Уравнение конденсатора на переменном токе

Переменный ток

Господа, в сегодняшней статье я хотел бы рассмотреть такой интересный вопрос, как конденсатор в цепи переменного тока. Эта тема весьма важна в электричестве, поскольку на практике конденсаторы повсеместно присутствуют в цепях с переменным током и, в связи с этим, весьма полезно иметь четкое представление, по каким законам изменяются в этом случае сигналы. Эти законы мы сегодня и рассмотрим, а в конце решим одну практическую задачу определения тока через конденсатор.

Господа, сейчас для нас наиболее интересным моментом является то, как связаны между собой напряжение на конденсаторе и ток через конденсатор для случая, когда конденсатор находится в цепи переменного сигнала.

Почему сразу переменного? Да просто потому, что конденсатор в цепи постоянного тока ничем не примечателен. Через него течет ток только в первый момент, пока конденсатор разряжен. Потом конденсатор заряжается и все, тока нет (да-да, слышу, уже начали кричать, что заряд конденсатора теоретически длится бесконечно долгое время, да еще у него может быть сопротивление утечки, но пока что мы этим пренебрегаем). Заряженный конденсатор для постоянного тока – это как разрыв цепи. Когда же у нас случай переменного тока – тут все намного интереснее. Оказывается, в этом случае через конденсатор может протекать ток и конденсатор в этом случае как бы эквивалентен резистору с некоторым вполне определенным сопротивлением (если пока забить забыть про всякие там сдвиги фазы, об этом ниже). Нам надо каким-нибудь образом получить связь между током и напряжением на конденсаторе.

Пока мы будем исходить из того, что в цепи переменного тока находится только конденсатор и все. Без каких-либо других компонентов типа резисторов или индуктивностей. Напомню, что в случае, когда у нас в цепи находится исключительно одни только резисторы, подобная задача решается очень просто: ток и напряжения оказываются связанными между собой через закон Ома . Мы про это уже не один раз говорили. Там все очень просто: делим напряжение на сопротивление и получаем ток. А как же быть в случае конденсатора? Ведь конденсатор-то это не резистор. Там совсем иная физика протекания процессов, поэтому вот так вот с наскока не получится просто связать между собой ток и напряжение. Тем не менее, сделать это надо, поэтому давайте попробуем порассуждать.

Сперва давайте вернемся назад. Далеко назад. Даже очень далеко. К самой-самой первой моей статье на этом сайте. Старожилы должно быть помнят, что это была статья про силу тока . Вот в этой самой статье было одно интересное выражение, которое связывало между собой силу тока и заряд, протекающий через сечение проводника. Вот это самое выражение

Кто-нибудь может возразить, что в той статье про силу тока запись была через Δq и Δt – некоторые весьма малые величины заряда и времени, за которое этот заряд проходит через сечение проводника. Однако здесь мы будем применять запись через dq и dt – через дифференциалы. Такое представление нам потребуется в дальнейшем. Если не лезть глубоко в дебри матана, то по сути dq и dt здесь особо ничем не отличаются от Δq и Δt. Безусловно, глубоко сведущие в высшей математике люди могут поспорить с этим утверждением, но да сейчас я не хочу концентрировать внимание на данных вещах.

Итак, выражение для силы тока мы вспомнили. Давайте теперь вспомним, как связаны между собой емкость конденсатора С, заряд q, который он в себе накопил, и напряжение U на конденсаторе, которое при этом образовалось. Ну, мы же помним, что если конденсатор накопил в себе какой-то заряд, то на его обкладках неизбежно возникнет напряжение. Про это все мы тоже говорили раньше, вот в этой вот статье . Нам будет нужна вот эта формула, которая как раз и связывает заряд с напряжением

Давайте-ка выразим из этой формулы заряд конденсатора:

А теперь есть очень большой соблазн подставить это выражение для заряда конденсатора в предыдущую формулу для силы тока. Приглядитесь-ка повнимательнее – у нас ведь тогда окажутся связанными между собой сила тока, емкость конденсатора и напряжение на конденсаторе! Сделаем эту подстановку без промедлений:

Емкость конденсатора у нас является величиной постоянной. Она определяется исключительно самим конденсатором, его внутренним устройством, типом диэлектрика и всем таким прочим. Про все это подробно мы говорили в одной из прошлых статей . Следовательно, емкость С конденсатора, поскольку это константа, можно смело вынести за знак дифференциала (такие вот правила работы с этими самыми дифференциалами). А вот с напряжением U нельзя так поступить! Напряжение на конденсаторе будет изменяться со временем. Почему это происходит? Ответ элементарный: по мере протекания тока на обкладках конденсатора, очевидно, заряд будет изменяться. А изменение заряда непременно приведет к изменению напряжения на конденсаторе. Поэтому напряжение можно рассматривать как некоторую функцию времени и его нельзя выносить из-под дифференциала. Итак, проведя оговоренные выше преобразования, получаем вот такую вот запись:

Господа, спешу вас поздравить – только что мы получили полезнейшее выражение, которое связывает между собой напряжение, приложенное к конденсатору, и ток, который течет через него. Таким образом, если мы знаем закон изменения напряжения, мы легко сможем найти закон изменения тока через конденсатор путем простого нахождения производной.

А как быть в обратном случае? Допустим, нам известен закон изменения тока через конденсатор и мы хотим найти закон изменения напряжения на нем. Читатели, сведущие в математике, наверняка уже догадались, что для решения этой задачи достаточно просто проинтегрировать написанное выше выражение. То есть, результат будет выглядеть как-то так:

По сути оба этих выражений про одно и тоже. Просто первое применяется в случае, когда нам известен закон изменения напряжения на конденсаторе и мы хотим найти закон изменения тока через него, а второе – когда нам известно, каким образом меняется ток через конденсатор и мы хотим найти закон изменения напряжения. Для лучшего запоминания всего этого дела, господа, я приготовил для вас поясняющую картинку. Она изображена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Поясняющая картинка

На ней, по сути, в сжатой форме изображены выводы, которые хорошо бы запомнить.

Господа, обратите внимание – полученные выражения справедливы для любого закона изменения тока и напряжения. Здесь не обязательно должен быть синус, косинус, меандр или что-то другое. Если у вас есть какой-то совершенно произвольный, пусть даже совершенно дикий, не описанный ни в какой литературе, закон изменения напряжения U(t), поданного на конденсатор, вы, путем его дифференцирования можете определить закон изменения тока через конденсатор. И аналогично если вы знаете закон изменения тока через конденсатор I(t) то, найдя интеграл, сможете найти, каким же образом будет меняться напряжение.

Итак, мы выяснили как связать между собой ток и напряжение для абсолютно любых, даже самых безумных вариантов их изменения. Но не менее интересны и некоторые частные случаи. Например, случай успевшего уже нам всем полюбиться синусоидального тока. Давайте теперь разбираться с ним.

Пусть напряжение на конденсаторе емкостью C изменяется по закону синуса вот таким вот образом

Какая физическая величина стоит за каждой буковкой в этом выражении мы подробно разбирали чуть раньше . Как же в таком случае будет меняться ток? Используя уже полученные знания, давайте просто тупо подставим это выражение в нашу общую формулу и найдем производную

Или можно записать вот так

Господа, хочу вам напомнить, что синус ведь только тем и отличается от косинуса, что один сдвинут относительно другого по фазе на 90 градусов. Ну, или, если выражаться на языке математики, то . Не понятно, откуда взялось это выражение? Погуглите формулы приведения . Штука полезная, знать не помешает. А еще лучше, если вы хорошо знакомы с тригонометрическим кругом, на нем все это видно очень наглядно.

Господа, отмечу сразу один момент. В своих статьях я не буду рассказывать про правила нахождения производных и взятия интегралов. Надеюсь, хотя бы общее понимание этих моментов у вас есть. Однако даже если вы не знаете, как это делать, я буду стараться излагать материал таким образом, чтобы суть вещей была понятна и без этих промежуточных выкладок. Итак, сейчас мы получили немаловажный вывод – если напряжение на конденсаторе изменяется по закону синуса, то ток через него будет изменяться по закону косинуса. То есть ток и напряжение на конденсаторе сдвинуты друг относительно друга по фазе на 90 градусов. Кроме того, мы можем относительно легко найти и амплитудное значение тока (это множители, которые стоят перед синусом). Ну то есть тот пик, тот максимум, которого ток достигает. Как видим, оно зависит от емкости C конденсатора, амплитуды приложенного к нему напряжения U_m и частоты ω. То есть чем больше приложенное напряжение, чем больше емкость конденсатора и чем больше частота изменения напряжения, тем большей амплитуды достигает ток через конденсатор. Давайте построим график, изобразив на одном поле ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе. Пока без конкретных цифр, просто покажем качественный характер. Этот график представлен на рисунке 2 (картинка кликабельна).

Рисунок 2 – Ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе

На рисунке 2 синий график – это синусоидальный ток через конденсатор, а красный – синусоидальное напряжение на конденсаторе. По этому рисунку как раз очень хорошо видно, что ток опережает напряжение (пики синусоиды тока находятся левее соответствующих пиков синусоиды напряжения, то есть наступают раньше).

Давайте теперь проделаем работу наоборот. Пусть нам известен закон изменения тока I(t) через конденсатор емкостью C. И закон этот пусть тоже будет синусоидальным

Давайте определим, как в таком случае будет меняться напряжение на конденсаторе. Воспользуемся нашей общей формулой с интегральчиком:

По абсолютнейшей аналогии с уже написанными выкладками, напряжение можно представить вот таким вот образом

Здесь мы снова воспользовались интересными сведениями из тригонометрии, что . И снова формулы приведения придут вам на помощь, если не понятно, почему получилось именно так.

Какой же вывод мы можем сделать из данных расчетов? А вывод все тот же самый, какой уже был сделан: ток через конденсатор и напряжение на конденсаторе сдвинуты по фазе друг относительно друга на 90 градусов. Более того, они не просто так сдвинуты. Ток опережает напряжение. Почему это так? Какая за этим стоит физика процесса? Давайте разберемся.

Представим, что незаряженный конденсатор мы подсоединили к источнику напряжения. В первый момент никаких зарядов в конденсаторе вообще нет: он же разряжен. А раз нет зарядов, то нет и напряжения. Зато ток есть, он возникает сразу при подсоединении конденсатора к источнику. Замечаете, господа? Напряжения еще нет (оно не успело нарасти), а ток уже есть. И кроме того, в этот самый момент подключения ток в цепи максимален (разряженный конденсатор ведь по сути эквивалентен короткому замыканию цепи). Вот вам и отставание напряжения от тока. По мере протекания тока, на обкладках конденсатора начинает накапливаться заряд, то есть напряжение начинает расти а ток постепенно уменьшаться. И через некоторое время накопится столько заряда на обкладках, что напряжение на конденсаторе сравняется с напряжением источника и ток в цепи совсем прекратится.

Теперь давайте этот самый заряженный конденсатор отцепим от источника и закоротим накоротко. Что получим? А практически то же самое. В самый первый момент ток будет максимален, а напряжение на конденсаторе останется таким же, какое оно и было без изменений. То есть снова ток впереди, а напряжение изменяется вслед за ним. По мере протекания тока напряжение начнет постепенно уменьшаться и когда ток совсем прекратится, оно тоже станет равным нулю.

Для лучшего понимания физики протекающих процессов можно в который раз уже использовать водопроводную аналогию. Представим себе, что заряженный конденсатор – это некоторый бачок, полный воды. У этого бачка есть внизу краник, через который можно спустить воду. Давайте этот краник откроем. Как только мы его откроем, вода потечет сразу же. А давление в бачке будет падать постепенно, по мере того, как вода будет вытекать. То есть, грубо говоря, ручеек воды из краника опережает изменение давления, подобно тому, как ток в конденсаторе опережает изменение напряжения на нем.

Подобные рассуждения можно провести и для синусоидального сигнала, когда ток и напряжения меняются по закону синуса, да и вообще для любого. Суть, надеюсь, понятна.

Давайте проведем небольшой практический расчет переменного тока через конденсатор и построим графики.

Пусть у нас имеется источник синусоидального напряжения, действующее значение равно 220 В, а частота 50 Гц. Ну, то есть все ровно так же, как у нас в розетках. К этому напряжению подключают конденсатор емкостью 1 мкФ. Например, пленочный конденсатор К73-17, рассчитанный на максимальное напряжение 400 В (а на меньшее напряжение конденсаторы ни в коем случае нельзя подключать в сети 220 В), выпускается с емкостью 1 мкФ. Чтобы вы имели представление, с чем мы имеем дело, на рисунке 3 я разместил фотографию этого зверька (спасибо Diamond за фото )

Рисунок 3 – Ищем ток через этот конденсатор

Требуется определить, какая амплитуда тока будет протекать через этот конденсатор и построить графики тока и напряжения.

Сперва нам надо записать закон изменения напряжения в розетке. Если вы помните, амплитудное значение напряжения в этом случае равно около 311 В. Почему это так, откуда получилось, и как записать закон изменения напряжения в розетке, можно прочитать вот в этой статье . Мы же сразу приведем результат. Итак, напряжение в розетке будет изменяться по закону

Теперь мы можем воспользоваться полученной ранее формулой, которая свяжет напряжение в розетке с током через конденсатор. Выглядеть результат будет так

Мы просто подставили в общую формулу емкость конденсатора, заданную в условии, амплитудное значение напряжения и круговую частоту напряжения сети. В результате после перемножения всех множителей имеем вот такой вот закон изменения тока

Вот так вот, господа. Получается, что амплитудное значение тока через конденсатор чуть меньше 100 мА. Много это или мало? Вопрос нельзя назвать корректным. По меркам промышленной техники, где фигурируют сотни ампер тока, очень мало. Да и для бытовых приборов, где десятки ампер не редкость – тоже. Однако для человека даже такой ток представляет большую опасность! Отсюда следует вывод, что хвататься за такой конденсатор, подключенный к сети 220 В не следует . Однако на этом принципе возможно изготовление так называемых источников питания с гасящим конденсатором. Ну да это тема для отдельной статьи и здесь мы не будем ее затрагивать.

Все это хорошо, но мы чуть не забыли про графики, которые должны построить. Надо срочно исправляться! Итак, они представлены на рисунке 4 и рисунке 5. На рисунке 4 вы можете наблюдать график напряжения в розетке, а на рисунке 5 – закон изменения тока через конденсатор, включенный в такую розетку.

Рисунок 4 – График напряжения в розетке

Рисунок 5 – График тока через конденсатор

Как мы можем видеть из этих рисунков, ток и напряжение сдвинуты на 90 градусов, как и должно быть. И, возможно, у читателя возникла мысль – если через конденсатор течет ток и на нем падает какое-то напряжение, вероятно, на нем должна выделяться и некоторая мощность . Однако спешу предупредить вас – для конденсатора дело обстоит совершенно не так. Если рассматривать идеальный конденсатор, то мощность на нем не будет вообще выделяться, даже при протекании тока и падении на нем напряжения. Почему? Как же так? Об этом – в будущих статьях. А на сегодня все. Спасибо что читали, удачи, и до новых встреч!

Вступайте в нашу группу Вконтакте

Вопросы и предложения админу: This email address is being protected from spambots. You need JavaScript enabled to view it.

Конденсатор в цепи переменного тока. Емкостное сопротивление конденсатора.

Мы знаем, что конденсатор не пропускает через себя постоянного тока. Поэтому в электрической цепи, в которой последовательно с источником тока включен конденсатор, постоянный ток протекать не может.

Совершенно иначе ведет себя конденсатор в цепи переменного тока (Рис 1,а).

Рисунок 1. Сравнение конденсатора в цепи переменного тока с пружиной, на которую воздействует внешняя сила.

В течение первой четверти периода, когда переменная ЭДС нарастает, конденсатор заряжается, и поэтому по цепи проходит зарядный электрический ток i, сила которого будет наибольшей вначале, когда конденсатор не заряжен. По мере приближения заряда к концу сила зарядного тока будет уменьшаться. Заряд конденсатора заканчивается и зарядный ток прекращается в тот момент, когда переменная ЭДС пе-рестает нарастать, достигнув своего амплитудного значения. Этот момент соответствует концу первой четверти периода.

После этого переменная ЭДС начинает убывать, одновременно с чем конденсатор начинает разряжаться. Следовательно, в течение второй четверти периода по цепи будет протекать разрядный ток. Так как убывание ЭДС происходит вначале медленно, а затем все быстрее и быстрее, то и сила разрядного тока, имея в начале второй четверти периода небольшую величину, будет постепенно возрастать.

Итак, к концу второй четверти периода конденсатор разрядится, ЭДС будет равна нулю, а ток в цепи достигнет наибольшего, амплитудного, значения.

С началом третьей четверти периода ЭДС, переменив свое направление, начнет опять возрастать, а конденсатор — снова заряжаться. Заряд конденсатора будет происходить теперь в обратном направлении, соответственно изменившемуся направлению ЭДС. Поэтому направление зарядного тока в течение третьей четверти периода будет совпадать с направлением разрядного тока во второй четверти, т. е. при переходе от второй четверти периода к третьей ток в цепи не изменит своего направления.

Вначале, пока конденсатор не заряжен, сила зарядного тока имеет наибольшее значение. По мере увеличения заряда конденсатора сила зарядного тока будет убывать. Заряд конденсатора закончится и зарядный ток прекратится в конце третьей четверти периода, когда ЭДС достигнет своего амплитудного значения и нарастание ее прекратится.

Итак, к концу третьей четверти периода конденсатор окажется опять заряженным, но уже в обратном направлении, т. е. на той пластине, где был прежде плюс, будет минус, а где был минус, будет плюс. При этом ЭДС достигнет амплитудного значения (противоположного направления), а ток в цепи будет равен нулю.

В течение последней четверти периода ЭДС начинает опять убывать, а конденсатор разряжаться; при этом в цепи появляется постепенно увеличивающийся разрядный ток. Направление этого тока совпадает с направлением тока в первой четверти периода и противоположно направлению тока во второй и третьей четвертях.

Из всего изложенного выше следует, что по цепи с конденсатором проходит переменный ток и что сила этого тока зависит от величины емкости конденсатора и от частоты тока. Кроме того, из рис. 1,а, который мы построили на основании наших рассуждений, видно, что в чисто емкостной цепи фаза переменного тока опережает фазу напряжения на 90°.

Отметим, что в цепи с индуктивностью ток отставал от напряжения, а в цепи с емкостью ток опережает напряжение. И в том и в другом случае между фазами тока и напряжения имеется сдвиг, но знаки этих сдвигов противоположны

Емкостное сопротивление конденсатора

Мы уже заметили, что ток в цепи с конденсатором может протекать лишь при изменении приложенного к ней напряжения, причем сила тока, протекающего по цепи при заряде и разряде конденсатора, будет тем больше, чем больше емкость конденсатора и чем быстрее происходят изменения ЭДС

Конденсатор, включенный в цепь переменного тока, влияет на силу протекающего по цепи тока, т. е. ведет себя как сопротивление. Величина емкостного сопротивления тем меньше, чем больше емкость и чем выше частота переменного тока. И наоборот, сопротивление конденсатора переменному току увеличивается с уменьшением его емкости и понижением частоты.

Рисунок 2. Зависимость емкостного сопротивления конденсатра от частоты.

Для постоянного тока, т. е. когда частота его равна нулю, сопротивление емкости бесконечно велико; поэтому постоянный ток по цепи с емкостью проходить не может.

Величина емкостного сопротивления определяется по следующей формуле:

где Хс — емкостное сопротивление конденсатора в ом;

f—частота переменного тока в гц;

ω — угловая частота переменного тока;

С — емкость конденсатора в ф.

При включении конденсатора в цепь переменного тока, в последнем, как и в индуктивности, не затрачивается мощность, так как фазы тока и напряжения сдвинуты друг относительно друга на 90°. Энергия в течение одной четверти периода— при заряде конденсатора — запасается в электрическом поле конденсатора, а в течение другой четверти периода — при разряде конденсатора — отдается обратно в цепь. Поэтому емкостное сопротивление, как и индуктивное, является реактивным или безваттным.

Нужно, однако, отметить, что практически в каждом конденсаторе при прохождении через него переменного тока затрачивается большая или меньшая активная мощность, обусловленная происходящими изменениями состояния диэлектрика конденсатора. Кроме того, абсолютно совершенной изоляции между пластинами конденсатора никогда не бывает; утечка в изоляции между пластинами приводит к тому, что параллельно конденсатору как бы оказывается включенным некоторое активное сопротивление, по которому течет ток и в котором, следовательно, затрачивается некоторая мощность. И в первом и во втором случае мощность затрачивается совершенно бесполезно на нагревание диэлектрика, поэтому се называют мощностью потерь.

Потери, обусловленные изменениями состояния диэлектрика, называются диэлектрическими, а потери, обусловленные несовершенством изоляции между пластинами, — потерями утечки.

Ранее мы сравнивали электрическую емкость с вместимостью герметически (наглухо) закрытого сосуда или с площадью дна открытого сосуда, имеющего вертикальные стенки.

Конденсатор в цепи переменного тока целесообразно сравнивать с гиб-костью пружины. При этом во избежание возможных недоразумений условимся под гибкостью понимать не упругость («твердость») пружины, а величину, ей обратную, т. е. «мягкость» или «податливость» пружины.

Представим себе, что мы периодически сжимаем и растягиваем спиральную пружину, прикрепленную одним концом наглухо к стене. Время, в течение которого мы будем производить полный цикл сжатия и растяжения пружины, будет соответствовать периоду переменного тока.

Таким образом, мы в течение первой четверти периода будем сжимать пружину, в течение второй четверти периода отпускать ее, в течение третьей четверти периода растягивать и в течение четвертой четверти снова отпускать.

Кроме того, условимся, что наши усилия в течение периода будут неравномерными, а именно: они будут нарастать от нуля до максимума в течение первой и третьей четвертей периода и уменьшаться от максимума до нуля в течение второй и четвертой четвертей.

Сжимая и растягивая пружину таким образом, мы заметим, что в начале первой четверти периода незакрепленный конец пружины будет двигаться довольно быстро при сравнительно малых усилиях с нашей стороны.

В конце первой четверти периода (когда пружина сожмется), наоборот, несмотря на возросшие усилия, незакрепленный конец пружины будет двигаться очень медленно.

В продолжение второй четверти периода, когда мы будем постепенно ослаблять давление на пружину, ее незакрепленный конец будет двигаться по направлению от стены к нам, хотя наши задерживающие усилия направлены по направлению к стене. При этом наши усилия в начале второй четверти периода будут наибольшими, а скорость движения незакрепленного конца пружины наименьшей. В конце же второй четверти периода, когда наши усилия будут наименьшими, скорость движения пружины будет наибольшей и т. д.

Продолжив аналогичные рассуждения для второй половины периода (для третьей и четвертой четвертей) и построив графики (рис. 1,б) изменения наших усилий и скорости движения незакрепленного конца пружины, мы убедимся, что эти графики в точности соответствуют графикам ЭДС и тока в емкостной цепи (рис 1,а), причем график усилий будет соответствовать графику ЭДС , а график скорости — графику силы тока.

Рисунок 3. а) Процессы в цепи переменного тока с конденсатором и б) сравнение конденсатора с пружиной.

Нетрудно, заметить, что пружина, так же как и конденсатор, в течение одной четверти периода накапливает энергию, а в течение другой четверти периода отдает ее обратно.

Вполне очевидно также, что чем меньше гибкость пружины,- т е. чем она более упруга, тем большее противодействие она будет оказывать нашим усилиям. Точно так же и в электрической цепи: чем меньше емкость, тем больше будет сопротивление цепи при данной частоте.

И наконец, чем медленнее мы будем сжимать и растягивать пружину, тем меньше будет скорость движения ее незакрепленного конца. Аналогично этому, чем меньше частота, тем меньше сила тока при данной ЭДС.

При постоянном давлении пружина только сожмется и на этом прекратит свое движение, так же как при постоянной ЭДС конденсатор только зарядится и на этом прекратится дальнейшее движение электронов в цепи.

А теперь как ведет себя конденсатор в цепи переменного тока вы можете посмотреть в следующем видео:

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Конденсатор, катушка и резонанс в цепи переменного тока

теория по физике 🧲 колебания и волны

Опишем колебания, которые происходят в цепи переменного тока при включении в нее конденсатора и катушки индуктивности. А также рассмотрим условия, при выполнении которых в цепи переменного тока наступает резонанс. Получим формулы для вычисления амплитуд напряжений, введем понятия емкостного и индуктивного сопротивления и выясним, какую роль играют эти величины.

Конденсатор в цепи переменного тока

Постоянный ток не может существовать в цепи, содержащий конденсатор. Движению электронов препятствует диэлектрик, расположенный между обкладками. Но переменный ток в такой цепи существовать может, что доказывает опыт с лампой (см. рисунок ниже).

Пусть фактически такая цепь разомкнута, но если по ней течет переменный ток, конденсатор то заряжается, то разряжается. Ток, текущий при перезарядке конденсатора нагревает нить лампы, и она начинает светиться.

Найдем, как меняется сила тока в цепи, содержащей только конденсатор, если сопротивление проводов и обкладок конденсатора можно пренебречь (см. рис. выше). Напряжение на конденсаторе будет равно:

u = φ 1 − φ 2 = q C . .

Учтем, что напряжение на конденсаторе равно напряжению на концах цепи:

q C . . = U m a x cos . ω t

Следовательно, заряд конденсатора меняется по гармоническому закону:

q = C U m a x cos . ω t

Тогда сила тока, представляющая собой производную заряда по времени, будет равна:

i = q ´ = − C U m a x sin . ω t = C U m a x cos . ( ω t + π 2 . . )

Следовательно, колебания силы тока опережают колебания напряжения на конденсаторе на π 2 . . (см. график ниже). Это означает, что в момент, когда конденсатор начинает заряжаться, сила тока максимальна, а напряжение равно нулю. После того, как напряжение достигнет максимума, сила тока становится равной нулю и т.д.

Амплитуда силы тока равна:

I m a x = U m a x C ω

Также будем использовать действующие значения силы тока и напряжения. Тогда получим, что:

Величина X C , равная обратному произведению циклической частоты на электрическую емкость конденсатора, называется емкостным сопротивлением. Роль этой величины аналогична роли активного сопротивления R в законе Ома.

Обратите внимание, что на протяжении четверти периода, когда конденсатор заряжается до максимального напряжения, энергия поступает в цепь и запасается в конденсаторе в форме энергии электрического поля. В следующую четверть периода (при разрядке конденсатора), эта энергия возвращается в сеть.

Пример №1. Максимальный заряд на обкладках конденсатора колебательного контура q m a x = 10 − 6 Кл. Амплитудное значение силы тока в контуре I m a x = 10 − 3 А. Определите период колебания (потерями на нагревание проводника пренебречь).

Согласно закону сохранения энергии максимальное значение энергии электрического поля конденсатора равно максимальному значения магнитного поля катушки:

q 2 m a x 2 C . . = L I 2 m a x 2 . .

L C = q 2 m a x I 2 m a x . .

√ L C = q m a x I m a x . .

T = 2 π √ L C = 2 π q m a x I m a x . . = 2 · 3 , 14 10 − 6 10 − 3 . . ≈ 6 , 3 · 10 − 3 ( с )

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Соберем две электрических цепи, состоящих из лампы накаливания, катушки индуктивности и источника питания: в первом случае постоянного, во втором — переменного (см. рисунки «а» и «б» ниже).

Опыт покажет, что в цепи постоянного тока лампа светится ярче по сравнению с той, что включена в цепь переменного тока. Это говорит о том, что сила тока в цепи постоянного тока выше действующего значения силы тока в цепи переменного тока.

Результат опыта легко объясняется явлением самоиндукции. При подключении катушки к постоянному источнику тока сила тока нарастает постепенно. Возрастающее при нарастании силы тока вихревое электрическое поле тормозит движение электронов. Лишь спустя какое-то время сила тока достигает наибольшего значения, соответствующему данному постоянному напряжению.

Если напряжение быстро меняется, то сила тока не успевает достигнуть максимального значения. Поэтому максимальное значение силы тока в цепи переменного тока с катушкой индуктивности ограничивается индуктивность. Чем больше индуктивность и чем больше частота приложенного напряжения, тем меньше амплитуда силы переменного тока.

Определим силу тока в цепи, содержащей катушку, активным сопротивлением которой можно пренебречь (см. рисунок ниже). Для этого найдем связь между напряжением на катушке и ЭДС самоиндукции в ней.

Если сопротивление катушки равно нулю, то и напряженность электрического поля внутри проводника в любой момент времени должна равняться нулю. Иначе, согласно закону Ома, сила тока была бы бесконечно большой. Равенство нулю напряженности поля оказывается возможным потому, что напряженность вихревого электрического поля → E i , порождаемого переменным магнитным полем, в каждой точке равна по модулю и противоположна по направлению напряженности кулоновского поля → E к , создаваемого в проводнике зарядами, расположенными на зажимах источника и в проводах цепи.

Из равенства → E i = − → E к следует, что удельная работа вихревого поля (т.е. ЭДС самоиндукции e i ) равна по модулю и противоположна по знаку удельной работе кулоновского поля.

Учитывая, что удельная работа кулоновского поля равна напряжения на концах катушки, можно записать:

Напомним, что сила переменного тока изменяется по гармоническому закону:

i = I m a x sin . ω t

Тогда ЭДС самоиндукции равна:

e i = − L i ´ = − L ω I m a x cos . ω t

Так как u = − e i , то напряжение на концах катушки оказывается равным:

u = L ω I m a x cos . ω t = L ω I m a x sin . ( ω t + π 2 . . ) = U m a x ( ω t + π 2 . . )

Амплитуда напряжения равна:

U m a x = L ω I m a x

Следовательно, колебания напряжения на катушке опережают колебания силы тока на π 2 . . , или колебания силы тока отстают от колебаний напряжения на π 2 . . , что одно и то же.

В момент, когда напряжение на катушке достигает максимума, сила тока равна нулю (см. график ниже).

Но в момент, когда напряжение становится равным нулю, сила тока максимальна по модулю. Амплитуда силы тока в катушке равна:

I m a x = U m a x L ω . .

Также будем использовать вместо амплитуд действующие значения силы тока и напряжения. Тогда получим:

Величина X L , равная произведению циклической частоты на индуктивность, называется индуктивным сопротивлением. Индуктивное сопротивление зависит от частоты. Поэтому в цепи постоянного тока, в котором отсутствует частота, индуктивное сопротивление катушки равно нулю.

Пример №2. Катушка с индуктивным сопротивлением X L = 500 Ом присоединена к источнику переменного напряжения, частота которого ν = 1000 Гц. Действующее значение напряжения U = 100 В. Определите амплитуду силы тока I m a x в цепи и индуктивность катушки L. Активным сопротивлением пренебречь.

Индуктивное сопротивление катушки выражается формулой:

X L = L ω = 2 π ν L

Так как амплитуда напряжения связана с его действующим значением соотношением U m a x = U √ 2 , то для амплитуды силы тока получаем:

Резонанс в электрической цепи

Механические и электромагнитные колебания имеют разную природу, но процессы, происходящие при этом, идентичны. Поэтому можно предположить, что резонанс в электрической цепи так же реален, как резонанс в колебательной системе, на которую действует периодическая сила.

Напомним, что в механической системе резонанс тем более заметен, чем меньше в колебательной системе трение между ее элементами. Роль трения в электрической цепи играет активное сопротивление R. Ведь именно наличие этого сопротивления в цепи приводит к превращению энергии тока во внутреннюю энергию проводника, который при этом нагревается. Следовательно, резонанс в электрической цепи будет отчетливо наблюдаться при малом активном сопротивлении R.

Если активное сопротивление мало, то собственная частота колебаний в колебательном контуре определяется формулой:

Сила тока при вынужденных колебаниях должна достигать максимальных значений, когда частота переменного напряжения, приложенного к контуру равна собственной частоте колебательного контура:

Резонанс в электрическом колебательном контуре — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока при совпадении частоты внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура.

После включения внешнего переменного напряжения резонансное значение силы тока в цепи устанавливается не моментально, а постепенно. Амплитуда колебаний силы тока возрастает до тех пор, пока энергия, выделяющаяся за период на резисторе, не сравняется с энергией, поступающей в контур за это же время:

I 2 m a x R 2 . . = U m a x I m a x 2 . .

Упростив это уравнение, получим:

I m a x R = U m a x

Следовательно, амплитуда установившихся колебаний силы тока при резонансе определяется уравнением:

I m a x = U m a x R . .

При сопротивлении, стремящемся к нулю, сила тока возрастает до бесконечно больших значений. При большом сопротивлении сила тока возрастает незначительно. Это хорошо видно на графике ниже.

Пример №3. В цепь переменного тока с частотой ν = 500 Гц включена катушка индуктивностью L = 10 мГн. Какой емкости конденсатор надо включить в эту цепь, чтобы наступил резонанс?

Электрическая цепь, описываемая в условии, представляет собой колебательный контур. Резонанс в этой цепи наступит, когда частота переменного тока будет равна собственной частоте колебательного контура (ν = ν₀).

ν 0 = 1 2 π √ L C . .

К колебательному контуру подсоединили источник тока, на клеммах которого напряжение гармонически меняется с частотой ν.

Индуктивность L катушки колебательного контура можно плавно менять от максимального значения L_max до минимального L_min, а ёмкость его конденсатора постоянна.

Ученик постепенно уменьшал индуктивность катушки от максимального значения до минимального и обнаружил, что амплитуда силы тока в контуре всё время возрастала. Опираясь на свои знания по электродинамике, объясните наблюдения ученика.

Алгоритм решения

Решение

В колебательном контуре источником тока возбуждаются вынужденные колебания. Частота этих колебаний равна частоте источника — ν. Амплитуда колебаний зависит от того, как соотносятся между собой внешняя частота и частота собственных электромагнитных колебаний, которая определяется формулой:

ν 0 = 1 2 π √ L C . .

По мере увеличения внешней частоты от нуля до ν₀ амплитуда растет. Она достигает максимума тогда, когда происходит резонанс. При этом внешняя частота равна частоте собственных электромагнитных колебаний: ν = ν₀. Затем амплитуда начинает убывать.

В данном случае, ученик меняет не внешнюю частоту, а частоту собственных электромагнитных колебаний. При плавном уменьшении индуктивности контура от максимального значения L_max до минимального L_min частота возрастает от ν_0min до ν_0max. Причем:

ν 0 m i n = 1 2 π √ L m i n C . .

ν 0 m a x = 1 2 π √ L m a x C . .

Из того факта, что амплитуда всё время увеличивалась, можем сделать вывод, что частота ν₀ всё время приближалась к частоте источника тока, при этом ν > ν_0max. В противном случае наблюдалось бы уменьшений амплитуды силы тока.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

В колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, происходят свободные незатухающие электромагнитные колебания.

Из приведённого ниже списка выберите две величины, которые остаются постоянными при этих колебаниях.

а) период колебаний силы тока в контуре

б) фаза колебаний напряжения на конденсаторе

в) заряд конденсатора

г) энергия магнитного поля катушки

д) амплитуда колебаний напряжения на катушке

Алгоритм решения

1. Определить, от чего зависит каждая из перечисленных величин.
2. Установить, какие величины меняются, а какие нет.

Решение

В колебательном контуре происходят гармонические колебания. Поэтому период колебаний силы тока в контуре — величина постоянная.

Фаза — это величина, которая определяет положение колебательной системы в любой момент времени. Поскольку в системе происходят колебания, фаза меняется.

Заряд конденсатора — колебания происходят за счет постоянной перезарядки конденсатора. Следовательно, эта величина тоже меняется.

Энергия магнитного поля катушки — в колебательном контуре происходят взаимные превращения энергии магнитного поля катушки в энергию электрического поля конденсатора, и обратно. Поэтому энергия магнитного поля катушки постоянно меняется.

В условии задачи сказано, что колебания незатухающие. Это значит, что полная механическая энергия колебательной системы сохраняется. Поскольку именно от нее зависит амплитуда колебаний напряжения на катушке, то эта величина также остается постоянной.

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

На рисунке приведён график зависимости силы тока i от времени t при свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре. Каким станет период свободных колебаний в контуре, если конденсатор в этом контуре заменить на другой конденсатор, ёмкость которого в 4 раза меньше? Ответ запишите в мкс.