Уравнение критериального множества модели блэка

Модель Блэка

Вы будете перенаправлены на Автор24

Рынок срочных контрактов и его особенности

Частью рынка ценных бумаг является рынок срочных контрактов. Он складывается относительно выпуска и оборота производных финансовых инструментов. Под ними понимаются права на обладание базовыми активами, сделки по которым проводятся по зафиксированной цене и дате передачи имущественных прав. Деривативы могут оформляться на товары, ценные бумаги и даже процентные ставки.

Рынок деривативов часто сравнивают с рынком валют. Оба они связаны с обменом денежных средств. Сделки с валютой совершаются по курсу, действующему на момент подписания контракта. Однако, расчёты по договору могут осуществляться в течение нескольких банковских дней.

Основными инструментами рынка деривативов принято называть:

• Опционы, дающие права покупателю на приобретение актива в будущем по установленной цене контракта. Продавец берет на себя обязательство исполнить продажу. Покупатель выплачивает премию продавцу за право отказаться от сделки.
• Фьючерсы, которые жестко фиксируют дату и цену поставки актива.
• Свопы, определяющие временной промежуток, в течение которого могут быть проведены взаимные расчёты по контракту.

Производные инструменты могут создаваться на существующие активы или на право обладания ими. Такой подход не требует значимых капиталовложений, что делает рынок доступным для многих субъектов. Именно поэтому оборот мирового рынка производных инструментов составляет более 500 миллиардов долларов в год.

Фьючерсы обращаются на организованных площадках, что повышает инвестиционный интерес к ним. Стороны сделки устанавливают дату и цену сделки, а биржа обслуживает все остальные параметры контракта. Свопы и опционы – инструменты нерегулируемых рынков. Деривативы используются для распределения рисков по базовым активам. Сделки позволяют получить доход и покрыть расходы, связанные с приобретением и обслуживанием базового актива.

Рынок производных инструментов является преимущественно нерегулируемым, так как сделки с подобными контрактами выгодны для спекулятивных сделок. Он считается высоколиквидным, но при этом высокорисковым сегментом рынка ценных бумаг.

Готовые работы на аналогичную тему

Сущность модели Блэка

Для выстраивания инвестиционной стратегии на рынке деривативов субъекты используют различные инструменты планирования и прогнозирования. В сфере обращения опционов наиболее подходящим является формула Блэка. Это одна из разновидностей базовой модели Блэка-Шоулза. Наиболее часто данная формула применяется для:

1. Расчёта цен на облигационные опционы, которые представляют собой контракты, навязанные на рыночное изменение процентной ставки по договору обязательству.
2. Анализа соглашений “кэп» и “флор». Процентный кэп представляет собой договор между сторонами, по которому продавец опциона обязуется выплатить покупателю компенсацию если текущая рыночная ставка процента превысит ставку по договору. Процентный флор оплачивается продавцом покупателю в случае, если ставка процента рыночная будет ниже ставки по договору.
3. Вычисления свопопционов. Свопопцион является производным финансовым инструментом от свопа. Дает право своему владельцу заключить сделку своп с заранее оговоренными параметрами платежей, их периодичностью и фиксированной ставкой.

Статья о данном типе расчётов была опубликована в 1976 году, поэтому модель носит название Блэк-76. Она применяется для класса форвардных логнормальных моделей. Форвард представляет собой производный контракт, обязательный к исполнению обеими сторонами сделки. Логонормальные модели применяются в теории вероятности. По сути, это непрерывное распределение, показывающие зависимость между логнормальным распределением и логарифмом случайной величины.

Формула Блэка применяется для расчёта цен по опционам на момент совершения сделки. Так покупатель получает возможность принять решение о совершении сделки или отказе от нее, продавец узнает размер, причитающейся ему премии.

Расчётная формула модели Блэка

Формула Блэка схожа с формулой модели Блэка-Шоулза. Она используется для оценки опционов без учёта текущей цены на базовый актив. В формуле она заменяется на дисконтную цену фьючерса. Эта формула легко выводится из основной с использованием формулы Маграбе.

Расчёт предполагает наличие безрисковой процентной ставки. При этом цена фьючерса на базовый актив логнормально связана с его волатильностью (колебаниям цены). В этом случае формула Блэка позволяет рассчитать цену на европейский опцион-колл (опцион с фиксированной датой исполнения) при следующих условиях:

Рисунок 1. Расчётная формула модели Блэка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

• $T$– это срок погашения контракта;
• $K$ – цена исполнения контракта;
• $T’$– дата поставки, при этом дата поставки позже даты погашения.

Стоит отметить, что параметр даты поставки не упоминается в формуле, даже в случае, если она превышает дату совершения контракта. Эта особенность связана с перевесом фьючерсов по рынку, а сама выплата происходит в момент исполнения контракта. Например, форвардный контракт со сроком истечения выше срока исполнения договора подразумевает, что выплата не произойдёт до момента Т’. В этом случае происходит замена параметра времени в коэффициенте дисконтирования. Данная операция необходима для учёта изменения стоимости денег во времени.

Предполагается, что выплата максимальная по опциону, приобретаемому покупателем. Тогда осуществляется сопоставление обменного опциона, рассчитываемого по формуле Маграбе и безрискового опциона на погашение облигации номиналом в 1 доллар и в момент времени, указанный в договоре. Если опцион на покупку исполняется в момент, зафиксированный в договоре, то он будет ценнее безрисковой облигации.

Остается проверить наличие базового актива для первого типа опциона. Для этого анализируется цена портфеля на момент 0, путём сопоставления двух контр операций длинной позиции по форварду на момент исполнения контракта и короткой позиции по безрисковой облигации. Такое сопоставление возможно и оптимально, так как в определённый момент времени цены на форвардные и фьючерсные контракты совпадают. Продажа безрисковых активов в таком случае приведёт к получению прибыли.

Модель Блэка-Шоулза-Мертона

Модель ценообразования, используемая для определения справедливой цены опционов на акции на основе шести переменных.

Что такое модель Блэка-Шоулза-Мертона?

Модель Блэка-Шоулза-Мертона (BSM) — это модель ценообразования для финансовых инструментов. Он используется для оценки опционов на акции. Модель BSM используется для определения справедливых цен на опционы на акции на основе шести переменных: волатильность, тип, базовая цена акции, цена исполнения, время и безрисковая ставка. Он основан на принципе хеджирования и направлен на устранение рисков, связанных с волатильностью базовых активов и опционов на акции.

Уравнение Блэка-Шоулза-Мертона

Модель Блэка-Шоулза-Мертона может быть описана как уравнение в частных производных второго порядка.

Уравнение описывает цену опционов на акции во времени.

Цена опциона колл

Цена опциона C определяется по следующей формуле:

Цена опциона пут

Цена опциона пут P определяется по следующей формуле:

• N — Кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения. Он представляет собой стандартное нормальное распределение со средним значением = 0 и стандартным отклонением = 1.
• T-t — Время до погашения (в годах)
• St — спотовая цена базового актива
• K — Цена исполнения
• r — безрисковая ставка
• Ó — Волатильность доходности базового актива

Предположения модели Блэка-Шоулза-Мертона

• Логнормальное распределение: модель Блэка-Шоулза-Мертона предполагает, что цены на акции следуют логнормальному распределению, основанному на принципе, что цены на активы не могут принимать отрицательное значение; они ограничены нулем.
• Без дивидендов: модель BSM предполагает, что акции не приносят дивидендов или прибыли.
• Дата истечения: модель предполагает, что опционы могут быть исполнены только по истечении срока их действия или срока погашения. Следовательно, он не дает точной оценки американских опционов. Он широко используется на европейском рынке опционов.
• Случайное блуждание: фондовый рынок является очень волатильным, и, следовательно, предполагается состояние случайного блуждания, поскольку направление рынка никогда нельзя точно предсказать.
• Рынок без трения: в модели BSM не предполагается никаких транзакционных издержек, включая комиссионные и брокерские услуги.
• Безрисковая процентная ставка: предполагается, что процентные ставки постоянны, что делает базовый актив безрисковым.
• Нормальное распределение: доходность акций обычно распределяется. Это означает, что волатильность рынка постоянна во времени.
• Нет арбитража: нет арбитража. Это позволяет избежать возможности получения безрисковой прибыли.

Ограничения модели Блэка-Шоулза-Мертона

• Ограничено европейским рынком: как упоминалось ранее, модель Блэка-Шоулза-Мертона является точным детерминантом европейских цен опционов. Он не дает точной оценки опционов на акции в США. Это потому, что он предполагает, что опционы могут быть исполнены только в дату истечения / срока погашения.
• Безрисковые процентные ставки: модель BSM предполагает постоянные процентные ставки, но это редко бывает реальностью.
• Предположение о рынке без трения: Торговля обычно сопряжена с транзакционными издержками, такими как брокерские сборы, комиссионные и т. Д. Однако модель Блэка-Шоулза-Мертона предполагает рынок без трения, что означает отсутствие транзакционных издержек. На торговом рынке такое бывает редко.
• Нет возврата: модель BSM предполагает, что нет возврата, связанного с опционами на акции. Дивидендов и процентных доходов нет. Однако на реальном торговом рынке это не так. Покупка и продажа опционов в первую очередь ориентированы на прибыль.

Дополнительные ресурсы:

Finansistem предлагает программу сертификации специалистов по финансовому моделированию и оценке (FMVA) ™ для тех, кто хочет вывести свою карьеру на новый уровень. Чтобы продолжать учиться и продвигаться по карьерной лестнице, вам будут полезны следующие ресурсы:

• Непрерывно увеличивающийся доход
• Опционы: коллы и путы
• Безрисковая ставка
• Спотовая цена

Уравнение критериального множества модели блэка

Суть этого факта в том, что риск можно полностью устранить без привлечения заемных средств (хь х2 > 0). Минимальная граница опять совпадает с критериальным множеством, эффективные границы — верхние ветви.

Рис. 6.31. Случай р = -1 для модели Блэка на плоскости (ст2, Е)

Аналогичный анализ возможен для любых значений р. Можно доказать, что при р * ± 1 полностью устранить риск нельзя. При р > 0 вершина параболы Q* лежит вне дуги 6162 при р 0. Для параметрического представления xi = t, х2 = 1 — t получается условие t е [0; 1], что означает: критериальное множество в модели Марковица представляет часть критериального множества модели Блэка. Возможные ситуации представлены на рис. 6.32 — 6.35.

Если изобразить критериальные множества на плоскости (о2, Е) для разных коэффициентов корреляции р, то получим тре-

Рис. 6.32. р = 1, все портфели QtQ2 — эффективные

Рис. 6.33. р = 1, есть единственное оптимальное решение -второй актив

Рис. 6.34. р = 0, участок от Q* до — эффективные портфели

Рис. 6.35. р — -1, все портфели Q* Q2 — эффективные

угольник Q\Q*Q2, соответствующий крайним значениям р = ±1, который сплошь заполнен частями гипербол, отвечающих остальным значениям р (рис. 6.36).

. Критериальные множества для различных значений р