Уравнение косинус умножить на синус

Произведение синусов и косинусов: формулы, примеры

В данной статье рассмотрены формулы произведения синусов, косинусов, а также формулы произведения синуса на косинус. Допустим, есть необходимость вычислить произведение синусов или косинусов углов α и β . Формулы произведения позволяют перейти от произведения к сумме или разности синусов и косинусов углов α + β и α — β .

Приведем формулы произведения синуса на синус, косинуса на косинус и синуса на косинус.

Формулы произведения. Список

Приведем формулировки, а затем и сами формулы.

1. Произведение синусов углов α и β равно полуразности косинуса угла α — β и косинуса угла α + β .
2. Произведение косинусов углов α и β равно полусумме косинуса угла α — β и косинуса угла α + β .
3. Произведение синуса угла α на косинус угла β равно полусумме синуса угла α — β и синуса угла α + β .

Формулы произведения

Для любых α и β справедливы формулы

• sin α · sin β = 1 2 cos α — β — cos α + β ;
• cos α · cos β = 1 2 cos α — β + cos α + β ;
• sin α · cos β = 1 2 sin α — β + sin α + β .

Вывод формул

Вывод описанных выше формул проводится с помощью формул сложения и на основе свойства равенства. Согласно этому свойству, если левую и правую части верного равенства сложить соответственно с левой и правой частями другого верного равенста, то в результате получится еще одно верное равенство. Покажем вывод формул произведения.

Сначала запишем формулы косинуса суммы и косинуса разности:

cos α + β = cos α · cos β — sin α · sin β cos α — β = cos α · cos β + sin α · sin β

Сложим эти равенства и получим:

cos α + β + cos α — β = cos α · cos β — sin α · sin β + cos α · cos β + sin α · sin β cos α + β + cos α — β = 2 · cos α · cos β

cos α · cos β = 1 2 cos α + β + cos α — β

Формула произведения косинусов доказана.

Перепишем формулу косинуса суммы следующим образом:

— cos ( α + β ) = — cos α · cos β + sin α · sin β

Добавим к равенству формулу cos α — β = cos α · cos β + sin α · sin β .

— cos ( α + β ) + cos α — β = — cos α · cos β + sin α · sin β + cos α · cos β + sin α · sin β — cos ( α + β ) + cos α — β = 2 · sin α · sin β sin α · sin β = 1 2 ( cos α — β — cos ( α + β ) )

Таким образом, выведена формула произведения синусов.

Теперь возьмем формулу синуса суммы, формулу синуса разности, и сложим их левые и правые части

sin α + β = sin α · cos β + cos α · sin β sin α — β = sin α · cos β — cos α · sin β sin α + β + sin α — β = sin α · cos β + cos α · sin β + sin α · cos β — cos α · sin β sin α + β + sin α — β = 2 sin α · cos β sin α · cos β = 1 2 ( sin α + β + sin α — β )

Формула произведения синуса на косинус выведена.

Примеры использования

Приведем примеры использования формул произведения синусов, косинусов и синусов на косинус при решении задач.

Пусть α = 60 ° , β = 30 ° . Возьмем формулу произведения синусов и подставим в нее конкретные значения.

sin α · sin β = 1 2 ( cos α — β — cos α + β ) sin 60 ° · sin 30 ° = 1 2 ( cos 60 ° — 30 ° — cos 60 ° + 30 ° ) sin 60 ° · sin 30 ° = 1 2 ( cos 30 ° — cos 90 ° ) sin 60 ° · sin 30 ° = 1 2 ( 3 2 — 0 ) = 3 4

Теперь вычислим значение выражения, обратившись к таблице основных значений тригонометрических функций.

sin 60 ° · sin 30 ° = 3 2 · 1 2 = 3 4 .

Таким образом, мы проверили формулу на практике и убедились, что формула справедлива.

Пример. Формулы произведения

Нужно sin 75 ° умножить на cos 15 ° и вычислить точное значение произведения.

Мы не располагаем точными значениями синуса и косинуса данных углов, однако можем вычислить точное значение произведения sin 75 ° · cos 15 ° c помощью формулы произведения синуса на косинус.

sin 75 ° · cos 15 ° = 1 2 sin ( 75 ° — 15 ° + sin ( 75 ° + 15 ° ) ) sin 75 ° · cos 15 ° = 1 2 sin 60 ° + sin 90 ° = 1 2 3 2 + 1 = 3 + 2 4

Также формулы произведения используются преобразования тригонометрических выражений.

Произведение синусов и косинусов

Время чтения: 16

Формула произведения косинуса, синуса используется в школьной алгебре для обучения школьников, а также в математическом анализе в расчетах.

В этой статье разберем важные формулы для понятия тригонометрии: умножение косинусов и синусов, другие формулы, связанные с произведением двух алгебраических функций.

Теоремы умножения синусов и косинусов для α и β помогают превратиться из произведения в разность, сумму других углов.

Появилась необходимость, чтобы найти произведение косинусов, синусов углов α и <>, поэтому стоит изучить данную статью.

Данные формулы помогают преобразовать выражение от произведения к разности, сумме синусов и косинусов α−β и α+β.

Рассмотрим и выведем формулы синуса на синус, произведение синусов и косинусов. Также ниже разберем примерные задания с использованием формул.

Тригонометрические формулы произведения

Рассмотрим формулировки, формулы произведений. В независимости какими значениями обладают углы α и β или какие греческие буквы используются вместо обозначений α и β, применяются данные формулы и вычисляют с помощью них.

Произведение синусов формула

Произведение sin угла α и sin угла β будет равно половине разности косинуса угла (α−β) и (α+β).

Произведение косинусов формула

Произведение cos угла α и cos угла β равно половине сумме косинуса угла (α-β) и (α+β).

Произведение синусов и косинусов формулы

Произведение синуса угла α на косинус угла β равно половине сумме синуса угла (α-β) и синуса угла (α+β).

Выведение тригонометрических формул

Для выведения формул, которые расположены выше, используется формулы сложения функций cos и sin, а также свойства равенства. В свойстве подразумевается, что если просуммировать правую и левую часть правильного равенства с другим таким же верным равенством, образуется новое правильное равенство.

Произведение косинусов

Приведем подробный вывод изучаемых формул

Для этого возьмем формулы косинуса разности и суммы:

Далее, с каждой стороны проведем сложение двух формул. Получается следующее:

Одинаковые слагаемые складываем: \[\cos \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \cos \beta=2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta\]

Разноименные слагаемые отнимаем: \[-\sin \alpha \cdot \sin \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta=0\]

Следовательно, \[\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)=2 \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta\]

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2 , меняем местами слагаемые.

Получается следующее выражение \[\cos \alpha \cdot \cos \beta=\frac<1><2>(\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta))\]

Мы доказали формулу умножения cos одного угла на cos другого угла.

Произведение синусов

Теперь докажем следующую. Распишем формулу суммы косинусов так:

Прибавим к данному равенству \[\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta+\sin \alpha \cdot \sin \beta\]

Слагаемые одноименными знаками и функциями сложим, разноименные — вычтем, преобразуем выражение:

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2, меняем местами слагаемые.

Мы вывели формулу умножения синуса одного аргумента на синус другого аргумента.

Произведение синуса на косинус

Сделаем вывод формулы произведения синуса и косинуса разных аргументов. Теперь воспользуемся формулой суммы и разности функций sin. Складываем и правую, и левую часть выражений:

Слагаемые одноименными знаками и функциями сложим, разноименные — вычтем, преобразуем выражение:

В данном равенстве делим правую, левую часть на 2 , меняем местами слагаемые.

Мы вывели формулу произведения синуса на косинус.

Примеры задач

Рассмотрим и решим задания с применением формул произведения косинусов (cos), синусов (sin), синусов на косинусы (cos и sin). Произведение синуса и косинуса примеры решения рассматриваются для того, чтобы ясно представлять использование данных формул для определенных углов.

Сначала сделаем проверку на справедливость формулы умножение функции sin одного угла на sin другого угла.

Пример 1

Пусть углы будут равны: α=60°,β=30°.

Решение:

Используем выведенную формулу синусов, и в нее подставим предоставленные значения из нашего задания:

Подставим конкретные значения из таблицы тригонометрических функций и вычислим, запишем ответ:

Таким образом, сделали проверку выведенной формулы на практике, а также стало ясно, что она верна.

Решение тригонометрических уравнений

Данный калькулятор предназначен для решения тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это уравнения, которые содержат в себе тригонометрические функции неизвестного аргумента. Под тригонометрическими функциями понимают математические функции от величины угла. Как правило, тригонометрические функции определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определенных отрезков в единичной окружности.

К основным видам тригонометрических уравнений относят простейшие уравнения, содержащие модуль, с параметрами, с целой и дробной частью, со сложными аргументами, с обратными тригонометрическими функциями.

С помощью калькулятора можно вычислить корни тригонометрического уравнения.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.