Уравнение которое можно решить методом лагранжа неопределенных коэффициентов

Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа

Метод Лагранжа (вариация постоянных)

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка, также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений. Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь – произвольные постоянные; – n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения:
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем – члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь – уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a_i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Далее рассмотрены примеры решения уравнений методом Лагранжа.

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Решение примеров > > >

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 05-08-2013 Изменено: 22-06-2017

Метод множителей Лагранжа

Приведенные выше условия оптимальности (теорема 5), лежат в основе метода множителей Лагранжа. который позволяет свести решение задачи (8) – (9) к решению задачи безусловной оптимизации ее функции Лагранжа. Для этого следует выполнить следующие действия.

1. Составить функцию Лагранжа по формуле (10).

2. Найти стационарные точки функции Лагранжа. Для этого нужно выписать частные производные по всем переменным x_j и λ_i и приравнять их к нулю. Получается система n + m уравнений, представленная формулами (11) – (12). Все ее решения являются стационарными точками функции Лагранжа.

3. Любое решение (x * , λ * ) системы (11) – (12) определяет точку x * , которая может быть локальным оптимумом ЦФ в задаче (8) – (9). Поэтому, найдя все решения системы (11) – (12), мы получим все точки, в которых ЦФ может иметь локальный оптимум.

4. Среди этих точек после дополнительного анализа отбираются такие, которые действительно являются точками локального оптимума. После сравнения значений ЦФ в этих точках находится точка, являющаяся глобальным оптимумом.

Следует иметь в виду, что если (х * , λ * ) — стационарная точка функции Лагранжа, то не обязательно точка х * — локальный оптимум задачи (8) – (9). Это верно лишь тогда, когда исходная задача является задачей ВП. Более того, в этом случае х * — точка глобального оптимума этой задачи. Справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Предположим, что задача (8) – (9) является задачей ВП, т.е. все ее ограничения линейные и ищется минимум выпуклой (максимум вогнутой) функции. Тогда, если (х * , λ * ) — решение системы (11) – (12), то х * — точка глобального оптимума задачи (8) – (9).

Обобщенный метод множителей Лагранжа.

g₁(x₁,…, x_n) = b₁.
Для ее решения используется метод множителей Лагранжа. Выписывается функция Лагранжа

L(x₁,…, x_n, λ) = f(x₁,…, x_n) + λ(b₁ – g₁ (x₁,…, x_n))
и решается система уравнений, определяющая стационарные точки этой функции:

Если в результате получен вектор решения (x₁*, . , x_n*, λ*) такой, что вектор (x₁*, . , x_n*) допустим в исходной задаче и λ * ≥ 0, то это означает, что (x₁*, . , x_n*) — искомая точка оптимума. Если же оказалось, что λ * Пример . Исследовать точки на экстремум Z=x₁²+x₂²; x₁+x₂=1
Составим функцию Лагранжа: L(x₁, x₂, λ) = x₁²+x₂² + λ(1-x₁-x₂)
Составим необходимые условия существования экстремума

Чтобы оценить, является ли точка экстремальной и какой экстремум она дает, обратимся к достаточному условию существования экстремума функции двух переменных (условию Лежандра-Клебша.
Составим определитель


Рис. 2 — Графическое решение
Так как d 2 Z(X*) ⁄ dx₁ 2 >0 и Δ>0_, то в точке X*(½; ½) функция Z достигает минимальное значение. Графическое решение (рис. 2) показывает, что максимальное значение Z_max=1 достигается в точках (x₁=1; x₂=0) и (x₁=0; x₂=1) Таким образом, если бы исходная задача в примере ставилась бы на отыскание максимума, то с помощью решения системы уравнений необходимых условий существования экстремума мы точку максимума бы не определили. Требуется иной подход, который рассмотрим ниже в других разделах.

ЛДУ с переменными коэффициентами. Метод Лагранжа

Линейные дифференциальные уравнения с переменные коэффициентами

Если известно частное решение уравнения

то его порядок можно понизить на единицу (не нарушая линейности уравнения), полагая , где — новая неизвестная функция, а затем делая замену (можно непосредственно делать замену ).

Если известно частных линейно независимых решений уравнения (32), то порядок уравнения может быть понижен на единиц.

Общее решение уравнения

есть сумма какого-нибудь его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения (32).

Если известна фундаментальная система соответствующего однородного уравнения (32), то общее решение неоднородного уравнения (33) может быть найдено методом вариации постоянных ( метод Лагранжа ).

Общее решение уравнения (32) имеет вид

где — произвольные постоянные.

Будем искать решение уравнения (33) в виде

где — некоторые пока неизвестные функции от . Для их определения получаем систему

Разрешая эту систему относительно , получаем

где — произвольные постоянные. Внося найденные значения в (34), получаем общее решения уравнения (33).

В частности, для уравнения второго порядка

Решая (36) относительно и , получаем

где и — постоянные интегрирования.

Замечание. Для уравнения , где , система (36) будет выглядеть так:

Пример 1. Найти общее решение уравнения , если есть его частное решение.

Решение. Положим , где — новая неизвестная функция от , тогда

Подставляя в данное уравнение, получаем

Но так как есть частное решение данного уравнения, то , поэтому имеем

Но , а значит , и уравнение (37) примет вид

Перепишем его в виде . Отсюда имеем , откуда

Интегрируя это уравнение, найдем и, следовательно, общее решение данного уравнения будет

Пример 2. Найти общее решение уравнения .

Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. пример 1)

и следовательно, его фундаментальная система решений будет

Будем искать общее решение данного уравнения методом вариации произвольных постоянных:

где — постоянные неизвестные функции от , подлежащие определению. Для их нахождения составим следующую систему:

Отсюда находим: . Интегрируя, получаем

Подставляя эти значения и в выражение для , найдем общее решение данного уравнения

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Соответствующее однородное уравнение будет . Его характеристическое уравнение имеет мнимые корни , и общее решение однородного уравнения имеет вид

Общее решение исходного уравнения ищем в виде

где и — неизвестные функции от . Для их нахождения составим систему

Разрешаем эту систему относительно и :

Подставляя выражения и в (38), получаем общее решение данного уравнения

Здесь есть частное решение исходного неоднородного уравнения.

Пример 4. Зная фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения, найти частное решение уравнения

Решение. Применяя метод вариации постоянных, находим общее решение уравнения (39):

При первые два слагаемых правой части (40) стремятся к бесконечности, причем при любых , неравных нулю одновременно, функция есть бесконечно большая функция при . Третье слагаемое правой части (40) имеет пределом ноль при , что легко установить с помощью правила Лопиталя. Таким образом, функция , которая получается из (40) при и , будет решением уравнения (39), удовлетворяющим условию .

Составление дифференциального уравнения по заданной фундаментальной системе решений

Рассмотрим линейно независимую на отрезке систему функций

имеющих все производные до n-го порядка включительно. Тогда уравнение

где — неизвестная функция, будет линейным дифференциальным уравнением, для которого, как нетрудно видеть, функции составляют фундаментальную систему решений. Коэффициент при в (42) есть определитель Вронского системы (41). Те точки, в которых этот определитель обращается в ноль, будут особыми точками построенного уравнения — в этих точках обращается в ноль коэффициент при старшей производной .

Пример 1. Составить дифференциальное уравнение, для которого образуют фундаментальную систему решений.

Решение. Применяя формулу (42), получаем

Раскрывая определитель в левой части (43) по элементам третьего столбца, будем иметь . Это и есть искомое дифференциальное уравнение.

Пример 2. Составить дифференциальное уравнение, для которого функции фундаментальную систему решений образуют функции .

Решение. Составим уравнение вида (42):

Раскрывая последний определитель по элементам 3-го столбца, будем иметь

В этом примере определитель Вронского обращается в ноль при . Это не противоречит общей теории, в силу которой определитель Вронского фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения

с непрерывными на отрезке коэффициентами не обращается в ноль ни в одной точке отрезка . Записав уравнение (44) в виде

видим, что коэффициент при терпит разрыв при , так что в точке непрерывность коэффициентов уравнения (45) нарушается.

Разные задачи

Пусть — фундаментальная система линейного однородного уравнения

Тогда имеет место формула Остроградского–Лиувилля

где — определитель Вронского, а — любое значение из отрезка , на котором непрерывны коэффициенты уравнения.

Пример 1. Показать, что линейное дифференциальное уравнение имеет решение вида , где — некоторый многочлен. Показать, что второе решение этого уравнения имеет вид , где — также многочлен.

Решение. Будем искать решение в виде многочлена, например, первой степени: . Подставляя в уравнение, найдем, что . Пусть , тогда ;. таким образом, многочлен будет решением данного уравнения. Перепишем данное уравнение в виде

Пусть — второе частное решение данного уравнения, линейно независимое с первым. Находим определитель Вронского системы решений

здесь . Применяя формулу Остроградского–Лиувилля, будем иметь

где — любое значение , причем , или ; здесь . Для нахождения получили линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Деля обе части этого уравнения на , приведем его к виду