Уравнение лагранжа 2 рода динамика

iSopromat.ru

Уравнения Лагранжа второго рода, которые представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат.

Для такой системы можно записать s уравнений, которые называются уравнениями Лагранжа второго рода или дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах:

Уравнения Лагранжа второго рода могут быть обобщены на случай связей, осуществляемых с трением, хотя они и не являются идеальными. Для этого следует силу трения перенести из группы сил реакции в группу активных сил, тогда связь с трением можно формально считать идеальной.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q₁, q₂,…q_s.

Дважды интегрируя эти уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получим систему уравнений движения в обобщенных координатах:

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Уравнение Лангранжа второго рода

Уравнение Лагранжа типа 2 1°.Обобщенная координата. Обобщенная сила. Рассмотрим систему материальных точек, подчиненных идеальной голономной связи. Обобщенные координаты-это независимые параметры, однозначно определяющие расположение точек материальной системы. Число степеней свободы в системе масс, подчиненных идеальным и голономным отношениям, будет равно числу независимых обобщенных координат. Механизм касания

и рукоятки система с 1 степенью freedom. As обобщенные координаты можно принять за угол поворота кривошипа, величина которого однозначно определяет расположение всех важных точек системы. Механизм дифференцирования конуса (рис. 157) представляет собой систему материальных точек с 2 степенями freedom. As независимая обобщенная координата, вы можете выбрать угол поворота

Полезная сила сопротивления приложена к барабану, с моментом направленным в противоположное направление к вращению барабанчика. Людмила Фирмаль

3. Радиус-вектор hl дает положение N-й материальной точки системы со степенями свободы, но в случае нестационарных соотношений он является функцией обобщенных координат и времени. И Да. О Рисунок 157. 400 к несчастью. Радиус города: барабан вращается вокруг неподвижной оси С, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберите обобщенные координаты и определите соответствующие обобщенные силы. Нити считаются

расширяемыми, а их масса игнорируется. Коэффициент трения скольжения груза по наклонной плоскости равен/. Поэтому уравнения движения для целевой системы были составлены с использованием уравнений общей динамики в задаче 396 и 2 методов использования уравнений Лагрейджа в этой задаче. Сравнение двух приведенных методов показывает преимущества использования уравнения Лагранжа. Решите задачу n используя

уравнение Лагранжа вместо формального введения сил инерции материальных точек системы и приведения их к простейшему виду и вычисления работы пары сил инерции относительно возможного смещения точек системы Необходимо найти обобщенную силу, составляющую лишь выражение кинетической энергии материальной системы и последующий расчет ее дифференциала.

а угол a ом и на-стержне Людмила Фирмаль

(2). Форекс-2С /(1-соз а). (2） Дадим контроллеру общее возможное смещение Sep и Sa, направленное на соответствующее увеличение угла поворота. Чтобы вычислить обобщенную силу, 8A возможно смещение, предполагая ноль, 8? ^ 0,8 а = 0. Это означает, что если угол a, образованный вертикальным стержнем OM и ON, постоянен, то регулятор получил угловое смещение 8

вычисления обобщенной силы Qa зададим регулятору возможное смещение 8a, учитывая, что возможное смещение 8

Знак минус указывает на то, что возможное движение муфты B вверх, если sin равно 8. Вычислить сумму работы заданной силы на возможном пересечении точек системы, соответствующей обобщенному возможному сдвигу 8а. В (5） (6） 8л = — 2л, sina5a-Джей-Р28лг0 + Fxbx (Коэффициент 2 в первом члене обусловлен тем, что регулятор имеет 2 шара.) Подставляя значения Lpn и Fx из формул(4)и(2), получаем: ба = — u-коэффициент абсолютной скорости для каждого из шаров M и N. каждый шар участвует в сложном движении. Угловая скорость φ-это вращение вокруг вертикальной оси регулятора, а относительное вращение вокруг горизонтальной оси O, перпендикулярной плоскости фигуры, — это угловая скорость 4.Примените теорему сложения

скоростей точек： МВС = = 4 J(10） возьмите производную по времени от координаты xn связи B относительно угла поворота d, чтобы определить проективное значение х + ^ + / ЗР (0 ′ −2–2 ВТ ДОЛГОТЫ、 Где©c-скорость центра тяжести колеса wv、 Абсолютная угловая скорость o) подвижные координатные оси x, y, g на колесах 3 a, 13x, / Lu, / Lg-осевой момент инерции,/ 3, x, / Zx-центробежный момент инерции Колесо меньше

5 для соответствующих осей. Выберите начало координат оси центроида колеса 3 C. укажите вертикальную ось g горизонтально вправо вдоль относительной оси колеса 3, а ось y, а следовательно, и ось x, перпендикулярно плоскости рисунка. При аналогичном расположении координатных осей легко заметить, что они являются главной осью инерции колеса 3(колесо 3, а также колесо/и 2, считаются однородными круговыми дисками).Результат、 = / ^. = 0, и формула для расчета кинетической энергии колеса 3 т [’л) упрощается. 7″ » =1А^ +1 (/«ш+/, v, 0j.(9） для расчета wv, shu

необходимо определить абсолютную угловую скорость колеса 3.Колесо участвует в переносных вращательных движениях угловой скорости вокруг вертикальной оси и относительных вращательных движениях вокруг оси симметрии колеса 3. давайте представим наблюдателя в провернуть операционной системы, чтобы определить, Вт. Для этого наблюдателя, этот чудик, кажется, не двигаться. Как следствие, относительную картину движения представляется глазу наблюдателя. Колеса/, 2 и 3, по-видимому, вращаются вокруг неподвижной оси(см. Рисунок C).Напишите зависимость между относительной угловой скоростью колеса и радиусом. Ин ый> Ин гл» Где ω, ω’.)) обозначает угловую скорость

колес/, 2 и 3 относительно кривошипа, вращающегося с угловой скоростью ω0.Однако 2-я дробь имеет знак минус, и если учесть пропорции вместе, то необходимо указать разные направления движения колеса/и относительную угловую скорость движения колеса/. 2.In факт、 Мл.） если бы непев жил в другом месте, то это было бы: — =- Условия r. 2 = для r1, a>(f> = = — CC) = = co0, а для coco1-ω0, o).2 =2ш0-ω, то есть =(Ю） Из первой дроби определите относительную угловую скорость»•/ » колеса 3： / «(| Гг)= т«(о).2-О)

0）、 ч’3 Возмещение (?.- ? «) •(Р） Р \ Направление масла указывается кружевом. е. Для добавления жесткого вращения вокруг пересекающихся осей применим icopevy к колесу 3: ioa — <> e + o > r(см. Рисунок? это не. Теперь нетрудно вычислить проекцию абсолютной угловой скорости G).x), колесо 3 па на оси y-z, плотно соединенное с ним. 0, Ву = — си/’, — со*). Принимая во внимание формулу (11) и отмечая ее=φ0, получим: о) = 0,о>>, =—(ти — > о ^ = Введем эти значения 0 и φ и получают производную полученного результата по времени. Мы это выясним： я£= + + + /—））»-（2 /、+ liy-r±) — ЗУ

—)7г » y3g- 2г 1 ^ г> ’Б-2г’ 4г ’ Уравнение движения дифференциала (17) принимает вид: (18） ^ [8П р?, Л = п— 2М з = мл + Ми. Используя формулу(10), вы получаете следующую формулу:$ 9 = 2?0 — подставив n в это выражение, получим искомое угловое ускорение колеса 2. .. _ _N (2L-M)+ 5(2L1- Р. Г1 Здесь Ku L1U IV D S имеет значение, описанное выше.

Решение этой задачи с помощью теоремы общей динамики сопровождается большими трудностями. Применение уравнения Лагранжа позволяет относительно легко получать дифференциальные уравнения движения, и опять же удобство применения уравнения Лагранжа при решении сложных задач динамики систем с несколькими степенями свободы.

] 1алодим： Л (/>)= — Pbr5 грех, (3） Л (Ф)= Связанные С FBR, (4） БА (м с)= — фут. с8га. = — /П, потому что АБР (5） М(П)=0.（(5), поскольку в точке действия силы P является фиксированной、 БА (МС)= — МЦБ = п — Зин Ин.(8） Потенциальная энергия весовой силы Р (4) равна пуле. N » 2> =0.(9 )） Потенциальная энергия. P13; сила упругости пружины F равна P(3)= 2.Если подставить значение выражения (2)、 =РР *(1-а°) 2. (10 )） Используя выражения (8), (9) и (10), запишите выражение (2) в следующем виде: = = P, sino -> — для R ’ 2(1-cos?2). (И） Для вычисления обобщенной силы объекта, обобщенная координата

В9 =—[РХ с COS в 09 =

、 К М(ф)= + БГС(б） Примените Формулы(3), (4), (o) и (G)для описания (2) в виде: +(7） Обобщенная сила Q является коэффициентом пропорциональности формулы OG (7). Р Проблема 404.Груз а перемещается по гладкой наклонной плоскости угла а относительно горизонтальной плоскости. Маятник веса прикреплен к грузу A. длина строки маятника/. 」 Выберите обобщенные

ие. Поскольку для определения местоположения массы необходимо задать 2 независимых параметра, рассматриваемая система имеет 2 степени свободы. 1. один параметр определяет положение груза A на наклонной плоскости, а второй параметр определяет положение математического маятника B относительно груза A. Возьмите начало отсчета O случайным образом и направьте ось s вниз по склону. От точки O, точка вниз по оси x вертикально. Угол, под которым маятниковые нити перпендикулярны, обозначается

этой материальной системы: 5 и 9.В соответствии с этими обобщенными координатами существуют 2 обобщенные силы: Qs и Qr Показывает силу установки системы. Px-вес груза, P4-вес маятника B. Она не должна показывать силу реакции сцепления, так как все соединения, приложенные к системе, идеальны(когда система движется, плоскость становится гладкой, а вытянутые нити растягиваются). Дает системе 2 независимых обобщенных возможных перемещения. В формуле определения возможных перемещений БРК

обращает внимание читателя на то, что 1 член меньше формулы ® ). (5） Примените Формулы (4) и (5), затем напишите (3) и pide. П=-(Р,• -) — P4) 5 sin a-Р2 / cos теперь вы можете легко определить желаемую обобщенную силу. М,= — Г = — ^ [- (Р, — ’ \ РФ) с грех-Р, / Кос =(П+ а) грех、 В9 = — Ф = — у [- (РІ-Р М) ООО 《. — Пи Джей, Кос? / =- м / СР грех. Решая следующую задачу, мы можем объяснить обоснованность применения этого метода расчета обобщенных сил в случае систем с несколькими степенями свободы, в которых существуют только потенциальные заданные силы. Задача

405.Установите 3 диска в герметичный горизонтальный эластичный вал на одном конце ступени. Если центр тяжести диска находится на геометрической оси вращения, выберите обобщенные координаты и определите соответствующие обобщенные силы. Модуль упругости вала равен S. Решение. В этой системе есть 3 степени свободы. Указывает угол поворота диска, соответственно.9, cp9 и

социальная природа Формулы (1) bx-это обобщенная сила Qx. QX = R Предположим, что 8sΦ0 и bx = = op = 0 определяют обобщенную силу Qs. Это означает, что цилиндр неподвижен относительно призмы и платы относительно горизонтальной плоскости. Только плата, соединенная с цилиндром, движется вниз по боковой наклонной плоскости призмы 8s. Например, сумма работы всех сил, приведенных с возможным смещением в 8 секунд, записывается в виде 8 A = ( / > , + / > a) 8-секундный грех a. (2） Действие сил F и Px равно действию пули. Смысл действия этих сил в том, что они не движутся. Обобщенная сила Qs — это коэффициент,

представляющий собой 2s формулы (8). М,= (/Ви〜П3) грех. Переходим к расчету обобщенной силы Qn. So будем считать bnΦ0, bx = b $ = 0. Это означает, что призма неподвижна относительно призмы и горизонтальной плоскости, а поскольку душ перемещается относительно доски, его центроид C перемещается вниз вдоль оси n до 8l. Рассчитайте величину работы заданной силы на возможное перемещение Ln. БА = P38l грех. (3） Сила F, P и P. 2 задания равны нулю. Потому что точки действия этих сил не двигаются. Обобщенная сила Qn-это коэффициент, который находится в cn в уравнении(3). Дя = Пт греха я. Поэтому необходимая обобщенная сила имеет

следующий смысл: Ц = ф, Qв =(Р9-п-Р3) грех,= А. грех 2 \ обобщенное уравнение динамики в обобщенных координатах.2-й вид уравнения Лагранжа. Общая формула динамики системы масс н Х(ФК-mbwk).СРК = 0 к»■я В обобщенных координатах существует форма. [д ДТ N\, д / д ДТ от N \ ,. 。 * / д ДТ от Где Q гв. QS является обобщенной координаты, КЖ> дь QS является обобщенной скоростью, и hqb непосредственного обращения обобщен Смещение системы-это

изменение соответствующих обобщенных координат Q, Q. lfQs-обобщенная сила системы, T-кинетическая энергия системы. Для систем, подчиненных полому насосу, bqy, 8q. поскольку 2i bqs является независимым обобщаемым перемещением, общее уравнение динамики удовлетворяется только условием, что коэффициент, находящийся в возможном перемещении, равен пуле. д ДТ _ ДТ _ ДТ Н йй \ dqt-КЖ> dT_dT_n д ДТ Д d dT dT_ да d’Ant C \ dq3 Ws * д ДТ dT = _dP ДТ б ’ д ы в DQS DQS с ’ * ) Такого рода уравнение Лагранжа класса 1 не рассматривается. Таким образом, приведенное ниже уравнение Лагранжа типа 2 называется просто уравнением Лагранжа. Вводя Лагранжеву функцию Lt, равную разности кинетической

и потенциальной энергий, для L = T — P уравнение (2) принимает вид: д 0L » dl_ » в ^ Йй \ DQL по

’ (3 *） д дл _ дл n ДТ йй, ’dq3 ’ д дл дл _ г ДТ служб DQS DQS с Трудность решения задачи динамики системы материальных точек с 1 степенью свободы заключается, в частности, в успешном выборе соответствующей общей теоремы динамики. Для систем с некоторыми степенями свободы решение задачи значительно сложнее, так как решение задачи требует совместного применения общей теоремы и других кинематических relations. In в таких случаях наиболее удобно использовать уравнение Лагранжа. Уравнение Лагранжа является универсальным методом

для составления дифференциальных уравнений движения материальной точечной системы. Большое преимущество уравнения Лагранжа состоит в том, что при наличии идеальной голономной связи сила реакции связи не учитывается. (При применении других методов решения задачи сила реакции связи должна быть исключена из системы составляющих уравнений при решении задачи.）

Динамика системы уравнений, полученная выше при решении большинства задач, может быть выведена непосредственно с помощью уравнения Лагранжа. В зависимости от условия задачи, когда необходимо найти реакцию связи, уравнение Лагранжа используется для определения точки ускорения системы, применяя принцип освобождения связи к соответствующей массе системы и используя либо теорему общей динамики, либо метод

кинетической статики. При решении задач в динамике, когда нет четкого плана применения тех или иных теорем, необходимо отказаться от использования уравнения Лагранжа. Все вышесказанное не умаляет важности теоремы в целом. Общие теоремы рекомендуется использовать при решении некоторых простых задач динамики (см. главу XI ниже). Составление уравнения Лагранжа следует проводить в следующем порядке: I) определяет число степеней свободы в материальной системе. ’> ) Выберите систему координат и введите число независимых обобщенных координат, равное числу степеней свободы. 3) определяет

обобщенные силы Q, Q, Qs системы, соответствующие выбранным обобщенным координатам. (Процедура расчета обобщенной силы подробно описана в пункте I настоящего раздела.) 4) вычислить кинетическую энергию t системы рассматриваемых материальных точек. 5) найти частные производные кинетической энергии в сумме 。。。 дециграмм Скорость 7) подставьте результаты, полученные в разделах 3, 5 и 6, в уравнение Лагранжа. Проблема 407.Уравнение Лагранжа используется для получения дифференциальных уравнений для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Решение. Твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси, имеет 1 градус freedom. In дело в том, что для определения местоположения всех точек достаточно задать

1 параметр, например, угол поворота

заданных при этом возможном смещении： 8-4 = 2 Сус 8? = [Тртп») J Я） к-1 к-я Обобщенная сила Q9 — это коэффициент, который находится в Формуле (2). Q,= X’M ^ a). (3） К 1 ноября. Кинетическая энергия твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси имеет следующий вид Вычислите частную производную кинетической энергии относительно обобщенной скорости ДТ, нет. А затем возьмите производную по времени от результата： д ДТ г Дж \ ДТ с = ’А — Заметим, что кинетическая энергия массы T не зависит от обобщенных координат x, y, z、 ДХ ды-б£ — (о> Формула（2）、（3）、（4）и (3) присваивается системе уравнений Лагр ГHkY> = X 17кг k = I k I fe ^ 1 Он от потенциальной энергии системы в соответствии с соответствующими обобщенными

координатами, т. е. dqi ’ Где r = 1,2,…、 Расчет обобщенных сил материальной системы является одним из ключевых этапов решения задачи с использованием 2-го уравнения Лагранжа. 1. Решение о обобщенной силе может быть осуществлено двумя способами: а)наиболее распространенным приемом является вычисление обобщенной силы в виде коэффициента, выражающего сумму основных действий данной силы и соответствующего обобщенного возможного displacements. In в этом случае расчет обобщенных сил следует проводить в следующем порядке: 1) исследуйте число степеней свободы в рассматриваемой системе масс и выберите

соответствующие обобщенные координаты. 2) показать всю настроенную мощность системы. 3)Если все связи, наложенные на материальную систему, не идеальны, добавьте к данной силе соответствующую реактивную силу связи (силу трения и т.). 4) число обобщенных координат, то есть равное числу степеней свободы в материальной системе, дающее системе независимое обобщенное возможное смещение. Проблема 409.It доказывается изохронизм колебаний циклоидального маятника. Решение. Маятник называется циклоидой и может быть отображен как материальная точка, которая движется по дуге окружности циклоиды. При решении задачи 284 учитывался математический маятник, в котором дуга является орбитой. Дифференциальный звук колебаний математического маятника, записанный в уравнении 284 (4)、 п + £ грех? = 0、 Где о-

угол отклонения маятниковой нити от вертикали, а/ — длина нити. В уравнении (II)той же задачи период колебаний математического маятника г = 2.: Ил(л + Tsinl 2 + элсинт 2-я -••••). Где а-угловая амплитуда колебаний. Таким образом, колебание математического маятника не имеет изохронных свойств, так как его колебательный период зависит от начального состояния движения, то есть от угловой амплитуды a. In в случае малых колебаний маятника, при замене sin дифференциальными уравнениями движения, только

In в этом случае периоды колебаний математического маятника примерно равны Колебания циклоидного маятника указывают на то, что они обладают свойством изохронности, в отличие от математических колебаний. К выпуску 409. Обычное представление о циклоиде связано с локусом точки А, которая находится на краю катящегося колеса без скольжения по рельсу прямой линии (см. рисунок а). Па рисунке б это колесо катится по рельсу на колесе без скольжения снизу. Движение точки А

является колебательным движением, что указывает на то, что ее колебательный период не зависит от начальных условий движения (конструкция циклоидного маятника обсуждается ниже). В качестве обобщенной координаты выберите угол

Единственной указанной силой является масса груза, обозначаемая R. Потенциальная энергия Р массы выражается формулой: Р = ру = — ра ([- а (3） Виде обобщенной силы QF-это скорострельный ЖП. Вводя Формулу (3) выражение в эту формулу: Qv = Pasin

Вычислите частную производную кинетической энергии 7 ’для обобщенной скорости φ. = 2 maq (1-cos и рост нагрузки Б Б. легко видеть, ’3 Поэтому 8R = — р38 (Λ(9） Кинетическая энергия системы T (p! ！- «•с」） Подставляя Формулы (3), (9) и (10) в уравнение Лагранжа (1), получаем дифференциальное уравнение движения лебедки для обобщенной координаты».. ’, / г.\ «О1） (Л + П. ^ + Л +Гротц В случае W: Pj-r^ ускорение груза B направлено вверх. в случае mQPiГ-ha ускорение нагрузки B направлено вниз. п0 = = Pk-ha, лебедка

остановлена, или вся масса движется Равномерно. Направление движения зависит от начальных условий движения. Эта задача также может быть решена с помощью дифференциальных уравнений для вращения твердых тел вокруг неподвижных осей. н / ?= 2 МЗ (ФК)> к = \ Это должно было быть составлено 2 раза.1 для шестерни, другое для остальной электрической ворота. Для Необходимо было мысленно разрушить эту систему в нижней части детали и зубчатой передачи/и 2 точках склеивания, заменив действие отброшенной части конструкции соответствующей реактивной силой сцепления. R, который составляет систему дифференциальных уравнений

движения, включает в себя силу реакции сцепления. Только после исключения этой силы реакции из результирующей системы уравнений может быть достигнуто уравнение (11).Преимущества уравнения Лагранжа, не содержащего реакции связывания, очевидны. Задача 411.Определите угловое ускорение коленчатого вала в вертикальной плоскости. Шестерня 2 внутренне зацеплена с неподвижной шестерней/.Колесо 2 использует кривошип OA для перемещения гайки, и применяется силовая пара с крутящим моментом от// / 0 до v. Вес кривошипа OA равен P, вес колеса

2 равен g2, радиус колеса 2 равен радиусу неподвижного колеса L Колесо 2 считается однородным круговым диском, а кривошип O / H-влажным однородным стержнем. Игнорируйте сопротивление движению. Решение. Поскольку угол поворота кривошипа ОА определяет все положения, планетарная передача имеет 1 степень свободы. Механизм действия point. As в качестве обобщенной координаты выберите угол 9, измеренный либо по горизонтальной оси, либо против часовой стрелки. Уравнение Лагранжа обобщенных

координат-Р41 0.4 [Кост и R. 0Л= 0&> — — f(3） И затем…

Кинетическая энергия ползучести ОА, вращающейся вокруг неподвижной оси о, перпендикулярной плоскости фигуры, вычисляется по формуле= ^ — О-я-ОА ^ л-т ^ — СБР-момент инерции кривошипа. Так… (4 )） Кинетическая энергия шестерни 2, которая совершает плоское движение Найти скорость точки А, конечную точку кривошипа ОА. ба = \ ОА \ ч =(ГУ-б) х. (6） Рассмотрим скорость той же точки А, которая принадлежит шестерне 2, относительно мгновенного центра относительно скорости колеса. vA = a iP•u = r9sh2. (7 )） Если мы сравним формулы (b) и (7), то увидим следующее: г-г.

Два Момент инерции шестерни 2 рассчитывается по следующей формуле л (9) Если подставить выражения v5, coi и/ d из выражений (6), (8) и (9) соответственно, то выражение (5)будет иметь следующий вид: (У） Уравнения (3), (4) и (10) используются для описания уравнения кинетической энергии планетарного механизма. + *(ВТОРОЙ） Вычислите частную производную кинетической энергии t, но обобщенная скорость равна: dT 2P + NR、 СФ = — ЭИ -» -’»> -?В =(8)я• » А затем возьмите производную по времени от результата： Д ДГ ^ г + ОГ ^» Как- — — — (Т | Р потому выражение (9), ХС = rcos СР +(1–4 +1 х * соѕ 2? ）、 Иначе говоря = Ж + р так? + ’8′); 2 / cos Откуда ■ * С = — Р(грех 9-(—^- х Sin 29 ^ 9.(11） Центр тяжести кривошипа и шатуна ОА расположен на их средней точке и имеет такую же ординату в конструкции Нам = язык yct = 2-си » б Откуда —

’Р£соѕ (О.- Если ввести значение xc и усов из Формулы (10) в формулы (11) и (12), то вы увидите следующее: В * = РМ(грех 9 + т х Sin 2?V-Ч Т потому что * * 9 (13 )） Формула (G) для Формулы ma и формулы (P) и (13） П /- И. Учитывая то, что мы получаем： g»»: = <3 [4 (грех?- Ф-ТХ грех + коси *] + Потому что — . потому что 2 + р *>с°с » С. От (21） Где/ pr определяется выражением

(18).Формула (21) представляет собой дифференциальное уравнение для движения кривошипно-шатунного механизма. Задача 399.Определить обобщенную силу в случае движения математического маятника массы р, Если длина нити равна/.Для обобщенных координат возьмем угол отклонения

При решении обратной задачи, то есть при определении движения заданной силой, часто используется численное интегрирование, так как решение дифференциального уравнения (21) затруднено. В зависимости от состояния задачи необходимо определить закон изменения крутящего момента M. Это позволяет получить равномерный кривошип Bpauienne, или cf. Далее, она равна 3 = 0, и решение уравнения (21) относительно m дает следующий результат: Куда? + Xsin 2?(С COS Так как кинетическая энергия material материальной системы, определяемая формулой (13), не зависит от обобщенных координат cp и S.、 ДТ ДГ л （4）、（5）、（14）、подставляя и(15)в уравнение Лагранжа(1), получаем: Р + 12Р,+ 2Р, м-2Р, Р.? +£Шя (4П | п, П3）、 (16） — ?■^§- Ф Р? = Приблизительно. 1.Е Р Решая одновременно уравнения (5 и S) (16), можно видеть: = r—H aor,-h (jp, −2 /> TG ’ (Inlex

CP с обобщенной силой Q является координатой(ЛРН * — •3/л, — / — 2×3)^ ’о — / тр-н-б Р2 4 * па） o_9 а _ _ _ / 2 (При выводе этих уравнений предполагается, что/ = 0 a = s = 0.) Задача 414.Решите задачу 396, используя уравнение Лагранжа. Solution. In решая задачу 396, было показано, что рассматриваемая система имеет 2 степени свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем линейную координату 5 |傾斜面に沿って下方に向けられたs. lt запишите уравнение Лагранжа для обобщенных координат S.< ±dT_dT_p Д ДГ г dtdli 3s] — Дидди; Ди、〜 Заранее поставленная сила:Т 7 Рг2 10 = — так、 Кинетическая энергия постепенно движущейся платформы принимает форму −2 г в•

Учитывая, что, учитывая нерасширяемость веревки a=, вы можете увидеть следующее: =(8） Колесо вагонетки сделает квартиру motion. So … R G Если момент инерции колеса равен/, = вращать — Я ЗГ. виртуальный канал Без проскальзывания vr = 5.Резьбовой стержень Ы ы ы ы Тельпо. J [если подставить значение этого vc в выражение (I)、 744)= 1.&r V + J ^ + £ (, 2） (6) Формула（7）、（8）、（9）и (12) к/(1), 7 ’(i \ T < Так как кинетическая энергия material материальной системы, определяемая формулой (13), не зависит от обобщенных координат cp и S.、 ДТ ДГ л （4）、（5）、（14）、подставляя и(15)в уравнение Лагранжа(1), получаем: Р + 12Р,+ 2Р, м-2Р, Р.? +£Шя (4П | п, П3）、 (16） — ?■^§- Ф Р? = Приблизительно. 1.Е Р Решая одновременно уравнения (5 и S) (16), можно видеть: = r—H aor,-h (jp, −2 />TG ’ (Inlex CP с обобщенной силой Q является координатой(ЛРН * — •3/л, — / — 2×3)^ ’о — / тр-н-б Р2 4 * па） o_9 а _ _ _ / 2 (При выводе этих уравнений

предполагается, что/ = 0 a = s = 0.) Задача 414.Решите задачу 396, используя уравнение Лагранжа. Solution. In решая задачу 396, было показано, что рассматриваемая система имеет 2 степени свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем линейную координату 5 |傾斜面に沿って下方に向けられたs. lt запишите уравнение Лагранжа для обобщенных координат S.< ±dT_dT_p Д ДГ г dtdli 3s] — Дидди; Ди、〜 Заранее поставленная сила:

Все соединения, наложенные на систему, идеальны (так как наклонная плоскость должна быть идеально гладкой, на оси блока нет трения, а нити не растягиваются и не растягиваются). Для определения обобщенных сил QH и Q $ 2 приведем нагрузки A и B, соответственно, возможные перемещения SSj и направление, направленное параллельно линии максимального наклона наклонной плоскости в направлении увеличения координаты s.、％ Чтобы вычислить обобщенную силу QS, мы даем системе обобщенное возможное смещение Ss, предполагая, что [lsq равен нулю. Φ0,=(это

возможно, потому что » и ’ в являются независимыми обобщенными координатами.） Поэтому правая ветвь потока от нагрузки B, блока E и нагрузки B до точки N останавливается. Точка м нити получает вертикальное восходящее возможное движение Lm, размер которого равен Ss, поскольку нагрузка а может перемещаться вниз из-за отсутствия удлинения нити. Определите возможное смещение оси блока Sr0, принимая во внимание, что точка/ V нити накала остается в покое в то же время (см. Рисунок B).Это равно половине модуля модульно-способного перемещения 8gL1, то есть Ох 2.2 * Ж Рассчитайте сумму работы сил, приведенных к обобщенным

8 секундам, возможное перемещение точек системы, соответствующее возможному перемещению груза А. (В БА = РХ грех aZsi-(РВ + П6) б Рассматривая Формулу(2), можно увидеть: ал = [Р, грех-я(/> т + /> я)] та. (3） Гравитационная работа п. 2 равна пулевой, т. к.= 0, поэтому работы гравитации Р3 и Р4 равны нулю, т. к. точки приложения этих сил не перемещаются. Обобщенная сила QS1-это коэффициент, который находится в обобщенном возможном смещении уравнения (3). Под рукой-грех-у(П5 + П6). (Ля） Чтобы вычислить обобщенную силу Q $ 2, Дайте системе обобщенное возможное смещение Is, предполагая, что ОС равна пуле. Это

означает, что блок D груза а и левая ветвь нити а груза а находятся в точке М нити. Из-за нерастяжительного характера винта, из-за возможного перемещения нагрузки на ПА, точка N винта Излучает возможное смещение L ^вверх в вертикальном направлении. Это считается смещением и С. 3. размер равен модулю упругости. Учитывая, что точка нити M неподвижна в то же время, она выглядит так (см. Рисунок C）\ ^ О3 = =(5） Обобщенные возможные перемещения вычисляют сумму работы заданных сил на возможные перемещения точек системы, соответствующих ос4： BA = P,^ sin ft — (Pe + Pb) если рассматривать уравнение (5)、 БА = [Р4 грех? -я (П8-Ф Р6)] СУ4. (си） Работа гравитации Pt равна нулю, потому что s = 0.Работа

гравитации P3 и P4 равна нулю, так как их точки приложения неподвижны. Обобщенная сила QSi является коэффициентом в уравнении (6) os4. Вопрос, с = P4sin?^ Я(ЧП + П6). (7 )） Переходим к расчету кинетической энергии t материальной системы, состоящей из 6 масс: блоков D, E, K, A, B, L： м = ро ОКБ) 7(ч) Пи)пн _ [_ ППГ(г） Скорости нагрузки A и 8 fl направлены параллельно линиям максимального наклона наклонной плоскости. Проекция этих скоростей на ось s будет равна sx и s соответственно.2. Радиус блока D, E, K обозначается через r3, r4 и guard. In в этом случае угловые

скорости блоков O и E выражаются следующим образом: (9 )） Из-за не масштабируемости нити скорость Vm точки нити M равна скорости vA груза A. R>Λ1¥=£,.Аналогично: v / Wx = 9. использование рисунка очень просто. g, найти скорость движения оси Ov блока K>do plane motion： (10 )） Девять в Два Два Чтобы определить угловую скорость блока K, найдите скорость точки M и получите точку / V полюсов. Иначе говоря (vMN) x = 1 MN \ = 2rv£6, 2r3 ’?3 = .поскольку это v, угловая скорость блока равна K’. Кинетическая энергия груза а и в、 = 1 5. .В.], (П2） Рассчитайте кинетическую энергию блоков D

и E, которые вращаются вокруг неподвижной оси. Т© — 1 / А2 Т <Я>— я СВ2 1-2 пр™ » = 2 (Р р г р р р- \ = .: = Т ^ Дж Используя формулу(9) можно увидеть: Кинетическая энергия блока K, который совершает плоское движение, определяется уравнением Т [п) ВХ — / м 2 г 2 Подставляя значение момента инерции блока к、 Формула называется (10) и (11) и вы получаете: Кинетическая энергия постепенно движущейся нагрузки L равна、 Нравится 7 ’©=.- !-7) 0.. 2(г Примените формулу (10) для определения: 74.)= я J

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Применение общего уравнения динамики и уравнений лагранжа второго рода при исследовании движения механической системы

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(ФГБОУ ВПО РГУПС)

ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ

И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

к расчетно-графической работе по теоретической механике

УДК 534.014(07) + 06

Применение общего уравнения динамики и уравнений Лагранжа второго рода при исследовании движения механической системы: учебно-методическое пособие к расчетно-графической работе по теоретической механике / , , ; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2011. – 22 с. : ил. – Библиогр.: 4 назв.

В пособии кратко излагается теоретический материал, приводится пример решения типовой задачи. Даны варианты к расчетно-графической работе.

Одобрено к изданию кафедрой теоретической механики РГУПС и предназначено студентам всех специальностей.

Рецензент д-р техн. наук, проф. (ЮНЦ РАН)

© Ростовский государственный университет

путей сообщения, 2011

ПРИМЕНЕНИЕ ОБЩЕГО (ОБОБЩЕННОГО) УРАВНЕНИЯ

ДИНАМИКИ И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ

Краткие сведения из теории

Общее (обобщенное) уравнение динамики

Общее уравнение динамики является аналогом принципа возможных перемещений для случая движения системы материальных точек.

При движении механической системы, на которую наложены двусторонние, стационарные, голономные и идеальные связи, сумма возможных (элементарных) работ всех активных сил, приложенных к механической системе, и сумма возможных (элементарных) работ сил инерции всех материальных точек или тел, входящих в эту механическую систему, на любом возможном ее перемещении равна нулю:

Возможными (или виртуальными) перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями.

Число степеней свободы механической системы – это число ее независимых возможных перемещений, которые можно сообщить точкам системы в фиксированный момент времени.

Приведение сил инерции механической системы

Главный вектор сил инерции любой механической системы направлен в сторону, обратную направлению ускорения её центра масс. Величина главного вектора сил инерции равна произведению массы механической системы на ускорение её центра масс.

Главный момент сил инерции симметричного твердого тела относительно его центральной оси равен произведению осевого момента инерции этого тела относительно центральной оси на угловое ускорение тела и направлен в сторону, обратную направлению ускорения этого тела.

Возможная (элементарная) работа силы – бесконечно малая скалярная величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектор возможного перемещения точки её приложения:

Связи и их классификация

Связи – любые ограничения в виде тел или каких-либо кинематических условий, накладываемые на движения точек механической системы. Эти ограничения могут быть записаны в виде уравнений или неравенств.

Нестационарные связи – связи, изменяющиеся с течением времени, т. е. в уравнения которых явно входит время .

Стационарные связи – связи, в уравнения которых не входит явно время.

Геометрические связи – связи, уравнения которых содержат только координаты материальных точек, т. е. ограничения накладываются только на координаты точек. Это связи в виде тел, поверхностей, линий и т. п. Например, связь в виде некоторой поверхности описывается уравнением .

Кинематические связи – связи, уравнения которых содержат не только координаты материальных точек, но и проекции скоростей этих точек.

Дифференциальные связи – связи, накладывающие ограничения не только на координаты точек, но и на их скорости, описываются уравнением .

Связи называются голономными, если их уравнения могут быть записаны в виде, не содержащем производных от координат по времени или дифференциалов координат.

Неголономными связями называются дифференциальные связи, уравнения которых не могут быть проинтегрированы.

Двусторонние (удерживающие) связи – связи, ограничивающие движение точки в двух противоположных направлениях, уравнение связи дается в форме равенства.

Односторонние (неудерживающие) связи – связи, ограничивающие движение только в одном направлении, уравнение связи дается в форме неравенства.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой систему уравнений динамики в обобщенных координатах. Их использование является универсальным методом получения системы дифференциальных уравнений, описывающих движение любой механической системы.

Обобщенными координатами системы называется совокупность независимых параметров, которые однозначно определяют положение механической системы.

Обобщенные координаты обозначаются q1, q1,…, qN или qj(j=1,2,…,N). Производные по времени от обобщенных координат называются обобщенными скоростями . Число N независимых обобщенных координат голономной системы равно числу ее степеней свободы.

Уравнения Лагранжа второго рода имеют вид

где Т – кинетическая энергия системы;

Qj – обобщенная сила, соответствующая j-й обобщенной координате.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех объектов, образующих систему (T = T1+T2+……+Tn).

Кинетическая энергия твердого тела определяется по формулам:

– при поступательном движении:

Vс – скорость центра масс тела;

Jz – момент инерции тела относительно оси вращения;

w – угловая скорость вращения;

– при плоскопараллельном движении:

, Jzc – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения.

Величина называется j-й обобщенной силой.

Если вычислить сумму элементарных работ активных сил, действующих на точки системы на возможном перемещении системы, то соответствующая формула может быть представлена в виде:

Для определения обобщенной силы, соответствующей j-й обобщенной координате, необходимо:

1 Этой координате сообщить приращение , оставляя все остальные обобщенные координаты без изменений.

2 Вычислить сумму элементарных работ всех сил, действующих на систему, на этом перемещении.

3 Полученную работу разделить на приращение обобщенной координаты:

При вычислении работы сил используются следующие формулы:

работа сил тяжести:

h – изменение высоты между начальным и конечным положениями;

работа силы трения:

;

работа постоянной силы на прямолинейном перемещении:

a – угол между направлением силы и направлением перемещения;

работа сил, приложенных к вращающемуся телу:

Mz(F) – момент силы относительно оси вращения;

j – угол поворота тела.

Методика составления уравнений Лагранжа второго рода

Составление уравнений Лагранжа второго рода производится в следующем порядке:

1) определяется число степеней свободы заданной механической системы;

2) выбираются независимые обобщенные координаты, число которых равно числу степеней свободы;

3) вычисляется кинетическая энергия Т рассматриваемой системы, которая выражается через обобщенные скорости;

4) находятся частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям, т. е.

5) вычисляются их производные по времени

;

6) определяются частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам

;

7) находятся обобщенные силы Q1, Q2,…QN , соответствующие выбранным обобщенным координатам;

8) полученные в п. п. 4-6 результаты подставляются в уравнения Лагранжа.

Пример выполнения задания

Механическая система состоит из грузов 1 и 4 и ступенчатых шкивов 2 и 3 с радиусами ступеней R2 = 0,3 м; r2 = 0,15 м и R3=0,2 м; r3 = 0,1м (или однородных дисков с радиусами R2 и R3). Если груз 4 на рисунке отсутствует, его массу не использовать). Радиусы инерции ступенчатых шкивов относительно их осей, проходящих через их центры масс, соответственно равны: r2 = 0,3 м и r3 = 0,1 м. Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Механическая система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести, силы F, направленной под углом к линии движения груза 1 и пары сил с моментом M, приложенной к шкиву 2 (момент действует против часовой стрелки). Исходные данные представлены в таблице 1 (стр. 15), а схемы механизмов – в таблице 2 (стр. 16– 20) . Определить ускорение тела, имеющего больший вес.

Рис. 1

Рассмотрим задачу со следующими исходными данными:

источники:

http://lfirmal.com/uravnenie-langranzha-vtorogo-roda/

http://pandia.ru/text/80/295/30534.php