Уравнение лагранжа в физике для чего

1. Функция Лагранжа свободной галилеевой материальной точки

Такая форма лагранжиана может быть получена из соображения неизменности лагранжиана относительно произвольных галилеевых (всех) преобразований координат. Эта форма Лагранжиана инвариантна, следовательно, однородна, изотропна относительно смещений в пространстве и времени, поворотов в пространстве и галиеевых преобразований системы координат.

Но эта форма Лагранжиана не может привести к какой-либо интересной механике, потому что уравнение Лагранжа-Эйлера для нее выполняется тривиально. Для получения не тривиальной механики необходим механизм изменения дифференциала действия путем изменения массы m и/или тривиального интервала действия ds = dt .

Зная, что 3-мерное подпространство классической механики обладает симметриями относительно смещений начала пространственных и временной координат, вращения относительно произвольной точки, можно определить возможную зависимость функции Лагранжа м.т. Для конкретного подпространства только для этих преобразований координат и векторов инвариантом является квадрат пространственных элементов векторов. Это значит, что функция Лагранжа может зависеть только от квадрата скорости v 2 м.т., но не может зависеть от ее координат:

Если бы Лагранжиан зависел и от координат и времени, то нарушился бы принцип относительности. Вывод конкретного вида лагранжиана для этого случая приведен в следующем параграфе. В результате получается лагранжиан вида

где a — некоторый множитель. Этот множитель принимается равным половине массы м.т. Знак этого множителя принимается положительным, с тем, чтобы экстремум действия принимал минимальное значение.

Мы знаем, что закон движения м.т. не должен измениться и при переходе в другую ИСО. Для этого разность функций Лагранжа в различных ИСО может отличаться не более чем на полную производную от некоторой функции координат и времени. Рассмотрим, как изменится лагранжиан вида (2.2) при переходе в движущуюся со скоростью V с.к.:

Этот лагранжиан не остается инвариантным при галилеевых преобразованиях координат:

Действительно, лагранжианы отличаются, но только на полную производную некоторой функции f ( r , t ):

Этот вывод изменения лагранжиана при ГПТК говорит о том, что лагранжиан свободной м.т. не изменит законов физики, если выбрать ее в виде

Такая запись лагранжиана при V = const есть просто ее запись в другой ИСО, движущейся со скоростью V , но с точки зрения текущей. Следовательно, независимо от текущей с.о., в качестве лагранжиана свободной м.т. можно использовать ее запись в любой другой ИСО.

Но такое использование лагранжиана может также предполагать существование некоторой выделенной с.о. и применение лагранжиана из той с.о., в которой V = 0. Несмотря на это, эта с.о. не является АСО, т.к. никаких других отличий от других ИСО она не имеет. Тем более, что параметр V можно принять абсолютно произвольно, т.е. любая ИСО может оказаться на месте этого «АСО». Для случая галилеевой механики это позволяет всегда пользоваться одной условно выделенной («условно покоящейся») с.о. Это же условие делает галилееву механику практически эквивалентной ньютоновой.

2. Функция Лагранжа свободной ньютоновой материальной точки

Переходя к определению вида функции Лагранжа, рас­смотрим сначала простейший случай — свободное движение ма­териальной точки относительно инерциальной системы отсчета. Функция Лагранжа в этом случае может зависеть лишь от квадрата вектора скорости. Для выяснения вида этой зависимости воспользуемся принципом относительно­сти Галилея. Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К‘ с бесконечно малой скоростью ε, то v‘ = v + ε. Так как уравнения движения во всех системах отсчета должны иметь один и тот же вид, то функция Лагранжа L(v 2 ) должна при таком преобразовании перейти в функцию L ‘, которая если и отличается от L(v 2 ), то лишь на полную производную от функции координат и вре­мени. Имеем:

Разлагая это выражение в ряд по степеням v и пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим:

Второй член правой части этого равенства будет полной про­изводной по времени только в том случае, если он зависит от скорости v линейно. Поэтому от скорости не зависит, т.е. функция Лагранжа в рассматриваемом случае прямо пропор­циональна квадрату скорости:

где k — постоянная. В классической механике коэффициент k приравнивается половине массы m м.т.:

Из того, что функция Лагранжа такого вида удовлетворяет принципу относительности Галилея в случае бесконечно малого преобразования скорости, непосредственно следует, что она удовлетворяет этому принципу и в случае конечной скорости V системы отсчета К относительно К‘. Действительно,

Второй член является полной производной и может быть опу­щен. В силу свойства аддитивности функции Лагранжа, для системы не­взаимодействующих точек имеем

Следует подчеркнуть, что лишь при учете этого свойства данное определение массы приобретает реальный смысл. Как уже было отмечено ранее, всегда можно умножить функцию Лагранжа на любую постоянную; это не отражается на уравне­ниях движения. Для функции (2.6) такое умножение сводится к изменению единицы измерения массы; отношения же масс различных частиц, которые только и имеют реальный физиче­ский смысл, остаются при этом преобразовании неизменными.

Легко видеть, что масса не может быть отрицательной. В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 про­странства в точку 2 интеграл

имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т. е. не имел бы минимума.

3. Функция Лагранжа системы материальных точек

Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимо­действующих друг с другом, но ни с какими посторонними те­лами; такую систему называют замкнутой. Оказывается, что взаимодействие между материальными точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа невзаимодействую­щих точек (2.3) определенной (зависящей от характера взаи­модействия) скалярной функции координат. Обозначив эту функцию че­рез —U, напишем:

где ( r_a — радиус-вектор a -й точки). Это есть общий вид функции Лагранжа замкнутой системы. Сумму

называют кинетической энергией, а функцию U — потенциаль­ной энергией системы.

Тот факт, что потенциальная энергия зависит только от расположения всех материальных точек в один и тот же мо­мент времени, означает, что изменение положения одной из них мгновенно отражается на всех остальных; можно сказать, что взаимодействия «распространяются» мгновенно. Неизбежность такого характера взаимодействий в классической механике тес­но связана с основными предпосылками последней — абсолют­ностью времени и принципом относительности Галилея. Если бы взаимодействие распространялось не мгновенно, т. е. с ко­нечной скоростью, то эта скорость была бы различна в разных (движущихся друг относительно друга) системах отсчета, так как абсолютность времени автоматически означает примени­мость обычного правила сложения скоростей ко всем явлениям. Но тогда законы движения взаимодействующих тел были бы различны в разных (инерциальных) системах отсчета, что про­тиворечило бы принципу относительности.

Вид функции Лагранжа (2.11) показывает, что время не только од­нородно, но и изотропно, т. е. его свойства одинаковы в обоих направлениях. В самом деле, замена t на —t оставляет функ­цию Лагранжа, а следовательно, и уравнения движения неизменными. Другими словами, если в системе возможно некоторое движение, то всегда возможно и обратное движение, т. е. такое, при котором система проходит те же состояния в обрат­ном порядке. В этом смысле все движения, происходящие по законам классической механики, обратимы.

Зная функцию Лагранжа, мы можем составить уравнения движения

Подставив сюда (2.11) , получим:

Уравнения движения в этой форме называются уравнениями Ньютона и представляют собой основу механики системы взаи­модействующих частиц. Вектор

стоящий на правой стороне уравнения (2.13) , называется силой, действующей на a -ю точку. Вместе с U она зависит лишь от координат всех частиц, но не от их скоростей. Уравнения (2.13) показывают поэтому, что и векторы ускорения частиц являются функциями только от координат.

Потенциальная энергия есть величина, определяемая лишь с точностью до прибавления к ней произвольной постоянной: такое прибавление не изменило бы уравнений движения. Наиболее естественный и обычно принятый способ выбора этой постоянной заключается в том, чтобы потенциаль­ная энергия стремилась к нулю при увеличении расстояний между частицами.

Если для описания движения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты q i , то для получения лагранжевой функции надо произвести соот­ветствующее преобразование

и т. д.

Подставляя эти выражения в функцию

получим искомую функцию Лагранжа, которая будет иметь вид

где a_ik — функции только от координат. Кинетическая энергия в обобщенных координатах по-прежнему является квадратич­ной функцией скоростей, но может зависеть также и от коор­динат.

4. Функция Лагранжа с.м.о.

С другой стороны, лагранжиан взаимодействующей системы определяется выражением

где g определяет энергию связи,

K_i – энергия движения м.о.,

r – расстояние между м.о.

Например, лагранжиан гравитационного взаимодействия двух м.т.

Если , то приближенно имеем

Если имеется три или более взаимодействующих м.о., то в лагранжиане должны быть учтены вклады от взаимодействия каждого с каждым м.о. Предположим, что у нас имеется n м.о. Тогда общий лагранжиан можно представить в виде

Но если имеется более двух взаимодействующих м.о., то в лагранжиане должен быть учтен и вклад потенциальной энергии в полную энергию каждого м.о. Предположим, что у нас имеется три м.о. Тогда общий лагранжиан можно представить в виде

Здесь в определении L ‘ энергия полная E _{0 i} уже определяется с учетом потенциальной энергии каждого м.о.:

Точный расчет конечного лагранжиана практически невозможен, но приблизительно можно определить ее как

где U_i – потенциальная энергия i -го элемента системы,

M – характерная масса системы,

R – характерный размер системы.

Относительная доля этой потенциальной доли части лагранжиана в общем лагранжиане

Но эта доля быстро повышается с увеличением общей массы и уменьшением характерного радиуса.

5. Функция Лагранжа незамкнутой системы

До сих пор мы говорили только о замкнутых системах. Рас­смотрим теперь незамкнутую систему А, взаимодействующую с другой системой В, совершающей заданное движение. В та­ком случае говорят, что система А движется в заданном внеш­нем поле (создаваемом системой В). Поскольку уравнения движения получаются из принципа наименьшего действия пу­тем независимого варьирования каждой из координат (т. е. как бы считая остальные известными), мы можем для нахождения функции Лагранжа L_A системы А воспользоваться лагранжевой функцией L всей системы А + В, заменив в ней координа­ты q_B заданными функциями времени.

Предполагая систему А + В замкнутой, будем иметь:

где первые два члена представляют собой кинетические энергии систем А и В, а третий член — их совместную потенциальную энергию. Подставив вместо q_B заданные функции времени и опустив член , зависящий только от времени (и поэтому являющийся полной производной от некоторой дру­гой функции времени), получим:

Таким образом, движение системы во внешнем поле описы­вается функцией Лагранжа обычного типа с тем лишь отли­чием, что теперь потенциальная энергия может зависеть от вре­мени явно. Так, для движения одной частицы во внешнем поле общий вид функции Лагранжа

и уравнение движения

Однородным называют поле, во всех точках которого на ча­стницу действует одна и та же сила F. Потенциальная энергия в таком поле равна, очевидно:

В заключение этого параграфа сделаем еще следующее за­мечание по поводу применения уравнений Лагранжа к различ­ным конкретным задачам. Часто приходится иметь дело с та­кими механическими системами, в которых взаимодействие между телами (материальными точками) имеет, как говорят, характер связей, т. е. ограничений, налагаемых на взаимное расположение тел. Фактически такие связи осуществляются путем скрепления тел различными стержнями, нитями, шарнира­ми и т. п. Это обстоятельство вносит в движение новый фак­тор — движение тел сопровождается трением в местах их соприкосновения, в результате чего задача выходит, вообще говоря, за рамки чистой механики. Однако во многих случаях трение в системе оказывается настолько слабым, что его влиянием на движение можно полностью пренебречь. Если к тому же можно пренебречь массами «скрепляющих элемен­тов» системы, то роль последних сведется просто к уменьшению числа степеней свободы системы s (по сравнению с числом 3N). Для определения ее движения можно при этом снова пользо­ваться функцией Лагранжа вида (2.15) с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу сте­пеней свободы.

6. Функция Лагранжа для м.т. в плоском покоящемся римановом пространстве

Если плоское риманово пространство в каждый момент времени покоится относительно некоторой выбранной ИСО, то скорость м.т. можно определить, воспользовавшись формулой

Поэтому для составления функции Лагранжа достаточно найти квадрат длины элемента дуги dl в соответствующей системе координат:

.

В декартовых координатах, например, , поэтому

В цилиндрических , откуда

В сферических , и поэтому

7. Функция Лагранжа м.т. в плоском римановом пространстве

Для составления функции Лагранжа м.т. в произвольном (в т.ч. движущемся) плоском евклидовом пространстве достаточно определить скорость м.т. в некоторой выбранной ИСО. В силу того, что пространство плоское, следует, что в ней можно определить некоторое связанное с ней ИСО. Классическая ньютоновская нерелятивистская частица в плоском неинерциальном евклидовом пространстве-времени с точки зрения ИСО описывается действием:

.

где — скорость м.т. в НСО,

w _i j — тензор поворота с.к. трёхмерного пространства ИСО в НСО в произвольный момент времени,

V i — поле скоростей точек выбранной НСО в этот же момент времени (отвечает за гравитационный потенциал j и за «кориолисовы» эффекты),

j — потенциал, в частности, гравитационный.

Раскроем скобки в выражении для действия:

.

Здесь . Если поле скоростей V безвихревое (в частности, V i = 0 или const ), то «кориолисовы» эффекты отсутствуют и член взаимодействия равен , где есть потенциал в пространстве.

Поле V i ( q ) по аналогии с действием для электромагнитного поля можно назвать векторным гравитационным потенциалом. Это поле задает поле скоростей точек текущей плоской евклидовой НСО относительно некоторой фоновой инерциальной с.о.

8. Функция Лагранжа заряженной классической м.т.

Функция Лагранжа классической заряженной массы в электромагнитном поле определяется через потенциальное скалярное и векторное поля:

где u – потенциальное гравитационное поле, создается гравитационной массой м.т. В принципе она может быть произвольной природы – скалярной, векторной, тензорной.

e – электрический заряд,

j — псевдоскалярный электрический потенциал, создается электрическим зарядом м.т. При преобразованиях координат галилеева пространства изменяется: j ‘ = j + v i A_i (в первом приближении), где v i – скорость новой ИСО.

A_i – электромагнитный векторный потенциал, создается движущимся электрическим зарядом м.т. При преобразованиях координат галилеева пространства КМГ не изменяется. При преобразованиях координат галилеева пространства КМН изменяется: A ‘ _i = A_i + v_i j (в первом приближении).

Данный лагранжиан имеет ограниченную область применения, сравнимую с областью применения классической механики, и даже меньшую, потому что релятивистские эффекты начинают проявляться для электромагнитный явлений даже при обычных скоростях.

9. Функция Лагранжа релятивистской м.т.

Действие для заряженной релятивистской м.т.

ЛАГРА́НЖА УРАВНЕ́НИЯ

ЛАГРА́НЖА УРАВНЕ́НИЯ ме­ха­ни­ки, обык­но­вен­ные диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния вто­ро­го по­ряд­ка, опи­сы­ваю­щие дви­же­ние ме­ха­нич. сис­тем под воз­дей­ст­ви­ем при­ло­жен­ных к ним сил. Вы­ве­де­ны Ж. Ла­гран­жем в 1788 в двух фор­мах: Л. у. 1-го ро­да – урав­не­ния в де­кар­то­вых ко­ор­ди­на­тах с не­оп­ре­де­лён­ны­ми мно­жи­теля­ми Ла­гран­жа, и Л. у. 2-го ро­да – урав­не­ния в обоб­щён­ных ла­гран­же­вых ко­ор­ди­на­тах.

Гидродинамика. Способ Лагранжа. Способ Эйлера.

Способ Лагранжа основывается на анализе течения каждой частицы жидкости, то есть траектории их течения. В начальный момент времени местоположение частицы обусловлено начальными координатами ее полюса х0, y0, z0. При передвижении частицы ее координаты претерпевают изменения. Движение жидкости определено, когда для всякой частицы представляется возможность определить координаты х, у и z как функции начального положения (х0, y0, z0) и времени t:

Величины х0, y0, z0 и t обозначают как переменные Лагранжа.

Способ Эйлера основывается на анализе течения жидкости в различных точках пространства в данный временной отрезок.

Методика представляет возможность фиксировать скорость движения жидкости в той либо иной точке пространства в произвольный временной отрезок, т. е. характеризуется построением поля скоростей и благодаря этому получила массовое практическое применение для исследования движения жидкости.

В отобранный временной отрезок в любой точке этой области, описываемой координатами х, у, z расположена частица жидкости, ей присуща некоторая скорость u, которую обозначают как мгновенную местную скорость.

Общность мгновенных местных скоростей формирует векторное поле, обозначаемое — полем скоростей.

Поле скоростей имеет возможность претерпевать трансформации во времени и по координатам:

Векторными линиями поля скоростей выступают линии тока жидкости.