Уравнение колебательного движения крутильных колебаний

II. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГООБРАЗОВАНИЯ

«ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

З.Г.Морозова

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА И

КОЛЕБАТЕЛЬНОГО РАЗРЯДА КОНДЕНСАТОРА

к лабораторной работе по дисциплине «Физика»

Рекомендовано к изданию методическим советом
электротехнического факультета ФГБОУ ВПО «ВятГУ»

кандидат педагогических наук, доцент, кафедры «Прикладной математики и информатики» ФГБОУ ВПО «ВятГУ» Хохлова М.В.

© Морозова З.Г., 2015

© ФГБОУ ВПО «ВятГУ», 2015

Морозова Зоя Григорьевна.

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА И

КОЛЕБАТЕЛЬНОГО РАЗРЯДА КОНДЕНСАТОРА

к лабораторной работе по дисциплине «Физика»

Подписано в печать . Печать цифровая. Бумага для офисной техники.

Усл. печ. л. . Тираж 103 экз. Заказ .

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Вятский государственный университет»

610000, Киров, ул. Московская, 36, тел.: (8332) 64-23-56, http://vyatsu.ru

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить особенности возникающих в механических и электрических колебательных системах затухающих колебаний; измерение характеристик различных затухающих колебаний; выяснение влияния на них параметров колебательных систем.

I. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системы с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения амплитуды колебания является её превращение в теплоту вследствие; трения в механических колебательных системах, а также омических потерь и излучение электромагнитной энергии в электрических колебательных системах.

Уравнение затухающих колебаний определяется свойствами колебательных систем. Обычно рассматриваются линейные системы — идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие их физические свойства, в ходе процесса не меняются. Линейными, например, являются математический маятник при малых амплитудах колебаний; колебательный контур, если его индуктивность и ёмкость не зависят ни от тока в контуре, ни от подаваемого напряжения.

Независимо от природы колебательного процесса дифференциальное уравнение затухающих колебаний линейной системы задается в виде:

, (1)

где — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной процесс; — коэффициент затухания; — собственная циклическая частота (частота гармонических колебаний).

Решением уравнения (1) является функция:

, (2)

После нахождения первой и второй производных выражения (2) и подстановки их в уравнение (1) получим:

. (3)

Решение уравнения (3) зависит от знака коэффициента при . Если этот коэффициент положителен (затухание мало), то можно ввести величину .

, (4)

где — частота затухающих колебаний, — частота гармонических колебаний (собственная частота колебательной системы), — коэффициент затухания.

С учетом выражения (4) уравнение (3)запишется:

,

решением этого уравнения является функция вида

. (5)

Следовательно, с учётом уравнений (2) и (5) решение уравнения (1) запишется:

, (6)

где — начальная амплитуда.

, (7)

где — амплитуда затухающих колебаний.

График зависимости S(t) при затухающих колебаниях (6) приведена на рис. 1.

Затухающие колебания не являются периодическими, так как максимальное значение колеблющейся величины S₁, достигнутое в некоторый момент времени t₁ в последующем (при t > t₁) никогда не повторится. Однако, при затухающих колебаниях величина S обращается в нуль, а также достигает максимальных значений через равные промежутки времени:

. (8)

Величину Т обычно называют периодом (условным периодом) затухающих колебаний.

При отсутствии затухания частота колебаний (4) совпадает с частотой свободных незатухающих (гармонических) колебаний, а период затухающих колебаний совпадает с периодом гармонических колебаний Т₀. При условии движение вообще перестает быть колебательным — процесс становится апериодическим и, если , решение (6) дифференциального уравнения можно представить в виде

,

причём очевидно, что . Это простая экспоненциальная функция никакого колебания не содержит.

График апериодического движения приведен на рис. 2.

Время в течение, которого амплитуда затухающего колебания (7) уменьшается в раз — время релаксации . Очевидно, что будет определять скорость затухания. Коэффициент затухания .-величина обратная времени релаксации .

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний используется логарифмический декремент затухания.

Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина равная натуральному логарифму отношения значения амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t+T .

, (9)

где и — амплитуды двух последовательных колебаний, — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз.

Для характеристики изменения энергии колебательной системы используют понятие добротности . Добротность колебательной системы — безразмерная величина , равная произведению на отношение энергии системы в не который момент времени к убыли этой энергии W за один период затухающих колебаний:

.

Так как пропорциональна квадрату амплитуды колебаний , то

. (10)

При условии малого затухания и , , тогда

, (11)

где Т= — период незатухающих колебаний, частота затухающих колебаний = при малых затуханиях. Из уравнения (11) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний , совершаемых колебательной системой за время релаксации.

Полученные общие выводы можем применить для конкретных линейных систем.

В данной работе изучаются механические затухающие колебания на примере крутильного маятника и электромагнитные затухающие колебания на примере электрического колебательного контура.

II. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

В данной лабораторной работе механические колебания изучаются на примере крутильного маятника, представляющего собой массивное тело цилиндрической формы, подвешенное на упругой нити. Схема маятника изображена на рис. 3. Для торможения движения маятника используется трансформаторное масло, налитое в стакан С.

При закручивании маятника на угол , в нити возникают упругие напряжения, стремящиеся вернуть маятник в положение равновесия. При малых углах момент этих упругих сил М на основании закона Гука пропорционален углу поворота маятника

,

где — коэффициент пропорциональности, называемый модулем кручения. Момент силтрения М _тр, препятствующих движению, пропорционален скорости вращения, т.е.

,

где — коэффициент сопротивления, — угловая скорость.

Если — момент инерции маятника, то на основании основного закона динамики вращательного движения результирующий момент сил, действующих на маятник равен:

. (12)

Введя обозначения и , последнее уравнение (12) перепишется:

. (13)

Уравнение (13) совпадает с уравнением (1) и, следовательно, крутильные колебания маятника будут происходить по закону затухающих колебаний (6).

Если за некоторое время маятник совершит полных колебаний, то амплитуда уменьшится в число раз, равное

(14)

где — амплитуда колебаний в начальный момент времени, — амплитуда через секунд.

По определению время N колебаний равно

Логарифмический декремент затухания (6)c учетом (14) равен:

. (15)

Добротность маятника при малых колебаниях определяется из уравнения (11) с учетом уравнений (12)и (13) по формуле:

. (16)

МУ 4970: Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Лабораторная работа 1-20: Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний

Цель работы: изучение динамики вращательного движения твердых тел, знакомство с одним из методов определения моментов инерции тел – методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности: унифилярный подвес ФПМ05, снабженный набором твердых тел (грузов) различной формы и электронным миллисекундомером.

Элементы теории

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеет вид:

М – момент действующих на тело сил, взятый относительно оси вращения;

I – момент инерции тела относительно той же оси;

ϕ′′ – угловое ускорение тела.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется величина, равная произведению массы m точки и квадрата её расстояния r от оси:

Для протяженных тел момент инерции определяется как сумма моментов инерции отдельных материальных точек (элементарных масс △mi ), на которые можно разбить тело:

В предельном случае, когда число элементарных масс стремится к бесконечности, сумма переходит в интеграл:

Как видно из определения, момент инерции тела есть величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей, а момент инерции системы равен сумме моментов инерции тел, входящих в систему.

Существуют различные способы экспериментального определения моментов инерции твердых тел. В данной работе используется метод вращательных (крутильных) колебаний.

Исследуемая система представляет собой твердое тело (например, брусок), подвешенное на струне, концы которой закреплены (рис. 1). После отклонения бруска на некоторый угол j от положения равновесия система начнет совершать крутильные колебания.

На основании формулы (1) уравнение движения бруска при малых углах отклонения ϕ примет вид:

I – момент инерции бруска относительно оси вращения;

r – коэффициент момента сил сопротивления;

k – коэффициент возвращающего (упругого) момента.

Коэффициент r численно равен моменту сил сопротивления при угловой скорости ϕ , равной 1 рад/с. А коэффициент k численно равен моменту упругих сил, возникающих при закручивании нити (струны) на угол, равный 1 рад.

Если сопротивление среды невелико, то первым членом правой части в уравнении (5) можно пренебречь и записать его в виде:

Обозначив kI = w 2 , окончательно получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний:

Решение этого уравнения имеет вид:

ϕ₀ – угловая амплитуда колебаний;

Как следует из приведенного решения (7), тело будет совершать гармонические колебания около положения равновесия. Циклическая частота w и период колебаний Т определяются величинами I и k по формулам:

Описание экспериментальной установки

Работа выполняется на установке – унифилярном подвесе ФПМ05, общий вид которого изображен на рис. 2.

Подвес представляет собой настольный прибор, на вертикальной стойке 1 которого размещены верхний и нижний кронштейны 2. Между кронштейнами 2 на стальной проволоке 3 подвешена рамка 4, предназначенная для установки и закрепления исследуемых тел 5, имеющих различные формы. В центрах граней грузов, в серединах их ребер и у вершин имеются углубления для закрепления в рамке.

На кронштейне 6 размещены: шкала 7, предназначенная для определения начального угла поворота рамки, электромагнит 8 для фиксации рамки в заданном положении и блок питания электромагнита 12. Электромагнит фиксируется в требуемом положении винтом 9.

На том же кронштейне 6 закреплен фотоэлектрический датчик 10. На основании 13 размещен миллисекундомер физический комбинированный 11, служащий для отсчета времени и числа колебаний.

В качестве исследуемых тел используются металлические грузы: цилиндр, параллелепипед и куб. Исследуемый груз закрепляется в рамке, начальное положение которой фиксируется электромагнитом. После отключения электромагнита (тумблер на блоке питания) рамка с грузом начинает совершать крутильные колебания.

Во время колебаний флажок, установленный на рамке, пересекает световой поток в щели фотоэлектрического датчика и сигнал, снимаемый с фотодиода, поступает на миллисекундомер.

Метод крутильных колебаний

Этот метод заключается в следующем. Тело с неизвестным моментом инерции I закрепляют в рамке подвеса. Период колебания такой системы будет равен

I₀ – момент инерции ненагруженной рамки,

k – коэффициент упругости проволоки подвеса.

Согласно формуле (9) момент инерции I исследуемого тела можно вычислить, зная величины T, I₀ и k. Период T колебаний несложно определить, измерив время t, за которое совершается N полных колебаний:

Для того, чтобы исключить неизвестные величины I₀ и k, нужно измерить время t₀ колебаний ненагруженной рамки, а также время t_Э колебаний рамки, нагруженной эталонным телом – телом с известным моментом инерции I_Э.

Таким образом, получаем систему уравнений:

Решая данную систему уравнений, получаем формулу для момента инерции выбранного нами тела:

Из выражения (12) следуют формулы для предельной относительной погрешности определяемого момента инерции:

△ t – погрешность измерения промежутка времени N полных колебаний рамки (предполагается, что эта погрешность одинакова для всех трех случаев измерения: t₀, t и t_э).

Формулы (12) и (13) являются основными формулами для обработки результатов измерений, однако расчет существенно упрощается, если формулу (12) переписать в виде:

Если, кроме того, измеряемые промежутки времени t и t_эразличаются незначительно, то малым по сравнению с единицей членом но пренебречь и представить (14) в виде:

Справедливость формулы (15) проверяется путем сравнения величины (t — t_э) (t_э+ t₀ ) с относительной погрешностью результата E_I, определяемой уравнением (13). Она справедлива, если:

Из уравнения (13) также следует, что чем больше полное время колебаний рамки, тем точнее получается результат. Поэтому в процессе прямых измерений рекомендуется измерять времена t₀, t и t_эдля

N = 50 колебаний рамки.

Задание

В задание входит определение моментов инерции двух тел различной формы относительно их центра масс теоретически и экспериментально.

Для теоретического расчёта моментов инерции по известным массам и размерам тел используются следующие выражения:

Iц и Iп — моменты инерции цилиндра и параллелепипеда соответственно;

R – радиус цилиндра;

a, b – размеры параллелепипеда.

Расчёт моментов инерции данных тел по экспериментально полученным данным производится по формулам (14) или (15). Необходимо также оценить абсолютные и относительные погрешности рассчитанных моментов инерции исследуемых грузов.

Порядок выполнения работы

Подготовка установки к работе

1. Включите в сеть шнур питания миллисекундомера. Нажмите кнопку «СЕТЬ» на лицевой панели, при этом должны загореться цифровые индикаторы.
2. После прогрева миллисекундомера (1–2 минуты) включите тумблер блока питания электромагнита.
3. Ослабив стопорный винт электромагнита, установите его на угол, указанный преподавателем, в пределах 60-100º. Зафиксируйте электромагнит в этом положении тем же самым винтом.
4. Поверните рамку так, чтобы металлический флажок, установленный на рамке, коснулся якоря электромагнита. При этом флажок притянется к якорю и рамка займет фиксированное положение.
5. С помощью кнопок «СТОП» и «СБРОС» миллисекундомера обнулите счетчики числа и времени колебаний. Прибор готов к работе.

Проведение измерений

1. Выключите тумблер блока питания электромагнита, при этом рамка начнет совершать колебательное движение и запустятся счетчики миллисекундомера. После N–1 полных колебаний рамки нажмите кнопку «СТОП» – отсчетное устройство, доработав до конца 50-го колебания, остановит счетчики. Запишите время t₀– время 50-ти колебаний ненагруженной рамки. Число полных колебаний рамки может быть задано преподавателем дополнительно в пределах 30-60.

Остановив рукой колеблющуюся рамку, повторите операции, описанные в пп. 1.4, 1.5 и 2.1, еще два раза. Результаты измерений занесите в заранее подготовленную таблицу.

1. Для закрепления исследуемого тела в рамке остановите рамку и освободите подвижную планку, отвернув гайки боковых цанг.
2. Поднимите планку по направляющим и, придерживая её рукой, установите груз так, чтобы соответствующее углубление в центре одной из граней вошло в выступ на нижней перекладине рамки.
3. Опустите подвижную планку по направляющим, затяните гайки боковых цанг и подожмите исследуемое тело винтом, находящимся на подвижной планке.
4. Включите электромагнит и повторите операции, описанные в пп. 1.4, 1.5 и 2.1, три раза, результаты измерений занесите в таблицу.
5. Для замены груза остановите рамку, отпустите гайки боковых цанг, переместите подвижную планку вверх и замените первый груз на второй, закрепив его в рамке, как указано в п. 2.4.
6. Измерьте время 50-ти полных колебаний второго груза и эта- лонного тела по методике, описанной выше. В качестве эталонного тела можно использовать куб или цилиндр по указанию преподавателя. Результаты измерений занесите в таблицу.
7. Измерьте размеры исследуемых тел простейшим измерительным прибором (штангенциркулем) и запишите эти значения, а также массу грузов в отчёт о лабораторной работе.

Порядок расчёта

1. По выражениям (17), определяющим моменты инерции данных тел через массу и размеры, рассчитайте момент инерции эталонного тела (цилиндра или куба по указанию преподавателя). Оцените абсолютную погрешность по формулам:

R – радиус цилиндра;

a – сторона куба;

Jэц и Jэк моменты инерции цилиндра и куба, рассчитанные по выражениям (17);

△R и △a – систематическая погрешность измерений радиуса цилиндра и стороны куба соответственно.

1. Рассчитайте относительную погрешность момента инерции эталонного тела.
2. Используя данные таблицы, вычислите абсолютную и относительную погрешности измеренных промежутков времени t0 , t1 , t2 .
3. По средним значениям промежутков времени N полных колебаний рамки с исследуемыми телами и без оцените относительные погрешности моментов инерции исследуемых тел по выражению (13).

Сравните последние с величиной |t — t_э| / (t_э+ t₀ ) . Если неравенство (16) выполняется, то расчёт моментов инерции исследуемых грузов можно производить, применяя упрощённую формулу (15). В противном случае нужно использовать более точное выражение (14). Рассчитайте по соответствующим формулам моменты инерции исследуемых тел, а также абсолютные погрешности этих моментов инерции.

1. По выражениям (17) вычислите теоретические моменты инерции исследуемых тел через массу и размеры. Оцените абсолютные по- грешности полученных значений моментов инерции по формулам (18) и (19), а также относительные погрешности.
2. Сравните экспериментально полученные значения моментов инерции исследуемых тел с результатами расчётов по теоретическим формулам и сделайте соответствующие выводы.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
2. Дайте определение момента инерции твердого тела. Как его рассчитать теоретически?
3. Получите дифференциальное уравнение крутильных колебаний, прокомментируйте его.
4. Запишите уравнение колебательного движения крутильных колебаний. Чем определяется их период?
5. Каковы прямые измерения в данной работе? В чем состоит роль эталонного тела?

Используя формулу (4), покажите, что моменты инерции цилиндра и прямоугольного параллелепипеда (рис. 3) относительно вертикальной оси их симметрии, проходящей через центр их масс, определяются выражениями (17).

Библиографический список

1. Савельев И.В. Курс физики: учебник. 4-е изд. т. 1: Механика. Молекулярная физика. М.: Лань, 2008. 354 с.
2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики: учеб. пособие для вузов. 8-е изд. М.: Академия, 2009. 720 с.
3. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. 18-е изд. М.: Академия, 2010. 560 с.

Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний: методические указания к лабораторной работе / Рязан. гос. радио- техн. ун-т; cост.: М.А. Буробин, А.В. Брыков, Ю.В. Черкасова. Рязань, 2016. 8 с.

Представлена краткая теория крутильных колебаний, описан метод унифилярного подвеса. Приводятся порядок выполнения работы, методические указания по расчету погрешностей, контрольные вопросы и список рекомендуемой литературы.

Предназначены для студентов всех направлений подготовки бакалавров и специальностей, изучающих дисциплину «Физика».

Табл. 1. Ил. 3. Библиогр.: 3 назв.

Вращательное движение твердого тела, момент инерции, крутильные колебания

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра общей и экспериментальной физики РГРТУ (зав. кафедрой доц. М.В. Дубков)

Определение моментов инерции тел методом крутильных колебаний Составители: Буробин Михаил Анатольевич

Брыков Александр Валериевич Черкасова Юлия Вадимовна

Редактор М.Е. Цветкова Корректор С.В. Макушина

Подписано в печать 15.02.16. Формат бумаги 60×84 1/16.

Бумага писчая. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 0,5.

Тираж 200 экз. Заказ

Рязанский государственный радиотехнический университет.

1.1. Уравнение гармонических колебаний

В этом разделе мы покажем, что уравнения колебательного движения многих систем, в сущности, одинаковы, так что различные физические процессы могут быть описаны одними и теми же математическими формулами.

Пружинный маятник — это система, состоящая из шарика массой m, подвешенного на пружине длиной .

Рис. 1.2. К выводу уравнения движения для пружинного маятника

В положении равновесия (рис. 1.2) сила тяжести уравновешивается упругой силой :

где – статическое удлинение пружины. Направим ось x вниз и выберем начало отсчета так, что координата x = 0 соответствует положению неподвижного шарика в положении равновесия.

Если теперь оттянуть шарик от положения равновесия на расстояние x, то полное удлинение пружины станет равным . По закону Гука проекция результирующей силы на ось ОХ будет тогда равна

Знак минус означает, что сила стремится уменьшить отклонение от положения равновесия. Полученное выражение соответствует упругой силе слабо деформированной пружины.

Запишем теперь уравнение второго закона Ньютона:

Его можно также представить в виде:

Математический маятник

Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Будем характеризовать отклонение маятника от положения равновесия углом , который образует нить с вертикалью (рис. 1.3).

Рис. 1.3. К выводу уравнения движения математического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на материальную точку массой m действуют сила тяжести и сила натяжения нити . Соответственно, уравнение движения этой материальной точки имеет вид

.

Проецируя его на направления нормали и касательной к траектории (окружности радиуса ), получаем

Модуль скорости равен , учитывая, что при движении точки к положению равновесия угол убывает, а скорость точки растет, напишем

.

Тогда второе из написанных выше уравнений движения приобретает вид

При малых отклонениях маятника от вертикали, когда ,

Физический маятник

Физический маятник — это протяженное колеблющееся тело, закрепленное на оси. Его размеры таковы, что его невозможно рассматривать как материальную точку.

Пример физического маятника приведен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. К выводу уравнения движения физического маятника

При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен

где m – масса маятника, а l – расстояние 0C между точкой подвеса 0 и центром масс C маятника.

Рассматривая как вектор, связанный с направлением поворота правилом правого винта, противоположность знаков и можно объяснить тем, что векторы и направлены в противоположные стороны. Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, как I, для маятника можно записать основное уравнение динамики вращательного движения:

Ограничимся рассмотрением малых отклонений от положения равновесия:

В этом случае уравнение колебаний принимает вид:

В случае, когда физический маятник можно представить как материальную точку, колеблющуюся на нити длиной l, момент инерции равен

и мы приходим к уравнению (1.6) движения математического маятника.

Колебания поршня в сосуде с идеальным газом

Рассмотрим цилиндр с площадью поперечного сечения , в который вставлен поршень массы (рис. 1.5). Под поршнем в цилиндре идеальный газ с показателем адиабаты , над поршнем воздух с постоянным (атмосферным) давлением . Поршень может двигаться в цилиндре вверх и вниз без трения. Будем считать, что в равновесии объем идеального газа под поршнем равен и изменения объема газа, обусловленные движением поршня, происходят адиабатно, то есть без теплообмена со стенками цилиндра и поршнем.

Рис. 1.5. Колебания поршня, закрывающего сосуд с идеальным газом

В состоянии равновесия давление в газе под поршнем складывается из атмосферного давления и давления , оказываемого поршнем. Обозначим это результирующее давление :

Переместим поршень на расстояние x вверх. Объем сосуда увеличится и станет равным

Соответственно уменьшится давление. В силу предположения об отсутствии теплообмена, новое давление в газе можно найти из уравнения адиабаты Пуассона

Здесь — показатель адиабаты, зависящий от числа степеней свободы молекул газа.

При малых колебаниях, когда изменение объема газа много меньше его «равновесной» величины , то есть когда

выражение (1.11) можно разложить в ряд Тейлора:

На поршень действуют три силы: сила атмосферного давления , сила давления газа под поршнем и сила тяжести . Знаки сил соответствуют выбору положительного направления оси x вверх. Используя (1.10) и (1.12), находим для равнодействующей этих сил:

Используя (1.13), уравнение движения поршня