Уравнение кривой изображенной на рисунке определяется уравнением

Кривые второго порядка — определение и построение с примерами решения

Содержание:

Геометрической фигурой или просто фигурой на плоскости называется множество точек. Задать фигуру — значит указать, из каких точек плоскости она состоит. Одним из важных способов задания фигуры на плоскости является ее задание при помощи уравнений с двумя неизвестными. Произвольное уравнение с двумя неизвестными х и у записывается в виде

1. Если точка М(а,Ь) принадлежит фигуре Ф, то координаты (а,Ь) являются решениями уравнения
2. если пара чисел (c,d) является решением уравнения F(x,y) = 0, то точка N(c,d) принадлежит фигуре Ф.

Это определение в более компактной записи выглядит следующим образом. Уравнение называется уравнением фигуры, если , то есть (а, b) — решение уравнения F(x,y) = 0.

Из определения уравнения фигуры следует, что фигура Ф состоит только из тех точек плоскости, координаты которых являются решениями уравнения , т.е. уравнение фигуры задает эту фигуру.

Возможны два вида задач:

1. дано уравнение и надо построить фигуру Ф, уравнением которой является ;
2. дана фигура Ф и надо найти уравнение этой фигуры.

Первая задача сводится к построению графика уравнения и решается, чаще всего, методами математического анализа.

Для решения второй задачи, как следует из определения уравнения фигуры, достаточно:

1. Задать фигуру геометрически, т.е. сформулировать условие, которому удовлетворяют только точки фигуры (довольно часто определение фигуры содержит такое условие);
2. Записать в координатах условие, сформулированное в первом пункте.

Эллипс

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек , есть величина постоянная (большая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами эллипса. Обозначив расстояние между фокусами через 2с, а сумму расстояний от точек эллипса до фокусов через 2а, имеем с b. В этом случае а называется большой полуосью, a b — малой.

Если а =Ь, то уравнение (7.3) можно переписать в виде:

(7.5)

Это уравнение окружности с центром в начале координат. Эллипс (3) можно получить из окружности (4) сжатием плоскости к оси Ох. Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат Оху. Тогда преобразование, переводящее произвольную точку М(х,у) в точку координаты которой задаются формулами будет окружность (4) переводить в эллипс, заданный соотношением

Число называется эксцентриситетом эллипса. Эксцентриситет характеризует форму эллипса: чем ближе к нулю, тем больше эллипс похож на окружность; при увеличении становится более вытянутым

Фокальными радиусами точки М эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами . Их длины и задаются формулами Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а — правой. Так как для эллипса и, следовательно, левая директриса располагается левее левой вершины эллипса, а правая — правее правой вершины.

Директрисы обладают следующим свойством: отношение расстояния г любой точки эллипса от фокуса к ее расстоянию d до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Гипербола

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между ).

Точки называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно 2с. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов обозначим через а. По условию, а 0) (рис. 9.7). Ось абсцисс проведём через фокус F перпендикулярно директрисе. Начало координат расположим посередине между фокусом и директрисой. Пусть А — произвольная точка плоскости с координатами (х, у) и пусть . Тогда точка А будет лежать на параболе, если r=d, где d- расстояние от точки А до директрисы. Фокус F имеет координаты .

Тогда А расстояние Подставив в формулу r=d, будем иметь. Возведя обе части равенства в квадрат, получим

или

(9.4.1)

Уравнение (9.4.1)- каноническое уравнение параболы. Уравнения также определяют параболы.

Легко показать, что уравнение , определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а > 0 и нисходящей, если а О. Для этого выделим полный квадрат:

и сделаем параллельный перенос по формулам

В новых координатах преобразуемое уравнение примет вид: где р — положительное число, определяется равенством .

Пример:

Пусть заданы точка F и прямая у =-1 (рис. 9.8). Множество точек Р(х, y) для которых расстояние |PF| равно расстоянию, называется параболой. Прямая у = -1 называется директрисой параболы, а точка F — фокусом параболы. Чтобы выяснить, как располагаются точки Р, удовлетворяющие условию, запишем это равенство с помощью координат: , или после упрощения . Это уравнение геометрического места точек, образующих параболу (рис. 9.8).

Кривые второго порядка на плоскости

Кривой второго порядка называется фигура на плоскости, задаваемая в прямоугольной системе координат уравнением второй степени относительно переменных х и у:

где коэффициенты А, В и С не равны одновременно нулю

Любая кривая второго порядка на плоскости принадлежит к одному из типов: эллипс, гипербола, парабола, две пересекающиеся прямые, 2 параллельные прямые, прямая, точка, пустое множество.

Кривая второго порядка принадлежит эллиптическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки: АС>0.

Кривая второго порядка принадлежит гиперболическому типу, если коэффициент В равен нулю: В=0, а коэффициенты А и С имеют противоположные знаки: АС 2с. Точка М(х,у) принадлежит эллипсу тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению

которое называют каноническим уравнением эллипса.

Число а называют большей полуосью эллипса, число — мень-

шей полуосью эллипса, 2а и 2b — соответственно большей и меньшей осями эллипса. Точки называют вершинами эллипса, а — его фокусами (рис. 12).

Координатные оси являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Замечание. Каноническое уравнение эллипса можно рассматривать и в случае b>а. Оно определяет эллипс с большей полуосью b, фокусы которого лежат на оси Оу.

В случае а=b каноническое уравнение эллипса принимает вид и определяет окружность радиуса а с центром в начале координат.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большей оси.

Так, в случае а>b эксцентриситет эллипса выражается формулой:

Эксцентриситет изменяется от нуля до единицы и характеризует форму эллипса. Для окружности Чем больше эксцентриситет, тем более вытянут эллипс.

Пример:

Показать, что уравнение

является уравнением эллипса. Найти его центр, полуоси, вершины, фокусы и эксцентриситет. Построить кривую.

Решение:

Дополняя члены, содержащие х и у соответственно, до полных квадратов, приведем данное уравнение к каноническому виду:

— каноническое уравнение эллипса с центром в точке большей полуосью а=3 и меньшей полуосью

Найдем эксцентриситет эллипса:

Для вычисления вершин и фокусов удобно пользовать новой прямоугольной системой координат, начало которой находится в точке а оси параллельны соответственно осям Ох, Оу и имеют те же направления (осуществили преобразование параллельного переноса). Тогда новые координаты точки будут равны ее старым координатам минус старые координаты нового начала, т.е.

В новой системе координат координаты вершин и фокусов гиперболы будут следующими:

Переходя к старым координатам, получим:

Построим график эллипса.

Задача решена.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

Так же, как и для эллипса, геометрическое свойство точек гиперболы выразим аналитически. Расстояние между фокусами назовем фокусным расстоянием и обозначим через 2с. Постоянную величину обозначим через 2а: 2а

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Уравнение кривой, изображенной на рисунке имеет вид?

Математика | 10 — 11 классы

Уравнение кривой, изображенной на рисунке имеет вид!

Пожалуйста в подробностях решение!

Совершенно понятно, что за кривая изображена на рисунке.

Теперь вспоминаем, каким уравнение задаётся окружность.

$(x-a)^ <2>+ (y-b)^ <2>= R^<2>$, где R — радиус окружности, точка (a, b) — центр её.

Так что последний вариант ответа явно не годится.

Там x входит в первой степени.

Здесь у нас речь идёт о квадратах x и y.

Так что следует продолжить дальше.

Все остальные уравнения формально удовлетворяют нашему общему виду уравнения.

Так что теперь остаётся найти координаты центра и радиус, чтобы выбрать правильное уравнение.

Центр нашей окружности нетрудно углядеть из рисунка.

Очевидно, что раз центр лежит на оси y, то у центра нулевая абсцисса, то есть, a = 0.

По рисунку видно, что диаметр окружности равен 10.

А центр будет находиться посерединке, то есть, ордината центра равна 5, b = 5.

А чему равен радиус?

Радиус — половина диаметра(который 10).

Подставляем все данные в уравнение и получаем уравнение окружности :

Первый вариант ответа подходит.

Каким геометрическим телам принадлежит проекция (вид сверху), изображенная на рисунке?

Каким геометрическим телам принадлежит проекция (вид сверху), изображенная на рисунке?

Упростить уравнение кривой и изобразить ее на рисунке?

Упростить уравнение кривой и изобразить ее на рисунке.

Каким геометрическим телам принадлежит проекция(вид сверху), изображение на рисунке?

Каким геометрическим телам принадлежит проекция(вид сверху), изображение на рисунке?

Сколько всего осей симметрии имеет фигура, изображенная на рисунки?

Сколько всего осей симметрии имеет фигура, изображенная на рисунки?

Напишите уравнение параболы, изображенной на рисунке?

Напишите уравнение параболы, изображенной на рисунке.

Решить логарифмическое уравнение?

Решить логарифмическое уравнение.

Пожалуйста с подробным решением и через ОДЗ.

Найдите площадь трапеции изображенной на рисунке?

Найдите площадь трапеции изображенной на рисунке.

Очень срочно нужно с решением.

Найдите площади четырехугольников, изображенных на рисунке 72, а, и площади треугольников, изображенных на рисунке 72, б?

Найдите площади четырехугольников, изображенных на рисунке 72, а, и площади треугольников, изображенных на рисунке 72, б.

Пожалуйста, очень нужно!

Какая из фигур, изображенная на рисунке 7?

Какая из фигур, изображенная на рисунке 7.

37, имеет центр симметрии?

Составте уравнение, найди его решение по рисунку пожалуйста срочно?

Составте уравнение, найди его решение по рисунку пожалуйста срочно.

На этой странице сайта размещен вопрос Уравнение кривой, изображенной на рисунке имеет вид? из категории Математика с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 10 — 11 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

1 кусок обозначим за Х, 2 кусок обозн. Х + 3 3 кусок обозн. Х — 3 Отсюда — (х + 3) — (х — 3) = х + 3 — х + 3 = 6 Ответ : 3 кусок короче второго на 6.

8000000 = 8 * 10 в шестой степени — — — — — — — — — — — — — — — -.

1) 128 : 64 = 2(дм3) Ответ 2 дм.

(х — х1) / (х2 — х1) = (y — y1) / (y2 — y1) (x — 1) / (0 — 1) = (у — 2) / ( — 1 — 2) (х — 1) / — 1 = (у — 2) / — 3 — 3(х — 1) = — 1(у — 2) — 3х + 4 = — у + 3 у = 3х — 1 Угловой коэфф k = 3.

1) 8 м = 800 см 7 дм = 70см 10 мм = 1 см 800 + 70 + 1 = 871см 2) 1дм = 10 см 1 м = 100 см 60 дм = 600 см = 6м 3) 75м = 7500 см = 75000 мм 2дм = 20 см = 200мм 3 см = 30 мм 750000 + 200 + 30 + 9 = 75239 мм.

1)16 * 4 = 64(б) — после обеда 2)94 — (64 + 16) = 14(б) — осталось.

1) 16 * 4 = 64 (банок) — продали после обеда. 2) 64 + 16 = 80 (банок ) — продали всего 3)94 — 80 = 14 (банок) — осталось.

76•6 = 456(км) — проехала машина. 684 — 456 = 228(км) — проехал велосипед. 228 : 6 = 38(км / ч) Ответ : 38 км / ч.

684 : 6 = 114 скорость удаления 114 — 76 = 38 км / ч скорость велосипедиста ответ : 38 км / ч.

600 : 5 = 120 грамм сахара 600 — 120 = 480ост грамм 480 : 3 = 160 грец орех 480 — 160 = 320 ост грамм 320 : 2 = 160 грамм муки 320 — 160 = 160 ост 160 : 1 = 160грамм сливок.

Уравнения кривых.

В аналитической геометрии всякому уравнению вида F(x; у) = 0 может соответствовать некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением.

Под F(x; у) = 0 понимаем многочлен степени n; степень многочлена n – порядок линии.

Значит, кривая первого порядка, в декартовой системе координат, описывается алгебраическим уравнением первого порядка ax + by + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов a или b отличен от нуля. Это уравнение называют также линейным уравнением. А само выражение, типа ax+by+c=0 и a 2 +b 2 ≠ 0, принято обозначать как общее уравнение прямой.

Следовательно, любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая.

Общее уравнение кривой второго порядка в декартовых координатах имеет вид:

причем, в зависимости от значения произведение аb получаем:

— эллипс, частный случай — окружность ( когда ab > 0);