Уравнение квадрата в декартовой системе координат

Уравнение квадрата в декартовой системе координат.

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) — начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Уравнение многоугольника

Составление и решение уравнений многоугольников

Скачать:

Предварительный просмотр:

Автор работы: Шпакова Маргарита Андреевна, г.о. Тольятти, МБУ СОШ

Научный руководитель: Владимирова Ольга Ивановна, учитель математики первой категории МБУ СОШ № 58.

В школьном курсе математики учащиеся часто встречаются с алгебраическими уравнениями, уравнениями прямых, уравнениями окружностей, квадратными уравнениями и т.д. Что собой представляют уравнения многоугольников, учащиеся не знают.

Как, например, выглядит уравнение треугольника? Можно ли по фигуре на плоскости составить уравнение? Можно ли рассчитать площадь фигуры по заданному уравнению? Можно ли по заданному уравнению определить, что за многоугольник? Решение этих вопросов меня и заинтересовало. В них есть проблема моей исследовательской работы.

Цель работы: изучить и исследовать на примерах методы, которые дают возможность получить уравнение с модулем любого выпуклого многоугольника на плоскости, координаты вершин которого известны. Найти взаимосвязь площади фигуры от ее уравнения.

Основные ЗАДАЧИ исследования:

1. Познакомиться с некоторыми видами уравнений прямых на плоскости (уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости);
2. Научиться составлять уравнение прямой через заданную точку и параллельную другой прямой;
3. Научиться составлять уравнение прямой, проходящей через две заданные точки;
4. Научиться по уравнению строить многоугольник на плоскости и наоборот, по чертежу составлять уравнение многоугольника;
5. Изучить метод областей при решении уравнений, содержащих знак модуля.

Как известно из курса геометрии, любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением вида

Подобное уравнение называют линейным. Уравнение такого вида называют также общим уравнением прямой на плоскости.

Если ax+by+c = 0 — уравнение некоторой прямой m, то уравнение ax+by+c = p, где р ≠ 0, задает прямую m`, параллельную m. Это следует из того, что данные два уравнения не имеют общих решений, а значит, прямые не имеют общих точек.

У параллельных прямых

Пример1 . Составим уравнение прямой, проходящей через точку М (1;-2) и параллельной прямой 3x-4y+5=0

Подставляя координаты точки М в левую часть уравнения, получаем значение 16. Значит, искомым уравнением прямой будет 3x+4y+5=16 или окончательно 3x+4y-11=0.

Пусть известны координаты двух точек М 1 (x 1 ;y 2 ), М 2 (x 2 ;y 2 ), лежащих на данной прямой. Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0

Пример 2 . Составим уравнение прямой, проходящей через точку М 1 (3;1) и М 2 (2;2).

Получаем такое уравнение (x-3)(2-1)-(y-1)(2-3)=0

после преобразований выходит х+у-4=0.

Если известны координаты (а;0) и (0;b) точек пересечения прямой с осями Ох и Оу, то для этой прямой проще всего записать уравнение в отрезках + = 1.

Рассмотрим на координатной плоскости ху треугольник с вершинами в точках А (х 1 ;у 1 ), В (х 2 ;у 2 ), С (х 3 ;у 3 ). Уравнение прямой, на которой лежит сторона АВ этого треугольника, можно записать в виде

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0.

Подставим координаты третьей вершины С (х 3 ;у 3 ) в левую часть этого уравнения,

получим некоторое значение

q=(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )

Чтобы понять геометрический смысл числа q, заметим, что уравнение

(х-х 1 )(у 2 -у 1 )-(у-у 1 )(х 2 -х 1 )=q задает прямую, параллельную стороне АВ данного треугольника. Поэтому для каждой точки этой прямой результат подстановки ее координат в левую часть уравнения тот же, что и для точки C (х 3 ;у 3 ), и дает число q. Значит, то же значение получится и для точки С 1 (х 4 ;у 1 ) пересечения упомянутой прямой с прямой у=у 1 , параллельной оси абсцисс и проходящей через вершину A треугольника. Но в этой точке

(х-х 1 )(у 2 -у 1 )-(у-у 2 )(х 2 -х 1 ) = (х 4 -х 1 )(у 2 -у 1 ). Геометрический смысл последнего выражения понять уже несложно: |(х 4 -х 1 )(у 2 -у 1 )| площадь параллелограмма со сторонами АВ и АС 1 . Длина стороны АС 1 равна |х 4 -х 1 |, а длина высоты параллелограмма, опущенной из вершины B на эту сторону, есть |у 2 -у 1 |. Поэтому |q| есть площадь ΔАВС 1 , но она такая же, что и у ΔАВС. В результате приходим к следующей формуле для площади треугольника

S = |(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )|. (3, стр. 169).

Если треугольник задан в декартовой системе координат и имеет своими вершинами точки А (х 1 ;у 1 ), В (х 2 ;у 2 ), С (х 3 ;у 3 ), то можно составить уравнение треугольника:

|(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )| + |(x-x 2 )(y 3 -y 2 )-(y-y 2 )(x 3 -x 2 )| +

+ |(x-x 3 )(y 1 -y 3 )—(y-y 3 )(x 1 -x 3 )| = 2S, где

S = |(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )|.

Пример 3 . Составим уравнение треугольника, изображенного на рисунке. Для этого составим уравнения прямых, которые являются его сторонами, по формуле

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0, задающей уравнение прямой по двум ее точкам. При этом допустимым считаем раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых и недопустимым – умножение обеих частей уравнения на некоторое число (за исключением -1) .

Уравнения сторон имеют вид: х-у+1=0, х+у-1=0, 2у=0. Сложив модули левых частей этих уравнений, и приравняв полученное выражение к удвоенной площади ΔАВС, равной в данном случае 1, приходим к искомому уравнению |x-y+1|+|x+y-1|+2|y|=2.

Описанный метод дает возможность получить уравнение любого выпуклого многоугольника на плоскости, координаты вершин которого известны.

Уравнение квадрата, ромба

Пример 4 . Составить уравнение квадрата:

|x-1| + |y-1| + |x| + |y| = 1. Площадь равна 1.

Пример 5 . Составить уравнение ромба:

Через точки с координатами (1;0), (0;1) уравнение прямой: x +y -1 = 0.

Через точки с координатами (-1;0), (0;1) уравнение прямой: x – y + 1 = 0.

Через точки с координатами (-1;0), (0;-1) уравнение прямой: x + y + 1 = 0.

Через точки с координатами (0;-1), (1;0) уравнение прямой: -x + y + 1 = 0.

Получили: | x + y — 1| + | x – y + 1| + | x + y + 1| + | -x + y + 1 | = 4.

Этот же ромб имеет другое уравнение: |х| + |у| = 1, которое лучше решать «методом областей». Площадь ромба равна 2.

Пример 6 . Докажите, что уравнения: |x + y| + |x — y| = 2 и |x + 1| + |y + 1| + |x -1| +|y — 1| =4 относятся к одному квадрату.

Первое уравнение лучше решать «методом областей», где вся плоскость разбивается прямыми у =-х и у=х на четыре области, значит, искомая фигура четырехугольник, стороны которого параллельны осям координат. Из уравнений каждой области у=1, х=1и т.д. понимаем, что это квадрат, площадь которого равна 4.

Второе уравнение наглядно изображено, подтверждая первое.

Пример 7. Определить вид многоугольника по уравнениям:

|х| + 3|у| = 6; |х-3| + |у+3| = 3; |х-1| + 7|у| = 1.

Во всех случаях даны уравнения ромба .

Пример 8 . Изобразить на плоскости многоугольник по данному уравнению: |x|+|y|+|x+y|=4.

Из данного уравнения следует, что х=0, у=0, х= -у –прямые, которые разбивают плоскость на несколько областей.

Найдем уравнение прямой, стороны многоугольника, в каждой из областей:

Упражнения

1. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = sin 4 φ .

2. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = cos φ .

3. Для параболы x 2 = 4 ay выберем в качестве полярной оси луч, идущий по оси Oy с началом в фокусе F (0, a ) параболы. Переходя от де­картовых к полярным координатам, покажите, что парабола с выколотой вершиной задается уравнением

.

4. Докажите, что уравнение

задает эллипс, если 0 > 1.

5. Нарисуйте спираль Архимеда, заданную уравнением r = — φ . Чему равно расстояние между соседними витками этой спирали?

6. Человек идет с постоянной скоростью вдоль радиуса вращающейся карусели. Какой будет траектория его движения относительно земли?

7. Нарисуйте гиперболическую спираль , задаваемую уравнением r = .

8. Нарисуйте спираль Галилея , которая задается уравнением r = a 2 ( a > 0). Она вошла в историю математики в XVII веке в связи с задачей нахождения формы кривой, по которой двигается свободно падающая в области экватора точка, не обладающая начальной скоростью, сообщаемой ей вращением земного шара.

9. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = | |.

10. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

11. Нарисуйте кривую, задаваемую уравнением r = .

12. Найдите параметрические уравнения: а) спирали Архимеда; б) логарифмической спирали.

1. Березин В. Кардиоида //Квант. – 1977. № 12.

2. Березин В. Лемниската Бернулли //Квант. – 1977. № 1.

3. Берман Г.Н. Циклоида. – М.: Наука, 1975.

4. Бронштейн И. Эллипс. Гипербола. Парабола / Такая разная геометрия. Составитель А.А. Егоров. – М.: Бюро Квантум, 2001. — / Приложение к журналу «Квант» № 2/2001.

5. Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л. Прямые и кривые. – 3-е изд. – М.: МЦНМО, 2000.

6. Маркушевич А.И. Замечательные кривые. – М.- Л.: Гос. изд. течн. – теор. лит., 1951. — / Популярные лекции по математике, выпуск 4.

7. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960.

8. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Кривые. Курс по выбору. 9 класс. – М.: Мнемозина, 2007.

9. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2011.

10. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Компьютер помогает геометрии. – М.: Дрофа, 2003.