Уравнение количества движения уравнение импульсов

Глава 9. Двигаем объекты: количество движения и импульс

• Измеряем количество движения
• Вычисляем импульс
• Выясняем связь между силой и изменением импульса
• Разбираемся с законом сохранения импульса
• Знакомимся с разными типами столкновений

Эта глава посвящена понятиям, которые следует учитывать при изучении движения объектов, а именно с импульсом и моментом импульса. Оба эти понятия играют большую роль в двух разделах механики: кинематике, посвященной изучению движения объектов, и динамике, посвященной изучению взаимодействия объектов. Владея этими понятиями, можно легко описывать поведение объектов при столкновениях: с какой скоростью продолжат движение сталкивающиеся объекты (не хотелось бы, чтобы на их месте были ваш автомобиль или велосипед), в каком направлении продолжит движение теннисный мячик после столкновения с ракеткой, насколько глубоко дротик для игры в дартс вонзится в мишень и т.п. Чтобы получить ответы на эти и многие другие вопросы, нужно очень хорошо представлять себе, что такое импульс и момент импульса. Описанию именно этих понятий и посвящается данная глава.

Изучаем количество движения

В физике импульсом называется количество движения, которое приобретает тело под действием заданной силы за определенное время. Играя в бильярд, нетрудно убедиться в разнообразных проявлениях импульса. Чем сильнее и быстрее удар кия по шару, тем интенсивнее движется шар. Чем больше столкновений испытает шар, тем менее интенсивным становится его движение.

В повседневных ситуациях мы привыкли говорить, что тому или иному объекту или событию придают импульс. Рассмотрим процесс передачи импульса более подробно на примере бильярдного кия и шара. Процесс передачи импульса начинается в момент ​ \( t_0 \) ​ первого соприкосновения кия с шаром и заканчивается в момент ​ \( t_1 \) ​ утраты контакта между кием и шаром. В общем зависимость силы воздействия кия на шар от времени имеет сложный характер. Однако доя простоты можно положить, что она линейно возрастает от нулевого значения в момент \( t_0 \) первого соприкосновения, достигает максимального значения в момент наибольшего контакта, а потом снижается до нуля в момент \( t_1 \) утраты контакта между кием и шаром. Эта идеализированная зависимость силы взаимодействия кия и шара от времени графически показана на рис. 9.1.

Время взаимодействия кия и шара очень мало (несколько долей секунды), и зафиксировать характер изменения силы можно только с помощью очень точного оборудования. Обычно физики используют не точные мгновенные значения, а усредненные величины. Например, в данном примере приобретенный шаром импульс ​ \( \mathbf

\) ​ равен произведению средней силы взаимодействия ​ \( \mathbf<\overline> \) ​ и времени взаимодействия ​ \( \Delta=t_1-t_0 \) ​:

Обратите внимание, что эта формула связывает векторы силы и импульса. Действительно, импульс — это вектор, обладающий некоторой величиной и направлением, совпадающим с направлением силы, например результирующей векторной суммы всех действующих на объект сил.

Из этой формулы ясно, что изменение импульса измеряется в системе СИ в ньютонах в секунду (Н·с), а в системе СГС — в динах-секундах (дин·с).

Получаем импульс

Изменение импульса (т.е. определенного количества движения) объекта означает изменение характера его движения. Причем это изменение зависит от массы и скорости объекта, поскольку импульс равен произведению скорости и массы объекта. Импульс является очень важной физической концепцией, которая используется не только в начальном курсе физики, но и в некоторых очень сложных разделах физики, например в физике элементарных частиц, где компоненты атомов носятся с огромными скоростями. Именно на основании анализа импульсов до и после столкновения элементарных частиц ученые могут делать выводы о поведении субатомного мира.

Общая идея импульса понятна даже тем, кому незнакомо это понятие. Не так уж легко остановить тележку, которая катится по склону горы. Дело в том, что тележка массивна и обладает большой скоростью. Еще труднее остановить огромный нефтяной танкер. Порой для полной остановки крупного танкера требуется около 30 км тормозного пути! И все это из-за огромного импульса, которым он обладает.

Чем больше масса движущегося объекта (представьте себе огромный танкер) и чем больше скорость объекта (представьте себе быстро плывущий танкер), тем больше импульс объекта.

Итак, импульс объекта равен:

Как видите, импульс — это вектор с определенной величиной и направлением (о векторах подробнее рассказывается в главе 4). Импульс, как и количество движения, измеряется в системе СИ в ньютонах в секунду (Н·с), а в системе СГС — в динах-секундах (дин·с).

Связываем работу силы и изменение импульса

Придать объекту импульс так же просто, как ударить клюшкой для гольфа по мячу. Достаточно применить элементарные алгебраические преобразования ко второму закону Ньютона и мы получим связь между работой силы и изменением импульса. С чего начать? Начнем со связи силы и скорости. Как известно, ускорение определяется следующей формулой:

где ​ \( \Delta \) ​ — это изменение скорости за промежуток времени \( \Delta\) , ​ \( v_0 \) ​ — это начальная скорость в момент времени \( t_0 \) , a ​ \( v_1 \) ​ — это конечная скорость в момент времени \( t_1 \) . Теперь, если умножить обе части этой формулы на массу объекта ​ \( m \) ​, то слева получим:

Теперь, чтобы получить связь силы с импульсом объекта, умножим эту формулу на промежуток времени \( \Delta\) и получим:

Посмотрите повнимательнее на правую часть формулы ​ \( m(v_1-v_0) \) ​. Поскольку импульс объекта с массой ​ \( m \) ​ равен ​ \( p=mv \) ​, то эта часть формулы выражает разницу конечного ​ \( p_1=mv_1 \) ​ и начального \( p_0=mv_0 \) импульса, т.е.:

Следовательно, в итоге получим:

Итак, справа имеем силу, умноженную на промежуток времени ее действия, т.е. ​ \( F\Delta\) ​, а слева — изменение импульса ​ \( \Delta

\) ​. Убирая промежуточные выкладки, получим искомую формулу связи силы и изменения импульса объекта:

Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы за то же время. (Его не следует путать с понятием импульс объекта ​ \( p=mv \) ​. Применение обоих этих понятий часто приводит к путанице, и потому понятие импульс силы используется довольно редко. — Примеч. ред.)

Пример: вычисляем импульс бильярдного шара

С помощью приведенных выше уравнений можно связать действующую на объект силу и приобретенный им импульс. Попробуем применить полученные знания при игре в бильярд. Допустим, что время контакта кия с бильярдным шаром приблизительно равно 5 мс (1 миллисекунда, или сокращенно 1 мс, равна 10 -3 с). Насколько нужно изменить импульс неподвижного бильярдного шара, чтобы загнать его в лузу с отскоком от боковой стенки?

Пусть шар имеет массу 200 г (т.е. 0,2 кг). Допустим, что путем тщательных замеров и вычислений стало известно, что для попадания в лузу с отскоком от боковой стенки шару нужно приобрести скорость 20 м/с. Какую силу нужно приложить к кию для выполнения этой задачи?

Итак, в начальный момент времени шар покоится, т.е. начальная скорость ​ \( v_0 \) ​ = 0, а его конечная скорость \( v_1 \) должна быть равна 20 м/с. Вычислим необходимое изменение импульса по уже известной нам формуле:

Подставив значения получим:

Итак, необходимо изменить импульс шара на 4 кг·м/с. Вычислим, какую силу нужно для этого приложить за промежуток времени 5 мс по известной формуле:

Подставив значения, получим:

Итак, чтобы загнать бильярдный шар в лузу с отскоком от боковой стенки нужно прилагать к кию силу 800 Н в течение 5 мс.

Пример: определяем импульс капель дождя

После триумфальной демонстрации своих физических познаний в бильярдной попробуем использовать их в более привычной ситуации. Предположим, что на обратном пути домой внезапно начался дождь. Не беда, ведь под рукой есть зонт. Допустим, что на раскрытый зонт ежесекундно со средней скоростью около 10 м/с падает приблизительно 100 г капель воды. Вопрос: с какой силой нужно удерживать зонт массой 1 кг, чтобы удержать его под таким дождем?

Чтобы удержать зонт даже в отсутствие дождя, потребуется сила, равная весу зонта, то есть:

А как же подсчитать воздействие капель дождя? Предположим, что капли после падения на зонт почти мгновенно стекают по его почти горизонтальной поверхности. Даже в этом случае нам нужно учесть не только их массу, но и уменьшение скорости из-за встречи с зонтом. Действительно, летящие капли имеют начальную скорость 10 м/с, а после падения на зонт останавливаются, т.е. приобретают нулевую конечную скорость. Итак, имеем изменение импульса капель дождя, вызванное взаимодействием с зонтом. Попробуем оценить это изменение с помощью известной формулы:

Подставляя значения, получим:

Такое изменение импульса капель происходит ежесекундно. Свяжем теперь его с известной нам формулой:

Подставив значения, получим:

Итак, помимо силы 9,8 Н для удержания сухого зонта потребуется еще дополнительная сила 1 Н для компенсации торможения капель, т.е. всего потребуется сила 10,8 Н.

Наибольшую трудность при вычислениях изменения импульса под действием силы вызывает оценка времени действия этой силы. Поэтому при решении задач, связанных с изменением импульса, при столкновениях объектов обычно стремятся использовать другие параметры процесса, например скорость до и после столкновения, избегая оценок трудновычислимых параметров.

Изучаем закон сохранения импульса

Согласно этому закону, в изолированной системе без внешних сил общий импульс всех объектов системы до столкновений между ними равен общему импульсу всех объектов системы после столкновений между ними.

Если для анализа импульсов взаимодействующих объектов использовать приведенные выше формулировки с указанием силы и времени ее действия, то на это придется затратить чрезвычайно много усилий. Закон сохранения импульса позволяет избежать этих сложностей. Дело в том, что, применяя этот закон, можно полностью исключить из рассмотрения силы и время их действия.

Допустим, что два беспечных пилота космических кораблей А и Б не смогли избежать лобового столкновения своих машин. Во время столкновения корабль Б воздействовал на корабль А со средней силой ​ \( F_ <АБ>\) ​. Согласно известной формуле о связи между силой и изменением импульса, получим для корабля А:

где ​ \( m_ <А>\) ​ — это масса корабля A, \( v_ <А1>\) — скорость корабля А после столкновения и \( v_ <А0>\) — скорость корабля А до столкновения.

Аналогично, во время столкновения корабль А воздействовал на корабль Б со средней силой \( F_ <БА>\) . Опять по известной формуле о связи между силой и изменением импульса, получим для корабля Б:

где \( m_ <Б>\) — это масса корабля Б, \( v_ <Б1>\) — скорость корабля Б после столкновения и \( v_ <Б0>\) — скорость корабля Б до столкновения.

Сложим оба последних равенства и получим следующее уравнение:

Опустим промежуточные выкладки и оставим только крайние левую и правую части этого равенства. Причем в правой части соберем отдельно члены начального и конечного состояний и получим:

Сумма ​ \( m_Av_+m_Бv_ <Б1>\) ​ означает суммарный конечный импульс \( p_<1>=p_+p_ <Б1>\) двух кораблей после столкновения, а сумма \( m_Av_+m_Бv_ <Б0>\) — суммарный начальный импульс \( p_<0>=p_+p_ <Б0>\) двух кораблей до столкновения. Следовательно, последнее уравнение можно переписать в следующем виде:

Если теперь ввести обозначение ​ \( \sum\! \) ​ для суммы этих двух сил ​ \( F_<АБ>+F_ <БА>\) ​, то получим:

При работе с изолированной, или замкнутой, системой объектов внешних сил нет. Именно такая ситуация рассматривается в данном примере.

Если два космических корабля столкнутся при отсутствии внешних сил, то согласно третьему закону Ньютона, ​ \( F_<АБ>=-F_ <БА>\) ​. Иначе говоря, в замкнутой системе имеем:

А это означает, что:

Это равенство означает, что в изолированной системе без внешних сил начальный импульс двух сталкивающихся объектов до их столкновения равняется конечному импульсу после столкновения, что соответствует закону сохранения импульса.

Извлекаем тепло из суммарного импульса.

Всегда ли сохраняется суммарный импульс объектов при их лобовом столкновении и сцеплении? В реальном мире далеко не всегда. Дело в том, что часто при столкновениях объектов они необратимо деформируются и часть их кинетической энергии расходуется на необратимую деформацию и рассеивается в виде тепловой энергии. Однако для точного расчета такого преобразования кинетической энергии в тепловую требуется учесть много других сложных физических процессов. Эти процессы обычно не рассматриваются в начальном курсе физики, а тем более в этом курсе.

Измеряем скорость с помощью закона сохранения импульса

Попробуем применить закон сохранения импульса для расчета некоторых параметров движения. Предположим, что при игре в хоккей игрок А с массой 100 кг решил применить силовой прием против другого неподвижного игрока Б тоже с массой 100 кг (который оказался его братом-близнецом). Для этого игрок А разогнался до скорости 11 м/с, грубо толкнул игрока Б и, схватив его руками, устроил потасовку. С какой скоростью будут двигаться оба сцепившихся руками игрока после столкновения?

Будем считать, что в данном примере мы имеем дело с замкнутой системой (см. предыдущий раздел), поскольку мы пренебрегаем всеми внешними силами, включая силу трения. Хотя в вертикальном направлении на хоккеистов со стороны ледяного катка действует нормальная сила (подробнее о ней см. в главе 6), но она равна по величине весу игроков и противоположна по направлению и в сумме дает нуль.

Итак, рассмотрим горизонтальные проекции импульсов игроков. Согласно закону сохранения импульса, имеем:

Подставим в эту формулу массу и начальную скорость игроков (на самом деле нужно подставить массу ​ \( m_А \) ​ и начальную скорость ​ \( v_ <А0>\) ​ только игрока А, поскольку игрок Б имел нулевую начальную скорость):

Конечный импульс ​ \( p_1 \) ​ должен быть равен произведению общей массы ​ \( m_А+m_Б \) ​ игроков на их конечную скорость ​ \( v_ <АБ1>\) ​, т.е. получаем:

Из двух последних уравнений получаем:

откуда легко можно выразить конечную скорость \( v_ <АБ1>\) :

Подставляя значения, получим:

Конечная скорость двух игроков равна половине начальной скорости одного игрока. Этого следовало ожидать, ведь масса движущихся объектов увеличилась вдвое, а поскольку импульс сохраняется, то скорость должна уменьшиться во столько же раз.

Измеряем начальную скорость пули с помощью закона сохранения импульса

Закон сохранения импульса очень удобно использовать для определения скорости объекта, если ее нельзя или очень трудно измерить с помощью секундомера. Предположим, что изготовитель пуль хочет знать, какой будет начальная скорость новой пули. Как ему поступить? Для решения этой задачи ему предложили использовать приспособление, показанное на рис. 9.3.

Как оно может помочь? Оказывается, что если выстрелить пулей с массой ​ \( m \) ​ в массивную деревянную мишень с массой ​ \( M \) ​ и пуля застрянет в мишени, то, как и в примере с хоккеистами, конечная скорость мишени с пулей ​ \( v_1 \) ​ будет зависеть от начальной скорости пули \( v_0 \) . Как именно? Для конкретного ответа на этот вопрос попробуем использовать закон сохранения импульса.

Итак, начальный суммарный импульс пули и мишени равен:

Поскольку пуля застряла в мишени, то конечный суммарный импульс пули и мишени равен:

Если пренебречь потерями энергии на преодоление трения при попадании пули в мишень, то согласно закону сохранения импульса, эти два импульса должны быть равны:

и искомая начальная скорость равна:

Итак, остается только определить конечную скорость ​ \( v_1 \) ​ мишени с застрявшей в ней пулей. Для этого нужно вспомнить закон сохранения энергии, который описывается в главе 8. Ведь после попадания пули мишень отклонится и поднимется на некоторую максимальную высоту ​ \( h \) ​, на которой ее скорость станет равной нулю. В этой точке ее кинетическая энергия ​ \( \frac<(m+M)v^2_1> <2>\) ​ преобразуется в потенциальную ​ \( (m+M)gh \) ​. Итак, согласно закону сохранения энергии получим:

Откуда легко вывести формулу для конечной скорости мишени с застрявшей в ней пулей ​ \( v_1 \) ​:

Подставим эту формулу в прежнее выражение для искомой начальной скорости пули:

Пусть пуля имеет массу 50 г, деревянная мишень — 10 кг, а после попадания пули в нее мишень отклонилась и поднялась на максимальную высоту 0,5 м. Подставляя значения в приведенную выше формулу, получим:

Таким образом, мы определили начальную скорость пули. Изготовитель пуль будет просто в восторге от такого простого и удобного способа.

Упругие и неупругие столкновения

Изучение физики на примере столкновений разных тел — это очень интересное и увлекательное занятие. Во многом это объясняется тем, что многие вычисления значительно упрощаются благодаря закону сохранения импульса (более подробно он рассматривается в предыдущих разделах этой главы). Однако, как мы уже убедились в предыдущих примерах, в некоторых столкновениях одного этого закона недостаточно и нужно применять закон сохранения энергии. Это особенно полезно для анализа столкновений объектов со скоростями, векторы которых направлены не вдоль одной прямой (как в предыдущих примерах), а лежат в одной плоскости.

В реальной жизни такие ситуации происходят сплошь и рядом. Например, при изучении причин дорожно-транспортного происшествия часто требуется проанализировать начальные и конечные скорости столкнувшихся автомобилей. При сортировке вагонов нужно учитывать начальные и конечные скорости сталкивающихся вагонов и составов.

Что происходит в таких столкновениях, если столкнувшиеся объекты не “слипаются” друг с другом? Рассмотрим более общий пример: пусть два бильярдных шара сталкиваются дуг с другом с разными скоростями, направленными друг к другу под произвольным углом. Как определить их величину и направление их скоростей после столкновения? Для этого потребуется не только закон сохранения импульса, но и закон сохранения энергии.

Когда сталкивающиеся объекты отскакивают друг от друга: упругие столкновения

В реальном мире при столкновении тел всегда наблюдаются потери энергии на деформацию и рассеивание тепла. В некоторых случаях эти потери столь малы, что ими можно пренебречь, как, например, при столкновении двух бильярдных шаров. В физике такие столкновения с сохранением кинетической энергии сталкивающихся объектов называют упругими столкновениями. Итак, в упругом столкновении сохраняется общая кинетическая энергия замкнутой системы объектов, т.е. суммарная кинетическая энергия после столкновения равна суммарной кинетической энергии до столкновения.

Когда сталкивающиеся объекты не отскакивают друг от друга: неупругие столкновения

Если во время столкновения объектов какая-то часть энергии тратится на работу каких-то неконсервативных сил (например, на преодоление силы трения, деформацию и т.п.), то кинетическая энергия системы не сохраняется. Она частично преобразуется в другие формы энергии. Такие столкновения в физике называют неупругими столкновениями. Итак, в неупругом столкновении общая кинетическая энергия замкнутой системы объектов не сохраняется, т.е. суммарная кинетическая энергия после столкновения не равна суммарной кинетической энергии до столкновения. Примеры неупругих столкновений можно наблюдать в дорожно-транспортных происшествиях, когда столкнувшиеся машины деформируют друг друга или даже сцепляются и движутся как единое целое.

Совсем не обязательно, чтобы после неупругого столкновения объекты сцеплялись друг с другом. Достаточно, чтобы часть кинетической энергии “утрачивалась”, т.е. переходила в другую форму, например в тепловую энергию. Неупругое столкновение внешне может быть очень похоже на упругое столкновение, например при касательном столкновении двух машин с образованием легких повреждений. На образование этих повреждений необратимо тратится часть кинетической энергии, но машины могут независимо продолжить движение.

Упругие столкновение на прямой

Итак, мы уже выяснили, что при упругом столкновении кинетическая энергия сталкивающихся объектов сохраняется. Проще всего изучать особенности упругого столкновения, когда векторы скоростей находятся на одной прямой. Рассмотрим идеализированный пример столкновения двух машин с совершенно упругими (т.е. недеформирую- щимися) бамперами, которые движутся по прямой.

Упругое столкновение с более тяжелым объектом

Предположим, что вы решили прокатиться на автомобиле А с массой 300 кг и на скорости около 10 м/с столкнулись с внезапно остановившимся перед вами другим автомобилем Б с массой 400 кг. Какими будут скорости обоих автомобилей после их упругого столкновения?

Итак, до столкновения автомобиль А с массой ​ \( m_А \) ​ = 300 кг имел начальную скорость ​ \( v_ <А0>\) ​ = 10 м/с, а автомобиль Б с массой \( m_Б \) = 400 кг — начальную скорость \( v_ <Б0>\) = 0. Если считать систему двух автомобилей замкнутой, то их общий импульс должен сохраняться, то есть:

где \( v_ <А1>\) — это конечная скорость автомобиля А после столкновения, a \( v_ <Б1>\) — это конечная скорость автомобиля Б после столкновения.

У нас есть одно уравнение с двумя неизвестными \( v_ <А1>\) и \( v_ <Б1>\) . Чтобы их найти, нужно иметь еще одно уравнение, связывающее эти неизвестные. Как насчет кинетической энергии? Действительно, поскольку столкновение было упругим, то кинетическая энергия объектов должна сохраняться, т.е. должно выполняться равенство:

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестных величины. С помощью простых алгебраических операций можно легко получить выражения для неизвестных скоростей \( v_ <А1>\) и \( v_ <Б1>\) :

Подставляя значения в обе эти формулы, получим:

Анализируя полученные значения, можно легко восстановить ход событий. Итак, автомобиль А на скорости 10 м/с столкнулся с неподвижным автомобилем Б. После столкновения автомобиль А отскочил назад (об этом свидетельствует отрицательный знак конечной скорости \( v_ <А1>\) ) со скоростью 1,43 м/с, а автомобиль Б начал движение вперед со скоростью 8,57 м/с. Автомобиль А легче автомобиля Б, а что если бы было наоборот?

Упругое столкновение с более легким объектом

Предположим, что в предыдущем примере движущийся автомобиль А тяжелее неподвижного автомобиля Б. Пусть автомобиль А с массой 400 кг на скорости около 10 м/с сталкивается с внезапно остановившимся перед вами другим автомобилем Б с массой 300 кг. Вопрос остается прежним: какими будут скорости обоих автомобилей после их упругого столкновения?

Итак, до столкновения автомобиль А с массой ​ \( m_А \) ​ = 400 кг имеет начальную скорость ​ \( v_ <А0>\) ​ = 10 м/с, а автомобиль Б с массой \( m_Б \) = 300 кг — начальную скорость \( v_ <Б0>\) = 0. Используем уже известные нам формулы скоростей \( v_ <А1>\) и \( v_ <Б1>\) :

Подставим в них новые значения и получим:

Как видите, более тяжелый движущийся автомобиль А после столкновения с более легким автомобилем Б смог продолжить движение в том же направлении, но с меньшей скоростью. Причем часть своего импульса он передал более легкому автомобилю Б.

Упругие столкновения в одной плоскости

Столкновения объектов не всегда происходят по прямой линии. Например, бильярдные шары сталкиваются так, что векторы их скоростей могут быть направлены не вдоль одной прямой, а находится в одной плоскости под произвольным углом друг к другу. В этом случае нужно учитывать не только величину, но и направление скорости. Пусть во время игры в гольф два игрока одновременно (простим им это нарушение правил) ударяют по разным мячам А и Б, мячи упруго сталкиваются и продолжают движение, как показано на рис. 9.4. Какими будут скорости мячей после столкновения?

Попробуем решить эту задачу, учитывая, что мячи имеют одинаковую массу ​ \( m \) ​ = 46 г. Мяч А имеет начальную скорость \( v_ <А0>\) = 1,0 м/с, а мяч Б — начальную скорость \( v_ <Б0>\) = 2,0 м/с. Кроме того, пусть нам известны направления векторов начальных скоростей обоих мячей (см. рис. 9.4).

Для решения задачи нам потребуются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Поскольку столкновение считается упругим, то кинетическая энергия системы сохраняется, т.е. согласно закону сохранения энергии, имеем:

или в более простой форме:

Если подставить вместо скоростей их компоненты по осям X и Y, то получим:

Так как трение здесь не учитывается, то в процессе столкновения внутренние силы упругого взаимодействия мячей направлены только по вертикальной оси Y. Эти силы не изменяют компоненты импульсов мячей по горизонтальной оси X:

Отсюда следует, что компоненты скоростей мячей по горизонтальной оси X после столкновения тоже не изменяются:

(То есть компоненты скоростей мячей по горизонтальной оси X в результате столкновения не изменились.)

Соотношение, полученное ранее из закона сохранения энергии:

с учетом постоянства компонент скоростей по оси X теперь будет иметь следующий вид:

или (поскольку ​ \( v_ <Б0у>\) ​ = 0);

Согласно закону сохранения импульса, для компонент импульса по вертикальной оси Y имеем​ \( mv_<А1у>+mv_<Б1у>=mv_<А0у>+mv_ <Б0у>\) ​ или в более простой форме (поскольку ​ \( v_ <Б0у>\) ​ = 0):

Из двух последних равенств нетрудно получить выражения для компонент скоростей по вертикальной оси Y:

Как видите, при таком упругом столкновении у мячей остались прежними их компоненты скоростей по горизонтальной оси X, и они “обменялись” компонентами скоростей по вертикальной оси Y. Это значит, что мяч А продолжит движение с нулевой компонентой \( v_ <А1у>\) , т.е. по горизонтали, а мяч Б продолжит движение под углом ​ \( \alpha \) ​, который легко вычислить по формуле:

где знак “минус” перед значением угла означает, что на рис. 9.4 угол откладывается в направлении против часовой стрелки.

А скорости мячей после столкновения будут равны

Количество движения

§1. Количество движения системы (импульс системы)

Количество движения (импульс тела) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Импульс (количество движения) – одна из самых фундаментальных характеристик движения тела или системы тел.

Запишем II закон Ньютона в другой форме, учитывая, что ускорение Тогда следовательно

Произведение силы на время ее действия равно приращению импульса тела:

Где — импульс силы, который показывает, что результат действия силы зависит не только от ее значения, но и от продолжительности ее действия.

Количеством движения системы (импульсом) будем называть векторную величину , равную геомет­рической сумме (главному вектору) количеств движения (импульсов) всех точек системы (рис.2):

Из чертежа видно, что независимо от величин скоростей точек системы (если только эти скорости не параллельны) вектор может принимать любые значения и даже оказаться равным нулю, когда многоугольник, построенный из векторов

, замкнется. Следова­тельно, по величине нель­зя полностью судить о ха­рактере движения системы.

Рис.2. Количество движения системы

§2. Теорема об изменении количества движения (импульса)

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением:

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:

Следовательно, алгебраическое приращение количества движения материальной точки при прямолинейном движении за время ∆t равна импульсу действующей силы за тот же промежуток времени.

§3. Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса)

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следую­щие важные следствия:

1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что Q==const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю, то вектор количества движения (импульса) системы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Оx) равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом Q_x=const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения (импульса) системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы: при любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Закон сохранения полного импульса изолированной системы – это универсальный закон природы. В более общем случае, когда система незамкнута, из следует, что полный импульс незамкнутой системы не остается постоянным. Его изменение за единицу времени равно геометрической сумме всех внешних сил.

Рассмотрим неко­торые примеры:

а) Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

б) Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное коли­чество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы останется равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

в) Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла реактивного двигателя). Действующие при этом силы давления бу­дут силами внутренними, и они не могут изменить суммарное коли­чество движения системы ракета — продукты горения топлива. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения, на­правленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.

Вопросы для самопроверки:

— Что называется количеством движения механической системы?

— Как формулируется теорема об изменении количества движения системы?

— Запишите математическое выражение теоремы об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной форме.

— В каком случае количество движения механической системы не изменяется?

— Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени? Что характеризует импульс силы?

— Чему равны проекции импульса постоянной и переменной силы на оси координат?

— Чему равен импульс равнодействующей?

— Как изменяется количество движения точки, движущейся равномерно по окружности?

— Что называется количеством движения механической системы?

— Чему равно количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести?

— При каких условиях количество движения механической системы не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?

— Почему происходит откат орудия при выстреле?

— Могут ли внутренние силы изменить количество движения системы или количество движения ее части?

— От каких факторов зависит скорость свободного движения ракеты?

— Зависит ли конечная скорость ракеты от времени сгорания топлива?

Количество движения в теоретической механике

Содержание:

Количество движения материальной точки и системы импульс силы:

Количеством движения называют меру механического движения, выражающуюся геометрической суммой произведений массы каждой частицы материальной системы на ее скорость.

Количество движения точки и системы. Ньютон во введении к «Началам» дал такое определение «Количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе»

Всякая материальная частица обладает двумя мерами механического движения, о чем уже было сказано в § 37 Одна из этих мер, называемая количеством движения, имеет применение всякий раз, когда
механическое движение от одного тела переходит другому в виде механического же движения Так, например, один биллиардный шар, ударивши другой, передает ему часть своего механического движения, выражаемого количеством движения

Количество движения материальной частицы обладающей массой m и скоростью

(156)

Размерность количества движения в физической системе единиц

например м кг/сек Эта величина принята за единицу количества движения в СИ

В технической системе единиц размерность количества движения

[К]_T = L 0 F 1 T 1 ,

например кГ сек, если в технической системе сила выражена в килограммах, а время — в секундах

Наряду с вектором количества движения в механике применяют проекции количества движения на оси

Направляющие косинусы количества движения равны направляю щим косинусам (62) скорости, так как вектор количества движения материальной точки ичи частицы направлен по скорости.

(62 // )

Модуль количества движения легко подсчитать по формуле

(158)

Проекция количества движения на ось (как и проекция на ось всякого вектора)—скаляр 2-го рода и определяется величиной и знаком

Если мы умножим проекцию количества движения на единичный вектор этой оси, то получим составляющую, или компоненту, количества движения по оси Вектор количества движения точки (или материальной частицы) связан со своими компонентами по координатным осям обычным соотношением

Количество движения материальной системы выражается суммой количеств движения всех частиц этой системы «Количество движения целого есть сумма количеств движения отдельных частей его» (Ньютон) Таким образом, для материальной системы, содержащей n частиц или n точек,

(159)

где суммирование распространено на все частицы материальной системы

Под проекцией количества движения системы на какую-либо ось понимают алгебраическую сумму проекции количеств движения всех точек системы на эту ось

(159 / )

Точку, определяемую координатами, равными отношению статического момента тела или системы относительно соответствующей оси к ею массе, называют центром масс

Центр масс

Ознакомимся с очень важным в динамике понятием, частично известным нам из курса статики твердого тела (см гл VII) Напомним, что центр тяжести твердого тела — это центр параллельных сил, представляющих веса материальных частиц твердого тела Для определения координат центра тяжести мы вывели формулы

(45)

где в числителе — статический момент веса относительно соответствующей оси, а в знаменателе — вес всего тела или в векторной форме

(45 / )

Понятие «центр тяжести» и формулы, определяющие координаты этой точки, связаны с весом, с тяжестью. Но в динамике встречается такое состояние механических систем, при котором подобное определение недостаточно. Вспомним, например, «состояние невесомости», о котором рассказывали наши космонавты,— здесь понятие «вес» и «тяжесть» теряют свой смысл. Кроме того, в мировом пространстве существуют области, где в состоянии невесомости пребывает всякое тело независимо от его движения, как, например, точка пространства, в которой материальное тело притягивается к Земле и к Солнцу с равными и противоположно направленными силами. В таких случаях понятие «центр тяжести тела» теряет смысл, но сама точка продолжает существовать и не теряет своего значения. Поэтому целесообразно определить эту точку в зависимости не от веса, а от массы частиц.

Пусть какое-либо твердое тело или материальная система подвержены действию силы тяжести, и координаты центра тяжести определяются равенствами (45). Поделим в,этих равенствах и числители и знаменатели на ускорение свободно падающего тела. Координаты точки от деления числителя и знаменателя на одно и то же число не изменятся, но в знаменателе мы получим, согласно (124), не вес, а массу системы, а в числителе—статические моменты масс:

(160)

Точка, определяемая координатами (160), совпадает с центром тяжести, но определение ее связано не с весом, а с массой частиц твердого тела или системы. Ее называют центром инерции, или центром масс. Это понятие шире понятия центра тяжести, так как масса не исчезает даже при таких обстоятельствах, при которых вес неощутим.

Количество движения системы материальных точек равно количеству движения ее центра масс, в котором предполагают сосредоточенной массу всей системы:

Выражение количества движения системы через ее массу и скорость центра масс. Координаты центра инерции C материальной системы, движущейся относительно осей xOyz, принимаемых за неподвижные, определяются равенствами (160), где .va, y_k и z_k— переменные координаты точек системы. Из этих равенств, освободившись от знаменателя, определим статические моменты массы на данное мгновение:

(161)

Продифференцировав по времени, находим, что проекция количества движения на ось равна произведению массы системы и проекции скорости центра масс на ту же ось:

Но если равны проекции векторов на любую ось, то, следовательно, равны и сами векторы:

Мы нашли, что количество движения всякой материальной системы равно количеству движения ее центра масс, если сосредоточить в нем массу всей системы:

(162)

Задача №1

Вычислить количество движения К однородного диска радиуса r =50 см и массы 80 кг в двух случаях:
1) диск вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через ею центр, делая 60 об/мин;
2) диск катится без скольжения и буксования по прямолинейному рельсу, делая 60 об/мин.

Решение. Количество движения диска равно количеству движения точки, масса которой равна массе диска, а скорость равна скорости центра масс диска. Задачу решаем в единицах СИ.
1) В первом случае скорость центра масс равна нулю, следовательно, K=O.
2) Во втором случае скорость центра масс определим как вращательную относительно мгновенного центра скоростей, находящегося в точке касания диска и рельса:

K = 80π =251,20 кг . м/сек.

Ответ. 1) К= 0; 2) К = 251,20 кг . м/сек.

Задача №2

Определить количество движения эллипсографа (рис. 173, а), состоящего из кривошипа OD, линейки А В и двух ползунов, центры масс которых совпадают с шарнирами А и В, соединяющими ползуны с линейкой АВ. Кривошип и линейку рассматривать как однородные стержни веса P и 2Р, причем OD- AD = BD-l, веса ползунов одинаковы и равны Q; кривошип вращается с угловой скоростью ω.

Решение. Механическая система состоит из четырех тел: кривошипа, линейки и двух ползунов. Найдем центр масс системы. Центр масс кривошипа находится в середине кривошипа (рнс. 173, б). Центр масс линейки и двух ползунов совпадает с их центром симметрии D. Центр масс всего механизма лежит на кривошипе между этими точками. Расстояние центра масс системы от точки О определим по (160):

Умножая это расстояние иа угловую скорость ω кривошипа, найдем скорость центра масс системы:

Умножая υ_c на массу всей системы, найдем количество движения системы.

Ответ. Количество движения—вектор, равный , перпендикулярный кривошипу и приложенный в центре масс эллипсографа.

Импульсом постоянной силы называют меру механического воздействия на материальную частицу со стороны других материальных объектов за данный промежуток времени, выражающуюся произведением силы на время ее действия:

Импульс постоянной силы. Мы определили механическое действие материальных тел на данную материальную частицу тремя основными характеристиками: величиной, направлением и продолжительностью. Рассматривая это механическое действие лишь за одно мгновение, мы пришли тогда к понятию силы. Но действие всегда происходит во времени, хотя бывают механические действия (не которые случаи удара), продолжительность которых измеряется всего лишь миллионными долями секунды. Если , то векторную величину , направленную по силе и равную по модулю произведению модуля силы на время ее действия, называют импульсом постоянной силы за данный промежуток времени:

(163)

Определим размерность импульса силы в физической системе единиц:

[S]φ = L 1 M 1 T -1

Единицей импульса силы в системе СИ является 1 м . кг/сек. Размерность импульса силы в технической системе единиц

[S]_r = L 0 F 1 T 1 .

Если сила выражена в кГ, а время — в сек, то единицей импульса силы является 1 кГ . сек.

Размерности импульса силы и количества движения одинаковы.

Импульс переменной силы

Если сила непостоянна по величине или по направлению, то для определения ее импульса за данный промежуток времени надо разбить этот промежуток времени на столь малые интервалы, в течение которых можно пренебречь изменением силы, и определить для каждого такого интервала элементарный импульс. Элементарным импульсом силы называют импульс за столь малый промежуток времени, при котором можно пренебречь изменением силы:
(164)

Импульс переменной силы за конечный промежуток времени выражают пределом геометрической суммы элементарных импульсов за бесконечно малые части данного промежутка:

(164 / )

Следовательно, импульс переменной силы за данное время выражается интегралом от вектора по скалярному аргументу t.

Для вычисления импульса переменной силы пользуются его проекциями на оси координат. Построим прямоугольную систему координат и спроецируем элементарный импульс на ось Ох:

Интегрируя в пределах от t₀ до t, находим S_x и аналогично S_y и S_z:

(165)

По проекциям (165) легко определить модуль и направляющие косинусы вектора, однако в этом редко встречается необходимость и практически обычно ограничиваются определением проекций (165).

Проекция импульса равнодействующей на любую ось равна сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось:

Пусть на точку действует несколько сил, проекции которых на какую-либо ось Ox обозначим X1, X2, . Х„, а проекцию ‘ равнодействующей этих сил обозначим X. Тогда

Умножим обе части этого равенства на бесконечно малый промежуток времени dt и проинтегрируем в пределах от t₀ до t:

Итак, проекция импульса равнодействующей на любую ось за данный промежуток времени равна алгебраической сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось и за то же время, следовательно, импульс равнодействующей равен геометрической сумме импульсов составляющих:
(166 / )

Теоремы о количестве движения точки и системы и о движении центра масс

Изменение количества движения материальной точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку за тот же промежуток времени:

Теорема об изменении количества движения материальной точки. По основному закону динамики под действием силы материальная точка получает ускорение. Но, чтобы сообщить материальной точке скорость, сила должна действовать в течение некоторого времени. Таким образом, скорость .материальной точке сообщает не сила, а импульс силы. Конечно, эта скорость зависит не только от импульса силы, но и от массы точки.

Напишем дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме (127):

Умножая каждое из уравнений (127) на dt и вводя постоянную m под знак дифференциала, получим

dm υ_x = X dt, dm υ_y = Ydt, dm υ_z = Zdt. (167)

Мы нашли, что дифференциал проекции количества движения равен проекции элементарного импульса силы на ту же ось.

Проинтегрируем левую и правую части первого из этих уравнений в соответствующих пределах υ_0x, υ_x и t₀, t; аналогично поступив и с двумя другими уравнениями, получим:.

(168)

т. е. изменение проекции количества движения материальной точки на ось равно проекции импульса силы на ту же ось и за то же время. Но если равны проекции на любую ось двух векторов, то, следовательно, равны и эти векторы:

(168 / )

т. е. вектор изменения количества движения материальной точки за какое-либо время равен вектору импульса силы, действующей на материальную точку за то же время. Конечно, и здесь под силой надо понимать равнодействующую, если на точку действует не одна, а несколько сил.

Задача №3

Тяжелая точка массой m кг, получив начальную скорость υ₀ = 24,5 м/сек, поднимается по негладкой плоскости (рис. 174), наклоненной к плоскости горизонта под углом 30°. Сколько времени будет подниматься точка, если коэффициент трения f = 0,577?

Рис. 174

Решение. Пo заданным силам надо определить время движения точки. Но для решения задачи нет необходимости составлять и интегрировать дифференциальные уравнения движения, а можно воспользоваться теоремой об изменении количества движения. На точку действуют вес G, сила трения F_гр =fG cos 30 o и реакция R плоскости. Направим ось Ox по наклонной плоскости вверх. Проекция равнодействующей всех сил на эту ось равна

Если точка двигалась в течение t сек, то проекция импульса силы за это время равна -Gt. Подставляя в уравнение (168) найденное значение S_x, заданное значение υ_x0 и υ_x = 0, получим —m 24,5 = —Gt, откуда находим t.
Ответ. t — 2,5 сек.

Задача №4

Материальная точка, масса которой m = 3 кг, двигалась по горизонтальной прямой налево со скоростью 5 м/сек. К ней приложили постоянную силу, направленную вправо. Действие силы прекратилось через 30 сек, и тогда скорость точки оказалась равной 45 м/сек и направленной вправо. Найти величину этой силы.

Решение. Условие задачи дано в физической системе единиц (СИ). По изменению скорости точки надо определить силу, производящую данное движение точки. Таким образом, задача является прямой задачей динамики. Решать ее мы будем, применив теорему об изменении количества движения. Примем горизонтальную прямую, по которой движется точка, за ось Ох, считая направление вправо положительным. Тогда

Подставляя эти данные в (168), найдем
— F∙30 = + 3∙45 + 3∙5 -+150 кг . м/сек,

откуда определим силу.
Ответ. F = 5 кг∙м сек 2 = 5 н.

Производная по времени от суммы проекций количеств движения всех материальных точек системы на какую-либо ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось:

Теорема о проекциях количеств движения системы. Теорема о количестве движения находит большое применение при исследовании движения системы материальных точек, так как в этой теореме исключены все внутренние силы системы.

Пусть дана механическая система, состоящая из n материальных точек. Распределив все силы, приложенные к точкам этой системы, на две категории (силы внешние и силы внутренние), напишем дифференциальные уравнения движения точек системы в форме (129) в проекциях на ось абсцисс:

Сложив отдельно левые и отдельно правые части написанных уравнений, получим

Но сумма проекций всех внутренних сил системы равна нулю, так как внутренние силы, согласно закону равенства действия и противодействия, попарно равны и противоположно направлены:

В левой части постоянные m_k внесем под знак производной, заменим сумму производных производной от суммы и получим для проекций на, ось абсцисс

(169)

Мы не накладывали никаких ограничений на направление оси абсцисс, поэтому мы можем сформулировать следующую общую теорему, называемую теоремой о проекциях количеств движения системы материальных точек: производная по времени от суммы проекций количеств движения всех точек системы на какую-либо ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на тy же ось.

Равенства (169) справедливы для любой оси; следовательно, их можно записать в векторной форме:

(169 / )

Умножая уравнения (169) на dt и интегрируя, найдем, что изменение суммы проекций количеств движения всех точек системы на какую-либо неподвижную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил системы на ту же ось за то же время:

(170)

При решении задач это уравнение иногда находит применение, но теорему о проекции количеств движения системы чаще применяют в дифференциальном виде (169), чем в конечном виде (170).

Если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то сумма проекций количеств движения точек системы на эту ось постоянна

Интеграл количеств движения. В частном случае, если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось, например на ось Ох, равна нулю, то уравнение (169) принимает вид

откуда, проинтегрировав, получаем
(171)

Это равенство называют интегралом количества движения системы материальных точек и словами его можно сформулировать так: если сумма проекций всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то сумма проекций количеств движения всех точек системы на эту ось постоянна.

Справедливо и обратное заключение: если сумма проекций количеств движения системы на какую-либо ось постоянна, то сумма проекций всех внешних сил системы на эту ось равна нулю. В самом деле, дифференцируя (171) по времени, найдем, что производная по времени от суммы проекций количеств движения на ось Ox равна нулю и ввиду (169) равна нулю сумма проекций на эту ось всех внешних сил системы.

Если равна нулю сумма проекций всех внешних сил не только на ось О_х, но также и на оси O_y и O_z, то сохраняется не только сумма проекций на оси, но и геометрическая сумма векторов количеств движения точек системы, т. е.
если (171 / )

если

Такой случай мы можем представить себе в изолированной материальной системе, т. е. в системе, на точки которой не действуют никакие внешние силы. Примером почти полностью изолированной механической системы может служить солнечная система (см. § 36). Количество движения изолированной системы остается неизменным; этот закон называют иногда принципом сохранения количества движения.

Центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все внешние силы:

Теорема о движении центра масс

К теореме о проекциях количеств движения примыкает теорема о движении центра масс. Во многих задачах эти теоремы вполне заменяют друг друга. Уже было показано, что сумму количеств движения всех материальных точек системы можно представить как количество движения одной точки, совпадающей с центром инерции системы, обладающей скоростью центра инерции и массой, равной сумме масс всех точек системы:

Дифференцируя эти равенства по времени и принимая во внимание теорему (169) о проекциях количеств движения на O_x, O_y и O_z, найдем:

(172)

Сравнивая эти уравнения с уравнениями (127), можно убедиться, что движение центра масс математически описывается тремя дифференциальными уравнениями, как и движение материальной точки.

Однако с физической стороны имеется некоторое различие между уравнениями (127) и (172). Всякая материальная точка обладает некоторой массой и движется согласно (127) под действием всех приложенных к ней сил. Центр масс является геометрической точкой и может не совпадать ни с одной из материальных частиц системы.

Уравнения (172) говорят о том, что центр масс (инерции, тяжести) движется как материальная точка, которая имеет массу, равную массе всей системы и к которой приложены силы, равные веем внешним силам, действующим на материальные точки данной системы; внутренние силы не изменяют движения центра масс и не могут нарушить его покоя.

Три уравнения (172) движения центра масс в прямоугольной системе координат могут быть заменены одним векторным уравнением

(172 / )

О независимости движения центра масс от внутренних сил. Независимость движения центра масс от действия внутренних сил была установлена Ньютоном. «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения», — писал он в «Началах». Теорема о движении центра тяжести (масс) имеет в механике большое значение, а потому необходимо пояснить физическую сущность этой теоремы.

На первый взгляд может показаться, что движение центра масс системы иногда происходит под действием ее внутренних сил. Например, чтобы увеличить скорость парохода, поднимают давление пара, т. е. увеличивают внутренние силы системы. Молодой и здоровый человек с хорошо развитой мускулатурой ног легко обгонит старика с дряблыми мышцами и т. д. и т. п. Но отсюда не следует делать вывод, что центр масс системы передвигается внутренними силами этой системы. В приведенных примерах внутренние силы лишь заставляют точки данной системы воздействовать на окружающие материальные тела, отчего возникают внешние силы, создающие движение центра масс данной системы. Так, человек силой своих мышц (внутренней силой) отталкивается ногами от дороги, отчего в точках соприкосновения подошв с дорогой возникает сила трения (внешняя для человека), направленная в сторону его движения и позволяющая передвигаться всей системе (человеку). Конечно, эта сила зависит от внутренних сил человека, но она является внешней силой, и человек не смог бы идти по поверхности без трения. Ни один силач не может силой своих мышц поднять себя за волосы над Землей. Пароход развивает пары, чтобы быстрее вращать гребной винт и лучше отталкиваться нм от воды. Давление воды на гребной винт является внешней силой для парохода. Никакое давление пара (внутренняя сила) не создало бы движение парохода, если бы не было гребного винта или воды, взаимодействие которых создает силу тяги, являющуюся внешней силой для парохода.

Теоремы о движении центра масс и о количестве движения системы являются основой для расчетов реактивных движений. Ракета для своего полета не нуждается во внешней среде. Газообразные продукты горения с большой скоростью выбрасываются из сопла. Это движение продуктов горения (назовем их пороховыми газами) происходит под действием внутренних сил, а потому не может повлиять па движение центра тяжести всей системы, включающей пороховые газы и корпус ракеты. Если до взрыва ракета была неподвижна, то движение газов так компенсируется движением корпуса ракеты в противоположном направлении, что сумма количеств движения всей системы равна нулю и центр масс всей системы остается неподвижным и после взрыва.

Задача №5

Лодка стоит в неподвижной воде перпендикулярно к берегу, причем расстояние от берега до носа лодки равно 1,6 м, а до кормы 5,2 м. Чтобы пододвинуть лодку к берегу, человек, стоящий на носу лодки, переходит на корму. На каком расстоянии будет нос лодки от берега после перемещения человека, если вес лодки G₁ = 100 кГ, нес человека G₂= 80 кГ, а сопротивлением воды пренебрегаем?

Решение. Физическая сущность задачи состоит в том, что человек переходит с носа на корму, отчего лодка перемещается в обратном направлении. Перемещение человека на лодке, его вес и вес лодки заданы, требуется определить расстояние, на которое переместится лодка вследствие перемещения человека. Здесь механическое движение человека перелается лодке в качестве механического же движения. В подобных задачах обычно применяют теорему о проекциях количеств движения или аналогичную ей теорему о движении центра масс. Мы покажем применение обеих этих теорем.

При решении почти каждой задачи бывает необходимо уточнить два вопроса: 1) движение какой точки, твердого тела или механической системы надо изучить и 2) какие силы действуют на эту точку, это тело или эту систему. Также необходимо выбрать основные единицы измерения, например единицы СИ, тогда масса лодки m₁ = 100 кг, масса человека m₂ = 80 кг.

В данной задаче нужно изучить движение механической системы, состоящей из лодки, представляемой се центром инерции, и человека, принимаемого за материальную точку. На точки этой механической системы действуют различные внешние силы (вес лодки, вес человека, архимедова подъемная сила), но все они вертикальны, а нас интересует горизонтальное перемещение лодки, а потому и горизонтальные силы. В системе действуют внутренние силы (сила, с которой человек отталкивается от стланей, идя по лодке, реакция лодки и др.), но внутренние силы не входят в уравнения (169), (172) и несущественны для данной задачи.

Рис. 175

1-й способ. Применим сначала теорему о проекциях количеств движения системы (169). Построим неподвижную систему координат (рис. 175,а), взяв начало в точке О на берегу и направив ось Ox горизонтально вдоль лодки. Сумма проекций всех внешних сил на Ox равна нулю. Система состоит из двух материальных точек — лодки и человека. Равенство (169) принимает вид

Если сумма проекций внешних снл равна нулю, то имеет место интеграл количеств движения (171). Действительно, проинтегрировав, получаем

Постоянную интеграции C₁ определим из начальных данных: в начальное мгновение лодка и человек были неподвижны. Таким образом, в начальное мгновение количества движения точек системы и сумма количеств движения равнялись нулю, а потому C₁ = 0, т. е.

Умножая на dt и интегрируя, получим

В левой части хк означают перемещения точек системы по оси Ох.
В начальное мгновение этих перемещений не было, а потому, определяя C₂ из начальных данных, находим, что C₂ = O. Раскроем знак суммы, дав индексу k значения 1 и 2 соответственно числу точек системы:

т. е. сумма произведений масс точек системы на их перемещения по оси Ox равна нулю. Здесь под перемещением По оси Ox мы понимаем проекцию абсолютного перемещения точки на Ох. Предположим, что лодка переместилась влево на величину—х₁ (рис. 175, б). Человек в относительном движении передвинулся вправо на длину лодки (3,6 м), но в то же время лодка перенесла его в своем движении влево, следовательно, х₂ = 3,6—x₁. Подставляя эти данные и величины масс в предыдущее уравнение, находим
— 100x₁ + 80 (3,6—x₁) = 0.

У студента, не имеющего достаточного навыка в решении задач, может возникнуть сомнение в правильности знака второго члена. Для проверки знака существует удобное правило: во все члены уравнения х₁ должно входить с одним и тем же знаком, если конечно, эти члены находятся по одну сторону от знака равенства. В данном уравнении все члены находятся слева; первый член —100x₁, следовательно, второй член должен быть +80 (3,6— x₁), так как знак при х₁ должен и во втором члене быть таким же, как и в первом члене.

Решая это уравнение, находим перемещение лодки:

2-й способ. Решим ту же задачу, применив теорему о движении центра масс. До начала движения центр масс всей системы был неподвижен —человек пошел вдоль лодки. Сила взаимодействия между человеком и лодкой является внутренней силой системы «лодка с человеком», а потому не может переместить центр масс этой системы. Для решения задачи надо написать выражения абсциссы Xq центра масс системы при двух положениях системы: 1) человек на носу лодки, 2) человек на корме —и приравнять их друг другу, так как общий центр масс системы не переместился.

Определим абсциссу центра масс системы в начальное мгновение (рис. 175, в). Пусть центр массы лодки находится на расстоянии с₁ от носа. Тогда его абсцисса x₁₀ = (1,6 + c₁) м; х₂₀= 1,6 м. Подставляем в формулу (160):

Обращаем внимание на то, что при этом способе решения задач величины X1 и X2 являются уже не перемещениями точек, а их координатами.

В конечное мгновение, когда человек перейдет на корму (рис. 175, а), а лодка переместится ближе к берегу, общий центр масс всей системы останется на прежнем месте. При конечном положении лодки нос находится от начала координат на искомом расстоянии х. Тогда в этом положении x₁=x+c₁ и x₂ = x+3,6. Подставляя эти значения в формулу (160), получим

Приравниваем друг другу оба выражения абсциссы центра масс системы и находим положение лодки:
180 . 1,6= 180 x + 80 . 3,6, откуда х = 0.

Ответ. Лодка подойдет к берегу.

Задача №6

Сидящий в лодке охотник стреляет вперед в горизонтальном направлении. Пренебрегая трением воды, определить скорость лодки после выстрела, если до выстрела она была неподвижна; масса охотника 70 кг, масса лодки 30 кг, масса заряда 40 г и его начальная скорость 300 м/сек.

Решение. Механическое движение заряда передается в качестве механического же движения («отдача») на охотника и лодку. Примем, что механическая система состоит из двух точек: 1) лодка вместе с охотником и 2) заряд. Сила давления пороховых газов является внутренней по отношению к этой системе, давление газа в ружейном стволе во все стороны одинаково и, как было показано, сумма проекций внутренних сил на любую ось равна нулю. Внешних горизонтальных сил в системе нет. Проведя ось Ox горизонтально в направлении выстрела, получаем интеграл количества движения (171):

В начале выстрела, пока заряд еще не успел приобрести скорость, лодка тоже была неподвижна и, следовательно, C=0. В написанное выражение входят проекции абсолютных скоростей и, раскрывая знак суммы, получим

где υ₂-скорость лодки после выстрела, а (300 — υ₂)-абсолютная скорость заряда после выстрела, состоящая из разности скоростей (300 м/сек) заряда но стволу и скорости отдачи (υ₂).

Решая это уравнение, находим скорость отдачи.

Ответ. Лодка с охотником движется в сторону, противоположную выстрелу, со скоростью υ₂ = 0,12 м/сек.

Задача №7

Вода входит в неподвижный канал (рис. 176) переменного сечения» симметричный относительно вертикальной плоскости, со скоростью υ₀=2 м/ceκ под углом α₀=90° к горизонту; площадь сечения канала при входе 0,02 м 2 , скорость воды у выхода из канала υ_{1 =}4 м/сек и составляет угол α₁ — 30° с горизонтом. Определить горизонтальную составляющую реакции, которую вода оказывает на стенки канала.

Рис. 176

Решение. Вода течет по каналу, меняя направление и величину своей скорости. Механическое движение воды не исчезает и не возникает вновь, меняется лишь вектор скорости. Требуется определить горизонтальную составляющую реакции, которую вода оказывает па стенки канала. Правильнее было бы назвать эту активную силу «давлением» воды на стенки канала. Все данные этой задачи относятся к воде, и мы будем определять горизонтальную составляющую реакции, оказываемой стенками канала на воду. Эта сила равна и противоположна искомой силе. Система единиц —СИ.

В плоскости симметрии канала проведем горизонтальную ось Ox и напишем уравнение (170)

В правой части есть сумма проекций на горизонтальную ось внешних сил, приложенных к системе (к воде). Единственной горизонтальной внешней силой является горизонтальная составляющая равнодействующей реакций стенок, т. е. та сила, которую мы должны определить. Эта сила при установившемся движении воды является постоянной. Поэтому

За время t в канал πocτyπaeт 0,02 м 2 . 2 м/сек . t ceκ = 0,04t м 3 = 40t π, или 40t кг воды:

Такое же количество воды покидает канал за то же время. Начальная и конечная скорости даны в условии. Подставляем все эти величины в (170):

Ответ.

Знак минус показывает, что по нашему чертежу проекция реакции отрицательна, т. е. направлена влево. Искомая в задаче горизонтальная составляющая давления на стенку имеет обратное направление—вправо. В задачнике II. В. Мещерского ответ приведен в килограммах. Чтобы перевести ньютоны в кГ, надо умножить число ньютонов на 0,102; имеем 138,4 . 0,102 = 14,1 кГ.

Давление струи

Задача №8

Определить давление струи воды на гладкую стенку, если скорость воды υ — 20 м/ceκ, сечение струп σ = 0,005 м 2 и струя направлена под углом α — 30° к стенке (рис. 177).

Рис. 177

Решение. Решим задачу сначала в общем виде. Отложим вдоль струн от стенки небольшой отрезок AB=υτ, где τ—малый промежуток времени. У конца В этого отрезка проведем поперечное сечение струи и рассмотрим движение системы частиц воды, находящихся в данное мгновение между этим сечением и стенкой. Общая масса всех частиц рассматриваемой системы m = mk=-σγυτ, где γ—масса 1 см 3 жидкости. До соприкосновения со стенкой частицы воды имеют общую скорость и, проекция которой на ось Ox (перпендикулярную стенке) υ_x = υ sin α. После соприкосновения со стенкой частицы движутся вдоль стенки и υ_x = 0.

На систему действует реакция F стенки, силой тяжести и давлением на выделенную часть струи со стороны следующих частиц струн, внешних по отношению к выделенной системе, пренебрегаем, так как они ври большой и незначительны но сравнению с F. Подставляя эти данные в (170), имеем

(173)

Этой формулой определяется давление нa стенку струи жидкости или сыпучего тела. Подставляя данные, находим ответ задачи.
Ответ. F = 102 кГ.

Ударом называют кратковременное взаимодействие тел, вызывающее за ничтожно малый промежуток времени резкое изменение скоростей их точек

Ударный импульс

Иногда материальные тела, находятся во взаимодействии всего лишь тысячные или даже стотысячные доли секунды, но при этом возникают настолько большие силы, что их импульс за столь малый промежуток времени достирает значительной величины и получается резкое, почти мгновенное изменение скоростей точек этих материальных тел. Такое кратковременное взаимодействие тел называют ударом, возникающие при этом силы называют ударными силами, а импульс ударной силы за время удара — мгновенным импульсом.

Ударные силы во многие тысячи раз превосходят вес ударяющего тела. Так, например, легким ударом молотка можно забить в деревянную стену гвоздь, но нужна громадная сила, чтобы тот же гвоздь вдавить, а не вбить в стену. Пуля, вес которой измеряется граммами, при выстреле пробивает доску, но пуля должна была бы весить многие тонны, чтобы сделать в доске такую же дырку своим весом. Поэтому за время удара пренебрегают весом тел и всеми прочими неударными («конечными») силами, пренебрегают перемещениями тел и считают, что векторы скоростей точек ударяющихся тел изменяются мгновенно.

«Количество движения системы никогда не изменяется от ударов при встрече ее тел» (Ньютон)

Прямой центральный удар двух тел

Пусть два тела движутся поступательно и прямолинейно со скоростями υ₁ и υ₂, причем центры масс C₁ и C₂ этих тел движутся по одной прямой, которую мы примем за ось Ох. В некоторое мгновение t первое тело, движущееся с большей скоростью, настигает второе и начинается удар, продолжающийся в течение малого отрезка времени τ_l. Пусть для каждого тела удар является центральным (т. е. мгновенный импульс проходит через центр масс тела) и прямым (т. е. относительные скорости точек соприкосновения тел перед ударом перпендикулярны к поверхности соприкасающихся тел в точке их соприкосновения). Предположим, что удар является неупругим (т. е. таким, при котором полученные за время удара деформации соударяющихся тел полностью сохраняются к концу удара). При отсутствии упругих сил тела не отталкиваются друг от друга и после удара продолжают двигаться с некоторой общей скоростью и. Определим мгновенный импульс S, действующий на каждое из тел со стороны другого. Для каждого из тел этот импульс является импульсом внешней реакции, и мы его легко определим, написав для каждого из тел уравнение (168′). В данном случае эти уравнения примут следующий вид:

(174)

где m₁ и m₂—массы первого и второго тел, a υ₁ и υ₂— их скорости (выражаясь точнее, проекции их скоростей на прямую удара Ох) перед ударом. Из этих уравнений определим мгновенный импульс:

(175)

и скорость обоих тел после неупругого удара:

(176)

Если равенство (176) умножим на m₁ + m_2, то убедимся, что сумма количеств движения обоих тел при ударе не изменилась.

В природе не существует абсолютно неупругих тел и в действительности явление удара не заканчивается к тому мгновению, когда скорости тел становятся равными и. Во время удара тела стремятся восстановить свою первоначальную форму, они отталкиваются друг от друга и отдаляются, имея различные скорости u₁ и u₂.

Чтобы определить эти скорости и мгновенный импульс, разделим весь процесс удара на две стадии: 1) от начала соприкосновения тел до мгновения, при котором их скорости сравнялись, и 2) от этого мгновения до конца контакта. Удар, при котором полученные за время удара деформации соударяющихся тел частично сохраняются к концу удара, называют не вполне упругим.

Уравнения для первой стадии удара ничем не отличаются от только что полученных, мгновенный импульс определяется по (175) и скорость — по (176). Исходными уравнениями для второй стадии явятся те же уравнения (170), с той лишь разницей, что и будет в них играть роль начальной скорости, а конечными будут u₁ и u₂. Иным становится мгновенный импульс ударной реакции за эту вторую стадию удара. Обозначим его kS. Физическое значение коэффициента k, зависящего от упругих свойств соударяющихся тел, рассмотрим в дальнейшем. Имеем

(177)

Из системы уравнений (174) и (177) найдем скорости не вполне упругих тел после удара:

Сложив два уравнения (174), а также два уравнения (177), в правых частях получим нуль. Приравнивая друг другу левые части сумм, получим

Таким образом, количество движения системы и при неупругом ударе не изменилось. Это объясняется тем, что для системы соударяющихся тел ударная сила является внутренней, а потому согласно интегралу количеств движения (171) .

Отношение тангенсов угла падения и угла отражения равно коэффициенту восстановления:
k= tg α : tg β

Коэффициент восстановления

Из тех же уравнений (178) легко получить величину k, называемую коэффициентам восстановления. Имеем

(179)

В числителе этого равенства мы видим относительную скорость тел после не вполне упругого удара, а в знаменателе—до удара. Величина k всегда положительна, поэтому взято отношение абсолютных величин относительных скоростей. Таким образом, коэффициент восстановления равен отношению модуля относительной скорости центров масс соударяющихся тел после прямого центрального удара к модулю относительной скорости их до удара.

Если маленький шарик ударяется о гладкую плиту под углом падения α≠0 (рис. 178), то, принимая удар за центральный и раскладывая движение по осям координат, заметим, что ударный импульс направлен перпендикулярно к гладкой плите, а потому проекция скорости шарика на гладкую плиту от удара не изменяется, но изменяется проекция скорости на нормаль к поверхности:

(180)

т. е. отношение тангенса угла падения к тангенсу угла отражения равно коэффициенту восстановления.

Движение точки переменной массы определяется уравнением И. В. Мещерского

Уравнение движения точки переменной массы

Пусть некоторая материальная точка M движется относительно неподвижной системы координат хОуz под действием силы . Предположим, что масса m точки M не остается постоянной, а изменяется, являясь, например, функцией времени, координат точки M, длины пройденного точкой пути, но не зависит от скорости точки:

В таком случае дифференциальные уравнения (125—127) не выражают движения точки М, так как в этих уравнениях tn

const. Дифференциальные уравнения, описывающие движения точки переменной массы, выведены И. В. Мещерским. Процесс изменения массы точки (или тела) он рассмотрел как присоединение к ней новых частиц («изменяющих масс») или как отделение от нее изменяющих масс. В случае присоединения изменяющие массы положительны, а в случае отделения—отрицательны.

Присоединение или отбрасывание масс возможно лишь при условии, что их скорости не равны скорости точки М. Поэтому в мгновение, в которое изменяющая масса отрывается от точки М или присоединяется к ней, между ними возникает мгновенное взаимодействие, аналогичное удару, изменяющее количество движения точки M. Однако это взаимодействие, конечно, не изменяет количества движения всей материальной системы, состоящей из точки M и изменяющих масс, так как внутренние силы не могут изменить количества движения системы.

Обозначим через ускорение, получаемое точкой M от присоединения или отбрасывания изменяющих масс, и через — ускорение точки М, от равнодействующей приложенных к ней сил, обусловленных другими материальными телами. Таким, образом, полное ускорение точки, M складывается из двух составляющих:

Руководствуясь принципом независимости действия сил, абстрагируемся от влияния внешних сил и найдем выражения для проекций на осн координат ускорения сообщаемого точке M изменяющими массами.

Пусть в мгновение t масса точки М равна m и ее абсолютная скорость равна V. Изменяющая масса dm в то же мгновение пусть имеет абсолютную скорость . Через бесконечно малый промежуток времени dt, когда изменяющая масса присоединится к точке М, их общая скорость vιιpn отсутствии внешних сил) станет равной Выразим по (159′) проекции количества движения системы до присоединения к точке M изменяющей массы:

и после присоединения:

Приравняем согласно (171) эти два выражения друг другу и после элементарных преобразований получим

Деля на dt, найдем проекцию ускорения на ось абсцисс:

Умножив это равенство на массу m, найдем проекцию прибавочной силы на ось Ox и аналогично на две другие оси:

Учитывая, что, кроме прибавочной силы и независимо от нее, на точку M действует сила F, проекции которой обозначим X, Y и Z, получим дифференциальные уравнения движения точки переменной массы (уравнения И. В. Мещерского):

(181)

Эти равенства справедливы как при dm > 0, так и при dm / )

Задача №9

Определить скорость ракеты (точки переменной массы) при ее прямолинейном движении и без действия внешних сил, если относительная скорость выбрасываемых газов постоянна и направлена противоположно скорости ракеты.

Решение. Направив ось Ox по скорости ракеты, напишем первое из уравнений Мещерского применительно к данному частному случаю:

Введем некоторые ограничения на изменение массы, а именно предположим, чтo масса m в каждое мгновение пропорциональна значению некоторой функции от времени: m=m₀f (t). При t = 0 масса m = m₀.

Интегрируя, получаем равенство, которое носит название формулы Циолковского.

Ответ. . Это равенство правильнее называть задачей, а не формулой (см. В. В. Добронравов, H. Н. Никитин и А. П. Дворников, «Курс теоретической механики»).

Горизонтальное движение реактивного самолета

Задача №10

Определить закон движения x=x(t) самолета с жидкостным реактивным двигателем на активном и горизонтальном участке полета, положив, что масса самолета изменяется по линейному закону:

относительная скорость υ_r отбрасываемых частиц относительно самолета постоянна и аэродинамические силы зависят от квадрата скорости самолета, т. е. считать силу лобового сопротивления

и подъемную силу

Решение. Направим ось абсцисс горизонтально (рнс. 179) по скорости самолета, ось ординат перпендикулярно к ней.

Рис. 179

На самолет по вертикальной оси действуют следующие силы: вес G и подъемная сила Р. При горизонтальном полете самолета они уравновешивают друг друга

По горизонтальной оси на самолет действуют сила лобового сопротивления, направленная против абсолютной скорости и прибавочная сила, направленная против относительной скорости υ_r, т. е. по движению самолета.

Движение самолета прямолинейное и горизонтальное, его можно описать одним (первым) из уравнений Мещерского (181). В этой задаче оно принимает вид:

Определим квадрат скорости из условия равенства вертикальных сил:

и подставим его в выражение силы лобового сопротивления

Для определения производной массы по времени, продифференцируем линейный закон изменения массы, заданный в условии задачи

Из того же закона видно, что

После подстановки найденных выражений в уравнение Мещерского и сокращения на m имеем:

Интегрируя один раз, получим:

Подставляем начальные данные (при t=0, υ_x=υ_0x), имеем

Получаем следующее выражение изменения скорости самолета в зависимости от времени

Чтобы получить закон движения самолета, надо в левой части этого выражения представить υ_x как производную от текущей координаты х по времени, разделить переменные и проинтегрировать

Возьмем отдельно последний интеграл

Определим C₂ по начальным данным, положив, что при t = 0 и х = 0, тогда

Подставив в предыдущее равенство вместо C₂ его значение найдем закон, определяющий движение самолета на активном участке пути. Естественно, что в эту формулу проекции входят со своими знаками, например, в рассмотренной задаче проекция относительной скорости υ_lx отрицательна, а проекция начальной скорости υox положительна.

Ответ.

• Момент количества движения
• Мощность и работа силы
• Потенциальная энергия
• Обобщенные координаты системы
• Координатный способ определения движения точки
• Касательное и нормальное ускорения точки
• Основные законы динамики
• Колебания материальной точки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.