Дифференциальное уравнение Лагранжа
Решение дифференциального уравнения Лагранжа
Рассмотрим дифференциальное уравнение Лагранжа:
(1) ,
где и – это функции.
Будем искать его решение в параметрическом виде. То есть будем считать, что , , а также производная являются функциями от параметра . Положим
.
Поставим в (1):
(2) .
Продифференцируем по :
(3) .
С другой стороны:
(4) .
Левые части уравнений (3) и (4) равны. Приравниваем правые части и выполняем преобразования:
;
.
Разделим на . При уравнение принимает вид:
.
Это линейное дифференциальное уравнение относительно переменной . Решая его, получаем зависимость переменной от параметра : . Затем подставляем в (2):
.
В результате получаем зависимость переменной от параметра : . То есть мы получили параметрическое представление решения уравнения (1).
Дополнительные решения дифференциального уравнения Лагранжа
В процессе приведения уравнения к линейному, мы разделили уравнение на . Поэтому мы рассматривали решение при . В заключении следует рассмотреть случай , то есть исключить параметр из уравнений:
(5) ;
(6) .
Уравнение (5) содержит только переменную t . Поэтому его нужно решить и определить корни. Если корней нет, то дополнительных решений также нет.
Предположим, что мы нашли корни уравнения (5) (один или несколько). Обозначим такой корень как :
(7) .
Тогда уравнение (6) дает нам зависимость y от x , которая является линейной функцией:
.
Поскольку в силу (7), , то
(8) .
Покажем, что (8) является решением исходного уравнения (1). Для этого найдем производную (8). Она равна постоянной:
.
Подставим (8) и в (1):
;
;
.
Это уравнение выполняется, поскольку в силу (7), .
Таким образом, мы нашли, что уравнение (1) может иметь решения
,
где – корни уравнения
.
Пример
Решить уравнение:
(1.1)
Разделим на . При имеем:
(1.2) .
Это уравнение Лагранжа. Ищем решение в параметрическом виде. Считаем, что , , а также — это функции от параметра . Положим . Тогда
(1.3) .
Чтобы упростить выкладки, умножим (1.3) на знаменатель дроби и продифференцируем по :
;
;
(1.4) .
Далее имеем:
(1.5) .
Поставляем (1.3) и (1.5) в (1.4) и выполняем преобразования:
;
;
.
Разделим на . При ( или при и при ) имеем:
.
Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
.
Потенцируем:
.
Заменим постоянную . Знак модуля сводится к умножению на постоянную ±1, которую включаем в .
.
Отсюда
;
.
Подставляем в (1.3):
.
Заменим постоянную :
.
Теперь рассмотрим значения , которые мы исключили из рассмотрения при выполнении операций деления. Для этого подставим эти значения в исходное уравнение (1.1),
(1.1) .
Проверим, существует ли для этих значений дополнительные решения.
1) Подставим в (1.1):
.
Отсюда . Решение удовлетворяет исходному уравнению (1.1).
2) Подставим в (1.1):
;
.
Значение не удовлетворяет исходному уравнению. Отбрасываем его.
3) Подставим в (1.1):
;
;
.
Решение удовлетворяет исходному уравнению.
Общее решение уравнения имеет вид:
;
;
.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 26-08-2012 Изменено: 24-11-2021
Уравнение Лагранжа
Вы будете перенаправлены на Автор24
Общий метод решения уравнения Лагранжа
Предположим, что некоторое дифференциальное уравнение первого порядка $F\left(x,y,y’\right)=0$, не разрешенное относительно производной, удалось разрешить относительно $y$, то есть представить в виде $y=f\left(x,y’\right)$.
Частным случаем дифференциального уравнения такого вида является уравнение Лагранжа $y=x\cdot \phi \left(y’\right)+\psi \left(y’\right)$, в котором $\phi \left(y’\right)\ne y’$.
Дифференциальное уравнение Лагранжа решают методом введения параметра $y’=p$.
При этом исходное дифференциальное уравнение можно переписать в виде $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.
Выполнив дифференцирование по $x$ с учетом $dy=p\cdot dx$, после несложных алгебраических преобразований получаем линейное дифференциальное уравнение относительно функции $x\left(p\right)$ и её производной $\frac
Это уравнение решается известным методом, в результате чего получим его общее решение $x=F\left(p,C\right)$.
Подставив полученный результат в соотношение $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$, получим $y=F\left(p,C\right)\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.
Дополнительные частные либо особые решения уравнения Лагранжа могут быть получены в результате нахождения действительных корней уравнения $p-\phi \left(p\right)=0$ и подстановки их в $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$.
Решение типичных задач
Решить дифференциальное уравнение $y=-x\cdot y’+y’^ <2>$.
Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $\phi \left(y’\right)=-y’$ и $\psi \left(y’\right)=y’^ <2>$.
Вводим параметр $y’=p$ и получаем $y=-x\cdot p+p^ <2>$, а также $\phi \left(p\right)=-p$ и $\psi \left(p\right)=p^ <2>$.
Теперь получим уравнение вида $\frac
Уравнение приобретает вид: $\frac
Применяем алгоритм решения линейного неоднородного дифференциального уравнения:
- Стандартный вид $\frac
+\frac<1><2\cdot p>\cdot x=1$, где $P\left(p\right)=\frac<1><2\cdot p>$, $Q\left(p\right)=1$. - Вычисляем интеграл $I_ <1>=\int P\left(p\right)\cdot dp =\int \frac<1><2\cdot p>\cdot dp =\frac<1><2>\cdot \ln \left|p\right|$.
Записываем частное решение $v\left(p\right)=e^<-\frac<1> <2>\cdot \ln \left|p\right|> $, выполняем упрощающие преобразования: $\ln v\left(p\right)=-\frac<1> <2>\cdot \ln \left|p\right|$; $\ln \left(v\left(p\right)\right)^ <2>+\ln \left|p\right|=0$; $\left(v\left(p\right)\right)^ <2>\cdot \left|p\right|=1$.
Выбираем для $v\left(p\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(p\right)=\frac<1> <\sqrt
> $.
\cdot dp =\int \sqrt \cdot dp =\frac<2><3>\cdot p^<\frac<3><2>> $ и получаем $u\left(p,C\right)=\frac<2><3>\cdot p^<\frac<3><2>> +C$.
> =\frac<2><3>\cdot p+\frac > $. Подставляем полученный результат в $y=x\cdot \phi \left(p\right)+\psi \left(p\right)$. Получаем: $y=-\left(\frac<2> <3>\cdot p+\frac > \right)\cdot p+p^ <2>=\frac<1> <3>\cdot p^ <2>-C\cdot \sqrt $. Таким образом, общее решение данного уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $\left\<\begin > > \\ > \end Для определения дополнительных частных либо особых решений находим корни уравнения $p-\phi \left(p\right)=0$: получаем $p=0$. Подставляем $p=0$ в $y=-x\cdot p+p^ <2>$ и получаем $y=0$. Это решение является частным, так как получается из общего при $C=\frac<1> <3>\cdot p^<\frac<3> <2>> $. Решить дифференциальное уравнение $y=x\cdot y’\cdot \left(y’+2\right)$. Имеем дифференциальное уравнение Лагранжа, в котором $\phi \left(y’\right)=y’\cdot \left(y’+2\right)$ и $\psi \left(y’\right)=0$. Вводим параметр $y’=p$ и получаем $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$, а также $\phi \left(p\right)=p\cdot \left(p+2\right)$ и $\psi \left(p\right)=0$. Теперь получим уравнение вида $\frac Уравнение приобретает вид: $. \cdot dp =2\cdot \ln \left|p\right|$. Подставляем полученный результат в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$. Получаем: $y=\frac > \cdot p\cdot \left(p+2\right)$ или $y=C\cdot \left(1+\frac<2> \right)$. Таким образом, общее решение данного уравнения Лагранжа в параметрической форме имеет вид: $\left\<\begin > > \\ \right)> \end Параметр $p$ из этой системы можно исключить: $p=\frac <\sqrt Для определения дополнительных частных либо особых решений находим корни уравнения $p-\phi \left(p\right)=-p^ <2>-p=0$. Получаем: $p\cdot \left(p+1\right)=0$, откуда имеем два корня $p=0$ и $p=-1$. Подставляем первый корень $p=0$ в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$ и получаем первое дополнительное решение данного уравнения $y=0$. Это решение является частным, так как получается из общего при $C=0$. Подставляем второй корень $p=-1$ в $y=x\cdot p\cdot \left(p+2\right)$ и получаем второе дополнительное решение данного уравнения $y=-x$. Это решение является особым, так как не получается из общего ни при каком $C$.Готовые работы на аналогичную тему
ЛАГРА́НЖА УРАВНЕ́НИЯ
В книжной версии
Том 16. Москва, 2010, стр. 568
Скопировать библиографическую ссылку:
ЛАГРА́НЖА УРАВНЕ́НИЯ механики, обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, описывающие движение механич. систем под воздействием приложенных к ним сил. Выведены Ж. Лагранжем в 1788 в двух формах: Л. у. 1-го рода – уравнения в декартовых координатах с неопределёнными множителями Лагранжа, и Л. у. 2-го рода – уравнения в обобщённых лагранжевых координатах.
http://spravochnick.ru/matematika/differencialnye_uravneniya/uravnenie_lagranzha/
http://bigenc.ru/physics/text/2130966