Уравнение лагранжа системы материальных точек

Функция Лагранжа системы материальных точек

Функция Лагранжа системы материальных точек

• Здесь важным моментом для рассмотрения системы взаимодействия Только друг с другом, т.е. с незнакомыми людьми Тело, которое не взаимодействует, такая система называется замкнутой.

Можно видеть, что взаимодействие между точками материи можно описать, добавив конкретную координатную функцию x) (в зависимости от характера взаимодействия) к невзаимодействующей точке (4.2) к функции Лагранжа.

Называется кинетическая энергия Людмила Фирмаль

Выражая эту функцию с помощью -C / = t5? -ir (ri, r2, …) (5.1) (Ha — радиус-вектор i-й точки). Это общий вид функции. Лагранжева замкнутая система. Сумма 2 J1 _ y ^ но , функция U называется потенциальной Энергия всего тела, значение этих имен разъясняется в §6. Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от расы Положение всех материальных точек одновременно означает, что изменение их положения немедленно влияет на все остальные точки.

Можно сказать, что взаимодействие «распространяется» мгновенно. Неизбежность этого свойства взаимодействия в классической механике тесно связана с последней основной предпосылкой — абсолютностью времени и принципом относительности Галилея.

Примеры решения, формулы и задачи

• Если взаимодействие не распространялось сразу, то есть абсолютность времени автоматически означает применимость нормального правила добавления скорости ко всем явлениям, эта скорость отличается при конечной скорости ( Зависит от системы отсчета (движутся друг с другом).

Но в этом случае законы движения взаимодействующих объектов различны в разных (инерциальных) системах отсчёта, которые противоречат друг другу Это становится принципом относительности. В §3 мы только упомянули равномерность времени. Для отображения Функция Лагранжа (5.1) показывает, что время не только равномерно, но и изотропно.

поэтому уравнение движения не изменится Людмила Фирмаль

Его характеристики одинаковы в обоих направлениях. Фактически, если вы замените t на -t, функция Лагранжа останется, . Другими словами, если в системе возможно любое движение, обратное движение всегда возможно. Система, которая проходит через то же состояние в обратном порядке.

В этом смысле все движения, которые происходят по законам классической механики, являются обратимыми. Если вы знаете функцию Лагранжа, вы можете создавать уравнения Движение d5L = 5L, dtdwa dva ‘^ ’ Подставляя здесь (5.1), два ди / со о T’IG = ST (5’3) Эта форма уравнения движения называется уравнением Ньютона и представляет собой основу динамики системы взаимодействующих частиц. вектор F „= -g, (5.4) Стоя на правой стороне уравнения (5.3) называется силой в i-й точке.

Наряду с U, это зависит от координат всех частиц, но не от скорости. Следовательно, уравнение (5.3) показывает, что вектор ускорения частицы является функцией только координат. Потенциальная энергия Точность, с которой можно добавлять произвольные константы.

Там Некоторые дополнения не изменяют уравнение движения (частный случай неоднозначности функции Лагранжа показан в конце § 2). Наиболее естественным и общепринятым способом выбора этой константы является то, что потенциальная энергия стремится к нулю при увеличении расстояния между частицами.

В случае неортогональная Ордината точки и любые обобщенные координаты Чтобы получить функцию Лагранжа, нужно выполнить соответствующее преобразование Xa = / a (9 1, 9 2, Qs), = I.T. к Присвойте эти выражения функциям B = \ 5yPa (Xa + b1 +%)

U, но Получить желаемую функцию Лагранжа. L = \ ^ 2 aik (q) mk -u (q), (5.5) Где dik — только координатная функция.

Кинетическая энергия Обобщенные координаты все еще вторичны Это функция скорости, но также зависит от координат. Пока что мы обсуждали только закрытые системы. Теперь рассмотрим открытую систему A, которая взаимодействует с другой системой 5, которая выполняет определенное движение.

В этом случае говорят, что система A перемещается в заданное внешнее поле (созданное системой B). Уравнение движения может быть найдено из принципа минимального действия, изменяя каждую координату независимо (то есть, предполагая, что другие координаты известны), так что функция может быть найдена.

LaGrange La System A использует функции Лагранжа. Система А + В в целом Л. Замените координату qs заданной временной функцией. Предполагая, что система A + B закрыта, L = Ta (taAa) + Tv (yavLv) -U (qA, qB), Где первые два члена — это кинетические энергии систем A и 5, а третий член — их совокупная потенциальная энергия.

Замените данную функцию времени вместо qs и опустите время T (qy (Ј), ## (Ј)). La = Ta (caLa) -U (qA, qB (t)). Следовательно, движение системы во внешнем поле Лагранжева функция нормального типа с единственной разницей Потенциальная энергия теперь может явно зависеть от времени.

Поэтому для движения одной частицы во внешнем поле Вид функции Лагранжа 2 L = ^ -U (r, t), (5.6) И уравнение движения — = Vm9U / k—. (5.7) Поле называется однородным и во всех отношениях Та же сила Ф. действует на потенциал. Такие поля явно равны U = -F r. (5.8) В конце этого раздела мы сделаем следующие замечания о применении уравнения Лагранжа к различным конкретным задачам.

Во многих случаях, как говорит взаимодействие тел (материальных точек), характер связи, то есть ограничения, накладываемые на относительное положение тела. На самом деле такое объединение выполняется соединением О кузове с различными стержнями, нитками, петлями и т. Д.

Стоя представляет новый фактор движения тела-движения С трением в месте их контакта, результат состоит в том, что, вообще говоря, задача выходит за рамки чисто механики (см. § 25). Тем не менее, часто трение в системе Влияние на движение настолько слабо, что оно полностью игнорируется.

Кроме того, если массой «неподвижного элемента» системы можно пренебречь, последняя роль просто сводится к уменьшению числа степеней свободы системы s (по сравнению с числом 3N). Функция Лагранжа формы (5.5) может быть снова использована для определения ее движения.

Количество независимых обобщенных координат, соответствующее фактическому количеству степеней свободы. Задание Найти функцию Лагранжа следующей системы в однородном гравитационном поле (ускорение g-гравитации). 1. Двойной плоский маятник (рис. 1). Решения. Взять в качестве координаты Угол (pi и (p2, нити 1 \ и I2 образуют вертикальную линию.

Для точки mi, Ti = ^ m i / ^ φ? , U = -m ig / icoscp i. Чтобы найти кинетическую энергию второй точки, Представляет собой декартовы координаты X2, г / 2 (Начало точки подвеса, ось Y-вертикальная Через угол) (пи, — (ZΦ + 21 φφCOS (p) — \ — 17l2gl cos (p. 3. Плоский маятник с точкой подвешивания: а) движется равномерно вдоль вертикального круга с постоянной частотой у (рисунок 3).

б) Выполнить горизонтальную вибрацию в соответствии с удобными правилами] в) выполнять вертикальную вибрацию в соответствии с законом Уютное. Решения. а) координаты точки mp: x = cosyt + / sin (p, y = -asinyt + I cos (p. Функция Лагранжа ml2 L = -ф2 + mlay2 sin (cp-yt) + mgl cos (p; Термины, которые зависят только от времени, здесь опущены Кроме того, общая производная по времени Марикос ((р-йт).

б) координаты точки m: х = уют + я грешу (р, у = лкос (с. Функция Лагранжа (после полного исключения Производные финансовые инструменты) ml2. 2 2 L = -ф + mlay cosy sin (p + mgl cos (p. в) Точно так же ml2. 2, 2, L = -ф + mlay cos cos (p + mgl cos (p. 4. Система 4 показана на рисунке; ​​Точка Ш2 Перемещается вдоль вертикальной оси, и вся система вращается с постоянной угловой скоростью Q4 Это ось. Решения.

Введите угол 0 между сегментом a и вертикалью и углом поворота (широкий угол системы p вокруг оси вращения). φ = Q. Для каждой точки mi, элемент смещения dti = a2 dQ2 + a2 sin2 0 dip2. В случае точки 777-2 расстояние от точки подвеса A составляет 2a cos 0, dh = -2asinQdQ. Функция Лагранжа L = mi a2 (02 + Q2 sin2 0) + 2m2a2 sin2 0 02 + 2ga (mi + m2) cos 0.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

1. Функция Лагранжа свободной галилеевой материальной точки

Такая форма лагранжиана может быть получена из соображения неизменности лагранжиана относительно произвольных галилеевых (всех) преобразований координат. Эта форма Лагранжиана инвариантна, следовательно, однородна, изотропна относительно смещений в пространстве и времени, поворотов в пространстве и галиеевых преобразований системы координат.

Но эта форма Лагранжиана не может привести к какой-либо интересной механике, потому что уравнение Лагранжа-Эйлера для нее выполняется тривиально. Для получения не тривиальной механики необходим механизм изменения дифференциала действия путем изменения массы m и/или тривиального интервала действия ds = dt .

Зная, что 3-мерное подпространство классической механики обладает симметриями относительно смещений начала пространственных и временной координат, вращения относительно произвольной точки, можно определить возможную зависимость функции Лагранжа м.т. Для конкретного подпространства только для этих преобразований координат и векторов инвариантом является квадрат пространственных элементов векторов. Это значит, что функция Лагранжа может зависеть только от квадрата скорости v 2 м.т., но не может зависеть от ее координат:

Если бы Лагранжиан зависел и от координат и времени, то нарушился бы принцип относительности. Вывод конкретного вида лагранжиана для этого случая приведен в следующем параграфе. В результате получается лагранжиан вида

где a — некоторый множитель. Этот множитель принимается равным половине массы м.т. Знак этого множителя принимается положительным, с тем, чтобы экстремум действия принимал минимальное значение.

Мы знаем, что закон движения м.т. не должен измениться и при переходе в другую ИСО. Для этого разность функций Лагранжа в различных ИСО может отличаться не более чем на полную производную от некоторой функции координат и времени. Рассмотрим, как изменится лагранжиан вида (2.2) при переходе в движущуюся со скоростью V с.к.:

Этот лагранжиан не остается инвариантным при галилеевых преобразованиях координат:

Действительно, лагранжианы отличаются, но только на полную производную некоторой функции f ( r , t ):

Этот вывод изменения лагранжиана при ГПТК говорит о том, что лагранжиан свободной м.т. не изменит законов физики, если выбрать ее в виде

Такая запись лагранжиана при V = const есть просто ее запись в другой ИСО, движущейся со скоростью V , но с точки зрения текущей. Следовательно, независимо от текущей с.о., в качестве лагранжиана свободной м.т. можно использовать ее запись в любой другой ИСО.

Но такое использование лагранжиана может также предполагать существование некоторой выделенной с.о. и применение лагранжиана из той с.о., в которой V = 0. Несмотря на это, эта с.о. не является АСО, т.к. никаких других отличий от других ИСО она не имеет. Тем более, что параметр V можно принять абсолютно произвольно, т.е. любая ИСО может оказаться на месте этого «АСО». Для случая галилеевой механики это позволяет всегда пользоваться одной условно выделенной («условно покоящейся») с.о. Это же условие делает галилееву механику практически эквивалентной ньютоновой.

2. Функция Лагранжа свободной ньютоновой материальной точки

Переходя к определению вида функции Лагранжа, рас­смотрим сначала простейший случай — свободное движение ма­териальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости. Для выяснения вида этой зависимости воспользуемся принципом относительно­сти Галилея. Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К‘ с бесконечно малой скоростью ε, то v‘ = v + ε. Так как уравнения движения во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа L(v 2 ) должна при таком преобразовании перейти в функцию L ‘, которая если и отличается от L(v 2 ), то лишь на полную производную от функции координат и вре­мени. Имеем:

Разлагая это выражение в ряд по степеням v и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим:

Второй член правой части этого равенства будет полной про­изводной по времени только в том случае, если он зависит от скорости v линейно. Поэтому от скорости не зависит, т.е. функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо пропор­циональна квадрату скорости:

где k — постоянная. В классической механике коэффициент k приравнивается половине массы m м.т.:

Из того, что функция Лагранжа такого вида удовлетворяет принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого преобразования скорости, непосредственно следует, что она удовлетворяет этому принципу и в случае конечной скорости V системы отсчета К относительно К‘. Действительно,

Второй член является полной производной и может быть опу­щен. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы не­взаимодействующих точек имеем

Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено ранее, всегда можно умножить функцию Лагранжа на любую постоянную; это не отражается на уравне­ниях движения. Для функции (2.6) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный физиче­ский смысл, остаются при этом преобразовании неизменными.

Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 про­странства в точку 2 интеграл

имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т. е. не имел бы минимума.

3. Функция Лагранжа системы материальных точек

Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимо­действующих друг с другом, но ни с какими посторонними те­лами; такую систему называют замкнутой. Оказывается, что взаимодействие между материальными точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействую­щих точек (2.3) определенной (зависящей от характера взаи­модействия) скалярной функции координат. Обозначив эту функцию че­рез —U, напишем:

где ( r_a — радиус-вектор a -й точки). Это есть общий вид функции Лагранжа замкнутой системы. Сумму

называют кинетической энергией, а функцию U — потенциаль­ной энергией системы.

Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от расположения всех материальных точек в один и тот же мо­мент времени, означает, что изменение положения одной из них мгновенно отражается на всех остальных; можно сказать, что взаимодействия «распространяются» мгновенно. Неизбежность такого характера взаимодействий в классической механике тес­но связана с основными предпосылками последней — абсолют­ностью времени и принципом относительности Галилея. Если бы взаимодействие распространялось не мгновенно, т. е. с ко­нечной скоростью, то эта скорость была бы различна в разных (движущихся друг относительно друга) системах отсчета, так как абсолютность времени автоматически означает примени­мость обычного правила сложения скоростей ко всем явлениям. Но тогда законы движения взаимодействующих тел были бы различны в разных (инерциальных) системах отсчета, что про­тиворечило бы принципу относительности.

Вид функции Лагранжа (2.11) показывает, что время не только од­нородно, но и изотропно, т. е. его свойства одинаковы в обоих направлениях. В самом деле, замена t на —t оставляет функ­цию Лагранжа, а следовательно, и уравнения движения неизменными. Другими словами, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное движение, т. е. такое, при котором система проходит те же состояния в обрат­ном порядке. В этом смысле все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы.

Зная функцию Лагранжа, мы можем составить уравнения движения

Подставив сюда (2.11) , получим:

Уравнения движения в этой форме называются уравнениями Ньютона и представляют собой основу механики системы взаи­модействующих частиц. Вектор

стоящий на правой стороне уравнения (2.13) , называется силой, действующей на a -ю точку. Вместе с U она зависит лишь от координат всех частиц, но не от их скоростей. Уравнения (2.13) показывают поэтому, что и векторы ускорения частиц являются функциями только от координат.

Потенциальная энергия есть величина, определяемая лишь с точностью до прибавления к ней произвольной постоянной: такое прибавление не изменило бы уравнений движения. Наиболее естественный и обычно принятый способ выбора этой постоянной заключается в том, чтобы потенциаль­ная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояний между частицами.

Если для описания движения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты q i , то для получения лагранжевой функции надо произвести соот­ветствующее преобразование

и т. д.

Подставляя эти выражения в функцию

получим искомую функцию Лагранжа, которая будет иметь вид

где a_ik — функции только от координат. Кинетическая энергия в обобщенных координатах по-прежнему является квадратич­ной функцией скоростей, но может зависеть также и от коор­динат.

4. Функция Лагранжа с.м.о.

С другой стороны, лагранжиан взаимодействующей системы определяется выражением

где g определяет энергию связи,

K_i – энергия движения м.о.,

r – расстояние между м.о.

Например, лагранжиан гравитационного взаимодействия двух м.т.

Если , то приближенно имеем

Если имеется три или более взаимодействующих м.о., то в лагранжиане должны быть учтены вклады от взаимодействия каждого с каждым м.о. Предположим, что у нас имеется n м.о. Тогда общий лагранжиан можно представить в виде

Но если имеется более двух взаимодействующих м.о., то в лагранжиане должен быть учтен и вклад потенциальной энергии в полную энергию каждого м.о. Предположим, что у нас имеется три м.о. Тогда общий лагранжиан можно представить в виде

Здесь в определении L ‘ энергия полная E _{0 i} уже определяется с учетом потенциальной энергии каждого м.о.:

Точный расчет конечного лагранжиана практически невозможен, но приблизительно можно определить ее как

где U_i – потенциальная энергия i -го элемента системы,

M – характерная масса системы,

R – характерный размер системы.

Относительная доля этой потенциальной доли части лагранжиана в общем лагранжиане

Но эта доля быстро повышается с увеличением общей массы и уменьшением характерного радиуса.

5. Функция Лагранжа незамкнутой системы

До сих пор мы говорили только о замкнутых системах. Рас­смотрим теперь незамкнутую систему А, взаимодействующую с другой системой В, совершающей заданное движение. В та­ком случае говорят, что система А движется в заданном внеш­нем поле (создаваемом системой В). Поскольку уравнения движения получаются из принципа наименьшего действия пу­тем независимого варьирования каждой из координат (т. е. как бы считая остальные известными), мы можем для нахождения функции Лагранжа L_A системы А воспользоваться лагранжевой функцией L всей системы А + В, заменив в ней координа­ты q_B заданными функциями времени.

Предполагая систему А + В замкнутой, будем иметь:

где первые два члена представляют собой кинетические энергии систем А и В, а третий член — их совместную потенциальную энергию. Подставив вместо q_B заданные функции времени и опустив член , зависящий только от времени (и поэтому являющийся полной производной от некоторой дру­гой функции времени), получим:

Таким образом, движение системы во внешнем поле описы­вается функцией Лагранжа обычного типа с тем лишь отли­чием, что теперь потенциальная энергия может зависеть от вре­мени явно. Так, для движения одной частицы во внешнем поле общий вид функции Лагранжа

и уравнение движения

Однородным называют поле, во всех точках которого на ча­стницу действует одна и та же сила F. Потенциальная энергия в таком поле равна, очевидно:

В заключение этого параграфа сделаем еще следующее за­мечание по поводу применения уравнений Лагранжа к различ­ным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с та­кими механическими системами, в которых взаимодействие между телами (материальными точками) имеет, как говорят, характер связей, т. е. ограничений, налагаемых на взаимное расположение тел. Фактически такие связи осуществляются путем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнира­ми и т. п. Это обстоятельство вносит в движение новый фак­тор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосновения, в результате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой механики. Однако во многих случаях трение в системе оказывается настолько слабым, что его влиянием на движение можно полностью пренебречь. Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элемен­тов» системы, то роль последних сведется просто к уменьшению числа степеней свободы системы s (по сравнению с числом 3N). Для определения ее движения можно при этом снова пользо­ваться функцией Лагранжа вида (2.15) с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу сте­пеней свободы.

6. Функция Лагранжа для м.т. в плоском покоящемся римановом пространстве

Если плоское риманово пространство в каждый момент времени покоится относительно некоторой выбранной ИСО, то скорость м.т. можно определить, воспользовавшись формулой

Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги dl в соответствующей системе координат:

.

В декартовых координатах, например, , поэтому

В цилиндрических , откуда

В сферических , и поэтому

7. Функция Лагранжа м.т. в плоском римановом пространстве

Для составления функции Лагранжа м.т. в произвольном (в т.ч. движущемся) плоском евклидовом пространстве достаточно определить скорость м.т. в некоторой выбранной ИСО. В силу того, что пространство плоское, следует, что в ней можно определить некоторое связанное с ней ИСО. Классическая ньютоновская нерелятивистская частица в плоском неинерциальном евклидовом пространстве-времени с точки зрения ИСО описывается действием:

.

где — скорость м.т. в НСО,

w _i j — тензор поворота с.к. трёхмерного пространства ИСО в НСО в произвольный момент времени,

V i — поле скоростей точек выбранной НСО в этот же момент времени (отвечает за гравитационный потенциал j и за «кориолисовы» эффекты),

j — потенциал, в частности, гравитационный.

Раскроем скобки в выражении для действия:

.

Здесь . Если поле скоростей V безвихревое (в частности, V i = 0 или const ), то «кориолисовы» эффекты отсутствуют и член взаимодействия равен , где есть потенциал в пространстве.

Поле V i ( q ) по аналогии с действием для электромагнитного поля можно назвать векторным гравитационным потенциалом. Это поле задает поле скоростей точек текущей плоской евклидовой НСО относительно некоторой фоновой инерциальной с.о.

8. Функция Лагранжа заряженной классической м.т.

Функция Лагранжа классической заряженной массы в электромагнитном поле определяется через потенциальное скалярное и векторное поля:

где u – потенциальное гравитационное поле, создается гравитационной массой м.т. В принципе она может быть произвольной природы – скалярной, векторной, тензорной.

e – электрический заряд,

j — псевдоскалярный электрический потенциал, создается электрическим зарядом м.т. При преобразованиях координат галилеева пространства изменяется: j ‘ = j + v i A_i (в первом приближении), где v i – скорость новой ИСО.

A_i – электромагнитный векторный потенциал, создается движущимся электрическим зарядом м.т. При преобразованиях координат галилеева пространства КМГ не изменяется. При преобразованиях координат галилеева пространства КМН изменяется: A ‘ _i = A_i + v_i j (в первом приближении).

Данный лагранжиан имеет ограниченную область применения, сравнимую с областью применения классической механики, и даже меньшую, потому что релятивистские эффекты начинают проявляться для электромагнитный явлений даже при обычных скоростях.

9. Функция Лагранжа релятивистской м.т.

Действие для заряженной релятивистской м.т.

Уравнения Лагранжа

Рассмотрим систему материальных точек <с идеальными голономными нестационарными связями. Все возможные, в том числе и действительный закон движения точки, то есть ее радиус-вектор, являются функциями независимых обобщенных координат и времени

Вычислим скорость k-той точки:

Повторяющийся индекс говорит о суммирование по индексу: от 1 до n, от 1 до l.

Докажем первое тождество Лагранжа

Поскольку (*) — линейная функция i с коэффициентами , то тождество L1 верно.

Второе тождество Лагранжа

доказывается прямым вычислением правой и левой частей тождества.

Дифференцируя (**) по времени, получаем

Дифференцируя (*) по qj, получаем то же выражение

Тождество (L2) доказано.

Уравнение Лагранжа второго рода.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы в виде

(повторяющийся индекс говорит о суммирование по индексу: от 1 до n, от 1 до l).

При нестационарных связях радиусы векторы точек системы являются функциями обобщенных координат и времени . Как было показано, скорость каждой точки складывается из переносной и относительной скоростей

Переносные и относительные скорости точек независимы, поэтому теорема об изменении кинетической энергии распадается на два соотношения

В (4) учтена идеальность связей

Покажем, что соотношение (4) приводит к уравнениям Лагранже. Как известно, мощность активных сил выражается через обобщенные силы и скорости

Найдем сумму

Здесь использованы тождества Лагранжа

Возможные обобщенные скорости только независимы, но и произвольны. Поэтому все скобки обязаны обратиться в ноль.

Уравнения Лагранжа позволяют получить дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, но оставляют вопрос о реакциях идеальных связей открытым. Обычно для того, чтобы найти реакции, прибегают к уравнениям Ньютона.

Можно показать, что соотношение (5) позволяет найти реакции идеальных связей.

Уравнения Лагранжа являются алгоритмом для вывода дифференциальных уравнений движения системы.

Чтобы получить дифференциальные уравнения, нужно:

1.Записать функцию кинетической энергии Т через обобщенные координаты и скорости

2.Взять соответствующие производные от Т

3.Вычислить одним из способов обобщенные силы Qi

4.Подставив результат в уравнения Лагранжа, мы получим l штук обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно обобщенных координат как функций времени

Уравнение Лагранжа является наиболее универсальным способом вывода дифференциальных уравнений движения голономной системы с идеальными связями, в том числе и не стационарными.

Преимущества и недостатки метода Лагранжа по сравнению с методом Ньютона:

1) Формализм метода Лагранжа, состоящий в том, что задача сводится к дифференцированию функции Т, удобен, но не позволяет увидеть физические законы, как в методе Ньютона.

2) Метод Лагранжа позволяет изначально исключить из рассмотрения реакции идеальных связей, что позволяет быстро получить дифференциальные уравнения движения системы. Для определения этих реакций после интегрирования уравнений придется, однако, вернуться к методу Ньютона.

Чтобы получить дифференциальные уравнения движения эллиптического маятника методом Ньютона, пришлось бы:

· учесть реакцию идеальной связи в виде натяжения нити,

· составить одно уравнение поступательного движения тела m1, и два уравнения плоского движения точки m2.

· Из трех уравнений — два будут дифференциальными и одно послужит для определения натяжения нити.

Найдем дифференциальные уравнения методом Лагранжа:

Система имеет две степени свободы, которым соответствуют обобщенные координаты x, φ и уравнения Лагранжа

Обобщенные силы мы нашли раньше

Qx=0 Qφ= — m2glSinφ

Кинетическую энергию системы T ищем в момент прохождения системой положения равновесия

T не зависит от х:

Замечаем, что этот интеграл выражает ожидаемое сохранение количества движения системы вдоль оси х.

Первое дифференциальное уравнение движения системы получим после дифференцирования

Для получения второго уравнения, найдем соответствующие производные.

При подстановке во второе уравнение Лагранжа подобные выражения сокращаются, и мы находим второе дифференциальное уравнение движения системы

При фиксации тела m1 получаем уравнение колебаний математического маятника m2