Уравнение количества движения в полных импульсах

Глава 9. Двигаем объекты: количество движения и импульс

• Измеряем количество движения
• Вычисляем импульс
• Выясняем связь между силой и изменением импульса
• Разбираемся с законом сохранения импульса
• Знакомимся с разными типами столкновений

Эта глава посвящена понятиям, которые следует учитывать при изучении движения объектов, а именно с импульсом и моментом импульса. Оба эти понятия играют большую роль в двух разделах механики: кинематике, посвященной изучению движения объектов, и динамике, посвященной изучению взаимодействия объектов. Владея этими понятиями, можно легко описывать поведение объектов при столкновениях: с какой скоростью продолжат движение сталкивающиеся объекты (не хотелось бы, чтобы на их месте были ваш автомобиль или велосипед), в каком направлении продолжит движение теннисный мячик после столкновения с ракеткой, насколько глубоко дротик для игры в дартс вонзится в мишень и т.п. Чтобы получить ответы на эти и многие другие вопросы, нужно очень хорошо представлять себе, что такое импульс и момент импульса. Описанию именно этих понятий и посвящается данная глава.

Изучаем количество движения

В физике импульсом называется количество движения, которое приобретает тело под действием заданной силы за определенное время. Играя в бильярд, нетрудно убедиться в разнообразных проявлениях импульса. Чем сильнее и быстрее удар кия по шару, тем интенсивнее движется шар. Чем больше столкновений испытает шар, тем менее интенсивным становится его движение.

В повседневных ситуациях мы привыкли говорить, что тому или иному объекту или событию придают импульс. Рассмотрим процесс передачи импульса более подробно на примере бильярдного кия и шара. Процесс передачи импульса начинается в момент ​ \( t_0 \) ​ первого соприкосновения кия с шаром и заканчивается в момент ​ \( t_1 \) ​ утраты контакта между кием и шаром. В общем зависимость силы воздействия кия на шар от времени имеет сложный характер. Однако доя простоты можно положить, что она линейно возрастает от нулевого значения в момент \( t_0 \) первого соприкосновения, достигает максимального значения в момент наибольшего контакта, а потом снижается до нуля в момент \( t_1 \) утраты контакта между кием и шаром. Эта идеализированная зависимость силы взаимодействия кия и шара от времени графически показана на рис. 9.1.

Время взаимодействия кия и шара очень мало (несколько долей секунды), и зафиксировать характер изменения силы можно только с помощью очень точного оборудования. Обычно физики используют не точные мгновенные значения, а усредненные величины. Например, в данном примере приобретенный шаром импульс ​ \( \mathbf

\) ​ равен произведению средней силы взаимодействия ​ \( \mathbf<\overline> \) ​ и времени взаимодействия ​ \( \Delta=t_1-t_0 \) ​:

Обратите внимание, что эта формула связывает векторы силы и импульса. Действительно, импульс — это вектор, обладающий некоторой величиной и направлением, совпадающим с направлением силы, например результирующей векторной суммы всех действующих на объект сил.

Из этой формулы ясно, что изменение импульса измеряется в системе СИ в ньютонах в секунду (Н·с), а в системе СГС — в динах-секундах (дин·с).

Получаем импульс

Изменение импульса (т.е. определенного количества движения) объекта означает изменение характера его движения. Причем это изменение зависит от массы и скорости объекта, поскольку импульс равен произведению скорости и массы объекта. Импульс является очень важной физической концепцией, которая используется не только в начальном курсе физики, но и в некоторых очень сложных разделах физики, например в физике элементарных частиц, где компоненты атомов носятся с огромными скоростями. Именно на основании анализа импульсов до и после столкновения элементарных частиц ученые могут делать выводы о поведении субатомного мира.

Общая идея импульса понятна даже тем, кому незнакомо это понятие. Не так уж легко остановить тележку, которая катится по склону горы. Дело в том, что тележка массивна и обладает большой скоростью. Еще труднее остановить огромный нефтяной танкер. Порой для полной остановки крупного танкера требуется около 30 км тормозного пути! И все это из-за огромного импульса, которым он обладает.

Чем больше масса движущегося объекта (представьте себе огромный танкер) и чем больше скорость объекта (представьте себе быстро плывущий танкер), тем больше импульс объекта.

Итак, импульс объекта равен:

Как видите, импульс — это вектор с определенной величиной и направлением (о векторах подробнее рассказывается в главе 4). Импульс, как и количество движения, измеряется в системе СИ в ньютонах в секунду (Н·с), а в системе СГС — в динах-секундах (дин·с).

Связываем работу силы и изменение импульса

Придать объекту импульс так же просто, как ударить клюшкой для гольфа по мячу. Достаточно применить элементарные алгебраические преобразования ко второму закону Ньютона и мы получим связь между работой силы и изменением импульса. С чего начать? Начнем со связи силы и скорости. Как известно, ускорение определяется следующей формулой:

где ​ \( \Delta \) ​ — это изменение скорости за промежуток времени \( \Delta\) , ​ \( v_0 \) ​ — это начальная скорость в момент времени \( t_0 \) , a ​ \( v_1 \) ​ — это конечная скорость в момент времени \( t_1 \) . Теперь, если умножить обе части этой формулы на массу объекта ​ \( m \) ​, то слева получим:

Теперь, чтобы получить связь силы с импульсом объекта, умножим эту формулу на промежуток времени \( \Delta\) и получим:

Посмотрите повнимательнее на правую часть формулы ​ \( m(v_1-v_0) \) ​. Поскольку импульс объекта с массой ​ \( m \) ​ равен ​ \( p=mv \) ​, то эта часть формулы выражает разницу конечного ​ \( p_1=mv_1 \) ​ и начального \( p_0=mv_0 \) импульса, т.е.:

Следовательно, в итоге получим:

Итак, справа имеем силу, умноженную на промежуток времени ее действия, т.е. ​ \( F\Delta\) ​, а слева — изменение импульса ​ \( \Delta

\) ​. Убирая промежуточные выкладки, получим искомую формулу связи силы и изменения импульса объекта:

Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы за то же время. (Его не следует путать с понятием импульс объекта ​ \( p=mv \) ​. Применение обоих этих понятий часто приводит к путанице, и потому понятие импульс силы используется довольно редко. — Примеч. ред.)

Пример: вычисляем импульс бильярдного шара

С помощью приведенных выше уравнений можно связать действующую на объект силу и приобретенный им импульс. Попробуем применить полученные знания при игре в бильярд. Допустим, что время контакта кия с бильярдным шаром приблизительно равно 5 мс (1 миллисекунда, или сокращенно 1 мс, равна 10 -3 с). Насколько нужно изменить импульс неподвижного бильярдного шара, чтобы загнать его в лузу с отскоком от боковой стенки?

Пусть шар имеет массу 200 г (т.е. 0,2 кг). Допустим, что путем тщательных замеров и вычислений стало известно, что для попадания в лузу с отскоком от боковой стенки шару нужно приобрести скорость 20 м/с. Какую силу нужно приложить к кию для выполнения этой задачи?

Итак, в начальный момент времени шар покоится, т.е. начальная скорость ​ \( v_0 \) ​ = 0, а его конечная скорость \( v_1 \) должна быть равна 20 м/с. Вычислим необходимое изменение импульса по уже известной нам формуле:

Подставив значения получим:

Итак, необходимо изменить импульс шара на 4 кг·м/с. Вычислим, какую силу нужно для этого приложить за промежуток времени 5 мс по известной формуле:

Подставив значения, получим:

Итак, чтобы загнать бильярдный шар в лузу с отскоком от боковой стенки нужно прилагать к кию силу 800 Н в течение 5 мс.

Пример: определяем импульс капель дождя

После триумфальной демонстрации своих физических познаний в бильярдной попробуем использовать их в более привычной ситуации. Предположим, что на обратном пути домой внезапно начался дождь. Не беда, ведь под рукой есть зонт. Допустим, что на раскрытый зонт ежесекундно со средней скоростью около 10 м/с падает приблизительно 100 г капель воды. Вопрос: с какой силой нужно удерживать зонт массой 1 кг, чтобы удержать его под таким дождем?

Чтобы удержать зонт даже в отсутствие дождя, потребуется сила, равная весу зонта, то есть:

А как же подсчитать воздействие капель дождя? Предположим, что капли после падения на зонт почти мгновенно стекают по его почти горизонтальной поверхности. Даже в этом случае нам нужно учесть не только их массу, но и уменьшение скорости из-за встречи с зонтом. Действительно, летящие капли имеют начальную скорость 10 м/с, а после падения на зонт останавливаются, т.е. приобретают нулевую конечную скорость. Итак, имеем изменение импульса капель дождя, вызванное взаимодействием с зонтом. Попробуем оценить это изменение с помощью известной формулы:

Подставляя значения, получим:

Такое изменение импульса капель происходит ежесекундно. Свяжем теперь его с известной нам формулой:

Подставив значения, получим:

Итак, помимо силы 9,8 Н для удержания сухого зонта потребуется еще дополнительная сила 1 Н для компенсации торможения капель, т.е. всего потребуется сила 10,8 Н.

Наибольшую трудность при вычислениях изменения импульса под действием силы вызывает оценка времени действия этой силы. Поэтому при решении задач, связанных с изменением импульса, при столкновениях объектов обычно стремятся использовать другие параметры процесса, например скорость до и после столкновения, избегая оценок трудновычислимых параметров.

Изучаем закон сохранения импульса

Согласно этому закону, в изолированной системе без внешних сил общий импульс всех объектов системы до столкновений между ними равен общему импульсу всех объектов системы после столкновений между ними.

Если для анализа импульсов взаимодействующих объектов использовать приведенные выше формулировки с указанием силы и времени ее действия, то на это придется затратить чрезвычайно много усилий. Закон сохранения импульса позволяет избежать этих сложностей. Дело в том, что, применяя этот закон, можно полностью исключить из рассмотрения силы и время их действия.

Допустим, что два беспечных пилота космических кораблей А и Б не смогли избежать лобового столкновения своих машин. Во время столкновения корабль Б воздействовал на корабль А со средней силой ​ \( F_ <АБ>\) ​. Согласно известной формуле о связи между силой и изменением импульса, получим для корабля А:

где ​ \( m_ <А>\) ​ — это масса корабля A, \( v_ <А1>\) — скорость корабля А после столкновения и \( v_ <А0>\) — скорость корабля А до столкновения.

Аналогично, во время столкновения корабль А воздействовал на корабль Б со средней силой \( F_ <БА>\) . Опять по известной формуле о связи между силой и изменением импульса, получим для корабля Б:

где \( m_ <Б>\) — это масса корабля Б, \( v_ <Б1>\) — скорость корабля Б после столкновения и \( v_ <Б0>\) — скорость корабля Б до столкновения.

Сложим оба последних равенства и получим следующее уравнение:

Опустим промежуточные выкладки и оставим только крайние левую и правую части этого равенства. Причем в правой части соберем отдельно члены начального и конечного состояний и получим:

Сумма ​ \( m_Av_+m_Бv_ <Б1>\) ​ означает суммарный конечный импульс \( p_<1>=p_+p_ <Б1>\) двух кораблей после столкновения, а сумма \( m_Av_+m_Бv_ <Б0>\) — суммарный начальный импульс \( p_<0>=p_+p_ <Б0>\) двух кораблей до столкновения. Следовательно, последнее уравнение можно переписать в следующем виде:

Если теперь ввести обозначение ​ \( \sum\! \) ​ для суммы этих двух сил ​ \( F_<АБ>+F_ <БА>\) ​, то получим:

При работе с изолированной, или замкнутой, системой объектов внешних сил нет. Именно такая ситуация рассматривается в данном примере.

Если два космических корабля столкнутся при отсутствии внешних сил, то согласно третьему закону Ньютона, ​ \( F_<АБ>=-F_ <БА>\) ​. Иначе говоря, в замкнутой системе имеем:

А это означает, что:

Это равенство означает, что в изолированной системе без внешних сил начальный импульс двух сталкивающихся объектов до их столкновения равняется конечному импульсу после столкновения, что соответствует закону сохранения импульса.

Извлекаем тепло из суммарного импульса.

Всегда ли сохраняется суммарный импульс объектов при их лобовом столкновении и сцеплении? В реальном мире далеко не всегда. Дело в том, что часто при столкновениях объектов они необратимо деформируются и часть их кинетической энергии расходуется на необратимую деформацию и рассеивается в виде тепловой энергии. Однако для точного расчета такого преобразования кинетической энергии в тепловую требуется учесть много других сложных физических процессов. Эти процессы обычно не рассматриваются в начальном курсе физики, а тем более в этом курсе.

Измеряем скорость с помощью закона сохранения импульса

Попробуем применить закон сохранения импульса для расчета некоторых параметров движения. Предположим, что при игре в хоккей игрок А с массой 100 кг решил применить силовой прием против другого неподвижного игрока Б тоже с массой 100 кг (который оказался его братом-близнецом). Для этого игрок А разогнался до скорости 11 м/с, грубо толкнул игрока Б и, схватив его руками, устроил потасовку. С какой скоростью будут двигаться оба сцепившихся руками игрока после столкновения?

Будем считать, что в данном примере мы имеем дело с замкнутой системой (см. предыдущий раздел), поскольку мы пренебрегаем всеми внешними силами, включая силу трения. Хотя в вертикальном направлении на хоккеистов со стороны ледяного катка действует нормальная сила (подробнее о ней см. в главе 6), но она равна по величине весу игроков и противоположна по направлению и в сумме дает нуль.

Итак, рассмотрим горизонтальные проекции импульсов игроков. Согласно закону сохранения импульса, имеем:

Подставим в эту формулу массу и начальную скорость игроков (на самом деле нужно подставить массу ​ \( m_А \) ​ и начальную скорость ​ \( v_ <А0>\) ​ только игрока А, поскольку игрок Б имел нулевую начальную скорость):

Конечный импульс ​ \( p_1 \) ​ должен быть равен произведению общей массы ​ \( m_А+m_Б \) ​ игроков на их конечную скорость ​ \( v_ <АБ1>\) ​, т.е. получаем:

Из двух последних уравнений получаем:

откуда легко можно выразить конечную скорость \( v_ <АБ1>\) :

Подставляя значения, получим:

Конечная скорость двух игроков равна половине начальной скорости одного игрока. Этого следовало ожидать, ведь масса движущихся объектов увеличилась вдвое, а поскольку импульс сохраняется, то скорость должна уменьшиться во столько же раз.

Измеряем начальную скорость пули с помощью закона сохранения импульса

Закон сохранения импульса очень удобно использовать для определения скорости объекта, если ее нельзя или очень трудно измерить с помощью секундомера. Предположим, что изготовитель пуль хочет знать, какой будет начальная скорость новой пули. Как ему поступить? Для решения этой задачи ему предложили использовать приспособление, показанное на рис. 9.3.

Как оно может помочь? Оказывается, что если выстрелить пулей с массой ​ \( m \) ​ в массивную деревянную мишень с массой ​ \( M \) ​ и пуля застрянет в мишени, то, как и в примере с хоккеистами, конечная скорость мишени с пулей ​ \( v_1 \) ​ будет зависеть от начальной скорости пули \( v_0 \) . Как именно? Для конкретного ответа на этот вопрос попробуем использовать закон сохранения импульса.

Итак, начальный суммарный импульс пули и мишени равен:

Поскольку пуля застряла в мишени, то конечный суммарный импульс пули и мишени равен:

Если пренебречь потерями энергии на преодоление трения при попадании пули в мишень, то согласно закону сохранения импульса, эти два импульса должны быть равны:

и искомая начальная скорость равна:

Итак, остается только определить конечную скорость ​ \( v_1 \) ​ мишени с застрявшей в ней пулей. Для этого нужно вспомнить закон сохранения энергии, который описывается в главе 8. Ведь после попадания пули мишень отклонится и поднимется на некоторую максимальную высоту ​ \( h \) ​, на которой ее скорость станет равной нулю. В этой точке ее кинетическая энергия ​ \( \frac<(m+M)v^2_1> <2>\) ​ преобразуется в потенциальную ​ \( (m+M)gh \) ​. Итак, согласно закону сохранения энергии получим:

Откуда легко вывести формулу для конечной скорости мишени с застрявшей в ней пулей ​ \( v_1 \) ​:

Подставим эту формулу в прежнее выражение для искомой начальной скорости пули:

Пусть пуля имеет массу 50 г, деревянная мишень — 10 кг, а после попадания пули в нее мишень отклонилась и поднялась на максимальную высоту 0,5 м. Подставляя значения в приведенную выше формулу, получим:

Таким образом, мы определили начальную скорость пули. Изготовитель пуль будет просто в восторге от такого простого и удобного способа.

Упругие и неупругие столкновения

Изучение физики на примере столкновений разных тел — это очень интересное и увлекательное занятие. Во многом это объясняется тем, что многие вычисления значительно упрощаются благодаря закону сохранения импульса (более подробно он рассматривается в предыдущих разделах этой главы). Однако, как мы уже убедились в предыдущих примерах, в некоторых столкновениях одного этого закона недостаточно и нужно применять закон сохранения энергии. Это особенно полезно для анализа столкновений объектов со скоростями, векторы которых направлены не вдоль одной прямой (как в предыдущих примерах), а лежат в одной плоскости.

В реальной жизни такие ситуации происходят сплошь и рядом. Например, при изучении причин дорожно-транспортного происшествия часто требуется проанализировать начальные и конечные скорости столкнувшихся автомобилей. При сортировке вагонов нужно учитывать начальные и конечные скорости сталкивающихся вагонов и составов.

Что происходит в таких столкновениях, если столкнувшиеся объекты не “слипаются” друг с другом? Рассмотрим более общий пример: пусть два бильярдных шара сталкиваются дуг с другом с разными скоростями, направленными друг к другу под произвольным углом. Как определить их величину и направление их скоростей после столкновения? Для этого потребуется не только закон сохранения импульса, но и закон сохранения энергии.

Когда сталкивающиеся объекты отскакивают друг от друга: упругие столкновения

В реальном мире при столкновении тел всегда наблюдаются потери энергии на деформацию и рассеивание тепла. В некоторых случаях эти потери столь малы, что ими можно пренебречь, как, например, при столкновении двух бильярдных шаров. В физике такие столкновения с сохранением кинетической энергии сталкивающихся объектов называют упругими столкновениями. Итак, в упругом столкновении сохраняется общая кинетическая энергия замкнутой системы объектов, т.е. суммарная кинетическая энергия после столкновения равна суммарной кинетической энергии до столкновения.

Когда сталкивающиеся объекты не отскакивают друг от друга: неупругие столкновения

Если во время столкновения объектов какая-то часть энергии тратится на работу каких-то неконсервативных сил (например, на преодоление силы трения, деформацию и т.п.), то кинетическая энергия системы не сохраняется. Она частично преобразуется в другие формы энергии. Такие столкновения в физике называют неупругими столкновениями. Итак, в неупругом столкновении общая кинетическая энергия замкнутой системы объектов не сохраняется, т.е. суммарная кинетическая энергия после столкновения не равна суммарной кинетической энергии до столкновения. Примеры неупругих столкновений можно наблюдать в дорожно-транспортных происшествиях, когда столкнувшиеся машины деформируют друг друга или даже сцепляются и движутся как единое целое.

Совсем не обязательно, чтобы после неупругого столкновения объекты сцеплялись друг с другом. Достаточно, чтобы часть кинетической энергии “утрачивалась”, т.е. переходила в другую форму, например в тепловую энергию. Неупругое столкновение внешне может быть очень похоже на упругое столкновение, например при касательном столкновении двух машин с образованием легких повреждений. На образование этих повреждений необратимо тратится часть кинетической энергии, но машины могут независимо продолжить движение.

Упругие столкновение на прямой

Итак, мы уже выяснили, что при упругом столкновении кинетическая энергия сталкивающихся объектов сохраняется. Проще всего изучать особенности упругого столкновения, когда векторы скоростей находятся на одной прямой. Рассмотрим идеализированный пример столкновения двух машин с совершенно упругими (т.е. недеформирую- щимися) бамперами, которые движутся по прямой.

Упругое столкновение с более тяжелым объектом

Предположим, что вы решили прокатиться на автомобиле А с массой 300 кг и на скорости около 10 м/с столкнулись с внезапно остановившимся перед вами другим автомобилем Б с массой 400 кг. Какими будут скорости обоих автомобилей после их упругого столкновения?

Итак, до столкновения автомобиль А с массой ​ \( m_А \) ​ = 300 кг имел начальную скорость ​ \( v_ <А0>\) ​ = 10 м/с, а автомобиль Б с массой \( m_Б \) = 400 кг — начальную скорость \( v_ <Б0>\) = 0. Если считать систему двух автомобилей замкнутой, то их общий импульс должен сохраняться, то есть:

где \( v_ <А1>\) — это конечная скорость автомобиля А после столкновения, a \( v_ <Б1>\) — это конечная скорость автомобиля Б после столкновения.

У нас есть одно уравнение с двумя неизвестными \( v_ <А1>\) и \( v_ <Б1>\) . Чтобы их найти, нужно иметь еще одно уравнение, связывающее эти неизвестные. Как насчет кинетической энергии? Действительно, поскольку столкновение было упругим, то кинетическая энергия объектов должна сохраняться, т.е. должно выполняться равенство:

Теперь у нас есть два уравнения и две неизвестных величины. С помощью простых алгебраических операций можно легко получить выражения для неизвестных скоростей \( v_ <А1>\) и \( v_ <Б1>\) :

Подставляя значения в обе эти формулы, получим:

Анализируя полученные значения, можно легко восстановить ход событий. Итак, автомобиль А на скорости 10 м/с столкнулся с неподвижным автомобилем Б. После столкновения автомобиль А отскочил назад (об этом свидетельствует отрицательный знак конечной скорости \( v_ <А1>\) ) со скоростью 1,43 м/с, а автомобиль Б начал движение вперед со скоростью 8,57 м/с. Автомобиль А легче автомобиля Б, а что если бы было наоборот?

Упругое столкновение с более легким объектом

Предположим, что в предыдущем примере движущийся автомобиль А тяжелее неподвижного автомобиля Б. Пусть автомобиль А с массой 400 кг на скорости около 10 м/с сталкивается с внезапно остановившимся перед вами другим автомобилем Б с массой 300 кг. Вопрос остается прежним: какими будут скорости обоих автомобилей после их упругого столкновения?

Итак, до столкновения автомобиль А с массой ​ \( m_А \) ​ = 400 кг имеет начальную скорость ​ \( v_ <А0>\) ​ = 10 м/с, а автомобиль Б с массой \( m_Б \) = 300 кг — начальную скорость \( v_ <Б0>\) = 0. Используем уже известные нам формулы скоростей \( v_ <А1>\) и \( v_ <Б1>\) :

Подставим в них новые значения и получим:

Как видите, более тяжелый движущийся автомобиль А после столкновения с более легким автомобилем Б смог продолжить движение в том же направлении, но с меньшей скоростью. Причем часть своего импульса он передал более легкому автомобилю Б.

Упругие столкновения в одной плоскости

Столкновения объектов не всегда происходят по прямой линии. Например, бильярдные шары сталкиваются так, что векторы их скоростей могут быть направлены не вдоль одной прямой, а находится в одной плоскости под произвольным углом друг к другу. В этом случае нужно учитывать не только величину, но и направление скорости. Пусть во время игры в гольф два игрока одновременно (простим им это нарушение правил) ударяют по разным мячам А и Б, мячи упруго сталкиваются и продолжают движение, как показано на рис. 9.4. Какими будут скорости мячей после столкновения?

Попробуем решить эту задачу, учитывая, что мячи имеют одинаковую массу ​ \( m \) ​ = 46 г. Мяч А имеет начальную скорость \( v_ <А0>\) = 1,0 м/с, а мяч Б — начальную скорость \( v_ <Б0>\) = 2,0 м/с. Кроме того, пусть нам известны направления векторов начальных скоростей обоих мячей (см. рис. 9.4).

Для решения задачи нам потребуются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Поскольку столкновение считается упругим, то кинетическая энергия системы сохраняется, т.е. согласно закону сохранения энергии, имеем:

или в более простой форме:

Если подставить вместо скоростей их компоненты по осям X и Y, то получим:

Так как трение здесь не учитывается, то в процессе столкновения внутренние силы упругого взаимодействия мячей направлены только по вертикальной оси Y. Эти силы не изменяют компоненты импульсов мячей по горизонтальной оси X:

Отсюда следует, что компоненты скоростей мячей по горизонтальной оси X после столкновения тоже не изменяются:

(То есть компоненты скоростей мячей по горизонтальной оси X в результате столкновения не изменились.)

Соотношение, полученное ранее из закона сохранения энергии:

с учетом постоянства компонент скоростей по оси X теперь будет иметь следующий вид:

или (поскольку ​ \( v_ <Б0у>\) ​ = 0);

Согласно закону сохранения импульса, для компонент импульса по вертикальной оси Y имеем​ \( mv_<А1у>+mv_<Б1у>=mv_<А0у>+mv_ <Б0у>\) ​ или в более простой форме (поскольку ​ \( v_ <Б0у>\) ​ = 0):

Из двух последних равенств нетрудно получить выражения для компонент скоростей по вертикальной оси Y:

Как видите, при таком упругом столкновении у мячей остались прежними их компоненты скоростей по горизонтальной оси X, и они “обменялись” компонентами скоростей по вертикальной оси Y. Это значит, что мяч А продолжит движение с нулевой компонентой \( v_ <А1у>\) , т.е. по горизонтали, а мяч Б продолжит движение под углом ​ \( \alpha \) ​, который легко вычислить по формуле:

где знак “минус” перед значением угла означает, что на рис. 9.4 угол откладывается в направлении против часовой стрелки.

А скорости мячей после столкновения будут равны

Количество движения

§1. Количество движения системы (импульс системы)

Количество движения (импульс тела) – векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:

Импульс (количество движения) – одна из самых фундаментальных характеристик движения тела или системы тел.

Запишем II закон Ньютона в другой форме, учитывая, что ускорение Тогда следовательно

Произведение силы на время ее действия равно приращению импульса тела:

Где — импульс силы, который показывает, что результат действия силы зависит не только от ее значения, но и от продолжительности ее действия.

Количеством движения системы (импульсом) будем называть векторную величину , равную геомет­рической сумме (главному вектору) количеств движения (импульсов) всех точек системы (рис.2):

Из чертежа видно, что независимо от величин скоростей точек системы (если только эти скорости не параллельны) вектор может принимать любые значения и даже оказаться равным нулю, когда многоугольник, построенный из векторов

, замкнется. Следова­тельно, по величине нель­зя полностью судить о ха­рактере движения системы.

Рис.2. Количество движения системы

§2. Теорема об изменении количества движения (импульса)

Пусть на тело массой m в течение некоторого малого промежутка времени Δt действовала сила Под действием этой силы скорость тела изменилась на Следовательно, в течение времени Δt тело двигалось с ускорением:

Из основного закона динамики (второго закона Ньютона) следует:

Следовательно, алгебраическое приращение количества движения материальной точки при прямолинейном движении за время ∆t равна импульсу действующей силы за тот же промежуток времени.

§3. Закон сохранения количества движения (закон сохранения импульса)

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следую­щие важные следствия:

1) Пусть сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что Q==const. Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на замкнутую систему, равна нулю, то вектор количества движения (импульса) системы будет постоянен по модулю и направлению.

2) Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например Оx) равна нулю:

Тогда из уравнения следует, что при этом Q_x=const. Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения (импульса) системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы: при любом характере взаимодействия тел, образующих замкнутую систему, вектор полного импульса этой системы все время остается постоянным.

Из них следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движения системы не могут.

Закон сохранения полного импульса изолированной системы – это универсальный закон природы. В более общем случае, когда система незамкнута, из следует, что полный импульс незамкнутой системы не остается постоянным. Его изменение за единицу времени равно геометрической сумме всех внешних сил.

Рассмотрим неко­торые примеры:

а) Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить суммарное количество движения системы. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т.е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

б) Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное коли­чество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы останется равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес.

в) Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла реактивного двигателя). Действующие при этом силы давления бу­дут силами внутренними, и они не могут изменить суммарное коли­чество движения системы ракета — продукты горения топлива. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения, на­правленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.

Вопросы для самопроверки:

— Что называется количеством движения механической системы?

— Как формулируется теорема об изменении количества движения системы?

— Запишите математическое выражение теоремы об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной форме.

— В каком случае количество движения механической системы не изменяется?

— Как определяется импульс переменной силы за конечный промежуток времени? Что характеризует импульс силы?

— Чему равны проекции импульса постоянной и переменной силы на оси координат?

— Чему равен импульс равнодействующей?

— Как изменяется количество движения точки, движущейся равномерно по окружности?

— Что называется количеством движения механической системы?

— Чему равно количество движения маховика, вращающегося вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр тяжести?

— При каких условиях количество движения механической системы не изменяется? При каких условиях не изменяется его проекция на некоторую ось?

— Почему происходит откат орудия при выстреле?

— Могут ли внутренние силы изменить количество движения системы или количество движения ее части?

— От каких факторов зависит скорость свободного движения ракеты?

— Зависит ли конечная скорость ракеты от времени сгорания топлива?

Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс в теоретической механике

Содержание:

Количество движения точки и системы:

Одной из мер движения точки или системы является количество их движения.

Количеством движения материальной точки

Количество движения точки в физике часто называют импульсом материальной точки.

Проекции количества движения точки на прямоугольные декартовы оси координат:

Размерность количества движений в СИ — или . Количеством движения системы называют векторную сумму количеств движений отдельных точек систем, т. е.

и, следовательно, проекции количества движения системы на прямоугольные декартовы оси координат

Вектор количества движения системы в отличие от вектора количества движения точки не имеет точки приложения. Вектор количества движения точки считается приложенным в самой движущейся материальной точке, а вектор является свободным вектором.

Вычисление количества движения системы

Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс :

В проекциях на прямоугольные декартовы оси соответственно

где — координаты центра масс системы. Выведем формулу (6):

где — радиус-вектор -й точки системы (рис. 40).

Рис. 40

По формуле для радиуса-вектора центра масс,

Подставляя значение статического момента массы (8) в (7), имеем

так как масса системы не изменяется при движении системы.

Элементарный и полный импульсы силы

Действие силы на материальную точку в течение времени можно охарактеризовать так называемым элементарным импульсом силы . Полный импульс силы за время , или импульс силы , определяют по формуле

Проекции импульса силы на прямоугольные оси координат выражаются формулами

Единица импульса силы — .

Теорема об изменении количества движения точки

Дифференциальное уравнение движения материальной точки под действием силы можно представить в следующей векторной форме:

Так как масса точки принята постоянной, то ее можно внести под знак производной. Тогда

Формула (10) выражает теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе.

В проекциях на координатные оси (10) можно представить в виде

Рис. 41

Если обе части (10) умножить на , то получим другую форму этой же теоремы — теорему импульсов в дифференциальной форме:

т. е. дифференциал от количества движения точки равен элементарному импульсу силы, действующей на точку.

Проецируя обе части (11) на координатные оси, получаем

Интегрируя обе части (11) в пределах от нуля до (рис. 41), имеем

где — скорость точки в момент ; — скорость при ; —импульс силы за время .

Выражение в форме (12) часто называют теоремой импульсов в конечной (или интегральной) форме: изменение количества движения точки за какой-либо промежуток времени равно импульсу силы за тот же промежуток времени. В проекциях на координатные оси эту теорему можно представить в следующем виде:

Для материальной точки теорема об изменении количества движения в любой из форм, по существу, не отличается от дифференциальных уравнений движения точки.

Теорема об изменении количества движения системы

Аналогично тому, как для одной материальной точки, выведем теорему об изменении количества движения для системы в различных формах. Пусть к точкам системы приложены внешняя и внутренняя силы. Тогда для каждой точки можно применить теорему об изменении количества движения, например в форме (10) (см. рис. 40):

Суммируя по всем точкам системы правые и левые части этих соотношений и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получаем

Так как, по свойству внутренних сил и определению количества движения системы,

то приведенное соотношение можно представить в виде

Выражение (13) является теоремой об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему. В проекциях на прямоугольные декартовы оси координат

т. е. производная по времени от проекции количества движения системы на какую-либо координатную ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось.

Умножая обе части (13) на , получаем теорему импульсов для системы в дифференциальной форме:

т. е. дифференциал количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему. В проекциях на координатные оси эта теорема примет вид

Вычисляя интегралы от обеих частей (14) по времени- от нуля до получаем теорему импульсов для системы в конечной или интегральной форме:

где — количество движения системы в момент ; — количество движения в момент ; — импульс внешней силы, действующей на -ю точку за время ; .

Теорема импульсов для системы в конечной форме формулируется так: изменение количества движения системы за какое-либо время равно векторной сумме всех импульсов внешних сил, действующих на систему за то же время. В проекциях на прямоугольные оси согласно (15) имеем:

Внутренние силы системы не входят явно в теорему об изменении количества движения системы в любой из форм и, следовательно, не влияют непосредственно на изменение количества движения системы. Они могут влиять на изменение количества движения только неявно через внешние силы.

Из теоремы об изменении количества движения для точки и системы при некоторых условиях для внешних сил можно получить так называемые первые интегралы системы дифференциальных уравнений точки и системы. Эти первые интегралы называют законами сохранения количества движения или проекции количества движения на ось. Рассмотрим эти законы сохранения для точки и системы одновременно, считая материальную точку механической системой, состоящей из одной точки.

Законы сохранения количества движения

Законы сохранения количества движения системы получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы в зависимости от особенностей системы внешних сил, приложенных к рассматриваемой механической системе, а для одной точки — от особенностей сил, действующих на точку. Внутренние силы при этом могут быть любыми, так как они явно не влияют на изменение количества движения системы.

Возможны два частных случая.

1. Если векторная сумма всех внешних сил, приложенных к системе, равна нулю, т. е. , то из теоремы об изменении количества движения системы, например в форме (13), следует, что

Этот закон (точнее, частный случай теоремы) формулируется так: если главный вектор внешних сил системы равен нулю, то количество движения системы постоянно по величине и направлению. В проекциях на координатные оси, по этому закону,

где — постоянные величины.

В соотношения (16) и (16′) входят производные от координат точек по времени не выше первого порядка и не входят вторые производные от этих координат. Следовательно, эти соотношения являются первыми интегралами дифференциальных уравнений системы (3).

2. Если равна нулю проекция главного вектора внешних сил на какую-либо координатную ось , т. е. , то из (13′) имеем

Выражение (17) является законом сохранения проекции количества движения системы: если проекция главного вектора всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения на ту же ось является постоянной величиной.

Применим закон сохранения количества движения системы для объяснения принципа реактивного движения. Пусть, например, система состоит из двух сочлененных твердых тел, находящихся в покое и свободных от действия внешних сил. Тогда для рассматриваемой системы количество движения все время постоянно и равно нулю. Допустим, что при взрыве пиропатрона (действие внутренних сил) первому телу массой сообщена скорость . Тогда скорость второго тела массой определится из закона сохранения количества движения

т. е. второе тело движется в сторону, противоположную первому телу. Если его движению препятствует какая-либо связь, то рассматриваемое тело давит на эту связь с некоторой силой по направлению скорости . Эту силу называют реактивной. В реактивных двигателях она создается за счет истечения газа с большой скоростью (около ) из сопла двигателя.

Теорему об изменении количества движения в той или другой форме удобно применять для решения задач именно в рассмотренных частных случаях, хотя в некоторых случаях ее применяют и в общем случае. Отметим, что внутренние силы не влияют на изменение количества движения в изолированных системах, т. е. в системах, которые не соприкасаются с другими телами, не принадлежащими к рассматриваемой системе, или окружающей систему материальной средой.

В неизолированных механических системах внутренние силы, вызывая движение отдельных частей системы вследствие взаимодействия с внешними телами или окружающей материальной средой, могут вызвать внешние силы в виде сил реакций связей или изменения активных сил, которые могут изменить количество движения системы.

Количество движения системы может зависеть от внутренних сил только неявно, через внешние силы.

Рис. 42

Пример №1

Через изогнутую под прямым углом трубу постоянного сечения за 1 с протекает жидкость массой (рис. 42). Скорость течения жидкости постоянна, т. е. одна и та же у всех частиц жидкости. Определить силу, с которой жидкость давит на участок трубы вследствие поворота потока на прямой угол.

Решение:

Применим к объему жидкости, заключенному между стенками трубы и поперечными сечениями 1 и 2, теорему об изменении количества движения в форме теоремы импульсов за промежуток времени, равный 1 с. За секунду точки жидкости из сечения 1 сместятся на расстояние и займут положение 1′, а точки жидкости из сечения 2 займут положение 2′. По теореме импульсов для выделенного объема жидкости имеем

где — количество движения жидкости, заключенной между сечениями 1 и 2; — количество движения жидкости, заключенной между сечениями 1′ и 2′; —главный вектор распределенных сил, с которыми стенки трубы действуют на выделенный объем жидкости.

Так как в общей части объема жидкости количества движения, входящие в и , взаимно уничтожаются при их вычитании, то из (а) получаем

Сила давления жидкости на стенки трубы по закону о равенстве действия и противодействия выразится в виде

Проецируя (б) на оси координат, получаем

так как . После этого

Направление силы давления жидкости указано на рисунке.

Рис. 43

Если бы через сечение 1 жидкость не поступала, а образовывалась внутри трубы, как в реактивном двигателе образуются газы после сгорания топлива, а через сечение 2 она выходила (рис. 43), то сила , согласно (б), имела бы значение .

Эта сила является частью реактивной силы двигателя вследствие выброса продуктов сгорания из двигателя, являющегося источником газа. Другая часть реактивной силы двигателя, равная , получается за счет разности давлений , в струе выходящего из сопла газа и давления в среде , куда выходит из двигателя газ. Здесь — площадь выходного сечения сопла.

Полная реактивная сила двигателя

По направлению реактивная сила всегда противоположна скорости v выходящего из двигателя газа. Для получения большой скорости выходящего газа сопло двигателя следует расширять по направлению к выходному его сечению при сверхзвуковых скоростях истечения газа.

Теорема о движении центра масс системы

Следствием теоремы об изменении количества движения системы является теорема о движении центра масс системы. По теореме об изменении количества движения системы (13),

Но количество движения системы можно вычислить по формуле (6):

где — скорость центра масс; — масса системы.

Подставляя (6) в (13) и учитывая, что масса системы постоянна, получаем теорему о движении центра масс в векторной форме:

где — ускорение центра масс.

Рис. 44

Теорема о движении центра масс формулируется так: центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассматриваемой механической системе.

Проецируя (18) на прямоугольные декартовы оси координат (рис. 44), получаем дифференциальные уравнения движения центра масс:

где — координаты центра масс.

Из теоремы о движении центра масс можно получить следствия, аналогичные законам сохранения количества движения и проекции количества движения на ось.

1. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему, равен нулю, т. е. , то из (18) следует, что ускорение центра масс равно нулю, а следовательно, скорость центра масс является постоянной по модулю и направлению, т. е. центр масс движется прямолинейно и равномерно по инерции или находится в покое. Если, в частности, в начальный момент он находится в покое, то он покоится в течение всего времени, пока главный вектор внешних сил равен нулю.

2. Если проекция, например на ось , главного вектора внешних сил, действующих на систему, равна нулю, т. е.

то из (18′) следует, что проекция ускорения центра масс на эту ось равна нулю, а следовательно, проекция скорости центра масс является постоянной величиной, т. е. .

Рис. 45

Если дополнительно в начальный момент , то тогда , т. е. координата центра масс не изменяется при движетении системы.

Внутренние силы не влияют явно на движение центра масс. Они могут влиять только неявно, через внешние силы. Следовательно, одними внутренними силами, без внешних, нельзя вывести из равновесия или изменить движение центра масс системы. Но внутренними силами для неизолированной механической системы можно создать движение отдельных частей системы и, следовательно, взаимодействие с внешними телами, вызывая этим внешние силы реакций связей или изменяя активные силы. Это может изменить движение центра масс или вывести его из равновесия.

Пусть человек стоит на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости вблизи скрепленного с этой плоскостью тела. Так как на человека не действуют внешние силы в горизонтальном направлении, то внутренними силами он не может вывести из равновесия в этом направлении свой центр масс. Но человек может оттолкнуться рукой от препятствия, т. е. внутренними силами вызвать внешнюю силу реакций препятствия и таким образом вызвать движение своего центра масс в горизонтальном направлении. Все, что движется по Земле, летает в воздухе, плавает по воде, совершает это с помощью внутренних сил, создавая внешние силы трения на твердых поверхностях внешних тел, отталкиваясь от воздуха или воды.

Пример №2

Два груза с силами тяжести и , соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, скользят по боковым граням равнобедренного клина (рис. 45). Клин стороной опирается на гладкую горизонтальную плоскость. В начальный момент система находится в покое.

Найти перемещение клина по плоскости при опускании груза на высоту . Сила тяжести клина и . Массой блока и нити пренебречь.

Решение:

Внешними силами, действующими на клин вместе с грузами, являются силы тяжести и нормальная реакция горизонтальной гладкой поверхности . Следовательно,

Учитывая, что в начальный момент система находится в покое, на основании второго следствия из теоремы о движении центра масс имеем .

Вычислим при и в момент, когда груз опустится на высоту .

Для момента

где и — соответственно координаты центра масс по оси грузов и и клина.

Пусть вся система вместе с клином переместилась в положительном направлении оси на величину при опускании груза на . Тогда

так как грузы вместе с клином передвинутся на вправо и по клину вдоль отрицательного направления оси на при заданном угле клина, равном .

Так как , то после вычитания получим

Так как величина оказалась положительной, то клин действительно перемещается вправо в положительном направлении оси .

Рис. 46

Пример №3

В электромоторе корпус (статор) имеет силу тяжести , а ротор . Ротор вращается по часовой стрелке с частотой (рис.46). Центр масс ротора вследствие его несимметричности отстоит от оси вращения на расстоянии .

Определить горизонтальную силу, с которой действует мотор на болты, крепящие его к фундаменту, и вертикальное давление на пол.

Решение:

Предположим, что при центр масс ротора находится на оси . Тогда в момент времени координаты центра масс ротора можно выразить как

где

Для определения давления мотора на болты и пол рассмотрим в качестве механической системы весь мотор, для которого внешней силой в горизонтальном направлении является только сила действия болтов , а в вертикальном направлении — силы тяжести и нормальная реакция пола . Для координат центра масс всего мотора

где и — массы корпуса мотора и ротора соответственно; , и , — координаты их центров масс.

Центр масс корпуса закрепленного мотора является неподвижной точкой и находится в начале координат. Следовательно, ,, и поэтому координаты центра масс всего мотора

Используя дифференциальные уравнения движения центра масс всего мотора в проекциях на координатные оси, получим

где —сила действия болтов на корпус мотора в горизонтальном направлении по оси ; —нормальная сила реакции пола. Так как

то из (а) следует

Сила действия мотора на болты и давление на пол равны

Наибольшие числовые значения этих сил

Если болтов нет, то корпус мотора может подпрыгивать в направлении оси . Динамическое условие подпрыгивания в рассматриваемом случае выразится как , кинематическое условие подпрыгивания мотора есть .

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела

Из теоремы о движении центра масс системы получаются дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела. Имеем

Но при поступательном движении твердого тела ускорения всех точек тела одинаковы по модулю и направлению, т. е. , где —ускорение произвольной точки тела. Учитывая это, из теоремы о движении центра масс получаем следующее дифференциальное уравнение поступательного движения тела в векторной форме:

Проецируя на оси координат, имеем:

Это и есть дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела в проекциях на прямоугольные оси координат. В этих уравнениях х, у, z являются координатами произвольной точки тела, в частности могут быть координатами его центра масс. Тело, совершающее поступательное движение, имеет три степени свободы, и поэтому можно составить три дифференциальных уравнения его движения.

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела аналогичны дифференциальным уравнениям движения одной материальной точки. С помощью этих уравнений можно решать такие же задачи, как и для одной точки.

• Теорема об изменении кинетического момента
• Теорема об изменении кинетической энергии
• Потенциальное силовое поле
• Закон сохранения механической энергии
• Относительное движение материальной точки
• Геометрия масс
• Свойства внутренних сил системы
• Дифференциальное уравнение движения системы

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.