Уравнение которые есть на гиа

Необходимый теоретический материал для успешной сдачи ОГЭ-9 по математике для учеников разной подготовленности

Класс: 9

Ключевые слова: математика , ОГЭ

1. Углы

Вертикальные углы равны (на рис. 1 и 3; 6 и 8 и др.).

Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. (на рис. 4 и 6; 1 и 7).

Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180˚ (на рис. 4 и 7; 1 и 6).

Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны. (на рис. 3 и 7; 1 и 5 и др.).

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна третьей прямой.

2. Медиана, биссектриса, высота

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

Высота треугольника – перпендикуляр опущенный из вершины угла на противоположную сторону.

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

В любом треугольники все биссектрисы пересекаются в одной точке, все медианы пересекаются в одной точке, все медианы пересекаются в одной точке.

3. Треугольник

Сумма углов в любом треугольнике 180˚.

Средняя линия треугольника – прямая проходящая через середины двух сторон. Средняя линия параллельна одной из сторон и равна половине этой стороны.

Виды треугольников: тупоугольный (один угол тупой), прямоугольный (один угол прямой 90˚), остроугольный (все углы острые, меньше 90˚).

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого равны две стороны.

Свойства равнобедренного треугольника:

• в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
• в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;

Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. (все углы по 60 градусов)

Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий равнобедренный — равносторонним.

Три признака равенства треугольников

I признак по двум сторонам и углу между ними

II признак (по стороне и прилежащим углам)

III признак (по трем сторонам)

Признаки подобия треугольников

I признак по двум равным углам

II признак по двум пропорциональным сторонам и углу между ними

III признак по трем пропорциональным сторонам

Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате.

Объемы подобных фигур относятся как коэффициент подобия в кубе.

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.

Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой. (самая большая сторона это гипотенуза, две др катеты).

Свойства прямоугольного треугольника

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

Катет, лежащий против угла в 30˚, равен половине гипотенузы.

Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c².

Пифагоровы тройки:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

• По двум катетам.
• По гипотенузе и катету.
• По катету и прилежащему острому углу.
• По катету и противолежащему острому углу.
• По гипотенузе и острому углу.

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

• По острому углу.
• По пропорциональности двух катетов.
• По пропорциональности катета и гипотенузы.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному.

Высота прямоугольного треугольника: h=ab/c или h = (где АВ гипотенуза, СЕ высота опущенная на гипотенузу).

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: m=c/2 (R=​с/2=m​c).

3. Четырехугольники

Сумма углов в любом четырехугольнике 360˚.

Параллелограмм

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка.

Квадрат.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями: .

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

У равнобокой трапеции: диагонали равны; углы при основании равны; сумма противолежащих углов равна 180.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: d² = ab+c².

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

4. Окружность

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности называется радиусом (r) окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. Касательная и радиус проведенный в точку касания пересекаются под прямым углом.

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Центральный угол окружности – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен дуге на которую он опирается.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Вписанный угол равен половине дуги на которую опирается.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90˚.

Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу равны.

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

5. Формулы площадей

Что нужно знать про ОГЭ по математике

Структура экзамена, советы по решению задач и важные разделы курсов алгебры и геометрии

Как устроен экзамен

Задания. В ОГЭ по математике 26 заданий.

1–20 → часть 1, задания с кратким ответом. От вас требуется решить задачу и записать ответ в соответствующем поле на бланке, способ решения при этом приводить не нужно. В трёх заданиях ответ представляет собой номер верного варианта, а в остальных семнадцати — число или последовательность цифр.

21–26 → часть 2, задания с развёрнутым ответом. Здесь нужно не только дать ответ, но и расписать весь ход рассуждений.

Разделы курса. На ОГЭ по математике проверяют знания по алгебре и геометрии за 7–9 классы. Каждому разделу соответствует определённое количество заданий с кратким ответом.

Числа и вычисления (3 задания)

Алгебраические выражения (3 задания)

Уравнения и неравенства (2 задания)

Числовые последовательности (1 задание)

Функции и графики (2 задания)

Статистика и теория вероятностей (3 задания)

Определите свой уровень знаний, чтобы максимально эффективно подготовиться к экзамену

Геометрические фигуры и их свойства (1 задание)

Треугольник (1 задание)

Многоугольники (1 задание)

Окружность и круг (1 задание)

Измерение геометрических величин (2 задания)

Время. Экзамен длится 3 часа 55 минут. На решение задач из первой части, более лёгких, нужно выделить примерно 1,5 часа. Оставшееся время займёт решение задач из второй части и их подробная запись.

Что нужно уметь

• Делать вычисления
• Выполнять преобразования алгебраических выражений
• Решать уравнения, неравенства и их системы
• Строить и читать графики
• Выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
• Описывать реальные ситуации на языке геометрии
• Логически рассуждать, приводить доказательства и находить неверные заключения
• Решать алгебраические и геометрические задачи, используя знания из разных разделов курса
• Математически грамотно и обоснованно записывать решение в заданиях с развёрнутым ответом

Подробную информацию о требованиях к сдаче экзамена, проверяемых разделах курса и уровне сложности заданий смотрите в спецификации за 2019 год.

Как оценивается работа

1 балл → задания 1–20

2 балла → задания 21–26

Чтобы получить 2 балла за задание из второй части, необходимо:

1. Правильно решить задачу

2. Записать решение так, чтобы ход ваших рассуждений был понятен экзаменаторам

3. Получить верный ответ

Если в решении есть неточности или небольшие ошибки, но по сути оно верно, то вы получите 1 балл.

Максимально на ОГЭ по математике можно получить 32 балла. Их переводят в оценку по пятибалльной шкале.

Количество баллов, которое соответствует оценкам «отлично» и «хорошо», заранее неизвестно. Его определяют по итогам сдачи экзамена всеми школьниками. Поэтому не стремитесь вычислить минимальный проходной балл, а старайтесь правильно выполнить максимальное количество заданий.

Советы по решению задач

1. Будьте уверены в себе и не торопитесь

Много ошибок в экзаменационных работах допускается из-за спешки или невнимательности.

Нужно проверить все утверждения, но выбрать то, которое неверно. Очень часто ученики находят верное утверждение, отмечают его номер в ответе и спешат перейти к следующей задаче. В результате они теряют баллы на самом лёгком этапе.

Ответ: в данном случае неверно утверждение 1.

2. Внимательно читайте условие

В некоторых задачах условие формулируют так, что в нём легко запутаться. Обращайте внимание на все нюансы — если нужно, записывайте условие по пунктам.

Ключевые слова здесь — «в первый день каждой следующей недели». При этом цена снижается не каждый день второй недели, а только один раз, в первый день. Кроме того, важно не ошибиться с количеством дней в неделе и верно определить момент, когда цена начинает снижаться. От этого тоже зависит правильность ответа.

Ответ: 800 рублей, поскольку на восьмой день цена снизилась на 20% от 1000 рублей и была такой на протяжении всей второй недели, то есть с восьмого по четырнадцатый день. Двенадцатый день, указанный в условии, входит в этот промежуток.

3. Учите формулы

С помощью формулы решить задачу можно гораздо быстрее, чем методом сложения или подбора вариантов.

Вместо того чтобы складывать значения первых шести членов прогрессии, можно найти ответ по формуле:

Знаменателем прогрессии называется отношение её соседних членов. Не путайте это понятие со знаменателем дроби.

Ответ. По условию задачи q=2. Подставляем это значение в формулу и получаем ответ: — 47,25.

Если при решении задачи с развёрнутым ответом вы используете формулу, которой нет в школьной программе, обязательно приведите и её доказательство. В противном случае вам могут не засчитать один балл.

4. Всегда выбирайте самый простой и быстрый способ решения

Особенно это касается задач с кратким ответом. Чем быстрее вы их решите, тем больше времени у вас останется на выполнение второй части работы.

Здесь не нужно подставлять значения в неравенство и проверять его верность. Достаточно понять, как выглядит график функции из условия, и соотнести его с приведёнными рисунками.

x 2 – 6x – 27 — это парабола f(x)=ax 2 +bx+c.

а>0, поэтому ветви параболы направлены вверх.

5. Решая геометрические задачи, всегда делайте рисунок

Это касается и заданий первой части, где не нужно расписывать решение. Рисунок нужен прежде всего вам, чтобы разобраться с условием задачи, всё правильно написать и найти верный ответ. Без рисунка увеличивается вероятность допустить ошибку.

Подбор заданий по теме «Уравнения» для подготовки учащихся к ГИА (алгебра)

Подбор заданий по теме «Уравнения»

для подготовки учащихся к ГИА (алгебра)

Просмотр содержимого документа
«Подбор заданий по теме «Уравнения» для подготовки учащихся к ГИА (алгебра)»

Подбор заданий по теме «Уравнения»

для подготовки учащихся к ГИА (алгебра).

Кулешова Татьяна Леонидовна,

Структура экзаменационной работы по алгебре включает две задачи: формирование у всех учащихся базовой математической подготовки, составляющей функциональную основу общего образования; создание для части школьников условий, способствующих получению подготовки повышенного уровня, достаточной для активного использования математики в дальнейшем обучении, прежде всего, при изучении ее в старших классах на профильном уровне. В соответствии с этим работа состоит из двух частей:

первая часть направлена на проверку базовой подготовки школьников, отражающей уровень минимальной компетентности в арифметических и алгебраических вопросах; в ней содержатся задания, с помощью которых проверяется знание и понимание важных элементов содержания (понятий, их свойств, приемов решения задач и пр.), владение основными алгоритмами, умение применить знания к решению математических задач, не сводящихся к прямому применению алгоритма, а также применение знаний в простейших практических ситуациях. При выполнении заданий первой части учащиеся также должны продемонстрировать определенную системность знаний и широту представлений, умение переходить с одного математического языка на другой, узнавать стандартные задачи в разнообразных формулировках.

вторая часть направлена на дифференцированную проверку владения материалом на повышенном уровне и позволяет проверить умение учащихся математически грамотно и ясно изложить ход решения, привести необходимые пояснения и обоснования. Задания этой части носят комплексный характер. Они позволяют проверить владение формально-оперативным алгебраическим аппаратом, способность к интеграции знаний из различных тем школьного курса, владение исследовательскими навыками, а также умение найти и применить нестандартные приемы рассуждений. При выполнении второй части работы учащиеся должны продемонстрировать умение математически грамотно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования.

Проверяемые элементы содержания

Необходимые базовые знания

Набор тренировочных заданий

— решение целых и дробных уравнений с одной переменной, с

применением при этом алгебраических преобразований: разложение на множители, замена переменной;

— проведение исследований уравнений, содержащих буквенные коэффициенты.

— знать понятие уравнения с одной переменной;

— знать понятие корень уравнения;

-знать определение линейного уравнения с одной переменной;

— знать определение квадратного уравнения, приведенного квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения;

— знать теорему Виета;

— знать определение дробного рационального уравнения;

-распознавать типы уравнений с одной переменной

— знать алгоритмы решения уравнений с одной переменной разного вида (линейного, дробно-рационального, квадратного и уравнений, сводящихся к ним);

— знать способы преобразования выражений: раскрытие скобок, разложение многочлена на множители; приведение подобных слагаемых;

— знать формулы сокращенного умножения.

1. Учебник «Алгебра. 7 класс» /Ю.Н.Макарычев и др./, стр. 23-32.

2. Учебник «Алгебра. 8 класс» /Ю.Н.Макарычев и др./, стр. 3-35; стр. 69;

3. Учебник «Алгебра. 9 класс» /Ю.Н.Макарычев и др./, стр. 21; стр.57-63

КАРТОЧКА №1: (базовый уровень)

Решить уравнение 3 – 2х = 6 – 4(х + 2)

1. Раскрыть скобки.

3 – 2х = 6 – 4х – 8

2. Перенести слагаемые с переменной в одну часть уравнения, без переменной – в другую часть (при переносе слагаемых из одной части уравнения в другую МЕНЯЕМ ЗНАК СЛАГАЕМОГО НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ)

4х – 2х = 6 – 8 – 3

3. Привести подобные слагаемые в каждой части уравнения.

4. Найти неизвестный множитель, разделив произведение на коэффициент при переменной.

5. Записать полученный ответ.

Закончи решение уравнения:

а) 1 – 6(х – 2) = 14 – 8х б) 5 (3х – 4) + 8 = 5х + 36

1 – 6х + 12 = 14 – 8х 15х – 20 + 8 = 5х + 36

2. Реши по алгоритму следующие уравнения:

а) 2 – 3(х + 2) = 5 – 2х;

б) 4х – 5,5 = 5х – 3(2х – 1,5);

в) 0,4х = 0,4 – 2(х + 2);

г) (умножь обе части уравнения на число, делящееся на каждый знаменатель);

д) ; е) ; ж)

3. Какое из чисел –4; 0; 14 является корнем уравнения

4х + 5 = 6 + 5(х – 3) ?

4. Реши уравнения:

а) (10х – 4)(3х + 2) = 0; б) (3х + 1)(6 – 4х) = 0; в) (х + 5)(2х – ) = 0

5. Какие из данных чисел являются корнями уравнения

а) , б) 9, в) , г) – 9, д) – , е) – ?

6. Без построения найдите абсциссу точки пересечения графиков функций:

а) у = 2х + 4 и у = – 2х; б) у = 7 + 2х и у = 6х – 29

КАРТОЧКА №2: (повышенный уровень)

Найди корень уравнения:

а) 1,6х – (х – 2,8) = (0,2х + 1,5) – 0,7;

б) 4 – 5(3х + 2,5) = 3х + 9,5;

в) 4х – 5,5 = 5х – 3(2х – 1,5);

г) 12 – 3(6 + 2х) = 2(2х – 9) + 2(18 + 2х);

д) ;

е)

2. При каких значениях переменной х равны значения выражений:

а) 6 – 4х и 3 – 5(х +1); б) 2,7m и – 3,2 + 3(2,4 – 1,1m) ?

3. Является ли корнем уравнения (2х – 3,8)(4,2 + 3х) = 0 число:

а) 1,9; б) 2; в) – 1,4; г) – 3 ?

4. Имеет ли корни уравнение:

а) 3х + 7 = (9 + х) + 2х; б) 5х – 1 = 4(х + 2) – (9 – х); в) х + 1 = х – 1 ?

5. При каких значениях коэффициента р уравнение рх = 10 имеет корень, равный –5; 1; 20?

6. При каком значении переменной:

а) сумма выражений 2х + 7 и – х + 12 равна 14;

б) разность выражений – 5у + 1 и 3у + 2 равна – 9?

7. Реши уравнение: а) 2х 2 – 7х = 0; б) 3х – 7х 2 = 0; в) 9х 2 – 25 = 0

КАРТОЧКА №1: (базовый уровень)

1. Выписать коэффициенты квадратного уравнения.

a = 5, b = — 8, c = 3

2. Вычислить дискриминант по формуле D = b 2 – 4ac.

D = (- 8) 2 – 4·5∙3 = 64 – 60 = 4

3. Сравнить дискриминант с 0 и определить количество корней данного уравнения.

D = 4 0, уравнение имеет два корня

4. Вычислить корни уравнения по формуле

5. Записать ответ.

Реши уравнения по алгоритму:

а) 2х 2 + 3х – 5 = 0; б) 5х 2 – 7х + 2 = 0; в) 3х 2 + 5х – 2 = 0;

г) 2х 2 – 7х + 3 = 0; д) 3х 2 + 8х – 3 = 0; е) 6х 2 – 7х + 1 = 0.

2. Сколько корней имеет уравнение:

а) 5х 2 – 8х + 3 = 0; б) – 2х 2 + 3х – 5 = 0; в) 9х 2 – 6х + 1 = 0 ?

3. Какие из чисел являются корнями уравнения 2х 2 – 5х + 3 = 0:

а) – 1; б) 1,5; в) – 0,15; г) 1; д) – 1,5 ?

4. При каких значениях х равны значения выражений:

а) 2х 2 и 2 – 3х; б) – х 2 и 10 – 7х; в) 2х 2 и 9х – 4 ?

5. Существуют ли такие значения х, при которых значения данных выражений равны:

а) х 2 + 2х и 0,8х 2 – 4,2; б) х 2 – 2х и 0,6х – 1,2 ?

КАРТОЧКА №2: (повышенный уровень)

Найди корни уравнения:

а) 2у(у + 2) = 8у + 3; б) 3х(х – 2) – 1 = х – 0,5(8 + х);

в) (х – 3) 2 + (х – 4) 2 – (х – 5) 2 – х = 24;

г) 4(2х 2 + х) – 3(2 – 3х) = 6(х 2 – 6);

д) .

2. При каких значениях х равны значения выражений:

а) 0,05х 2 – 0,1х и 0,02х – 0,04; б) 0,1х 2 + 0,04х и 0,08х 2 + 0,7 ?

3. Какое из уравнений имеет иррациональные корни?

а) х 2 – 3х – 4 = 0; б) х 2 – 4х + 5 = 0; в) х 2 – 4х – 3 = 0;

в) х 2 – 4х + 4 = 0.

4. Найдите сумму корней уравнения:

а) 3х 2 + 5х – 2 = 0; б) (4х + 1)(2х – 4) – 8х 2 = 3(6 – х).

5. При каком значении параметра b уравнение

(b + 5)x 2 + (2b + 10)x + 4 = 0 имеет только один корень?

6. Составьте приведенное квадратное уравнение, если известны

а) 9 и – 4; б) – 7 и –5; в) – 8 и 3.

КАРТОЧКА №1: (базовый уровень)

1. Найди корни уравнения:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. Реши уравнения:

а) ; б)

3. Какие из чисел являются корнями уравнения :

а) 6; б) 3; в) – 6; г) – 3 ?

4. При каких значениях х сумма дробей и равна 4?

КАРТОЧКА №2: (повышенный уровень)

1. Реши уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) ;

ж) ; з)

2. Найди корни уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г)

3. При каких значениях х значение выражения

равно – 1?

4. Найди разность корней уравнения

Проверяемые элементы содержания