Уравнение колебательных движений имеет вид циклическая частота

Гармонические колебания

Колебательное движение – движение (изменение состояния), обладающее той или иной степенью повторяемости во времени.

Т.е. колебанием можно назвать любой вид движения, при котором через одинаковые промежутки времени повторяются кинематические характеристики движения (координата, скорость, ускорение).

Гармоническими колебаниями называются колебания, кинематические характеристики в которых меняются по закону синуса или косинуса.

Рис. 1. Колебательное движение. Вывод через окружность. Начальные условия

Для визуализации, представим вращательное движение в виде колебательного движения вдоль двух взаимно перпендикулярных осей.

Пусть тело, вращающееся по окружности радиуса A, в начале движения находилось в точке C. Пусть в начале движения радиус-вектор, описывающий выбранную точку, наклонён под углом к оси OX. Определим начальные координаты тела (исходя из проекций радиуса на оси):

Рис. 2. Колебательное движение. Вывод через окружность

Пусть через время тело, вращаясь с угловой скоростью , переместилось в точку D. При этом угол поворота радиус-вектора, относительно начального положения составил (рис. 2).

Определим текущие координаты тела тем же методом:

Учитывая, что при равномерном движении по окружности , получим:

Уравнения (5) и (6) являются законом движения материальной точки при гармонических колебаниях. Причём, одним и тем же законом, так как с тригонометрической точки зрения , тогда из (5):

• где — новый параметр, характеризующий некое другое начальное положение тела.

Таким образом, уравнения (5) и (6), по сути, являются одинаковыми уравнениями только при разных начальных условиях.

Разберём уравнение (5). Каждый из введённых параметров, имея аналог во вращательном движении, описывается по-другому в колебательном движении:

• где
  • — текущая координата тела,
  • — амплитуда колебаний (максимальное отклонение тела от положения равновесия)
  • — циклическая частота колебания
  • — время движения
  • — начальная фаза колебания
  • — текущая фаза колебания (всё, что стоит под тригонометрической функцией).

Зная общий вид колебательного движения, можем найти зависимости скорости и ускорения от времени. Для уравнения (5):

Аналогичным образом можно провести рассмотрение уравнения (6).

Проанализируем (5) и (8), исходя из внешнего вида правой части обоих уравнений, можем вывести:

Уравнение (9) называется основным уравнением гармонических колебаний.

Среди параметров колебаний также присутствуют параметры, знакомые нам по вращательному движению:

• где
  • — циклическая частота колебаний
  • — период колебаний
  • — частота колебания.

Вывод: для школьных задач почти все колебания являются гармоническими и описываются соотношениями (5), (6). Соответствующие скорость и ускорение частицы рассчитываются исходя из конкретного колебания. Параметры колебания также рассчитываются формульно.

Циклическая частота колебаний

Мерой колебательного движения служит циклическая (или угловая, или круговая) частотой колебаний.

Это скалярная физическая величина.

Циклическая частота при гармонических колебаниях

Пусть колебания совершает материальная точка. При этом материальная точка через равные промежутки времени проходит через одно и то же положение.

Самыми простыми колебаниями являются гармонические колебания. Рассмотрим следующую кинематическую модель. Точка M с постоянной по модулю скоростью ($v$) движется по окружности радиуса A. В этом случае ее угловую скорость обозначим $<\omega >_0$, эта скорость постоянна (рис.1).

Проекция точки $M$ на диаметр окружности (точка $N$), на ось X, выполняет колебания от $N_1$ до $N_2\ $и обратно. Такое колебание N ,будет гармоническим. Для описания колебания точки N необходимо записать координату точки N, как функцию от времени ($t$). Пусть при $t=0$ радиус OM образует с осью X угол $<\varphi >_0$. Через некоторый промежуток времени этот угол изменится на величину $<\omega >_0t$ и будет равен $<\omega >_0t+<\varphi >_0$, тогда:

Выражение (1) является аналитической формой записи гармонического колебания точки N по диаметру $N_1N_2$.

Обратимся к выражению (1). Величина $A$ — это максимальное отклонение точки, совершающей колебания, от положения равновесия (точки О — центра окружности), называется амплитудой колебаний.

Параметр $<\omega >_0$ — циклическая частота колебаний. $\varphi =(<\omega >_0t+<\varphi >_0$) — фаза колебаний; $<\varphi >_0$ — начальная фаза колебаний.

Циклическую частоту гармонических колебаний можно определить как частную производную от фазы колебаний по времени:

При $<\varphi >_0=0$, уравнение колебаний (1) преобразуется к виду:

Если начальная фаза колебаний равна $<\varphi >_0=\frac<\pi ><2>$ , то получим уравнение колебаний в виде:

Выражения (3) и (4) показывают, что при гармонических колебаниях абсцисса $x$ — это функция синус или косинус от времени. При графическом изображении гармонических колебаний получается косинусоида или синусоида. Форма кривой определена амплитудой колебаний и величиной циклической частоты. Положение кривой зависит от начальной фазы.

Циклическую частоту колебаний можно выразить через период (T) колебаний:

Циклическую частоту с частотой $?$$?$ свяжем выражением:

Единицей измерения циклической частоты в Международной системе единиц (СИ) является радиан, деленный на секунду:

Размерность циклической частоты:

Частные случаи формул для вычисления циклической частоты

Груз на пружине (пружинный маятник — идеальная модель) совершает гармонические колебания с круговой частотой равной:

$k$ — коэффициент упругости пружины; $m$ — масса груза на пружине.

Малые колебания физического маятника будут приблизительно гармоническими колебаниями с циклической частотой равной:

где $J$ — момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ — расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ — масса маятника.

Примером физического маятника является математический маятник. Круговая частота его колебаний равна:

где $l$ — длина подвеса.

Угловая частота затухающих колебаний находится как:

где $\delta $ — коэффициент затухания; в случае с затуханием колебаний $<\omega >_0$ называют собственной угловой частотой колебаний.

Примеры задач с решением

Задание: Чему равна циклическая частота гармонических колебаний, если максимальная скорость материальной точки равна $<\dot>_=10\ \frac<см><с>$, а ее максимальное ускорение $<\ddot>_=100\ \frac<см><с^2>$?

Решение: Основой решения задачи станет уравнение гармонических колебаний точки, так как из условий, очевидно, что они происходят по оси X:

Скорость колебаний найдем, используя уравнение (1.1) и кинематическую связь координаты $x$ и соответствующей компоненты скорости:

Максимальное значение скорости (амплитуда скорости) равна:

Ускорение точки вычислим как:

Из формулы (1.3) выразим амплитуду, подставим ее в (1.5), получим циклическую частоту:

Вычислим циклическую частоту:

Задание: На длинном невесомом стержне закреплены два груза одинаковой массы. Один груз находится на середине стержня, другой на его конце (рис.2). Система совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стрежня. Какова циклическая частота колебаний? Длина стержня равна $l$.

Решение: Основой для решения задачи является формула нахождения частоты колебаний физического маятника:

где $J$ — момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ — расстояние между центром масс маятника и точкой подвеса; $m$ — масса маятника. Масса маятника по условию задачи состоит из масс двух одинаковых шариков (масса одного шарика $\frac<2>$). В нашем случае расстояние $a$ равно расстоянию между точками O и C (см. рис.2):

Найдем момент инерции системы из двух точечных масс. Относительно центра масс (если ось вращения провести через точку C), момент инерции системы ($J_0$) равен:

Момент инерции нашей системы относительно оси, проходящей через точку О найдем по теореме Штейнера:

Подставим правые части выражение (2.2) и (2.4) в (2.1) вместо соответствующих величин:

Гармонические колебания

Техника и окружающий мир являются примерами того, что существуют такие процессы, которые повторяются через определенные промежутки времени, то есть периодически. Их называют колебательными.

Колебательные движения. Формулы

Такие движения относят к явлениям с разной физической природой с подчинением общим закономерностям. Запись колебания тока в электрической цепи и математического маятника производится одним и тем же уравнением. Различная природа колебательных движений позволяет рассматривать их с единой точки зрения, исходя из общности закономерностей.

Механические колебания – это периодические или непериодические изменения физической величины, описывающей механическое движение (скорость, перемещение и так далее).

Когда в заданной среде атомы располагаются очень близко или молекулы испытывают силовое воздействие, наблюдается возбуждение механических колебаний. Это говорит о том, что процесс будет иметь конечную скорость, зависящую от свойств среды, которая распространяется от точки к точке. Так возникают механические волны. Явный пример – звуковые волны в воздухе.

Волновые процессы и колебания разной природы имеют много общего, а их распространение может быть описано аналогичными математическими уравнениями. Это подтверждает единство материального мира.

Гармонические колебания. Определение

В механике предусмотрено движение поступательно, вращательно и с наличием колебаний.

Механические колебания – это движения тел, которые повторяются точно или приблизительно за определенные одинаковые временные промежутки.

Функция x = f ( t ) объясняет закон движения тела с наличием колебаний. При графическом изображении дается представление о протекании колебательного процесса во времени. Рисунок 2 . 1 . 1 наглядно показывает принцип простых колебательных систем груза на пружине или математического маятника.

Рисунок 2 . 1 . 1 . Механические колебательные системы.

Механические колебания подразделяют на свободные и вынужденные.

Действия внутренних сил системы после выведения из равновесия порождают свободные колебания. Примером могут служить колебания груза на пружине или маятника. Если их действие происходит под воздействием внешних сил, тогда их называют вынужденными.

Простейшим видом колебаний являются гармонические колебания, которые описываются уравнением x = x m cos ( ω t + φ 0 ) , где x – смещение тела от положения равновесия, x m – амплитуда колебаний, ω – циклическая или круговая частота, t – время.

Величина, располагаемая под знаком косинуса, получила название фазы гармонического процесса: φ = ω t + φ 0 . Если t = 0 , φ = φ 0 , тогда φ 0 рассматривается в качестве начальной фазы.

Период колебаний Т – это минимальный промежуток времени, через который происходят повторения движения тела. Величина, обратная периоду колебаний, называют частотой колебаний f = 1 T .

Частота гармонических колебаний показывает их количество, совершаемое за единицу времени, измеряемая в герцах ( Г ) . Связь с циклической частотой ω и периодом T выражается с помощью формулы:

ω = 2 π f = 2 π T .

Рисунок 2 . 1 . 2 показывает гармонические колебания тел с разными положениями тел. Данный эксперимент наблюдается в специальных условиях при наличии периодических вспышек освещения, называемого стробоскопическим. Для изображения векторов скорости тела в разные моменты времени используют стрелки.

Рисунок 2 . 1 . 2 . Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ 0 = 0 . Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T 12 .

На графике 2 . 1 . 3 . показаны изменения, происходящие во время гармонического процесса, при изменении амплитуды колебаний x m , или периода Т (частоты f ), или начальной фазы φ 0 .

Рисунок 2 . 1 . 3 . Во всех трех случаях для синих кривых φ 0 = 0 : a – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой ( x ‘ m > x m ) ; b – красная кривая отличается от синей только значением периода ( T ‘ = T 2 ) ; с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы φ 0 ‘ = — π 2 р а д .

Гармонический закон

Если колебания совершаются вдоль прямой О х , тогда направление вектора скорости аналогично. Определение скорости движения тела υ = υ x определяют из выражения υ = ∆ x ∆ t ; ∆ t → 0 .

Отношение ∆ x ∆ t при ∆ t → 0 математика трактует как вычисление производной функции x ( t ) за определенное время t . Обозначение принимает вид d x ( t ) d t , x ‘ ( t ) или x ˙ .

Гармонический закон движения записывается в качестве x = x m cos ( ω t + φ 0 ) . После вычисления производной формула приобретает вид:

υ = x ˙ ( t ) = — ω x m sin ( ω t + φ 0 ) = ω x m cos ω t + φ 0 + π 2 .

Слагаемое + π 2 считают изменением начальной фазы. Достижение максимального значения скорости по модулю υ = ω x m производится при прохождении тела через положение равновесия, то есть x = 0 . Аналогично определяют ускорение a = a x . Тогда a = ∆ υ ∆ t , ∆ t → 0 . Отсюда следует, что a равняется производной функции υ ( t ) за время t или второй производной функции x ( t ) . Подставив выражения, получим

a = υ ˙ ( t ) = x ¨ ( t ) = — ω 2 x m cos ( ω t + φ 0 ) = — ω 2 x ( t ) .

Наличие отрицательного знака указывает на то, что ускорение a ( t ) имеет противоположный смещению x ( t ) знак. Исходя из второго закона Ньютона, сила, которая заставляет совершать колебательные движения, направляется в сторону положения равновесия x = 0 .

На рисунке 2 . 1 . 4 изображены графики, где имеются зависимости скорости, ускорения, совершающие гармонические колебания.

Рисунок 2 . 1 . 4 . Графики координаты x ( t ) , скорости υ ( t ) и ускорения a ( t ) тела, совершающего гармонические колебания.

Рисунок 2 . 1 . 5 . Модель гармонических колебаний.