Уравнение кривых 2 порядка в полярных координатах

Полярное уравнение кривой второго порядка.

Пользуясь общим свойством эллипсов, гипербол и парабол, выведем общее уравнение этих кривых второго порядка в полярных координатах при некотором специальном выборе полярной системы координат.

Пусть дана произвольная из указанных линий (эллипс, ветвь гиперболы или парабола). Возьмем фокус F кривой (любой, если их два) и соответствующую ему директрису L (если рассматривается ветвь гиперболы, то берется фокус и директриса, ближайшие к этой ветви).

Введем полярную систему координат так, чтобы полюс О совпал с фокусом F, а полярная ось была направлена по оси симметрии кривой в сторону, противоположную директрисе L.

Возьмем на кривой произвольную точку М(r;j), соединим ее отрезком FM с фокусом и опустим перпендикуляр МК на директрису. Кроме того, из точки F проведем перпендикуляр FR к полярной оси до пересечения с кривой в точке R, а из точки R опустим перпендикуляр RQ на директрису (Рис. 12).

Обозначим FR через p и будем называть это число фокальным параметром. На основании общего свойства кривых второго порядка По тем же соображениям: или , откуда .

Подставим найденные выражения для FM и КМ в равенство , получим:

(3)

Уравнение (3) называется уравнением кривой второго порядка в полярных координатах. При e 1 — ветвью гипиерболы, при e=1 — параболой.

Фокальный параметр Р из уравнения параболы определяется непосредственно. Для того, чтобы фокальный параметр выразить через параметры эллипса и гиперболы, следует заметить, что фокальный параметр Р является ординатой точки кривой, абсцисса которой равна абсциссе соответствующего фокуса (в выбранной при выведении канонического уравнения соответствующей кривой системе ХОY).

Подставляя вместо координат точки М(х;у) в уравнение эллипса координаты точки (-с;р), получим:

или ,

.

Аналогично, подставляя в уравнение гиперболы координаты точки (с;р), получим:

или ,

откуда следует соотношение

.

Рассмотрим несколько задач на кривые второго порядка.

Задача 1.

Дано уравнение гиперболы 16х 2 -9у 2 =144. Найти длины ее осей, координаты фокусов, эксцентриситет; составить уравнения директрис и асимптот гиперболы.

Решение.

Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду и определим как параметры гиперболы, так и расстояние с от начала координат до фокуса:

или ,

откуда а=3, b=4, , эксцентриситет e= .

Действительная ось 2а=6; мнимая ось 2b=8.

Уравнения директрис: .

Уравнения асимптот: .

Задача 2.

Составить уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей, зная, что он проходит через точки М₁(2;3) и М₂ .

Решение.

Учитывая симметричность эллипса относительно осей координат, его каноническое уравнение будет иметь вид: и вместо текущих координат подставим в это уравнение сначала координаты точки М₁, а затем координаты точки М₂. Из получившейся системы уравнений:

определим параметры эллипса а и b.

, ,

получим следующую систему уравнений:

.

Решая ее, получим, что:

,

откуда а 2 =16, b 2 =12.

Следовательно, искомое уравнение эллипса будет:

.

Задача 3.

Найти вершину, фокус, ось и директрису параболы

Решение.

Преобразуем данное уравнение следующим образом:

Отсюда .

Обозначив х`= х-4 и у`= у-3, перейдем к новой системе координат O`x`y`, начало которой находится в точке O`(4;3), а оси O`x` и O`y` сонаправлены с осями Ох и Оу. В результате получим простейшее уравнение данной параболы

’.

Отсюда , то есть . Итак, вершина параболы находится в точке O`(4;3); координаты фокуса

x_F = x_O` = 4; ,

то есть F ; уравнение оси параболы x = x_O` = 4, то есть х-4=0; уравнение директрисы , то есть 8y-25=0.

Задача 4.

Уравнение эллипса привести в полярной системе координат к уравнению вида

.

Решение:

Найдем из данного уравнения параметры a, b, c, затем найдем эксцентриситет и фокальный параметр эллипса :

а 2 =4, b 2 =3, c 2 =1, , .

Искомое уравнение будет иметь вид:

или .

Задача 5.

Дано уравнение кривой в полярных координатах

.

Привести его к каноническому уравнению в прямоугольных координатах.

Решение.

В данном уравнении , . Так как эксцентриситет e>1, то данное уравнение является уравнением гиперболы, у которой b 2 =c 2 -a 2 . Таким образом, данные параметры могут быть записаны в виде системы двух уравнений

Из этой системы находим, что а=1, с=3, b 2 =8. Следовательно, уравнение гиперболы имеет вид:

.

Кривые второго порядка в полярных координатах

ВВЕДЕНИЕ

Данное руководство представляет собой методические указания к выполнению лабораторной работы, в которую входят задачи по темам: “Кривые второго порядка”, “Кривые в полярной системе координат”, “Поверхности второго порядка”.

Перед заданиями лабораторной работы приведены основные положения теории, определения, формулы, подробно рассмотрены решения типовых задач.

При выполнении лабораторной работы необходимо привести формулы, с помощью которых решается задача, сделать подробные вычисления и необходимые пояснения к решению.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Линии второго порядка

Линия (кривая) второго порядка – это линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат x и y, т.е. уравнением вида:

(1)

При соответствующем выборе системы координат уравнение линии второго порядка можно привести к простейшему виду.

К линиям второго порядка относятся: эллипс, гипербола, парабола.

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (эта постоянная больше расстояния между фокусами).

Каноническое уравнение эллипса:

,

(2)

где a=ОА — большая полуось,

b=ОВ — малая полуось.

Координаты фокусов: F₁(-c;0), F₂(c;0), где c= .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2с к большой полуоси 2а: ( , так как с).

Директрисами эллипса называются прямые, уравнения которых .

Расстояние точки М(х,y) эллипса до фокусов (фокальные радиусы) определяются формулами:

r1= ; r2= .

В частном случае a=b фокусы F₁ и F₂ совпадают с центром, а каноническое уравнение имеет вид:

, или ,

т.е. описывает окружность радиуса с центром в начале координат.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (указанная разность берется по абсолютному значению; требуется также, чтобы она была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля).

Каноническое уравнение гиперболы:

,

(3)

b — мнимая полуось.

Фокусы гиперболы: F₁(-c;0), F₂(c;0), где .

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение ( >1, так как с>a).

Асимптоты гиперболы: y= .

Расстояния точки М(х;y) гиперболы до ее фокусов определяется формулами: r₁= ; r₂= .

Прямые х= называются директрисами гиперболы.

Гиперболы и называются сопряженными.

Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней,ее уравнение:

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через начало координат, имеет вид:

.

(4)

Уравнение директрисы . Парабола имеет фокус F( ).

Фокальный радиус точки М(х;y) параболы выражается формулой r= .

Парабола, симметричная относительно оси Оy и проходящая через начало координат, имеет уравнение:

(5)

Уравнение директрисы этой параболы: .

Фокус параболы: F (0; ).

Фокальный радиус точки М(x;y) параболы: r= .

Кривые второго порядка в полярных координатах

Полярными координатами точки М на плоскости называется полярный радиус >0 и полярный угол , отсчитываемый от полярной оси ОР котрезку ОМ против движения часовой стрелки ( 1.(15)

Рисунок 1 – Спираль Архимеда	Рисунок 2 – Гиперболическая спираль
Рисунок 3 – Логарифмическая спираль	Рисунок 4 – Лемниската Бернулли
Рисунок 5 – Четырехлепестковая роза	Рисунок 6 – Кардиоида
Рисунок 7 – Улитка Паскаля

Параметрические уравнения

Параметрическими уравнениями линии на плоскости называются уравнения вида:

(16)

где — функции переменной t.

Полярная система координат. Кривые второго порядка в системе полярных координат.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятский государственный университет»

Факультет автоматики и вычислительной техники

Кафедра электронных вычислительных машин

Реферат студента группы ИВТ-11

(зачётная книжка №Д10-ФАВТ-2012-111)

на тему: «Полярная система координат.

Кривые второго порядка в системе полярных координат.

Решение систем линейных уравнений»

1. Полярная система координат

Полярная система координат на плоскости – это совокупность точки О, называемой полюсом, и полупрямой Ох, называемой полярной осью. Кроме того, задаётся масштабный отрезок для измерения расстояний от точек плоскости до полюса. Как правило, на полярной оси выбирается вектор , приложенный к точке О, длина которого принимается за величину масштабного отрезка, а направление вектора задаёт положительное направление на полярной оси.

Положение точки М в полярной системе координат определяется расстоянием r (полярным радиусом) от точки М до полюса (т.е. r = ||) и углом φ (полярным радиусом) между полярной осью и вектором . Полярный радиус и полярный угол составляют полярные координаты точки М, что записывается в виде М(r, φ). Полярный угол измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси:

· в положительном направлении (против направления движения часовой стрелки), если значение угла положительное;

· в отрицательном направлении (по направлению движения часовой стрелки), если значение угла отрицательное.

Полярный радиус определён для любой точки плоскости и принимает неотрицательные значения . Полярный угол φ определён для любой точки плоскости, за исключением полюса О, и принимает значение , называемыми главными значениями полярного угла. В некоторых случаях целесообразно считать, что полярный угол определён с точностью до слагаемых , где . В этом случае значениям полярного угла для всех соответствует одно и то же направление радиус вектора.

С полярной системой координат Orφ можно связать прямоугольную систему координат О , начало О которой совпадает с полюсом, а ось абсцисс – с полярной осью.

Выведем формулы, связывающие прямоугольные координаты точки x, y точки М, отличной от точки О, и её полярные координаты r, φ. Получаем: и

Последние два равенства определяют полярный угол с точностью до слагаемых , где . При из них следует, что . Главное значение полярного угла φ () находится по формулам:

где

2. Уравнения кривых второго порядка в полярной системе координат

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная (2a), большая расстояния (2с) между этими двумя точками. Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Из определения эллипса следует, что . Если е=0, то с=0, фокусы F₁ и F₂ совпадают, и эллипс является окружностью радиуса а. Это геометрическое определение выражает фокальное свойство эллипса.

Уравнение эллипса в полярной системе координат имеет вид: где – фокальный параметр эллипса.

Доказательство: выберем в качестве полюса полярной системы координат левый фокус F₁ эллипса, а в качестве полярной оси – луч F₁F₂. Тогда для произвольной точки M(r, φ) имеем r + MF₂ = 2a. Выражаем расстояние между точками M(r, φ) и F₂ (2с,0): , следовательно, уравнение F₁M + MF₂ = 2a имеет вид: . Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены: . Выражаем полярный радиус r и делаем замены , , . Тогда , что и требовалось доказать. [1,стр.268-271]

Гиперболой называется геометрическое место двух точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F1 и F2 есть величина постоянная (2а), меньшая расстояния (2с) между этими заданными точками. Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения следует, что е>1.

Уравнение гиперболы в полярной системе координат имеет вид: где – фокальный параметр гиперболы.

Доказательство: выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F₂ гиперболы, а в качестве полярной оси – луч с началом в точке F₂, принадлежащий F₁F₂, но не содержащий точки F₁. Тогда для произвольной M(r, φ), принадлежащей правой ветви гиперболы, имеем F₁M – r =2a. Выражаем расстояние между точками М(r, φ) и F₁(2c,π):

, следовательно, в координатной форме уравнение имеет вид: .

Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:

. Выражаем полярный радиус r и делаем замены , , : , что и требовалось доказать. [1,стр.274-278]

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки F и заданной прямой d, не проходящей через заданную точку. Это геометрическое определение выражает фокальное свойство параболы. Эксцентриситет параболы равен 1.

Уравнение параболы в полярной системе координат имеет вид: где p – параметр параболы.

Доказательство: в качестве полюса полярной системы координат выберем фокус F параболы, а в качестве полярной оси – луч с началом в точке F, перпендикулярный директрисе и не пересекающий её. Тогда для произвольной точки M(r, φ), принадлежащей параболе, MM_d=r. Поскольку , получаем уравнение параболы в координатной форме:

, что и требовалось доказать.

Замечание: в полярных координатах уравнения эллипса, гиперболы и параболы совпадают, но описывают разные линии, поскольку отличаются эксцентриситетами ( для эллипса, для параболы, для гиперболы). [1,стр.282-284]

3. Решение систем линейных уравнений.

Решением системы линейных уравнений (СЛУ) называется n-ка чисел () при подстановке которой в СЛУ каждое уравнение обращается в верное равенство.

Если СЛУ не имеет решения, то она называется несовместной; имеет решения – совместная; 1 решение – определённая; бесконечное количество решений – неопределённая. [Из лекций]

3.1 Метод Гаусса

Метод Гаусса – метод решения СЛУ с помощью последовательного исключения переменных и приведения СЛУ к ступенчатому виду. Пусть дана СЛУ(1):

1) Будем считать (в общем случае), что .

2) Вычтем из второго уравнения первое уравнение, умноженное на , из третьего – первое, умноженное на и т. д.

В результате из СЛУ в уравнениях со второго по m-ное будет исключена x₁. Назовём её СЛУ(2).

3) , т.к. получена с помощью элементарных преобразований. Далее применяем аналогичные рассуждения и исключаем в уравнениях, начиная с 3-го, переменную х₂, и т.д.

В результате получим: (3)

В результате и напоминает ступеньку, поэтому называется ступенчатой СЛУ. Индекс к зависит от соотношения количества переменных в СЛУ и количества уравнений(m и n). Решения:

1) СЛУ(1) совместна в соответствующей ступенчатой системе (3) нет противоречивого уравнения вида , где .

2) СЛУ(1) имеет 1 решение СЛУ совместна и в соответствующей ступенчатой СЛУ(3) нет свободных переменных.

3) СЛУ(1) имеет решений СЛУ совместна и в соответствующей её ступенчатой СЛУ(3) есть свободные переменные. [Из лекций]

3.2 Матричное решение СЛУ

Матрицы , и – основная матрица СЛУ(1), столбец свободных членов и столбец неизвестных соответственно. Тогда, исходя из определения умножения матриц, СЛУ(1) можно записать так: . Домножим обе части уравнения на слева, получим: . Так как , то получаем: . Решив матричное уравнение, получим решение СЛУ(1). [Из лекций]

3.3 Решение методом Крамера

Для решения СЛУ(1), у которых количество неизвестных равно количеству строк, а основная матрица системы невырожденная, существует метод Крамера, который основывается на формулах , где – определитель основной матрицы системы, а все – определители матрицы, полученной из матрицы А заменой i-го столбца на столбец свободных членов. [Из лекций]

3.4 Общее решение СЛУ

Пусть – произвольное решение СЛУ(1), тогда равен сумме частного решения СЛУ и общему решению соответствующей ОСЛУ () . [Из лекций]

1. Бортаковский, Александр Сергеевич. Аналитическая геометрия в примерах и задачах.