Уравнение кортевега де фриза курсовая

Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)

Авторская разработка на тему «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» по предмету «Естественные науки» содержит 71 страницу, 9 рисунков, 5 таблиц и 36 источников.

Ключевые слова: Естественные науки, Естествознание, Математические методы в экономике, Экономико-математическое моделирование, Педагогика, Физика, Математические методы в экономике , Переводоведение (теория перевода) .

Объектом исследования является анализ условий «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)». Предметом исследования является рассмотрение отдельных вопросов, сформулированных в качестве задач данного исследования.

Целью исследования является изучение темы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.

Работа имеет традиционную структуру и включает в себя введение, основную часть, состоящую из 3 глав, заключение и библиографический список.

В процессе работы выполнялся теоретико-методологический анализ темы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)», в том числе исследовались теоретические аспекты изучения явления «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)», изучалась природа темы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

Далее проводилось исследование актуальности «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» в современных условиях с привлечением статистических данных и научных публикаций последних лет.

В результате исследования выявлены и количественно обоснованы конкретные пути решения проблемы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)», в том числе обозначены некоторые возможности решения проблемы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» и определены тенденции развития тематики «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

Степень внедрения — предложения и конкретные мероприятия опробованы в деятельности организации, послужившей базой для учебной практики.

Предложенные мероприятия с некоторой конкретизацией могут быть использованы в работе кадровых служб российских предприятий.

Реализация предлагаемых мер позволяет обеспечить более точное понимание природы и актуальных проблем «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

• Введение
• Глава 1. Теоретико-методологический анализ темы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)»
  • 1.1. Теоретические аспекты изучения явления «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)»
  • 1.2. Природа явления «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)»
• Глава 2. Исследование актуальности «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» в современных условиях
• Глава 3. Пути решения проблемы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)»
  • 3.1. Возможности решения проблемы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)»
  • 3.2. Тенденции развития тематики «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».
• Заключение
• Список использованной литературы
  • 1. Нормативно-правовые акты
  • 2. Библиография
  • 3. Периодические источники
  • 4. Интернет-источники
• Приложения

В списке литературы, использованной при подготовке данной работы, представлено 36 библиографических источников. Охарактеризуем некоторые из них:

Обозначенную проблему «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» рассматривает А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев в книге «Справочник. Нелинейные уравнения математической физики», изданной в 2002 году и содержащей 432 стр. Из описания книги можно сделать вывод, что

Книга содержит точные решения около 1200 нелинейных уравнений математической физики и механики. Рассматриваются уравнения параболического, гиперболического, эллиптического и других типов. Описано много новых решений нелинейных уравнений. Особое внимание уделено уравнениям общего вида, которые зависят от произвольных функций. Помимо уравнений второго порядка рассматриваются также уравнения третьего, четвертого и более высоких порядков. В целом справочник содержит больше нелинейных уравнений математической физики и точных решений, чем любые другие книги. Приведены решения уравнений, встречающихся в различных областях теоретической физики, механики и химической технологии (в теории тепло- и массопереноса, теории волн, гидродинамике, нелинейной акустике, теории горения, нелинейной оптике, ядерной физике). В приложении описаны методы обобщенного и функционального разделения переменных. Рассмотрены конкретные примеры применения этих методов для построения точных решений.

Также проблем регулирования современных вопросов по теме «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» касается С. Г. Михлин в монографии «Курс математической физики». Данная книга была выпущена в издательстве «Лань» в 2002 году, содержит 576 стр.

Учебник С.Г.Михлина `Курс математической физики` представляет собой изложение авторских лекций. Курс содержит теорию линейных уравнений в частных производных. Особое внимание уделяется наиболее разработанным и наиболее важным трем классическим типам уравнений: эллиптическим, параболическим, гиперболическим. Учебник предназначен для студентов физико-математических факультетов.

Ряд актуальных проблем был затронут в книге «Сборник задач по математике (для втузов). Часть V. Уравнения математической физики». определил актуальность и новизну этой темы в своем исследовании, опубликованном в 2002 году в издательстве «Едиториал УРСС». В описании книги сказано следующее.

Кроме того, при изучении темы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» были использованы такие периодические источники, как:

1. Петербургский институт ядерной физики ведет учет с помощью «1С:Бухгалтерии для бюджетных учреждений». «Бюджетный учет», № 12, декабрь 2007.
2. Кто поможет кредитору?. А. Мережко, А. Де Петиньи, Д. Пенроуз, Е. Ананькина, Е. Трофимова, П. Экклз, «Консультант», № 17, сентябрь 2007.
3. Правовой режим объектов самовольного строительства: некоторые вопросы теории и практики. И.С. Богданова, А.В. Деев, «Закон», № 9, сентябрь 2007.
4. Продуктивные сотрудники существуют!. Марк де Юлио, «Расчет», № 8, август 2007.
5. Юрики и «физики» — синергия для универсального банка. Е. Борисенко, Б. Шлаин, «Организация продаж банковских продуктов», № 3, III квартал 2007.

Представленная работа посвящена теме «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов.

Тема «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин. Для современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)». Однако, требуется учет современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы.

Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» определяют несомненную новизну данного исследования.

Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных актуальных проблем тематики данного исследования.

Актуальность настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.

Результаты могут быть использованы для разработки методики анализа «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

Теоретическое значение изучения проблемы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» заключается в том, что избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин.

Объектом данного исследования является анализ условий «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

При этом предметом исследования является рассмотрение отдельных вопросов, сформулированных в качестве задач данного исследования.

Целью исследования является изучение темы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.

В рамках достижения поставленной цели автором были поставлены и решения следующие задачи:

1. Изучить теоретические аспекты и выявить природу «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».
2. Сказать об актуальности проблемы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» в современных условиях.
3. Изложить возможности решения тематики «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».
4. Обозначить тенденции развития тематики «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

Работа имеет традиционную структуру и включает в себя введение, основную часть, состоящую из 3 глав, заключение и библиографический список.

Во введении обоснована актуальность выбора темы, поставлены цель и задачи исследования, охарактеризованы методы исследования и источники информации.

Глава первая раскрывает общие вопросы, раскрываются исторические аспекты проблемы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)». Определяются основные понятия, обуславливается актуальность звучание вопросов «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

В главе второй более подробно рассмотрены содержание и современные проблемы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

Глава третья имеет практический характер и на основе отдельных данных делается анализ современного состояния, а также делается анализ перспектив и тенденций развития «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)».

По результатам исследования был вскрыт ряд проблем, имеющих отношение к рассматриваемой теме, и сделаны выводы о необходимости дальнейшего изучения/улучшения состояния вопроса.

Таким образом, актуальность данной проблемы определила выбор темы работы «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)», круг вопросов и логическую схему ее построения.

Теоретической и методологической основой проведения исследования явились законодательные акты, нормативные документы по теме работы.

Источниками информации для написания работы по теме «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)» послужили базовая учебная литература, фундаментальные теоретические труды крупнейших мыслителей в рассматриваемой области, результаты практических исследований видных отечественных и зарубежных авторов, статьи и обзоры в специализированных и периодических изданиях, посвященных тематике «Нелинейные уравнения математической физики. Уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ)», справочная литература, прочие актуальные источники информации.

1. Петербургский институт ядерной физики ведет учет с помощью «1С:Бухгалтерии для бюджетных учреждений». «Бюджетный учет», № 12, декабрь 2007.
2. Кто поможет кредитору?. А. Мережко, А. Де Петиньи, Д. Пенроуз, Е. Ананькина, Е. Трофимова, П. Экклз, «Консультант», № 17, сентябрь 2007.
3. Правовой режим объектов самовольного строительства: некоторые вопросы теории и практики. И.С. Богданова, А.В. Деев, «Закон», № 9, сентябрь 2007.
4. Продуктивные сотрудники существуют!. Марк де Юлио, «Расчет», № 8, август 2007.
5. Юрики и «физики» — синергия для универсального банка. Е. Борисенко, Б. Шлаин, «Организация продаж банковских продуктов», № 3, III квартал 2007.
6. Как создать настоящую команду. М. Де Юлио, «Расчет», № 6, июнь 2007.
7. Подарок нелинейной амортизации. О. Преснова, «Практическая бухгалтерия», № 5, май 2007.
8. Страхование: де-юре и де-факто. Ю. Пилипенко, «эж-ЮРИСТ», № 5, февраль 2007.
9. Практика использования математических методов при управлении кредитными рисками в розничном кредитовании. И.Ф. Готовчиков, «Банковское кредитование», № 5, сентябрь-октябрь 2006.
10. Жизнь в состоянии стресса опасна и разрушительна. интервью с В.П. Колосовым, преподавателем Института современных психологических технологий, доцентом кафедры психотерапии Российской медицинской академии постдипломного образования, старшим научным сотрудником Института общей и судебной психиатрии им. В.П. Сербского, действительным членом двух общественных академий, вице-президентом Профессиональной психотерапевтической лиги, кандидатом математических наук. В.П. Колосов, «Управление персоналом», № 8, апрель 2006.
11. Битва за «физика». Иностранные банки могут претендовать на значительную долю розничного рынка России. «Банковское дело в Москве», № 4, апрель 2006.
12. Математические методы определения качества организации рабочего места кассира. В.М. Ионов, «Расчеты и операционная работа в коммерческом банке», № 4, апрель 2006.
13. Адрес: «де-юре» и «де-факто». Е. Букач, Бухгалтерское приложение к газете «Экономика и жизнь», выпуск 9, март 2006.
14. Будущее — за созданием интеллектуальных обучающих программ. интервью с Н.В. Никитиным, генеральным директором компании УНИАР, кандидатом физико-математических наук. «Управление персоналом», № 8, апрель 2005.
15. Адвокат спешит на помощь. интервью с И.В. Кожевниковым, председателем президиума коллегии адвокатов «Де-Юре». «Практическая бухгалтерия», № 10, октябрь 2003.
16. Принцип секуляризации в практике Европейского Суда по правам человека. Микеле де Сальвиа, «Российская юстиция», № 10, октябрь 2003.
17. Европейский Суд по правам человека на пороге новых реформ Будущее Европейского Суда: интенсификация деятельности или реформирование системы?. Микеле де Сальвиа, «Российская юстиция», № 7, июль 2003.
18. Язык и право. Герард-Рене де Гроте, «Журнал российского права», № 7, июль 2002.
19. Физика и гражданское право. К вопросу о понятии «количество энергии». ст. 541 ГК РФ. В.А. Белов, «эж-ЮРИСТ», № 38, сентябрь 2001.
20. Имущество «физика» в пользовании. М.В. Подкопаев, «Актуальные вопросы бухгалтерского учета и налогообложения», N 11, июнь 2012 г.
21. Служебные командировки: уравнение со многими неизвестными?. интервью с Н.З. Ковязиной, заместителем директора Департамента заработной платы, охраны труда и социального партнерства Минздравсоцразвития России. «В курсе правового дела», N 21, ноябрь 2011 г.
22. Об основном балансовом уравнении в бюджетном учете. С.И. Колесников, «Бухгалтерский учет в бюджетных и некоммерческих организациях», № 5, март 2009.
23. Пенсионное уравнение. интервью с С.П. Мавриным, доктором юридических наук, профессором, судьей Конституционного Суда РФ. Н. Шиняева, «эж-ЮРИСТ», № 1, январь 2008.

Свяжитесь со мной, если вам нужна консультация по этой теме или сопровождение.

Гладышева Марина Михайловна

marina@studentochka.ru

с 9 до 21 ч. по Москве.

Спасибо, ваше сообщение отправлено

В ближайшее время мы пришлем сообщение с ценой и возможными сроками консультации. Если Вас все устроит, то мы начнем работать.

Если никто из сотрудников не сможет вас проконсультировать, то мы сообщим об этом письмом в течение суток.

Реферат: Уравнение Кортевега — де Фриса, солитон, уединенная волна

1.1. Волны в природе

Из школьного курса физики [1] хорошо извест­но, что если в какой-либо точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить ко­лебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом. При этом колебания, возбужденные в одном месте, рас­пространяются в пространстве с определенной ско­ростью. Волной принято называть процесс передачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от одной точки к другой.

Природа механизма распространения волны может быть различной. В простейшем случае связи между участками в среде могут быть обусловлены силами упругости, которые возникают из-за дефор­маций в среде. При этом в твердой упругой среде могут распространяться как продольные волны, при которых смещения частиц среды осуществля­ются в направлении распространения волны, так и поперечные волны, у которых смещения частиц перпендикулярны распространению волны. В жид­кости или газе в отличие от твердых тел нет сил со­противления сдвигу, поэтому могут распространять­ся только продольные волны. Хорошо известный пример продольных волн в природе — звуковые вол­ны, которые возникают из-за упругости воздуха.

Среди волн иной природы особое место занима­ют электромагнитные волны, передача возбужде­ний у которых происходит из-за колебаний элект­рического и магнитного полей. Среда, в которой распространяются электромагнитные волны, как правило, оказывает существенное влияние на про­цесс распространения волн, однако электромагнит­ные волны в отличие от упругих могут распростра­няться даже в пустоте. Связь между различными участками в пространстве при распространении та­ких волн обусловлена тем, что изменение электри­ческого поля вызывает появление магнитного поля и наоборот.

С явлениями распространения электромагнит­ных волн мы часто сталкиваемся в нашей повседнев­ной жизни. К этим явлениям относятся радиоволны, применение которых в технических приложениях общеизвестно. В этой связи можно упомянуть рабо­ту радио и телевидения, которая основана на прие­ме радиоволн. К электромагнитным явлениям, только в другом частотном диапазоне, относится также свет, с помощью которого мы видим окружа­ющие нас предметы.

Очень важным и интересным типом волн яв­ляются волны на поверхности воды. Это один из распространенных видов волн, который каждый наблюдал еще в детстве и который обычно демон­стрируется в рамках школьного курса физики. Од­нако, по выражению Ричарда Фейнмана [2], «более неудачного примера для демонстрации волн приду­мать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все труднос­ти, которые могут быть в волнах».

Если рассмотреть достаточно глубокий бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмуще­ния будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие этого явле­ния со временем и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по ок­ружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы смесь тех и других. С глубиной радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьша­ются до тех пор, пока они не станут равными нулю.

Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее длины. Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного паде­ния, умноженному на длину волны. Причиной воз­никновения таких волн является сила тяжести.

Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна кор­ню квадратному из частного, в числителе которого стоит коэффициент поверхностного натяжения, а в знаменателе — произведение длины волны на плот­ность воды. Для волн средней длины волны ско­рость их распространения зависит от перечислен­ных выше параметров задачи [2]. Из сказанного ясно, что волны на воде и в самом деле довольно сложное явление.

1.2. Открытие уединенной волны

Волны на воде издавна привлекали к себе вни­мание исследователей. Это связано с тем, что они представляют собой широко известное явление в природе и, кроме того, сопровождают перемещение судов по воде.

Любопытную волну на воде наблюдал шотланд­ский ученый Джон Скотт Рассел в 1834 году. Он за­нимался исследованием перемещения по каналу баржи, которую тянула пара лошадей. Неожиданно баржа остановилась, но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась, а собралась у носа судна, а затем оторвалась от него. Далее эта масса воды покатилась по каналу с большой скоро­стью в виде уединенного возвышения, не меняя своей формы и не снижая скорости.

На протяжении всей жизни Рассел неоднократ­но возвращался к наблюдению за этой волной, по­скольку верил, что открытая им уединенная волна играет важную роль во многих явлениях в природе. Он установил некоторые свойства этой волны. Во-первых, заметил, что она движется с постоянной скоростью и без изменения формы [3]. Во-вторых, нашел зависимость скорости С этой волны от глу­бины канала h и высоты волны а:

где g — ускорение свободного падения, причем a 2 u_xx (1.1)

Характеристика волны и в этом уравнении зависит от пространственной координаты х и времени t , а индексы у переменной и обозначают вторую произ­водную от и по времени (u_tt ) и вторую производную от и по переменной x ( u_xx ). Уравнение (1) описывает плоскую одномерную волну, аналогом которой мо­жет служить волна в струне. В этом уравнении в ка­честве и можно принять плотность воздуха, если речь идет, например, о звуковой волне в воздухе. Ес­ли рассматривают электромагнитные волны, то под и следует понимать напряженность электрического или магнитного поля.

Решение волнового уравнения (1), которое впервые было получено Ж. Д’Аламбером в 1748 го­ду, имеет вид

Здесь функции f и g находят из начальных условий для и. Уравнение (1.1) содержит вторую производную от и по t , поэтому для него следует задавать два на­чальных условия: значение и при t = 0 и производ­ную и, при t = 0.

Волновое уравнение (1.1) имеет очень важное свойство, суть которого заключена в следующем. Оказалось, что если взять два любых решения этого уравнения, то их сумма снова будет решением этого же уравнения. Это свойство отражает принцип су­перпозиции решений уравнения (1.1) и соответствует линейности явления, которое оно описывает. Для нелинейных моделей это свойство не выполняется, что приводит к существенным отличиям протекания процессов в соответствующих моделях. В частности, из выражения для скорости уединенной волны, ко­торую наблюдал Рассел, следует, что ее значение за­висит от амплитуды, а для волны, описываемой уравнением (1.1), такой зависимости нет.

Непосредственной подстановкой в уравнение (1.1) можно убедиться, что зависимость

в которой а, k и w — постоянные, при w =± k является решением уравнения (1). В этом решении а — амплитуда, k — волновое число, а w — частота. При­веденное решение представляет собой монохрома­тическую волну, переносимую в среде с фазовой скоростью

c_p = (1.4)

На практике монохроматическую волну создать трудно, и обычно имеют дело с цугом (пакетом) волн, в котором каждая волна распространяется со своей скоростью, а скорость распространения паке­та характеризуется групповой скоростью

C_g = , (1.5)

определяемой через производную от частоты w по волновому числу k .

Определить, с какой (линейной или нелиней­ной) моделью имеет дело исследователь, не всегда легко, но когда математическая модель сформули­рована, то решение этого вопроса упрощается и вы­полнение принципа суперпозиции решений можно проверить.

Возвращаясь к волнам на воде, заметим, что их можно анализировать используя хорошо известные уравнения гидродинамики, о которых известно, что они нелинейны. Поэтому и волны на воде в общем случае являются нелинейными. Только в предель­ном случае малых амплитуд эти волны могут счи­таться линейными.

Отметим, что и распространение звука не во всех случаях описывается линейным уравнением. Еще Рассел при обосновании своих наблюдений по уе­диненной волне отметил, что звук от выстрела пуш­ки распространяется в воздухе быстрее, чем коман­да произвести этот выстрел. Это объясняется тем, что распространение мощного звука описывается уже не волновым уравнением, а уравнениями газо­вой динамики.

2. Уравнение Кортевега — де Фриса

Окончательная ясность в проблеме, которая воз­никла после опытов Рассела по уединенной волне, наступила после работы датских ученых Д .Д. Кортевега и Г. де Фриса, которые попытались разобраться в существе наблюдений Рассела. Обобщив метод Рэлея, эти ученые в 1895 году вывели уравнение для описания длинных волн на воде. Кортевег и де Фрис, используя уравнения гидродинамики, рас­смотрели отклонение и(х, t ) от положения равнове­сия поверхности воды при отсутствии вихрей и при постоянстве плотности воды. Сделанные ими на­чальные приближения были естественны. Они так­же предположили, что при распространении волны выполняются два условия для безразмерных пара­метров

e = 2 ch -2 j ₀ > , (2.3)

где j ₀ — произвольная постоянная.

Решение (8) уравнения (7) является предельным случаем бесконечно большого периода волны. Именно этот предельный случай является уединен­ной волной, соответствующей наблюдению Рассела в 1834 году.

Решение (8) уравнения Кортевега— де Фриса яв­ляется бегущей волной. Это означает, что оно зави­сит от координаты x и времени t через переменную x = x — c ₀ t .Эта переменная характеризует положение точки координат, движущейся со скоростью волны с₀ , то есть она обозначает положение наблюдателя, который постоянно находится на гребне волны. Та­ким образом, уравнение Кортевега— де Фриса в от­личие от решения Д’Аламбера (1.2) волнового реше­ния (1.1) имеет волну, распространяющуюся лишь в одном направлении. Однако оно учитывает прояв­ление более сложных эффектов вследствие дополнительных слагаемых uu_x и u_xxx .

В действительности это уравнение является так­же приближенным, поскольку при его выводе ис­пользованы малые параметры (2.1) e и d . Если прене­бречь влиянием этих параметров, устремляя их к нулю, мы получим одну из частей решения Д’Алам­бера.

Конечно, при выводе уравнения для длинных волн на воде влияние параметров е и 6 может быть учтено более точно, но тогда получится уравнение, содержащее гораздо больше слагаемых, чем уравне­ние (2.2), и с производными более высокого порядка. Из сказанного следует, что решение уравнения Кортевега-де Фриса для описания волн справедливо только на определенном расстоянии от места обра­зования волны и на определенном промежутке вре­мени. На очень больших расстояниях нелинейные волны уже не будут описываться уравнением Кортевега-де Фриса, и для описания процесса потребует­ся более точная модель. Уравнение Кортевега-де Фриса в этом смысле следует рассматривать как не­которое приближение (математическую модель), со­ответствующее с определенной степенью точности реальному процессу распространения волн на воде.

Используя специальный подход, можно убе­диться, что принцип суперпозиции решений для уравнения Кортевега-де Фриса не выполняется, и поэтому это уравнение является нелинейным и описывает нелинейные волны.

2.1. Солитоны Кортевега — де Фриса

В настоящее время кажется странным, что от­крытие Рассела и его последующее подтверждение в работе Кортевега и де Фриса не получили замет­ного резонанса в науке. Эти работы оказались за­бытыми почти на 70 лет. Один из авторов уравне­ния, Д.Д. Кортевег, прожил долгую жизнь и был известным ученым. Но когда в 1945 году научная общественность отмечала его 100-летний юбилей, то в списке лучших публикаций работа, выполнен­ная им с де Фрисом, даже не значилась. Составите­ли списка сочли эту работу Кортевега не заслужива­ющей внимания. Только спустя еще четверть века именно эта работа стала считаться главным науч­ным достижением Кортевега.

Однако если поразмыслить, то такое невнима­ние к уединенной волне Рассела становится понят­ным. Дело в том, что в силу своей специфичности это открытие долгое время считалось довольно част­ным фактом. В самом деле, в то время физический мир казался линейным и принцип суперпозиции считался одним из фундаментальных принципов большинства физических теорий. Поэтому никто из исследователей не придал открытию экзотичес­кой волны на воде серьезного значения.

Возвращение к открытию уединенной волны на воде произошло в какой-то степени случайно и вна­чале, казалось, не имело к нему никакого отноше­ния. Виновником этого события стал величайший физик нашего столетия Энрико Ферми. В 1952 году Ферми попросил двух молодых физиков С. Улама и Д. Паста решить одну из нелинейных задач на ЭВМ. Они должны были рассчитать колебания 64 гру­зиков, связанных друг с другом пружинками, ко­торые при отклонении от положения равновесия на D l приобретали возвращающуюся силу, равную k D l +a (D l ) 2 . Здесь k и a — постоянные коэффициен­ты. При этом нелинейная добавка предполагалась малой по сравнению с основной силой k D l . Созда­вая начальное колебание, исследователи хотели по­смотреть, как эта начальная мода будет распреде­ляться по всем другим модам. После проведения расчетов этой задачи на ЭВМ ожидаемого результа­та они не получили, но обнаружили, что перекачи­вание энергии в две или три моды на начальном этапе расчета действительно происходит, но затем наблюдается возврат к начальному состоянию. Об этом парадоксе, связанном с возвратом начального колебания, стало известно нескольким математи­кам и физикам. В частности, об этой задаче узнали американские физики М. Крускал и Н. Забуски, ко­торые решили продолжить вычислительные экспе­рименты с моделью, предложенной Ферми.

После расчетов и поиска аналогий эти ученые установили, что уравнение, которое использовали Ферми, Паста и Улам, при уменьшении расстояния между грузиками и при неограниченном росте их числа переходит в уравнение Кортевега—де Фриса. То есть по существу задача, предложенная Ферми, сводилась к численному решению уравнения Кор­тевега—де Фриса, предложенного в 1895 году для описания уединенной волны Рассела. Примерно в те же годы было показано, что для описания ионно-звуковых волн в плазме используется также уравне­ние Кортевега—де Фриса. Тогда стало ясно, что это уравнение встречается во многих областях физики и, следовательно, уединенная волна, которая опи­сывается этим уравнением, является широко рас­пространенным явлением.

Продолжая вычислительные эксперименты по моделированию распространения таких волн, Крус­кал и Забуски рассмотрели их столкновение. Оста­новимся подробнее на обсуждении этого замеча­тельного факта. Пусть имеются две уединенные волны, описываемые уравнением Кортевега—де Фриса, которые различаются амплитудами и дви­жутся друг за другом в одном направлении (рис. 2). Из формулы для уединенных волн (8) следует, что скорость движения таких волн тем выше, чем боль­ше их амплитуда, а ширина пика уменьшается с ростом амплитуды. Таким образом, высокие уеди­ненные волны движутся быстрее. Волна с большей амплитудой догонит движущуюся впереди волну с меньшей амплитудой. Далее в течение некоторого времени две волны будут двигаться вместе как еди­ное целое, взаимодействуя между собой, а затем они разъединятся. Замечательным свойством этих-волн является то, что после своего взаимодействия форма и

Рис. 2. Два солитона, описываемые уравнением Кортевега-де Фриса,

до взаимодействия (вверху) и после (внизу)

скорость этих волн восстанавливаются. Обе волны после столкновения лишь смещаются на не­которое расстояние по сравнению с тем, как если бы они двигались без взаимодействия.

Процесс, у которого после взаимодействия волн сохраняются форма и скорость, напоминает упру­гое столкновение двух частиц. Поэтому Крускал и Забуски такие уединенные волны назвали солитонами (от англ. solitary- уединенный). Это специ­альное название уединенных волн, созвучное элек­трону, протону и многим другим элементарным частицам, в настоящее время общепринято.

Уединенные волны, которые были открыты Рас­селом, и в самом деле ведут себя как частицы. Боль­шая волна не проходит через малую при их взаимо­действии. Когда уединенные волны соприкасаются, то большая волна замедляется и уменьшается, а волна, которая была малой, наоборот, ускоряется и подрастает. И когда малая волна дорастает до разме­ров большой, а большая уменьшается до размеров малой, солитоны разделяются и больший уходит вперед. Таким образом, солитоны ведут себя как уп­ругие теннисные мячи.

Дадим определение солитона [4]. Солитоном на­зывается нелинейная уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость при собственном движении и столкновении с себе подобными уеди­ненными волнами, то есть представляет собой ус­тойчивое образование. Единственным результатом взаимодействия солитонов может быть некоторый сдвиг фаз.

Открытия, связанные с уравнением Кортевега — де Фриса, не закончились открытием солитона. Следующим важным шагом, имеющим отношение к этому замечательному уравнению, было создание нового метода решения нелинейных уравнений в частных производных. Хорошо известно, что най­ти решения нелинейных уравнений очень сложно. До 60-х годов нашего столетия считалось, что такие уравнения могут иметь только некоторые частные решения, удовлетворяющие специально заданным начальным условиям. Однако уравнение Кортевега—де Фриса и в этом случае оказалось в исключи­тельном положении.

В 1967 году американские физики К.С. Гарднер, Дж.М. Грин, М. Крускал и Р. Миура показали, что решение уравнения Кортевега—де Фриса может быть в принципе получено для всех начальных усло­вий, которые определенным образом обращаются в нуль при стремлении координаты к бесконечности. Они использовали преобразование уравнения Кортевега — де Фриса к системе двух уравнений, называ­емой теперь парой Лакса (по имени американского математика Питера Лакса, внесшего большой вклад в развитие теории солитонов), и открыли новый ме­тод решения ряда очень важных нелинейных урав­нений в частных производных. Этот метод получил название метода обратной задачи рассеяния, по­скольку в нем существенно используется решение задачи квантовой механики о восстановлении по­тенциала по данным рассеяния.

2.2. Групповой солитон

Выше мы говорили, что на практике волны, как правило, распространяются группами. Подобные группы волн на воде люди наблюдали с незапамят­ных времен. На вопрос о том, почему для волн на воде так типичны «стаи» волн, удалось ответить Т. Бенжамену и Дж. Фейеру только в 1967 году. Тео­ретическими расчетами они показали, что простая периодическая волна на глубокой воде неустойчива (теперь это явление называется неустойчивостью Бенжамена—Фейера), и поэтому волны на воде из-за неустойчивости разбиваются на группы. Уравнение, с помощью которого описывается распространение групп волн на воде, было получено В.Е. Захаровым в 1968 году. К тому времени это уравнение уже было известно в физике и носило название нелинейного уравнения Шрёдингера. В 1971 году В.Е. Захаров и А.Б. Шабат показали, что это нелинейное уравне­ние имеет решения также в виде солитонов, более того, нелинейное уравнение Шрёдингера, так же как и уравнение Кортевега—де Фриса, может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассея­ния. Солитоны нелинейного уравнения Шрёдинге­ра отличаются от обсуждаемых выше солитонов Кортевега—де Фриса тем, что они соответствуют форме огибающей группы волн. Внешне они на­поминают модулированные радиоволны. Эти солитоны называются групповыми солитонами, а иногда солитонами огибающей. Это название от­ражает сохраняемость при взаимодействии огиба­ющей волнового пакета (аналог штриховой ли­нии, представленной на рис. 3), хотя сами волны под огибающей двигаются со скоростью, отличной от групповой. При этом форма огибающей описывается

Рис. 3. Пример группового солитона (штриховая линия)

a(x,t)=a₀ ch -1 ()

где а_а — амплитуда, а l — половина размера солитона. Обычно под огибающей солитона находится от 14 до 20 волн, причем средняя волна самая большая. С этим связан хорошо известный факт, что самая вы­сокая волна в группе на воде находится между седь­мой и десятой (девятый вал). Если в группе волн об­разовалось большее количество волн, то произойдет ее распад на несколько групп.

Нелинейное уравнение Шрёдингера, как и урав­нение Кортевега— де Фриса, также имеет широкую распространенность при описании волн в различ­ных областях физики. Это уравнение было предло­жено в 1926 году выдающимся австрийским физи­ком Э. Шрёдингером для анализа фундаментальных свойств квантовых систем [4] и первоначально ис­пользовано при описании взаимодействия внут­риатомных частиц. Обобщенное или нелинейное уравнение Шрёдингера описывает совокупность явлений в физике волновых процессов. Например, оно используется для описания эффекта самофоку­сировки при воздействии мощного лазерного луча на нелинейную диэлектрическую среду и для опи­сания распространения нелинейных волн в плазме.

3. Постановка задачи

3.1. Описание модели.В настоящее время наблюдается значи­тельно возрастающий интерес к исследованию нелинейных волно­вых процессов в различных областях физики (например, в оптике, физике плазмы, радиофизике, гидродинамике и т.д.). Для изучения волн малой, но конечной амплитуды в дисперсионных средах в каче­стве модельного уравнения часто используют уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ):

Уравнение КдФ было использовано для описания магнитозвуковых волн, распространяющихся строго поперек магнитного поля или под углами, близкими к .

Основные предположения, которые делаются при выводе уравне­ния: 1) малая, но конечная амплитуда, 2) длина волны велика по сравнению с длиной дисперсии.

Компенсируя действие нелинейности, дисперсия дает возможность формироваться в дисперсионной среде стационарным волнам конеч­ной амплитуды — уединенным и периодическим. Уединенные волны для уравнения КдФ после работы [8] стали называться солитонами [9]. Периодические волны носят название кноидальных волн. Соот­ветствующие формулы для их описания даны в [4].

3.2. Постановка дифференциальной задачи.В работе иссле­дуется численное решение задачи Коши для уравнения Кортевега-де Фриза с периодическими условиями по пространству в прямоуголь­нике Q_T = <(t , x ):0 ¥ (0,T,H s (R 1 )), где s>3/2, а в случае периодической задачи — в пространстве L ¥ (0,T,H ¥ (C))где С — окружность дли­ны, равной периоду, на русском языке эти результаты представлены в книге [12].

(4.1)

Используя обращение линейной части уравнения при помощи фун­даментального решения G (t,x) соответствующего линейного опера­тора , вводится класс корректности задачи (3.2),(1.4) и уста­навливаются теоремы единственности и непрерывной зависимости решений этой задачи от начальных данных. Также исследуются во­просы регулярности обобщенных решений. Одним из основных ре­зультатов является достаточное условие существования непрерыв­ной по Гельдеру при t > 0 производной в терминах существования моментов для начальной функции, для любых k и l .

Задача Коши для уравнения КдФ исследовалась также методом обратной задачи рассеяния, предложенном в работе [14]. При по­мощи этого метода были получены результаты о существовании и гладкости решений при достаточно быстро убывающих начальных функциях, причем в [15] установлен, в частности, результат о раз­решимости задачи (3.2),(3.4) в пространстве C ¥ (О, Т; S(R 1 )) .

Наиболее полный обзор современных результатов по уравнению КдФ можно найти в [16].

4.2. Законы сохранения для уравнения КдФ. Как известно, для уравнения КдФ существует бесконечное число законов сохране­ния. В работе [17] приводится строгое доказательство этого факта. В работах [11], [12] различные законы сохранения применялись для до­казательства нелокальных теорем существования решения задачи (3.2),(3.4) из соответствующих пространств.

Продемонстрируем вывод первых трех законов сохранения для за­дачи Коши на R 1 и периодической задачи.

Для получения первого закона сохранения достаточно проинте­грировать уравнения (3.2) по пространственной переменной. Полу­чим:

Здесь в качестве a и b выступают +¥ и -¥ для задачи Коши и границы основного периода для периодической задачи. Поэтому второе и третье слагаемые обращаются в 0.

(4.2)

Для вывода второго закона сохранения следует умножить уравне­ние (3.2) на 2 u (t,x) и проинтегрировать по пространственной пере­менной. Тогда, используя формулу интегрирования по частям полу­чим:

но в силу «краевых» условий все слагаемые кроме первого опять сокращаются

Таким образом второй интегральный закон сохранения имеет вид:

(4.3)

Для вывода третьего закона сохранения нужно умножить наше уравнение (3.2) на (и 2 + 2 b и_хх ), таким образом получим:

После применения несколько раз интегрирования по частям тре­тий и четвертый интегралы сокращаются. Второе и третье слагае­мые исчезают из-за граничных условий. Таким образом из первого интеграла получаем:

(4.4)

А это и есть третий закон сохранения для уравнения (3.2). Под физическим смыслом первых двух интегральных законов со­хранения в некоторых моделях можно понимать законы сохранения импульса и энергии, для третьего и последующих законов сохране­ния физический смысл охарактеризовать уже труднее, но с точки зрения математики эти законы дают дополнительную информацию о решении, которая используется потом для доказательств теорем существования и единственности решения, исследования его свойств и вывода априорных оценок.

5. Разностные схемы для решения уравнения КдФ

3.1. Обозначения и постановка разностной задачи. В области = <(x , t ):0 £ x £ l ,0 £ t £ T > обычным образом введем равномерные сетки, где

Введем линейное пространство W _h сеточных функций, определен­ных на сетке со значениями в узлах сетки y_i = y h ( x_i ). Пред­полагается, что выполнены условия периодичности y ₀ = y_N . Кроме того, формально полагаем y_{i + N} = y_i для i ³ 1 .

Введем скалярное произведение в пространстве W _h

(5.1)

Поскольку в пространство W _h входят периодические функции, то это скалярное произведение эквивалентно скалярному произведе­нию:

Будем строить разностные схемы для уравнения (3.2) на сетке с периодическими краевыми условиями. Нам потребуются обозна­чения разностных аппроксимаций. Введем их.

Используем стандартные обозначения для решения уравнения на очередном (n-м) временном слое, то есть

Введем обозначения для разностных аппроксимаций производных. Для первой производной по времени:

Аналогично для первой производной по пространству:

Теперь введем обозначения для вторых производных:

Третью пространственную производную будем аппроксимировать следующим образом:

Также нам потребуется аппроксимация у 2 , которую мы обозначим буквой Q и введем следующим образом:

(5.2)

Для записи уравнения на полу целых слоях будем использовать уравновешенную аппроксимацию, т.е.

за исключением аппроксимации у 2 на полу целом слое. Приведем одну из возможных аппроксимаций у 2 на полу целом слое:

Замечание 2. Стоит отметить, что для ₁ выполняется равенство:

Определение 1.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть консервативной, если для нее имеет место сеточ­ный аналог первого интегрального закона сохранения, справедливо­го для дифференциальной задачи.

Определение 2.Следуя [19] разностную схему для уравнения КдФ будем называть L₂ -консервативной, если для нее имеет место сеточ­ный аналог второго интегрального закона сохранения, справедливо­го для дифференциальной задачи.

5.2. Явные разностные схемы (обзор). При построении раз­ностных схем будем ориентироваться на простейшую разностную схему из работы [19] для линеаризованного уравнения КдФ, кото­рое сохраняет свойства самого уравнения КдФ в смысле двух первых законов сохранения.

(5.3)

Исследуем теперь схему (5.4) на свойства консервативности. Вы­полнение первого закона сохранения очевидно. Достаточно просто умножить это уравнение скалярно на 1. Тогда второе и третье сла­гаемые схемы (5.4) дадут 0, а от первого останется:

(5.4)

Это сеточный аналог первого закона сохранения.

Для вывода второго закона сохранения умножим скалярно урав­нение (5.3) на 2 t у. Приходим к энергетическому тождеству

(5.5)

Наличие отрицательного дисбаланса говорит не только о невыпол­нении соответствующего закона сохранения, но и ставит под сомне­ние вопрос вообще об устойчивости схемы в наиболее слабой норме L ₂ (). )- В работе [15] показано, что схемы семейства (3.18) являются абсолютно неустойчивыми в норме L ₂ ().

Другим примером явной двухслойной схемы является двух шаговая схема Лакса-Вендрофа [20].Это схема типа предиктор-корректор:

В данный момент наиболее популярными схемами для уравнения КдФ считаются трехслойные схемы ввиду их простоты, точности и удобства реализации.

(5.6)

(5.7)

Самой простой трехслойной схемой является следующая схема:

Эта схема была использована при получении первых численных решений КдФ [8]. Эта схема аппроксимирует дифференциальную задачу с порядком О (t 2 + h 2 ). Согласно [21], схема является устой­чивой при выполнении условия (при малых Ь):

Приведем еще несколько схем. Трехслойная явная схема с поряд­ком аппроксимации O ( t 2 + h 4 ) [20]:

Третья производная по пространству аппроксимируется на семи­точечном шаблоне, а первая строится по пяти точкам. Согласно [21], эта схема устойчива при выполнении условия (при малых h ):

Легко видеть, что для этой схемы с более высоким порядком ап­проксимации условие устойчивости является более жестким.

В работе [19] предлагается следующая явная разностная схема с порядком аппроксимации О(t 2 + h 2 ) :

(5.8)

Так как разностное уравнение (5.8) можно записать в дивергент­ном виде

(5.9)

то, скалярно умножив уравнение (5.9) на 1, получим

следовательно, выполняется соотношение:

которое можно считать сеточным аналогом первого закона сохране­ния. Таким образом, схема (5.8) является консервативной. В [19] доказано, что схема (5.8) является L ₂ -консервативной и ее решение удовлетворяет сеточному аналогу интегрального закона сохранения

5.3. Неявные разностные схемы (обзор). В этом параграфе мы рассмотрим неявные разностные схемы для уравнения Кортевега-де Фриза.

Вариант двухслойной схемы — неявная абсолютно устойчивая схе­ма с порядком аппроксимации О (t 2 , h 4 ) [21]:

Решение разностной схемы (3.29) вычисляется с помощью семи диагональной циклической прогонки [22]. Вопрос о консервативности этой схемы не исследовался.

В работе [15] предлагается неявная трехслойная схема с весами:

(5.10)

Разностная схемы (5.10) с периодическими по пространству реше­ниями, консервативна, L₂ -консервативна при s =1/2 и s =1/4 для ее решения имеют место сеточные аналоги интегральных законов сохранения.

6. Численное решение

Численное решение для (3.2), (3.3), (3.4) было проделано с использованием явной схемы

(5.7)

Решалась начально-краевая задача на отрезке [0, 2p]. В качестве начальных условий бралась функция

Явным образом было получено решение.

Программа для расчетов была написана на языке TurboPascal 7.0. Текст основных частей программы прилагается.

Расчеты велись на вычислительной машине с процессором AMD-K6-2 300 МГц с технологией 3DNOW!, размер оперативной памяти 32 Мб.

Настоящая работа посвящена исследованию уравнения Кортевега – де Фриза. Проведен обширный литературный обзор по теме исследования. Изучены различные разностные схемы для уравнения КдФ. Выполнен практический счет с использованием явной пяти точечной разносной схемы

Как показал анализ литературных источников, явные схемы для решения уравнений типа КдФ наиболее применимы. В данной работе также решение было получено с использованием явной схемой.

1. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. М.: Наука, 1964. Т. 3.

2. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1965. Вып.4.

3. Филиппов А. Г Многоликий солитон. М.: Наука, 1986. (Б-чка «Квант»; Вып. 48).

4. Рубанков В.Н. Солитоны, новое в жизни, науке, тех­нике. М.: Знание, 1983. (Физика; Вып. 12).

5. Korteweg D.J., de Vries G. On the change form of long waves advancing in a rectangular channel and on new type of long stationary waves.//Phyl.May. 1895. e5. P. 422-443.

6. Сагдеев Р.З. Коллективные процессы и ударные волны в разре­женной плазме.-В кн.: Вопросы теории плазмы, Вып.4. М.: Атомиз-дат, 1964, с.20-80.

7. Березин Ю.А., Карпман В.И. К теории нестационарных волн конечной амплитуды в разреженной плазме. // ЖЭТФ, 1964, т.46, вып.5, с. 1880-1890.

8. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interactions of «solitons»in a collisionless plasma and the reccurence of initial states // Phys.Rev.Lett. 1965. V.15. еб. Р.240-243.

9. Буллаф Р., Кодри Ф. Солитоны. М.: Мир; 1983

10. Sjoberg A. On the Korteweg-de Vries equation, existence and uniqueness, Uppsala University, Department of Computers, 1967

11. Temam R. Sur un probleme non lineare // J.Math.Pures Anal. 1969, V.48, 2, P. 159-172.

12. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

13. Кружков С.Н. Фаминский А.В. Обобщенные решения для урав­нения Кортевега-де Фриза.// Матем. сборник, 1983, т. 120(162), еЗ, с.396-445

14.. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys.Rev.Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097.

15. Шабат А.Б. Об уравнении Кортевега-де Фриза // ДАН СССР, 1973, т.211, еб, с.1310-1313.

16. Фаминский А.В. Граничные задачи для уравнения Кортевега-де Фриза и его обобщений: Дисс. докт. физ.-матем. наук,М:РУДН,2001

17. Miura R.M., Gardner C.S., Kruscal M.D. Korteweg-de Vries equation and generlization. II. Existence of conservation laws and constants of motion. // J.Math.Phys. 1968. V.9. P. 1204-1209.

18. Амосов А.А., Злотник А.А. Разностная схема для уравнений движений газа.

19. Самарский А.А., Мажукин В.И., Матус П.П., Михайлик И.А. Z/2-консервативные схемы для уравнения Кортевега-де Фриса.// ДАН, 1997, т.357, е4, с.458-461

20. Березин Ю.А. Моделирование нелинейных волновых процес­сов. Новосибирск: Наука. 1982.

21. Березин Ю.А., О численных решениях уравнения Кортевега-де Вриза.// Численные методы механики сплошной среды. Новоси­бирск, 1973, т.4, е2, с.20-31

22. Самарский А.А., Николаев Методы решения сеточных уравнений. М: Наука, 1978

23. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М: Наука, 1989

24. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М: Наука, 1987

модель Кортевега де Фриза

РЕФЕРАТ
по дисциплине «Математические модели физики»
на тему «Математические модели современной физики: модель Кортевега де Фриза»

Пенза 2016
Содержание

Хорошо известно, что если в какой-либо точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом. Приэтом колебания, возбужденные в одном месте, распространяются в пространстве с определенной скоростью. Волной принято называть процесс передачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от одной точки к другой.
Волны на воде издавна привлекали к себе внимание исследователей. Это связано с тем, что они представляют собой широко известное явление в природе и, кроме того, сопровождаютперемещение судов по воде.
Любопытную волну на воде наблюдал шотландский ученый Джон Скотт Рассел в 1834 году. Он занимался исследованием перемещения по каналу баржи, которую тянула пара лошадей. Неожиданно баржа остановилась, но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась, а собралась у носа судна, а затем оторвалась от него. Далее эта масса воды покатилась по каналу с большой скоростью ввиде уединенного возвышения, не меняя своей формы и не снижая скорости.
Работа Рассела, опубликованная в 1844 году как «Доклад о волнах», вызвала осторожную реакцию в среде ученых. Только спустя полвека Дидерик Кортевег и Густав де Фриз смогли внести ясность в результаты экспериментов Рассела.

Дидерик Иоханнес Кортевег (нидерл. Diederik Johannes Korteweg, 31 марта1848, — 10 мая 1941) родился в семье судьи в городе Хертогенбос. Начинал своё обучение в Делфтской политехнической школе, собираясь стать инженером, однако впоследствии любовь к математике заставила его бросить учёбу и стать школьным учителем математики. В 1878 году получил диплом доктора философии в Амстердамском университете с дипломной работой, посвящённой распространению волн в эластичныхтрубах.
С 1881 по 1918 годы Кортевег работал в Амстердамском университете в качестве профессора математики, механики и астрономии. В это время совместно со своим студентом Густавом де Фризом им была опубликована его самая известная работа «On the Change of Form of Long Waves advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Wave».

Густав де Фриз (также встречаетсянаписание де Врис, нидерл. Gustav de Vries, 22 января 1866 — 16 декабря 1934) родился в Амстердаме. Учился в Амстердамском университете. В 1894 году под руководством Дидерика Кортевега защитил докторскую по теме «Bijdrage tot de kennis der lange golven» («Вклад в знания о длинных волнах»). На следующий год вышла его совместная с руководителем классическая работа «On the Change of Form of Long Waves advancingin a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Wave», посвящённая последовательному изучению так называемого уравнения Кортевега — де Фриза. Эта работа стала крупнейшим достижением учёного.
Впоследствии де Врис работал преподавателем математики в высшей школе в Харлеме. В 1931 году ушёл в отставку. 16 декабря 1934 года скончался.

Уравнение Кортевега – де Фриза

Пусть процессраспространения одномерных волн описывается линейным дифференциальным уравнением в частных производных по пространственной переменной и времени , имеющим вид

где – линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; функция, описывающая некоторую характеристику волны, например плотность среды или давление.
Будем искать решение уравнения (1) в форме.

Чтобы читать весь документ, зарегистрируйся.