можно определить, используя векторную диаграмму:

Характерные свойства цепи переменного тока заключаются в том, что энергия, получаемая от генератора, выделяется в качестве тепловой энергии только в активном сопротивлении. В реактивном сопротивлении энергия не выделяется.

В реактивном сопротивлении энергия электрического поля периодически превращается в энергию магнитного поля и наоборот. В первой четверти периода, когда конденсатор заряжается, энергия передастся в цепь и накапливается в виде энергии электрического поля. В следующей четверти периода эта энергия снова передается в источник в виде энергии магнитного поля.

Пример №6

К источнику переменного тока с максимальным значением напряжения 120 В и частотой 100 Гц подсоединены активное сопротивление 200 Ом, конденсатор емкостью и катушка с индуктивностью 400 мГн. Найдите максимальное значение силы тока в цепи.

Дано: Найти:

Формула:

Решение:

Явление резонанса в цепи переменного тока

Полное сопротивление электрической цепи в случае последовательного соединения цепи переменного тока, сопротивления R, катушки с индуктивностью L и конденсатора с емкостью С определяется выражением

Если то разность Тогда сопротивление цепи достигнет своего минимального значения. Амплитуда силы тока цепи будет

Значит, в этих условиях амплитуда силы тока резко возрастет. Это явление называется резонансом в электрической цепи. Для наблюдения резонанса должны выполняться следующие условия

Мы знаем, что частота свободного колебания в контуре колебания, где активное сопротивление равно нулю,определяется из выражения В этом случае получается, что для появления резонанса в цепи частота внешнего периодического напряжения, приложенного к цепи, должна быть равной собственной частоте цепи

На рис. 3.21 приводится график зависимости амплитудного значения силы тока цепи от частоты внешних напряжений, приложенных к нему. График зависимости кривой резонанса.

На рис. 3.21 С увеличением частоты внешнего напряжения растет амплитудное значение тока в цепи и при достигает максимального значения. Затем с увеличением частоты значение тока уменьшается.

Рассмотренное явление резонанса называется резонансом напряжения.

Во время резонанса с увеличением тока напряжение в катушке и конденсаторе быстро растет. Их значение может быть больше, чем величины внешнего напряжения.

Во время резонанса амплитуда колебания напряжения индуктивной катушки и конденсатора будет:

В колебательных контурах выполняются условия Поэтому

напряжение катушки и конденсатора будет больше, чем напряжение,

приложенное к цепи, а с уменьшением R оно будет увеличиваться. Другими словами, при больших значениях активного сопротивления резонанс на практике не наблюдается.

В период резонанса амплитудное значение переменного тока и амплитуда общего напряжения колеблется в одинаковой фазе.

Явление резонанса широко используют в технике. В радиоприемниках принцип выделения нужных сигналов среди множества радиосигналов основан на явлении резонанса. При этом значение емкости или индуктивности в колебательном контуре входной части приемника изменяется и его собственная частота настраивается на частоту сигнала той станции, которую необходимо принять. В контуре происходит резонанс именно для сигнала выбранной частоты, и созданное им напряжение будет самым большим. В электротехнических приборах тоже применяется явление резонанса, так как во время увеличения напряжения в катушке или конденсаторе может возникнуть электрический пробой.

Пример №7

К цепи переменного тока с частотой 50 Гц подсоединена катушка с индуктивностью 100 мГн и конденсатор емкостью С. При каком значении емкости конденсатора происходит явление резонанса?
Дано: Найти:

Формула

Решение:

Сила и мощность переменного тока

Как вам известно, работа, выполненная постоянным током, определяется как произведение напряжения, силы тока и времени прохождения тока:

Для определения работы, выполненной переменным током за короткий промежуток времени, его значение рассматриваем как постоянное. В таком случае мгновенное значение выполненной работы переменного тока тоже находится из похожей формулы:

Если напряжение, приложенное к концам цепи, изменяется согласно закономерности

то сила тока в нем тоже меняется по гармоническому закону со сдвигом по фазе: Тогда для мгновенного значения выполненной работы переменного тока напишем следующее выражение:

Работа, выполненная за единицу времени, называется мощностью. Поэтому мгновенное значение мощности переменного тока можно записать в виде

Здесь мощность с истечением времени меняется и по модулю, и по знаку. В первой половине периода, если мощность передается в цепь (р>0), то во второй половине часть мощности обратно передается в сеть питания (р

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.