Уравнение коши римана в полярных координатах

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Глава 2. Функции комплексного переменного

Множества точек на плоскости

Рассмотрим некоторые вспомогательные геометрические понятия.

$|z|$ — расстояние от точки $z$ до начала координат;

$|z-z_0|$ — расстояние между точками $z$ и $z_0$;

$\$ — окружность с центром в точке $z_0$ и радиусом $R$;

$\^<\delta>(z_0)=\emptyset$, где $K_<0>^<\delta>(z_0): 0 1$ (внешность окружности) представляют собой односвязные области, так как имеют по одной границе.

2. Круговое концентрическое кольцо $D: r 0$, не является областью. Множество содержит точки, заполняющие I и III четверти. Множество является открытом, но нарушено свойство связности, так как точки из I и III четвертей нельзя соединить непрерывной линией, целиком состоящей из точек множества.

5. Кольцо $1 1$), то степень $\alpha^\beta$ имеет ровно $q$ различных значений. Во всех других случаях степень имеет бесконечное множество значений.

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции также являются многозначными функциями. $$ \begin \mboxz=-\mathbf i \mbox(z+\sqrt), &\mboxz= -\mathbf i \mbox(\mathbf i z+\sqrt<1-z^2>), \\ \mboxz=-\frac<\mathbf i> <2>\mbox\displaystyle\frac<1+\mathbf i z><1-\mathbf i z>,&\mboxz=-\frac<\mathbf i> <2>\mbox\displaystyle\frac.\\ \end $$ При вычислении арккосинуса и арксинуса приходится извлекать квадратный корень из комплексного числа, то есть записывать два значения, для каждого из которых вычисляется логарифм. Для главного значения обратной тригонометрической функции выбирается то значение квадратного корня из комплексного числа, главное значение аргумента которого $\mbox\xi\in[0,\pi]$. Тогда все остальные значения будут получатся из главного по формуле: $$ \begin \mboxz=\pm\mboxz+2\pi k, k\in Z & \\ \mboxz= \pm\mboxz+2\pi k, k\in Z &.\\ \end $$

Предел и непрерывность функции

В дальнейшем мы будем рассматривать (если не будет специальной оговорки) однозначные функции. Если $w=g(z)$ — многозначная функция, то мы берем однозначную ветвь этой многозначной функции. Например, для $w=\mbox\,z=\mbox\,|z| + \mathbf i \mbox\,z+\mathbf i 2\pi k$ выбираем однозначные ветви: $$ w_0=\mbox\,|z| + \mathbf i \mbox\,z, \,\, w_1=\mbox\,|z| + \mathbf i \mbox\,z ++\mathbf i 2\pi, \dots $$

Понятия предела и непрерывности функции комплексного переменного вводятся аналогично, как это делается для функции вещественного переменного, необходимо лишь всюду вместо абсолютной величины писать модуль комплексного числа.

Пусть функция $w=f(z)$ определена и однозначна в некоторой окрестности $z_0$, исключая, может быть, саму точку $z_0$.

Конечная точка $A=a+\mathbf i b$ называется пределом функции $w=f(z)=u(x,y)+\mathbf i v(x,y)$ при $z\to z_0=x_0+\mathbf i y_0$, если действительные функции $u(x,y)$, $v(x,y)$ двух переменных $x$, $y$ стремятся соответственно к пределам $a$ и $b$ при $x\to x_0$, $y\to y_0$ $$ \lim\limits_<(x,y)\to(x_0,y_0)>u(x,y) = a, \quad \lim\limits_<(x,y)\to(x_0,y_0)>v(x,y) = b. $$ В этом случае пишут $\lim\limits_f(z)=A=a+\mathbf i b$.

Предел функции не должен зависеть от способа стремления $z$ к $z_0$.

Для комплексных функций имеют место свойства, аналогичные соответствующим свойствам для пределов вещественных функций. Если для двух функций $w_1(z)$ и $w_2(z)$ существуют пределы $B_1=\lim\limits_w_1(z)\neq\infty$, $B_2=\lim\limits_w_2(z)\neq0, \neq\infty$, то существуют пределы: \begin \begin &\lim\limits_(w_1(z)\pm w_2(z))=B_1\pm B_2,\\ &\lim\limits_(w_1(z)\cdot w_2(z))=B_1\cdot B_2,\\ &\lim\limits_\frac=\frac.\\ \end \end

Определение предела можно сформулировать также с помощью понятия окрестности (по Коши):

Если функция $w=f(z)$ определена в некоторой окрестности точки $z_0$ (но не обязательно в самой точке $z_0$) и если для любого $\varepsilon>0$ можно указать такое $\delta(\varepsilon)>0$, что как только точка $z$ попадет в $\delta$–окрестность точки $z_0$: $|z-z_0| 1) , определяем, что $u_x =3x^2-3y^2$, $v_x =6xy$, и, следовательно, сама $$ f'(z)=3x^2-3y^2+6\mathbf i xy=3(x^2+2\mathbf i xy-y^2)=3(x+\mathbf i y)^2=3z^2. $$

О т в е т: $f'(z)=3z^2.$

Аналитические функции

Функция $f(z)$ называется аналитической (или голоморфной, или регулярной) в конечной точке $z_0$, если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки

Функция $f(z)$ однозначная и дифференцируемая в каждой точке области $D$ называется аналитической (иначе регулярной или голоморфной) в этой области.

Точки плоскости $z$, в которых однозначная функция $f(z)$ аналитична, называются правильными точками $f(z)$. Точки, в которых функция $f(z)$ не является аналитической, называются особыми точками этой функции.

Из определений видно, что понятие аналитичности и дифференцируемости в области совпадают,
в то время как условие аналитичности в точке является более жестким, чем условие дифференцируемости в точке.

Пример 1. Аналитической функцией является полином $$ P_n(z)=a_0z^n+a_1z^+\ldots+a_z+a_n,\quad a_0,a_1,\dots,a_n \in \mathbb C_<>, $$ так как он имеет производные во всех точках комплексной плоскости $z$.

Пример 2. Рациональная функция $$ R(z)=\frac, \quad P(z) \mbox < и >Q(z) \mbox< - полиномы>,$$ имеет производную в каждой точке, где $Q(z)\ne 0$. Поэтому $R(z)$ аналитична в области, полученной из плоскости $z$ удалением (выкалыванием) конечного числа точек, в которых $Q(z)=0$.

Пример 3. Функция $f(z)=z\cdot\bar$ не является аналитической ни в одной точке комплексной области. Условия Коши-Римана выполняются только в точке $z=0$, следовательно функция является дифференцируемой только в одной точке и не дифференцируема в окрестности этой точки.

Функция аналитическая во всей комплексной плоскости $ \mathbb C_<> $ называется целой функцией. Например, целыми являются функции $w=e^z$, $w=\mbox\,z$, $w=\mbox\,z$, $w=\mbox\,z$, $w=\mbox\,z$, $w=z^n$, $w=P_n(z)$.

Связь аналитических функций с гармоническими

Пусть дана функция $f(z)=u(x,y) + \mathbf i v(x,y)$, аналитическая в некоторой области $D$. Тогда во всех точках области $D$ функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ удовлетворяют условиям Коши-Римана.

Выясним, любая ли функция двух переменных $x$ и $y$ может служить вещественной или мнимой частями некоторой аналитической функции.

Дифференцируя снова первое из условий по $y$, а второе по

Видим, что функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ должны удовлетворять одному и тому же дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка, называемому уравнением Лапласа.

Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями.

Функции $\varphi_1(x,y)$, $\varphi_2(x,y)$ удовлетворяющие уравнению Лапласа и условиям Коши-Римана называются взаимно сопряженными.

Итак, вещественная и мнимая часть аналитической функции являются сопряженными гармоническими функциями.

Гармонические функции встречаются во многих задачах физики и механики. Так, например, температура однородной пластинки, находящейся в тепловом равновесии, электрический потенциал плоского проводника, потенциал скоростей плоского установившегося потока однородной, несжимаемой жидкости и т.д. являются гармоническими функциями декартовых координат $x$ и $y$, т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа, в соответствующих областях.

При решении многих задач механики и физики вместо того, чтобы искать гармонические функции и оперировать с ними, ищут аналитические функции, вещественными или мнимыми частями которых являются эти гармонические функции.

Восстановление аналитической функции по ее вещественной или мнимой части

Мы всегда можем построить аналитическую функцию (с точностью до постоянного множителя), для которой данная гармоническая функция является или действительной, или мнимой частью. Другую часть (мнимую или действительную) можно восстановить из условий Коши-Римана. Рассмотрим пример восстановления аналитической функции по ее заданной вещественной части, а потом запишем решение подобной задачи в общем виде.

Рассмотрим задачу: Восстановить аналитическую функцию $w=f(z)$, для которой данная функция $u=x^2-y^2+2x$ является вещественной частью.

1. Прежде всего надо помнить, что вещественная $u(x,y)$ и мнимая $v(x,y)$ части аналитической функции должны быть гармоническими, т.е. удовлетворять уравнению Лапласа.

2. Теперь найдем $v(x,y)$, используя условия Коши-Римана. $$ \frac<\partial u><\partial x>=\frac<\partial v> <\partial y>\,\, \Rightarrow $$ $$ v=\int\frac<\partial u> <\partial x>dy = 2xy+2y+C(x). $$ $$ \frac<\partial u><\partial y>=-\frac<\partial v> <\partial x>\,\, \Rightarrow $$ $$ -2y=-(2y+C'(x)) \,\, \Rightarrow C(x)=C_1\in \mathbb R_<>. $$ $$ v=2xy+2y+C_1. $$ $$ f(z)=u+\mathbf i y = x^2-y^2+2x +\mathbf i (2xy+2y+C_1)=z^2+2z+\mathbf i C_1. $$

Запишем решение задачи восстановления аналитической функции в общем виде.

Пусть дана гармоническая функция $u(x,y)$. Требуется найти $v(x,y)$, $f(z)=u+\mathbf i v$. Запишем условия Коши-Римана: $$ \frac<\partial v><\partial x>=-\frac<\partial u><\partial y>=P(x,y),\quad \frac<\partial v><\partial y>=\frac<\partial u><\partial x>=Q(x,y). $$ Составим полный дифференциал функции $v$: $$ dv=\frac<\partial v><\partial x>dx+\frac<\partial v><\partial y>dy=P(x,y)dx+Q(x,y)dy. $$ Он является полным, если $P’_y=Q’_x$, то есть $\displaystyle\frac<\partial^2 u><\partial x^2>+\frac<\partial^2 u><\partial y^2>=0$, что выполнено, так как данная функция $u(x,y)$ является гармонической. Тогда $$ v=\int\limits_<(x_0,y_0)>^ <(x,y)>P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C, $$

$$ (x_0,y_0)\in D, \quad (x,y)\in D, $$ $$ f(z)=u(x,y)+\mathbf i v(x,y). $$ Так как дифференциал $dv$ — полный, то интеграл $\int\limits_<(x_0,y_0)>^ <(x,y)>Pdx+dy$ не зависит от пути интегрирования, если $D$ — односвязная область. При вычислении такого криволинейного интеграла удобно идти параллельно координатным осям. Например, сначала от точки $(x_0,y_0)$ вдоль оси $x$ до точки $(x,y_0)$, потом вдоль оси $y$ до точки $(x,y)$: $$ v(x,y)=\int\limits_^x P(x,y_0)dx+\int\limits_^y Q(x,y)dy +C= $$ $$ =-\int\limits_^x\frac<\partial u><\partial y>dx+\int\limits_^y \frac<\partial u><\partial x>dy +C. $$

Если дана гармоническая функция $v(x,y)$ и требуется найти аналитическую функцию $f(z)=u+\mathbf i v$, аналогично придем к криволинейному интегралу: $$ u(x,y)=\int\limits_<(x_0,y_0)>^<(x,y)>\frac<\partial v><\partial y>dx-\frac<\partial v><\partial x>dy +C. $$

Римановы поверхности

Риман предложил рассматривать многозначные функции комплексного переменного как однозначные функции на некоторых многолистных поверхностях.

Условия Коши-Римана

Вы будете перенаправлены на Автор24

Рассмотрим некоторую комплексную величину $w$, которая задается выражением $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ — действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.

Данная величина является комплексной функцией вещественного переменного.

Функция $w(z)$ называется аналитической в некоторой точке z, если данная функция дифференцируема в некоторой окрестности данной точки z.

Функция называется аналитической в некоторой области D, если она является аналитической в каждой точке данной области.

Пусть функции $u(x),\, \, \, v(x)$ являются дифференцируемыми.

Выражение $w_ ‘=u’_ (x,y)+i\cdot v’_ (x,y)$ называется производной комплексной функции действительного переменного по действительному аргументу$x$.

Аналогично определяется производная по действительному аргументу$y$.

Вычислить производные комплексной функции действительного переменного $x$ и $y$:

Для вычисления производной воспользуемся следующей формулами:

1) Для функции $w=(3x+2)+(x^ <3>+2y)\cdot i$ получаем:

\[w_ ‘=(3x+2)_ ‘+(x^ <3>+2y)_ ‘\cdot i=3+3x^ <2>\cdot i;\] \[w_ ‘=(3x+2)_ ‘+(x^ <3>+2y)_ ‘\cdot i=0+2\cdot i=2\cdot i.\]

2) Для функции $w=(x+e^ )+(3y^ <2>+\ln x)\cdot i$ получаем:

Для того чтобы некоторая функция $w(z)$ являлась дифференцируемой в некоторой точке $z_ <0>=x_ <0>+y_ <0>\cdot i$, необходимо и достаточно, чтобы $u(x,y)$ и $v(x,y)$ являлись дифференцируемыми в точке $(x_ <0>;y_ <0>)$ и выполнялись следующие условия:

Данные условия называются условиями Коши-Римана.

Готовые работы на аналогичную тему

Условия Коши-Римана являются соотношениями, которые связывают вещественную и мнимую части дифференцируемой функции $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$, где $u(x,y),\, \, \, v(x,y)$ — действительные функции вещественного переменного, $z=x+yi$.

Для заданной функции комплексной переменной выполнить следующие действия:

• выделить действительную и мнимую части функции;
• найти область аналитической функции;
• вычислить значение производной функции в заданной точке $z_ <0>$. \[w=e^ <1-2iz>,z_ <0>=\frac<\pi ><6>\]

Выделим действительную и мнимую части функции. Положим $z=x+yi$ и получим:

Следовательно, $u(x,y)=e^ <1+2y>\cdot \cos (-2x);\, \, \, \, v(x,y)=e^ <1+2y>\cdot \sin (-2x)$ — искомые действительная и мнимая части функции.

Условия Коши-Римана выполняются для любых действительных $x,y$. Следовательно, функция является аналитической для любых действительных $x,y$.

Найдем производную функции и вычислим значение производной функции в заданной точке $z_ <0>=\frac<\pi > <6>$.

Производная функции имеет вид:

Вычислим значение производной функции в заданной точке

На практике можно встретить следующие задачи.

По заданной действительной части $u(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $v(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.

Алгоритм решения задачи 1 будет следующим:

• найти мнимую часть с помощью условий Коши-Римана;
• составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
• выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline=x-yi$.

По заданной мнимой части $v(x,y)$ некоторой функции комплексной переменной $w(z)$ необходимо найти мнимую часть $u(x,y)$ данной функции. Восстановить функцию $w(z)$ по известным действительной и мнимой частям.

Алгоритм решения задачи 2 будет следующим:

• найти действительную часть с помощью условий Коши-Римана;
• составить функцию $w(z)=u(x,y)+v(x,y)\cdot i$;
• выполнить преобразования и выделить переменную $z=x+yi$ или $\overline=x-yi$.

При решении практических задач могут пригодиться следующие соотношения:

Операция деления на мнимую единицу $i$ равносильна операции умножения на $-i$.

По действительной части $u(x,y)=-x^ <2>+y^ <2>-5y$ некоторой функции комплексной переменной восстановить ее мнимую часть $v(x,y)$ и восстановить данную функцию, при этом функция удовлетворяет начальному условию $w(0)=0$.

Найдем мнимую часть $v(x,y)$ искомой функции $w(z)$. Воспользуемся первым условием Коши-Римана:

Подставим исходные значения и получим:

Найдем неизвестную функцию $\phi (x)$.

Воспользуемся вторым условием Коши-Римана:

Мнимая часть искомой функции $w(z)$ восстановлена, тогда можем записать саму функцию:

Преобразуем полученное выражение:

Используя начальное условие $w(0)=0$, найдём значение константы $C$.

\[w(0)=0=-0^ <2>+5\cdot 0\cdot i+Ci=Ci\Rightarrow C=0\]

Следовательно, искомая функция имеет вид:

Мнимая часть функции примет вид:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 13 11 2021