Уравнение координаты материальной точки решение задач
∀ x, y, z
Главная ≫ Форум ≫ Математика ≫ Разбираемся и решаем ≫ Учебные задачи ≫ Уравнение координаты материальной точки
Уравнение координаты материальной точки
Сообщения: 4 🔎
# 31 Мар 2015 13:02:27 Света
Помогите решить задачу.
Уравнение координаты материальной точки имеет вид , где величины измерены в единицах СИ.
а) Опишите характер движения точки. б) Найдите начальную координату, модуля и направление начальной скорости, модуль и направление ускорения. в) Напишите уравнение зависимости проекции скорости от времени движения. г) Напишите уравнение зависимости проекции ускорения от времени. д) Постройте графики скорости и ускорения от времени. е) Найдите координату тела через 3 с. ж) Найдите перемещение тела за 3 с. з) Найдите путь, пройденный телом за 3 с.
# 31 Мар 2015 15:23:08 Evgeniy
Общее уравнение равноускоренного движения имеет вид , где — начальная координата, — скорость, — ускорение.
а) Опишите характер движения точки.
Равноускоренное движение, так как скорость равномерно растет со временем.
б) Найдите начальную координату, модуля и направление начальной скорости, модуль и направление ускорения.
Начальные координата , модуль скорости , при этом скорость направлена вдоль положительного направления оси .
в) Напишите уравнение зависимости проекции скорости от времени движения.
г) Напишите уравнение зависимости проекции ускорения от времени.
— ускорение не изменяется со временем.
д) Постройте графики скорости и ускорения от времени.
График скорости .
График ускорения .
е) Найдите координату тела через 3 с.
ж) Найдите перемещение тела за 3 с.
з) Найдите путь, пройденный телом за 3 с.
Начиная с и до скорость не меняет знак, то есть не меняет направление, поэтому путь равен модулю перемещения .
# 31 Мар 2015 15:30:27 Света
# 31 Мар 2015 15:43:32 Evgeniy
Начиная с и до скорость положительная, то есть точка движется вдоль оси . В момент времени скорость , то есть точка останавливается. С момента точка начинает двигаться в обратном направлении. Чтобы найти пройденный путь, нужно сложить модуль перемещения точки с момента времени до и модуль перемещения с момента времени до .
Перемещение начиная с и до равно . Его модуль .
Перемещение с момента времени до равно . Его модуль .
Пусть за время с до равен сумме модулей .
Путь также можно найти графически, считая площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, вертикальными прямыми, соответствующими моментам времени и , а также осью абсцисс. На графике эта фигура закрашена голубым цветом и состоит из двух треугольников площадью 4,5 каждый.
Координатный способ задания движения точки
Введение
Выводы приведенных ниже формул и изложение теории приводится на странице “Кинематика материальной точки”. Здесь мы применим основные результаты этой теории к координатному способу задания движения материальной точки.
Пусть мы имеем неподвижную прямоугольную систему координат с центром в неподвижной точке . При этом положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z). Координатный способ задания движения точки – это такой способ, при котором заданы зависимости координат от времени. То есть заданы три функции от времени (при трехмерном движении):
Далее мы приводим формулы вычисления кинематических величин и пример решения задачи для координатного способа задания движения.
Определение кинематических величин
Зная зависимости координат от времени , мы автоматически определяем радиус-вектор материальной точки M по формуле: , где – единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .
Дифференцируя по времени , находим проекции скорости и ускорения на оси координат: ; ; Модули скорости и ускорения: ; .
Единичный вектор в направлении касательной к траектории: . Его можно определить двумя способами – по направлению скорости, или в противоположную сторону. Поэтому здесь в знаменателе стоит не модуль скорости, а алгебраическая величина скорости, которая, по абсолютной величине, равна модулю скорости, но может принимать как положительные, так и отрицательные значения: . Она является проекцией скорости на направление единичного вектора .
Алгебраическая величина тангенциального (касательного) ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории: . Вектор тангенциального (касательного) ускорения: . Здесь также, как и для скорости, – это скалярная величина, которая может принимать как положительные так и отрицательные значения: .
Нормальное ускорение: . Вектор нормального ускорения: ; . Единичный вектор в направлении главной нормали траектории (то есть единичный вектор, перпендикулярный касательной и направленный к центру кривизны траектории): . Здесь – это модуль нормального ускорения: . Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории. Оно не может быть направлено в противоположную сторону.
Радиус кривизны траектории: . Центр кривизны траектории: .
Единичный вектор в направлении бинормали: .
Пример решения задачи
Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
По заданным уравнениям движения точки установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.
Уравнения движения точки: , см; , см.
Решение
Определение вида траектории
Исключаем время из уравнений движения. Для этого перепишем их в виде: ; . Применим формулу: . ; ; ; .
Итак, мы получили уравнение траектории: . Это уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии .
Поскольку , то ; или . Аналогичным образом получаем ограничение для координаты : ; ;
Таким образом, траекторией движения точки является дуга параболы , расположенная при и .
Строим параболу по точкам.
0
6
± 3
5,625
± 6
4,5
± 9
2,625
± 12
0
Определяем положение точки в момент времени . ; .
Определение скорости точки
Дифференцируя координаты и по времени , находим компоненты скорости. . Чтобы продифференцировать , удобно применить формулу тригонометрии: . Тогда ; .
Вычисляем значения компонент скорости в момент времени : ; . Модуль скорости: .
Определение ускорения точки
Дифференцируя компоненты скорости и по времени , находим компоненты ускорения точки. ; .
Вычисляем значения компонент ускорения в момент времени : ; . Модуль ускорения: .
Алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление единичного вектора касательной к траектории. Выберем направление совпадающим с направлением скорости . Тогда ; алгебраическая величина тангенциального ускорения – это проекция полного ускорения на направление скорости : . Поскольку , то вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости .
Нормальное ускорение: . Вектор и направлен в сторону центра кривизны траектории.
Радиус кривизны траектории: .
Траекторией движения точки является дуга параболы ; . Скорость точки: . Ускорение точки: ; ; . Радиус кривизны траектории: .
Определение остальных величин
При решении задачи мы нашли: вектор и модуль скорости: ; ; вектор и модуль полного ускорения: ; ; тангенциальное и нормальное ускорения: ; ; радиус кривизны траектории: .
Определим остальные величины.
Единичный вектор в направлении касательной к траектории: . Вектор тангенциального ускорения:
. Вектор нормального ускорения:
. Единичный вектор в направлении главной нормали: . Координаты центра кривизны траектории:
.
Введем третью ось системы координат перпендикулярно осям и . В трехмерной системе ; . Единичный вектор в направлении бинормали:
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 22-02-2016 Изменено: 29-01-2020
Уравнение координаты материальной точки решение задач
1 мин = 60 с; 1 ч = 3600 с; 1 км = 1000 м; 1 м/с = 3,6 км/ч.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Типовая задача «Уравнение координаты (нахождение неизвестной величины)»
Задача № 1. В начальный момент времени тело находилось в точке с координатой 5 м, а через 2 мин от начала движения — в точке с координатой 95 м. Определите скорость тела и его перемещение.
Типовая задача «Уравнение координаты. Движение двух тел»
Задача № 2. Движение двух тел задано уравнениями x1 = 20 – 8t и х2 =–16 + 10t (время измеряется в секундах, координата — в метрах). Определите для каждого тела начальную координату, проекцию скорости, направление скорости. Вычислите время и место встречи тел.
Типовая задача «График координаты»
Задача № 3. Движение тела задано графиком координаты (зависимости координаты от времени). По графику определите: а) начальную координату тела; б) проекцию скорости тела; в) направление движения тела (по оси х или против оси х); г) запишите уравнение координаты.
Типовая задача «График координаты. Движение нескольких тел»
Задача № 4. На рисунке изображены графики движения трех тел. Изучив рисунок, для каждого тела определите: а) начальную координату; б) скорость; в) направление движения; г) запишите уравнение координаты.
ЗАДАЧИ ПОСЛОЖНЕЕ
Задача № 5. На рисунке представлены графики зависимости координаты х от времени t для пяти тел. Определите скорости этих тел. Проанализируйте точки пересечения графиков. Постройте графики зависимости скорости от времени.
РЕШЕНИЕ:
Задача № 6. По графикам на рисунке напишите уравнения движения x = x(t) . Из уравнений и графиков найдите координаты тел через 5 с , скорости движения тел, время и место встречи второго и третьего тел.
РЕШЕНИЕ:
Задача № 7. ОГЭ Расстояние ( S ) между городами М и К = 250 км . Одновременно из обоих городов навстречу друг другу выезжают автомашины. Машина из города М движется со скоростью = 60 км/ч , из города К — со скоростью ν2 = 40 км/ч . Построить график зависимости пути от времени для каждой из машин и по ним определить место встречи и время их движения до встречи.
Задача № 8. ЕГЭ Скорость течения реки vp = 1 м/с , скорость лодки относительно воды v0 = 2 м/с . Под каким углом к берегу следует держать курс, чтобы лодка двигалась перпендикулярно берегу? За какое время t она переправится через реку, ширина которой d = 200 м ?
Алгоритм решения ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение.
Задачи, описывающие движение, содержат два типа величин: векторные (имеющие направление) и скалярные (выражающиеся только числом). К векторным величинам при описании равномерного прямолинейного движения относятся скорость и перемещение.
Для перехода от векторов к скалярам выбирают координатную ось и находят проекции векторов на эту ось, руководствуясь следующим правилом: если вектор сонаправлен с осью, то его проекция положительна, если противоположно направлен — отрицательна. (Могут быть и более сложные случаи, когда вектор не параллелен координатной оси, а направлен к ней под некоторым углом.) Поэтому при решении задачи обязательно нужно сделать чертеж, на котором изобразить направления всех векторов и координатную ось. При записи «дано» следует учитывать знаки проекций.
При решении задач все величины должны выражаться в международной системе единиц (СИ), если нет специальных оговорок.
В решении задачи единицы величин не пишутся, а записываются только после найденного значения величины.
Это конспект по теме «ЗАДАЧИ на Прямолинейное равномерное движение с решениями». Выберите дальнейшие действия: