Уравнение которое имеет бесконечно много решения

Уравнения с бесконечным количеством корней

В каком случае уравнение ax = b имеет единственный корень; имеет бесконечно много корней; не имеет корней? Приведите примеры.

Решение

Линейное уравнение ax = b при a ≠ 0 имеет один корень, при a = 0 и b ≠ 0, не имеет корней, при a = 0 и b = 0 имеет бесконечно много корней (любое число является его корнем).

Примеры:
15 x = 30 − один корень;
0 x = 4 − не имеет корней;
0 x = 0 − имеет бесконечно много корней.

Нашли ошибку?

Если Вы нашли ошибку, неточность или просто не согласны с ответом, пожалуйста сообщите нам об этом

1. Линейное уравнение. Приведите Примеры линейных уравнений, имеющих один корень, бесконечно много корней и не имеющих корней.

• Попроси больше объяснений
• Следить
• Отметить нарушение

Что ты хочешь узнать?

Ответ

Проверено экспертом

один корень имеют например

5х=6, или 10х=20, или 5х-4=1 или 9х-7=2 и т.д.

бесконечно много корней имеют например 0х=0; 2(5х+6)=10х+12, или 5х-3х-2х=7-4-3

не имеющие корни например 0х=4 или 2х+5=2х+6 и т.д.

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня ­­– три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.

Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня – 2 , 1 и 5 , то пишем – 2 , 1 , 5 или .

Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых ­– Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .

Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.

Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.

Поясним определение на примерах.

Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.

Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .

На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.

Как вы можете определить, имеет ли уравнение бесконечно много решений? — Алгебра — 2022

Ответ:

Объяснение:

Вот несколько возможностей:

Уравнение упрощается до такой степени, что оно больше не содержит переменную, но выражает истинное уравнение, например, #0 = 0# , Например: # 2x + 2 = 2 (x + 1) # упрощает таким образом.

Уравнение имеет идентифицируемое решение и носит периодический характер. Например: # tan ^ 2 x + tan x — 5 = 0 # имеет бесконечно много решений, так как #tan x # имеет период #число Пи# .

Уравнение имеет кусочный характер и упрощается в течение по меньшей мере одного из интервалов до истинного уравнения без переменных. Например: #abs (x + 1) + abs (x-1) = 2 # что упрощает соответственно для #x в -1, 1 # .

Уравнение имеет более одной переменной и не приводит к уникальности. Например: # Х ^ 2 + у ^ 2 = 1 # имеет бесконечно много решений, но # Х ^ 2 + у ^ 2 = 0 # имеет одно решение (при условии #x, y в RR # ).

Обратите внимание, что может быть чрезвычайно трудно определить число решений в случае диофантовых уравнений — уравнений, где значения переменных ограничены целыми числами или положительными целыми числами.

Например, Эйлер предположил, что уравнение:

не было нетривиальных решений, но Ноам Элкис нашел его в 1988 году, следовательно, существует бесконечное число нетривиальных решений, поскольку любое решение может быть умножено на четвертую степень.

Что такое линейное уравнение

Что такое линейное уравнение? Что называется корнем линейного уравнения? Сколько корней имеет линейное уравнение? Что значить решить линейное уравнение?

В курсе алгебры 7 класса линейное уравнение определяется следующим образом.

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.

Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:

Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятёрок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).

В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).

При a=0, b≠0 линейное уравнение

При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.

При a=0, b=0 линейное уравнение

имеет бесконечное множество решений.

При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.

Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.