Уравнение ламе для чего оно

Упругое состояние трубы. Формулы Ламе

Упругое состояние трубы. Формулы Ламе

• Упругое состояние трубы. Дурацкая формула. Задача об упругом состоянии толстостенных труб является одной из первых задач теории упругости, решенной ламе(1828). Давайте напишем уравнение закона Гука: Восемь. ф =4 ′ 1 (t?» 8,=4a_v а+м — Последнее

уравнение ® называется функцией напряжения. Формулы (144.2) и

(144.2′) 1-В * Г Ф Е Г Восемь. В Г 1-й г — «У меня есть.» (144.3)§ 144) упругое Людмила Фирмаль

состояние трубы. Хромая формула 321 Таким образом, деформация также представлена функцией напряжения F ® , в то время как неизвестная константа 8G делает уравнение YG и уравнение (144.3) уравнением пригодности деформации (143.6). Он получен после разреза Г.)(=- £- £+ (144.4) Чтобы интегрировать это дифференциальное уравнение, поставьте F-Cr»и присвойте это выражение F в (144.4).

После редукции g »

*мы приходим к следующему алгебраическому уравнению экспоненты l: l(l-1) ->-l-1=0. Поскольку корень этого уравнения равен l=H-1, то общий Интеграл уравнения (144.4) можно записать в виде Где A и B-постоянные интегралы. Напряжение AG выражается следующим образом: В (144.5> Это хромая формула д

• ля напряжения в толстостенных трубах. Интегральная константа должна быть определена из граничных условий. Пусть внутренний радиус трубы равен a, а внешний — B. Это означает, что радиальное напряжение AG равно-q при g=a и нулю при g=B.) А-4 ″ ЗГ — °- Таким образом, мы находим константы A и B.» Вопрос а * ** * а*’ Б= — г LG LG-и 11ю. Н. Работнов322 труба и диск[гл. ТРИНАДЦАТЫЙ Окончательные формулы для напряжений: (144.6) Для риса. Показан график (график) распределения напряжений для толщины стенки 223. Напряжение

AG определяется по формуле og=5 6g+^_. (144.7)AG, по-видимому, имеет постоянную толщину стенки. Результатом действия внутренних сил в поперечном сечении является сила растяжения или сжатия трубы. Если труба закрыта на концах, то натяжение равно давлению дна, а площадь ее поперечного сечения равна La*. Следовательно, она равна l (B2-A2). Поэтому _qa2a гг-А1

Поперечное сечение R-dla2 (144.8) Людмила Фирмаль

Если мы сравним (144.7) и (144.8), мы можем найти удлинение E2. Если материал трубы несжимаем, то V=Y и ег=0. Потому что og=0 в открытой трубе на конце (например, ствол пистолета в кадре)、 8г= — 2В м А *

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Габриель Ламе

Министерство образования и науки, молодёжи и спорта Украины

Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара

Кафедра теоретической и прикладной механики

на тему: «Габриель Ламе»

студентка группы МХ-10-01

Криворучко Анна Геннадиевна

Гергель Ирина Юрьевна

3. Некоторые результаты математических исследований Ламе.
. 8

4. Параметры Ламе. 11

5. Коэффициенты Ламе. 12

6. Ламе функции.
..14

7. Ламе уравнение.
..15

8. Заключение.
. 16

9. Литература.
. 17

Габриель Ламе родился в конце XVIII века в Туре. Этому человеку предстояло стать известным на весь мир и получить самые почетные знания в научной сфере.

Ламе прошел путь от майора до полковника, награжден орденами Владимира 4-й степени, орденом Анны 2-й степени и алмазным знаком этого ордена, орденом Станислава 3-й степени (кроме того, ему был вручен бриллиантовый перстень, он награждался годовым окладом, ему объявляли монаршее благоволение). И все эти отличия получены не за ратные подвиги на поле брани, а за выдающиеся научные достижения и профессорскую педагогическую деятельность в России. Интересно отметить, что последний указанный выше орден он получил по итогам своей научной командировки в Англию после предоставления отчета о ней, который содержал два рукописных тома и 80 чертежей с комментариями. Этот отчет назывался «Наблюдения, относящиеся к инженерному искусству, собранные во время путешествия в Англию, совершенного по приказу Николая I летом 1830 года полковником Габриелем Ламе».

Король математики Ф. Гаусс называл Ламе самым известным французским математиком его поколения; его биограф и известный ученый Ж. Бертран говорил, что он был выдающимся инженером. Круг его интересов был широк и разнообразен.

Его перу принадлежат труды по теории упругости и математической физике, Ламе разработал общую теорию криволинейных координат. К специальному классу функций отнесены коэффициенты Ламе. Также в честь него названы параметры Ламе в теории упругости.

Габриель Ламе – французский математик, физик и инженер, член-корреспондент Петербургской АН, член Парижской академии наук, профессор Политехнической школы и Парижского университета родился 22 июля 1795 года в городе Тур.

С шестилетнего возраста юный Габриель учился в Парижском аристократическом лицее Людовика Великого, который имел к тому времени уже два с половиной века опыта работы и был лучшим во Франции. Кстати, одновременно с ним в лицее учился Эжен Делакруа, ставший известным художником. Лицей славился своими хорошими традициями, и на театральные постановки в нем собиралась знатная публика. Там были введены разнообразные награды за успешную учебу и участие в ежемесячных различных конкурсах среди учащихся. Наибольшее внимание в лицее уделялось преподаванию математики, латыни, французского языка и рисования, а также воспитанию чувства дружбы, взаимопомощи и ответственности. Во время учебы (экстерном) в лицее он познакомился с прекрасной книгой A.M. Лежандра по геометрии, что в значительной мере повлияло на его дальнейшее образование.

В 18 лет он закончил лицей, еще год готовился к поступлению и в 1814 г., успешно сдав (третьим по списку) вступительные экзамены, поступил в Политехническую школу, школу инженерного образования нового типа, которой не было аналогов в Европе и в Америке. Ее учебный план содержал только математические дисциплины (математический анализ, применение анализа к геометрии, механика, начертательная геометрия, черчение). В основе главной идеи создания такой школы лежало положение о том, что различные отрасли техники и промышленности требуют практически одинаковой подготовки по математике, механике, физике и химии, а также уверенность в том, что студент с такой подготовкой успешно овладеет в дальнейшем необходимыми знаниями в любой специальной области. В Политехнической школе, как писал Ф. Клейн, «все меры строгости, воздействия на честолюбие, окрыляемое перспективой блестящей жизненной будущности, привлекались для того, чтобы заставить учащегося до крайности напрягать свои силы. Знания вколачиваются в голову до полного овладения предметом». Александр I по поводу этой школы отметил, что «это самое лучшее учреждение, созданное человеком″.

Ламе учился в Политехнической школе в очень неспокойное время (после сокрушительного поражения в войне 1812 г. против России, в период реставрации Бурбонов (1814 — 1815, 1895 — 1830) и во время возвращения на короткий срок Наполеона с острова Эльбы в 1815 г). Вследствие этого в 1816 г. школа была закрыта, а студенты распущены по домам. На декрет о закрытии школы Ламе выразил протест в своей первой печатной работе об истории Политехнической школы и в защиту её будущего. Брошюру, конечно, немедленно изъяли. Школа была закрыта около года, и в этот период Ламе пришлось самостоятельно зарабатывать на хлеб; он начал давать частные уроки математики и очень быстро стал известным репетитором.

Именно в этот период он начал активно заниматься математикой и выполнил свою первую научную работу. По сложившейся традиции для получения полного инженерного образования выпускники Политехнической школы, срок обучения в которой был два года, должны были поступать в высшие технические училища. После того как в январе 1817 г. Политехническая школа была открыта для занятий, Ламе сдал достаточно сложные выпускные экзамены (первым в списке по результатам) и поступил в Горную школу, в которой он учился потом три года. Принцип, положенный в основу системы вступительных экзаменов предписывал, что «экзаменатор должен быть уверен в интеллигентности кандидата», т.е. он должен был обращать внимание не на заучивание предмета, а на его глубокое понимание. В период обучения в Политехнической и Горной школах Ламе познакомился с видными учеными-математиками (С. Ф. Лакруа, Д. Ф. Араго, С.Д. Пуассоном, Ш.Ф. Бине, Л. Пуансо и др.) и их системой преподавания. А также, в лице своего однокурсника Бенуа Клапейрона, обрел друга и соратника.

После окончания курса в Политехнической школе Ламе вскоре был приглашён вместе с Клапейроном в Россию на основании того, что в то время там не только не хватало специалистов по подготовке инженеров высокой квалификации, но и вообще уровень образования был крайне низким.

Согласно указу Александра I, Ламе и Клапейрон были направлены «в Корпус инженеров путей сообщения майорами с помещением их профессорами математики в институт сего корпуса, с жалованием, по званию сему положенным, со дня вступления их в отправление оных должностей с 7 сентября 1820 года». Ламе во время работы в Институте корпуса (где его называли Гаврило Францевич) читал курсы лекций по математическому анализу, аналитической геометрии, физике, астрономии, теоретическом и прикладной механике, прикладной химии, — в то время не было четкого разделения предметов между профессорами. Репетиторы (ныне ассистенты), которые вели практические занятия, обязаны были присутствовать на лекциях, чтобы более точно реализовывать читаемые курсы. Лекции и практические занятия Ламе проводил на французском языке, так как русский язык он знал плохо.

Научная и педагогическая работа у Ламе были связаны воедино, о чем свидетельствует хотя бы тот факт, что названия его научных работ включались в экзаменационные вопросы как по математике, так и по другим дисциплинам; кроме того, он постоянно подчеркивал неразрывную связь математических дисциплин между совой и связь чистой и прикладной математики в своих учебниках и научных статьях. Ламе глубоко понимал роль учебника в процессе обучения. Первый его учебник был написан с П. Базеном по интегральному исчислению, и эту тяжелую работу он выполнил по собственному желанию. Впоследствии этот учебник был переведен на русский язык и стал одним из первых русских учебников для высших технических учебных заведений. О тщательности и педагогической добросовестности при подготовке этой книги говорит письмо Ламе, датированное 2 декабря 1826 г., в котором он выражает сомнение по поводу доказательства теоремы Тейлора в учебнике П. Базена и предлагает свое более короткое доказательство. Это письмо было обнаружено только в 1911 г., и было рассказано о нем математиком и кораблестроителем А.Н. Крыловым на Совете института путей сообщения; в частности, он советовал напечатать эту записку в трудах института «как память об одном из знаменитейших его деятелей и как пример той утонченной тщательности, с которой Ламе относился к делу преподавания».

В период работы над этим учебником Ламе стал свидетелем Декабрьского восстания и жестокой расправы над его участниками; в частности, над бывшими выпускниками Института братьями С. И. и М. И. Муравьевыми-Апостолами и инженером Корпуса инженеров Г.С. Батеньковым. Отрицательное отношение нового царя Николая I к Институту выражалось в том, что все его преподаватели и воспитанники дважды (до и после восстания) должны были давать подписку о том, что они не принадлежат ни к каким тайным обществам. На них заводились «кондуитные списки», жизнь стала полностью регламентированной и всякое нарушение строго наказывалось. Все это не способствовало нормальной творческой деятельности в институте. И не надо забывать, что лозунги декабристов в значительной мере совпадали с лозунгами Французской революции, с последствиями которой был хорошо знаком Ламе. Видимо, сказанное явилось главной причиной того, что в сентябре 1831 г. Ламе и Клапейрон подали заявление об отставке и в этом же году вернулись во Францию.

Вернувшись во Францию, Ламе и Клапейрон приступают к бурной инженерной деятельности по проектированию, планированию и строительству железных дорог во Франции; они, например, руководили строительством первой железной дороги Париж — Сен-Жермен. Вскоре Ламе оставил инженерную службу и в 1832 г. стал профессором Политехнической школы и заведовал кафедрой физики до 1844 г., затем стал экзаменатором этой же школы, а с 1848 г. начал читать лекции в Сорбонне. Ж. Бертран отмечал, что получить ему кафедру физики стало возможным только благодаря прекрасным его работам в России в области математической теории упругости.

Вскоре после прихода к власти Наполеона III (период Второй Империи: 1852 — 1870) университет перестал быть автономным и стал государственным учреждением. В это же время Ламе, используя свой опыт работы в Петербурге, размышляет вместе с Клапейроном над проблемой создания специальных школ для будущих руководителей промышленного производства, чему он и Клапейрон посвятили книгу «План общей и специальных школ для сельского хозяйства, мануфактурной промышленности, торговли и управления». В этой книге продумано все глубоко и детально: система вступительных экзаменов, учебные планы, методика преподавания, места расположения школ и т.д. Ламе также откликнулся на события 1848 г., которые предвещали рост темпов индустриального развития, брошюрой «Эскиз трактата о республике».

Большой педагогический опыт работы в России и во Франции позволил Ламе создать еще пять учебников: «Курс физики» в двух томах (1836 — 1837), «Лекции по теории упругости твердых теп» (1852), «Лекции о функциях, обратных трансцендентным, и изотермических поверхностях» (1857), «Лекции по криволинейным координатам и их различным приложениям» (1859), «Лекции по аналитической теории тепла» (1861).

Свое научное завещание Ламе изложил во вводной лекции к курсу математической физики, который он читал в Сорбонне в 1861 г. На этой лекции присутствовал Н.Д. Брашман, один из инициаторов создания Московского математического общества.

Полная глухота заставила его выйти в отставку в 1863 году. Умер он 1 мая 1870 года в возрасте 74 лет в Париже.

НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ ЛАМЕ

1. Девять точек (1816 г.). В первой своей научной публикации, которая была выполнена в период закрытия правительством Политехнической школы, Ламе изучал кривые и поверхности второго порядка и нашел аналитические условия того, когда

а) три кривые, лежащие в одной плоскости, пересекаются в одной точке;

б) три поверхности пересекаются по одной кривой;

в) четыре поверхности пересекаются в одной точке.

Продолжая эту работу во время вынужденного пропуска занятий, он написал книгу, объемом в 124 страницы, где он не только продолжает свои исследования, но и, с другой стороны, продолжает тематику, идущую от Блеза Паскаля — он при помощи методов начертательной (проективной) геометрии изучает возможные определения и построения поверхностей второго порядка при условии, что задано достаточное количество их точек.

Его исследования привели к изучению софокусных поверхностей второго порядка в пространстве — эллипсоидов, однополостных и двуполостных гиперболоидов. Каждая из этих поверхностей в отдельности заполняет пространство непрерывно и однозначно таким образом, что через каждую точку пространства проходит ровно по одной поверхности указанного типа. Эти поверхности в точке пространства пересекаются ортогонально, т.е. в этой точке касательные плоскости к этим поверхностям взаимно перпендикулярны. Именно на этом пути и возникли у Ламе идеи и методы введения криволинейных (эллиптических) координат и впоследствии их эффективные приложения к конкретным задачам математической физики. Заканчивая свои «Лекции по криволинейным координатам», он пишет: «Без изобретения прямоугольных координат алгебра осталась бы на той же точке, где Диофант и его последователи ее оставили, и мы не имели бы ни исчисления бесконечно малых, ни аналитической механики. Без введения сферических координат небесная механика была бы абсолютно невозможна. Без эллиптических координат знаменитые геометры не могли бы решить многочисленные вопросы, важные в этой теории. Наступило царствование криволинейных координат, так как только они могут помочь приступить к рассмотрению новых вопросов во всей их общности».

2. Веревочный многоугольник (1823 — 1827 г). Теория веревочного многоугольника впервые была отчетливо сформулирована и изложена голландским инженером Симоном Стевиным в работе 1605 г. Французский ученый Пьер Вариньон (1654 — 1722) развил эту теорию. Ламе и Клапейрон впервые применили теорию веревочного многоугольника к инженерному делу и к расчету висячих мостов. Теория веревочного многоугольника — это графический способ построения равнодействующей нескольких сил, лежащих в одной плоскости.

Впервые необходимость в этой теории возникла у Ламе и Клапейрона в связи с расчетами по устройству свода Исаакиевского собора, а затем при расчете проектов цепных мостов через Москву-реку, Яузу и Лугу в Ямбурге. И главная их заслуга состоит в том, что они при довольно сложных расчетах конкретных проектов (и на конкретной местности) продемонстрировали тесную связь между теорией и практикой. После публикации соответствующих работ во Франции эта технология вычислений становится популярной, а ярким ее пропагандистом является Ж. Понселе.

3. Циркуль и линейка (1826 г.). В тот же период, когда Ламе и Клапейрон занимались расчетами, связанными с проектированием висячих мостов, выходят в свет две работы, которые сейчас можно отнести к элементарной геометрии. Первая из этих работ принадлежит Ламе и связана со строительством шоссейной дороги Петербург — Москва; в ней (аналитически и геометрически) решается следующая задача: «Между двумя пересекающимися прямыми провести прямую данной длины таким образом, чтобы продолжение сей прямой проходило через точку, которой положение известно, к двум данным прямым». Само название этой работы показывает, что ее основное содержание составляет аналитическое решение поставленной задачи, хотя в этой работе имеется и геометрическое решение — построение нужного отрезка при помощи циркуля и линейки, которое оказывается значительно проще и красивее. Однако для составления таблиц, которые необходимы при расчетах обширных и различных проектов, без формул обойтись трудно и поэтому дается два решения этой задачи. Кроме того, в этой же работе рассматриваются приближенные методы построения при помощи циркуля и линейки для решения задач о делении дуги на три равные части, о построении правильного 14-угольника и задача о проведении нормали через заданную точку плоскости к данному эллипсу.

4. Центр масс (1827 г.). В совместной работе, также посвященной работам по проектированию дороги Петербург — Москва, Ламе и Клапейрон используют метод, родоначальником которого следует считать Архимеда, обнаружившего возможность доказывать геометрические теоремы при помощи центра масс. В рассматриваемой работе решается следующая задача: нужно найти место для строительства завода по переработке руды, извлеченной из разных рудников, так чтобы стоимость ее перевозки, в совокупности, была наименьшей.

Интересно решалась эта задача. На деревянную доску наносилась топографическая карта местности и к тем точкам, которые соответствуют рудникам, подвешивались блоки. К одному концу нити, перевешенной через каждый блок, подвешивают массу, пропорциональную реально перевозимому грузу, другие концы нити прикрепляют к маленькому подвижному кольцу. Точка, около которой остановится кольцо, и определяет искомое местоположение завода. Конечно, этот метод не является точным, но дает довольно хорошие практические результаты. В этом весь Ламе — он всегда нацелен на решение прикладных задач, но использует при этом глубокие теоретические разработки.

В этой же работе Ламе и Клапейрон рассматривают постановку задачи в общей формулировке, когда нужно строить не один, а несколько заводов.

5. Комбинаторная задача (1838 г.). В небольшой своей работе Ламе рассмотрел задачу о нахождении числа способов разделить выпуклый многоугольник на треугольники при помощи диагоналей, если никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сейчас эта задача фигурирует во многих учебниках и книгах по элементарной математике, особенно тогда, когда нужно продемонстрировать применение принципа математической индукции в геометрии; при этом ссылки на первоисточник со временем затерялись и указания на авторство Ламе отсутствуют.

6. Эффективность алгоритма Евклида (1844). Ламе по этой тематике опубликовал в 1840 — 1847 гг. шесть статей. Его результат, который сейчас носит название теоремы Ламе, гласит, что число операций последовательных делений в алгоритме Евклида для нахождения НОД (а; b), а>b, меньше 5р, где р — число цифр в десятичной записи числа b.

При доказательстве этой теоремы Ламе использовал свойства чисел Фибоначчи; кроме этого он опубликовал отдельные статьи, где исследовал другие свойства последовательности Фибоначчи и ряда чисел Фарея.

7. Большая теорема Ферма (1839 г.). В наследство от величайшего математика П. Ферма (1608 — 1665) человечеству, в частности, осталась проблема, которая сейчас называется «Большая теорема Ферма» (также «Великая», «Последняя», «Знаменитая» и т.д.). На протяжении более чем трех веков были обнаружены вполне элементарные доказательства только самого Ферма для n=4 и одного частного случая (так называемом первый случай теоремы Ферма) для некоторых простых чисел n. Все остальные полученные результаты требовали серьезного математического аппарата.

1839 г. — Г. Ламе дал доказательство для случая n=7 и, тем самым, для всех n, кратных 7 и неделимых на 3 и 5 (сюда включается случай n=14, который раньше при помощи искусственного приема получил Л. Дирихле, но который не распространялся на случай n=7).

Параметры Ламе (названные в честь Габриеля Ламе) — материальные константы, характеристики упругих деформаций изотропных твёрдых тел, модули упругости.

В линейной теории упругости закон Гука выражает линейную зависимость между тензором деформации ε и тензором напряжений σ в упругой среде:

,

где λ называется первым параметром Ламе, а μ (модуль сдвига, Н/м²) — вторым параметром Ламе.

Определение через энергию. Энергия упругой деформации является квадратичной формой тензора деформации. Из тензора второго ранга можно составить две разные симметричные скалярные комбинации второй степени. Такими скалярами являются и .

Вклад упругих деформаций в свободную энергию, таким образом, является линейной комбинацией этих двух скаляров с коэффициентами, которые называются параметрами Ламе.

Связь с другими модулями упругости. Параметр Ламе μ совпадает с модулем сдвига. Модуль всестороннего сжатия К выражается через параметры Ламе следующим образом:

Через модуль Юнга E и коэффициент Пуассона ν параметры Ламе выражаются следующим образом:

Гидродинамика. В уравнении Навье-Стокса — уравнениях движения сжимаемой жидкости:

Коэффициенты динамической вязкости λ и η являются соответственно первым и вторым параметрами Ламе.

Коэффициенты Ламе в в математическом анализе — коэффиценты в выражениях для дифференциалов дуг соответствующих координатных линий, названые в честь французского математика Габриеля Ламе.

Общее определение. Пусть x, y, z — декартовы координаты. Пусть q1, q2, q3 — произвольные ортогональные криволинейные координаты. Пусть также справедливы соотношения:

где — некоторые функции.

Дифференциал дуги в декартовых координатах имеет вид:

.

Тогда можно записать дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде:

Принимая во внимание ортогональность систем координат, т.е. , при это выражение можно переписать в виде:

,

где искомые коэффициенты Ламе.

Связь полярных координат с декартовыми:

.

.

Связь цилиндрических координат с декартовыми:

.

.

Связь сферических координат с декартовыми:

.

.

Ламе функции, функции, применяемые при изучении физических явлений (распределение тепла, движение жидкости и т. п.) в областях, ограниченных поверхностью эллипсоида. Ламе функции являются простейшими решениями дифференциального уравнения Ламе:

,

где α 2 = a 2 + λ, β 2 = b 2 + λ, γ 2 = c 2 +λ, n — целое число, a a, b, с — полуоси эллипсоида, внутри (или вне) которого исследуется физическое явление. Ламе функции, введённые Г. Ламе в 1839, имеют многочисленные приложения к различным вопросам математической физики и механики.

Ламе уравнение- линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка в комплексной области

где — Вейерштрасса эллиптическая функция, А и В — константы. Это уравнение было впервые изучено Г. Ламе; оно возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в эллиптических координатах. Уравнение (1) называется формой Вейерштрасса для Ламе уравнения. Существует такая замена независимой переменной в уравнении (1), в результате которой получается форма Якоби для Ламе уравнения:

Имеются также многочисленные алгебраич. формы Л. у., переход к к-рым осуществляется различными преобразованиями независимой переменной уравнения (1), напр.:

Для практических приложений форма Якоби является наиболее подходящей. Особенно важен случай, когда в уравнении (1) В=n(n+1), где n — натуральное число. В этом случае решения уравнения (1) мероморфны во всей плоскости и их свойства довольно хорошо изучены. Среди решений уравнения (2) при В=n(n+1) первостепенное значение имеют Ламе функции.

Подробно ознакомившись с биографией французского физика, математика и инженера Габриеля Ламе, видно, что благодаря его деятельности научный прогресс вышел в своё время на новую ступень эволюции. Ламе внес неоценимый вклад в развитие науки, а значит и в развитие общества в целом. Не смотря на то, что он слишком много уделял внимания теоретическим построениям и исследованиям, он был замечательным практиком и довольно нередко брал участие в разнообразных строительных проектах. Круг его интересов был широк и разносторонний. Труды Габриеля Ламе коснулись и дали толчок к дальнейшему развитию таких отраслей науки, как математическая теория упругости, математическая физика, строительная и прикладная механика, теория сопротивления материалов и дифференциальная геометрия.

1. Воронина М. М. Габриэль Ламе, 1795-1870: Французский ученый — математик, механик, инженер. — Л.: Наука. Ленингр. отд-ние, 1987.

2. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. . — Наука., 1987.

3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.; Л.: ГИТТЛ, 1937.

4. Заичкин И. Л. Русская история от Екатерины Великой до Александра II. М.: Мысль, 1994.

5. Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952. Н. Х. Розов.

1. Уравнение Лапласа в сферических координатах¶

Нас интересует решение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка вида $$\Delta f = \frac<\partial^2 f> <\partial x^2>+ \frac<\partial^2 f> <\partial y^2>+ \frac<\partial^2 f> <\partial z^2>= 0,$$ которое называется уравнением Лапласа. Здесь $x, y, z$ — прямоугольные координаты, $f = f(x, y, z)$ — функция, которая удовлетворяет уравнению, то есть является его решением, $\Delta = \nabla^2 = \frac<\partial^2> <\partial x^2>+ \frac<\partial^2> <\partial y^2>+ \frac<\partial^2><\partial z^2>$ — оператор Лапласа («лапласиан»).

Функции, имеющие непрерывные производные первого и второго порядков и удволетворяющие уравнению Лапласа называются гармоническими.

В геодезических приложениях уравнение Лапласа решают либо в сферических, либо в эллипсоидальных координатах (но не геодезических!). Прежде, чем приступать к конкретному решению, сначала надо выразить лапласиан в этих координатах. Представляется удобным однако выработать некоторые общий подход к этой проблеме и ввести криволинейные координаты.

Криволинейные координаты¶

Положение произвольной точки в трёхмерном пространстве задаётся в прямоугольных координатах $x, y, z$ её радиус-вектором $$\mathbf = x \mathbf + y \mathbf + z \mathbf,$$ где $(\mathbf, \mathbf, \mathbf)$ — единичные базисные векторы, направленные вдоль осей декартовой системы координат.

Пусть теперь заданы некие криволинейные координаты $q_1, q_2, q_3$ (пример: сферические ($r,\vartheta, \lambda$), геодезические ($H, B, L$)). Они однозначно связаны с прямоугольными координатами $x, y, z$ гладкими функциям $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3$:

$$ \left\ <\beginx = \varphi_1\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right),\\ y = \varphi_2\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right), \\ z = \varphi_3\left(q_1,\;q_2,\;q_3\right).\end\right.$$

Системы координат образуются пересекающимися координатными поверхностями, которые можно построить, зафиксировав одну из координат $q_i$. На пересечении координатных поверхностей находятся координатные линии, которые можно построить, если зафиксировать две координаты $q_i$. В общем случае координатные поверхности и линии будут кривыми, отсюда и название — криволинейные координаты. Координатые оси направлены по касательным к координатным линиям в точке пересечения координатых поверхностей. В общем случае и в отличие от декартовой системы, координатные оси криволинейной системы координат имеют разное направление в каждой точке пространства.

Пример. Сферическая система координат образована пересечением плоскости меридиана ($\lambda = const$), сферы ($r = const$) и бесконечного конуса ($\vartheta = const$). Координатными линиями служат: прямая ($\lambda=const, \vartheta=const$, пересечение плоскости меридиана и бесконечного конуса), дуга большого круга сферы радиуса $r$ ($ r=const, \lambda=const$, пересечение сферы и плоскости) и дуга малого круга ($r=const, \vartheta=const$, пересечение сферы и бесконечного конуса).

Если в любой точке координатные поверхности и линии попарно ортогональны, то есть касательные к ним попарно перпендикулярны, то система координат называется ортогональной, если под косым углом, то — косоугольной. В геодезии всегда используются только ортогональные системы, поэтому будем рассматривать преимущественно их. Не стоит путать ортогональные и прямоугольные (декартовы) координаты. Последние сами являются ортогональными, а также частным случаем криволинейных.

Локальный базис и коэффициенты Ламе¶

В декартовой системе координат базисные векторы могут быть найдены через частные производные по радиус-вектору: $$ \mathbf = \dfrac<\partial \mathbf><\partial x>,\quad \mathbf = \dfrac<\partial \mathbf><\partial y>,\quad \mathbf = \dfrac<\partial \mathbf><\partial z>. $$

Составляя аналогичные производные для криволинейной системы $$ \mathbf_1 = \dfrac<\partial \mathbf><\partial q_1>,\quad \mathbf_2 = \dfrac<\partial \mathbf><\partial q_2>,\quad \mathbf_3 = \dfrac<\partial \mathbf><\partial q_3>, $$ получим локальный базис в текущей точке. В отличие от глобального базиса, например декартовой системы, локальный базис, как и координатные оси, имеет разное направление в каждой точке пространства. В общем случае локальный базис может не быть единичным и не быть ортогональным.

Для ортогонального локального базиса, то есть для ортогональной криволинейной системы координат, можно ввести масштабные коэффициент или коэффиценты Ламе $$ h_1 = |\mathbf_1|,\quad h_2 = |\mathbf_2|,\quad h_3 = |\mathbf_3|. $$

То есть коэффициентами Ламе $h_1, h_2, h_3$, соответствующими данной ортогональной криволинейной системе координат, называются модули частных производных радиуса-вектора $\mathbf$ текущей точки по её криволинейным координатам $q_1, q_2, q_3$. В явном и пригодном для вычисления виде это можно записать следующим образом $$ \begin h_1 &= \left|\dfrac<\partial \mathbf> <\partial q_1>\right| = \sqrt< \left( \dfrac<\partial x><\partial q_1>\right)^2 + \left( \dfrac<\partial y><\partial q_1>\right)^2 + \left( \dfrac<\partial z><\partial q_1>\right)^2>,\\ h_2 &= \left|\dfrac<\partial \mathbf> <\partial q_2>\right| = \sqrt< \left( \dfrac<\partial x><\partial q_2>\right)^2 + \left( \dfrac<\partial y><\partial q_2>\right)^2 + \left( \dfrac<\partial z><\partial q_2>\right)^2>,\\ h_3 &= \left|\dfrac<\partial \mathbf> <\partial q_3>\right| = \sqrt< \left( \dfrac<\partial x><\partial q_3>\right)^2 + \left( \dfrac<\partial y><\partial q_3>\right)^2 + \left( \dfrac<\partial z><\partial q_3>\right)^2>. \end $$

Через коэффициенты Ламе можно задать криволинейные ортонормированные (то есть ортогональные и единичные) базисные векторы $$ \mathbf_1 = \dfrac<\mathbf_1>, \mathbf_2 = \dfrac<\mathbf_2>, \mathbf_3 = \dfrac<\mathbf_3>. $$

Элемент длины¶

Пусть произвольная точка переместилась на малое расстояние радиус-вектор изменился на величину

$$d \mathbf = \mathbfdx + \mathbf dy + \mathbf dz.$$

В ортогональной криволинейной системе координат изменение радиус-вектора можно записать через полный дифференциал следующим образом:

Квадратом линейного элементы (элемента длины, элемента дуги) или метрикой называется скалярный квадрат $ds = d\mathbf^2 = d\mathbf\cdot d\mathbf$ полного дифференциала $d\mathbf$ радиус-векора $\mathbf$ текущей точки

$$ ds^2 = d\mathbf^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2.$$

Очевидно, что метрика инвариантна к выбору системы координат. В криволинейных координатах получим

$$ ds^2 = h_1^2 dq_1^2 + h_2^2 dq_2 + h_3^2 dq_3^2, $$

где использована формула квадраты суммы трёх слагаемых

$$ (a + b +c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc, $$

а также свойство ортогональности системы координат, для которой справедливо

$$ \mathbf_i \cdot\mathbf_j = \begin 0,\quad \textrm<если>\ i \neq j,\\ 1,\quad \textrm<если>\ i = j. \end $$

Метрический тензор¶

Из выражений для коэффициентов Ламе и квадрата линейного элемента нетрудно сделать обобщение, удобное для автоматизированных вычислений. Если образовать диагональую матрицу $g$, элементами которой будут квадраты коэффициентов Ламе $g_ = h_i h_i$, то найти её можно будет так $$ g = J^T J, $$ где $J$ — матрица Якоби, а $J^T$ — транспонированная ей.

Матрица $g_$ это на самом деле не матрица, а метрический тензор, записанный в матричной форме. Тензоры это отдельный класс объектов в линейной алгебре, которые являются обобщением и скаляров, и векторов. Почему он метрический? Потому что хотя запись тензора будет меняться при изменении системы координат, некоторые свойства тензора при этом останутся неизменными.

Например, элемент длины теперь выражается следующим образом

где применено правило суммирования Эйнштейна, когда повторяющиеся индексы суммируются (то есть опускается знак суммы: $\sum_^3 c_i x^i = c_i x^i$), для чего индексы у $q_i$ записаны сверху $q^i$.

Лапласиан в криволинейных координатах¶

Применение метрического тензора также позволяет записать лапласиан компактно $$ \Delta f = \frac1<\sqrt<\det g>>\frac<\partial> <\partial q^i>\left( \sqrt <\det g>g^ \frac<\partial f><\partial q^j>\right), $$ где $g^$ это тензор, обратный метрическому, $\det g$ — определитель тензора $g$.

Сферические координаты¶

В геодезии уравнение Лапласа чаще всего решают в сферических координатах $r, \vartheta, \lambda$, которые связаны с прямоугольными координатами $x, y, z$ следующими соотношениями: $$ %\left\ <\begin\begin x &= r \sin\vartheta\cos\lambda,\\ y &= r \sin\vartheta\sin\lambda,\\ z &= r \cos\vartheta. \end %\end\right. $$ Здесь $r$ — радиус-вектор, $\vartheta = 90^\circ — \varphi$ — полярное расстояние, являющееся дополнением геоцентрической долготы $\varphi$ до $90^\circ$, $\lambda$ — геоцентрическая долгота.

Обратный переход осуществляется так: $$ \begin r &= \sqrt,\\ \vartheta &= \arctan<\frac<\sqrt>>,\\ \lambda &= \arctan<\frac>. \end $$

Для вывода уравнения Лапласа в сферических координатах можно было бы пойти самым прямым и незамысловатым путём, то есть найти вторые производные $\frac<\partial^2 f><\partial x^2>, \frac<\partial^2 f><\partial y^2>, \frac<\partial^2 f><\partial z^2>$, пользуясь указанными выше связями прямоугольных и сферических координат. Это чрезвычайно громоздкий и тернистый путь. Можете попробовать на досуге. Мы же пойдём чуть более простой дорогой, не зря же вводили криволинейные координаты.