Уравнение ламе выражающее механическое напряжение

Механические свойства сосудов. Уравнение Ламе. Ударный объем крови. Пульсовая волна,скорость ее распространения. Физические основы клинического метода измерения давления крови.

Ткань кровеносных сосудовопределяется свойствами коллагена, эластина и гладких мышц. Содержание этих компонентов изменяется по ходу кровеносной системы, по мере удаления от сердца увеличивается доля гладких мышц. Рассмотрим деформацию сосуда в целом как результат действия давления изнутри на упругий цилиндр.Рассмотрим цилиндрическую часть кровеносного сосуда длиной , толщиной и радиусом внутренней части . Общая площадь сечения взаимодействия равна . Если в стенке существует механическое напряжение , то сила взаимодействия двух половинок сосуда:

(1)

Эта сила уравновешивается силами давления на цилиндр изнутри (стрелки на рисунке). Равнодействующую этих сил можно найти, умножив давление на проекцию площади полуцилиндра, на вертикальную плоскость . Эта проекция равна , тогда (1) через давление равна

(2)

Приравнивая (1) и (2) получим:

(3)

Уравнение (3) получило название – уравнение Ламе.

Работа, совершаемая сердцем, затрачивается на преодоление сопротивления и сообщение крови кинетической энергии.

Рассчитаем работу, совершаемую при однократном сокращении левого желудочка.

V_у – ударный объем крови в виде цилиндра. Можно считать, что сердце поставляет этот объем по аорте сечением S на расстояние I при среднем давлении р. Совершаемая при этом работа равна:

A1 = FI = pSI = pV_y.

На сообщение кинетической энергии этому объему крови затрачена работа:

где р – плотность крови;

υ – скорость крови в аорте.

Таким образом, работа левого желудочка сердца при сокращении равна:

Так как работа правого желудочка принимается равной 0,2 от работы левого, то работа всего сердца при однократном сокращении равна:

Эта формула справедлива как для покоя, так и для активного состояния организма, но эти состояния отличаются разной скоростью кровотока.

При сокращении сердца (систолы) кровь выбрасывается из сердца в аорту и отходящие от нее артерии. Особенностью системы кровообращения является эластичность стенок сосудов. Если бы стенки кровеносных сосудов были жесткими, о давление, возникающее в крови на выходе из сердца, со скоростью звука передалось бы к периферийным сосудам. Эластичность стенок сосудов приводит к тому, что во время систолы кровь выталкивается сердцем, растягивая аорту, то есть крупные сосуды воспринимают за время систолы больше крови, чем ее отток к периферии. Систолическое давление человека в норме равно приблизительно 16 кПа (16× 10 3 Па). Во время расслабления сердца (диастола) растянутые кровеносные сосуды сокращаются, и потенциальная энергия этих сосудов переходит в кинетическую энергию крови, которая начинает двигаться в сосудах с некоторой скоростью. При этом поддерживается диастолическое давление, примерно равное 11 кПа.

Волна повышенного давления, распространяющаяся по аорте и артериям во время систолы, называется пульсовой волной. Скорость пульсовой волны можно оценить по формуле Моенса-Кортевега:

где Е — модуль упругости сосудов; r — плотность вещества сосуда; а — толщина сосуда; R — радиус сосуда.

Пульсовая волна распространяется со скоростью 5- 10 м/с, поэтому за время систолы (Т_с

0,3 с) она должна пройти расстояние от сердца до конечностей. Это означает, что фронт пульсовой волны достигает конечностей раньше, чем начнется диастола. Пульсовой волне соответствует пульсирование скорости кровотока в крупных артериях, однако скорость крови существенно меньше скорости распространения пульсовой волны и, примерно, равна 0,3- 0,5 м/с. При этом ток крови принимает непрерывный характер.

При таком механизме продвижения крови только часть энергии, развиваемой мышцей при сокращении, передается непосредственно крови в аорте и переходит в ее кинетическую энергию. Остальная часть энергии переходит в потенциальную энергию растяжения эластичных стенок крупных сосудов и затем уже по мере возвращения их в исходное состояние эта энергия передается крови в период диастолы. Этим и объясняется непрерывный характер тока крови.

Систолическое и диастолическое давление в артерии можно измерить непосредственно с помощью иглы, соединенной с манометром. Однако в медицине широко используется бескоровный метод, предложенный Н.С.Коротковым. Он заключается в том, что измеряют давление, которое необходимо приложить снаружи, чтобы сжать артерию до прекращения в ней тока крови. Это давление весьма близко к давлению крови в артерии. Измерение обычно производится на плечевой артерии выше локтевого сгиба

Сжатие артерии осуществляется с помощью манжеты, которая представляет собой резиновую камеру в чехле из тонкого материала. Манжету обертывают вокруг руки между плечом и локтем. При накачивании воздуха через шланг с помощью резиновой груши давление в манжете растет. Величина давления определяется по манометру, соединенному с манжетой. В процессе накачивания воздуха в манжету следят за пульсом на лучевой артерии с помощью датчика (фонендоскоп или пьезоэлектрический преобразователь). Воздух накачивают в манжету до давления на 10- 20 мм рт.ст. выше того, при котором перестает прослушиваться пульс на лучевой артерии. Затем, медленно открывая выпускной клапан резиновой груши, постепенно снижают давление в манжете, прислушиваясь к звукам в фонендоскопе (или динамике). Соотношение между изменением давления (р) в манжете и «тонами Короткова» показано схематически на рис. 5. Пока артерия сжата полностью, никакие звуки не прослушиваются. При снижении в манжете давления начинают прослушиваться отчетливые тоны (участок а на рис. 5). Эти тоны обусловлены вибрацией стенок артерии непосредственно за манжетой под действием мощных толчков крови, которые проходят сквозь сжатый манжетой участок сосуда только в моменты систолы сердца. Показание манометра, соответствующее моменту появлении тонов, определяет систолическое давление.

При дальнейшем снижении давления в манжете тоны дополняются шумами (участок б на рис. 5). Эти шумы обуслов- лены турбулентным течением крови через частично сжатый манжетой участок артерии. Затем шумы уменьшаются и в фонендоскопе вновь прослушиваются чистые тоны (участок в на рис. 5). Эти тоны быстро затухают, в артерии устанавливается ламинарное течение крови. Показание манометра в момент резкого ослабления тонов соответствует диастолическому давлению.

Для здорового нормального человека р_с = 10- 120 мм рт.ст., р_д = 70- 80 мм рт.ст.

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ – раздел механики сплошных сред, изучающий перемещения, деформации и напряжения покоящихся или движущихся тел под действием нагрузок. Цель этой теории – вывод математических уравнений, решение которых позволяет ответить на следующие вопросы: каковы будут деформации данного конкретного тела, если к нему приложить в известных местах нагрузки заданной величины? Каковы будут при этом напряжения в теле? Вопрос в том, разрушится ли тело или выдержит эти нагрузки, тесно связан с теорией упругости, но, строго говоря, не входит в компетенцию этой теории.

Количество возможных примеров безгранично – от определения деформаций и напряжений в балке, лежащей на опорах и нагруженной силами, до расчета тех же величин в конструкции самолета, корабля, подводной лодки, в колесе вагона, в броне при ударе снаряда, в горном массиве при прохождении штольни, в каркасе высотного здания и т.д. Здесь нужно сделать оговорку: конструкции, состоящие из тонкостенных элементов, рассчитывают по упрощенным теориям, логически основанным на теории упругости; к таким теориям относятся: теория сопротивления материалов действию нагрузок (знаменитый «сопромат»), задачей которой, в основном, является расчет стержней и балок; строительная механика – расчет стержневых систем (например, мостов); и, наконец, теория оболочек – по существу, самостоятельная и очень сильно развитая область науки о деформациях и напряжениях, предмет исследования которой – важнейшие элементы конструкций – тонкостенные оболочки – цилиндрические, конические, сфероидальные, и имеющие более сложные формы. Поэтому в теории упругости обычно рассматриваются тела, у которых существенные размеры отличаются не слишком сильно. Таким образом, рассматривается упругое тело заданной формы, на которое действуют известные силы.

Основными понятиями теории упругости являются напряжения, действующие на малых площадках, которые можно мысленно провести в теле через заданную точку M, деформации малой окрестности точки M и перемещения самой точки M. Точнее говоря, вводятся тензоры напряжений s ij, тензор малых деформаций e ij и вектор перемещения u_i.

Краткое обозначение s ij, где индексы i, j принимают значения 1, 2, 3 следует понимать как матрицу вида:

Аналогично следует понимать и краткое обозначение тензора e ij.

Если физическая точка тела M вследствие деформации заняла новое положение в пространстве M´, то вектор перемещения есть вектор с компонентами (u_xu_yu_z), или, сокращенно, u_i. В теории малых деформаций компоненты u_i и e i считаются малыми величинами (строго говоря, бесконечно малыми). Компоненты тензора e ij и вектора u_ij связаны формулами Коши, которые имеют вид:

Видно, что e xy = e yx, и, вообще говоря, e ij = e ji, поэтому тензор деформаций является симметричным по определению.

Если упругое тело под действием внешних сил находится в равновесии (т.е. скорости всех его точек равны нулю), то в равновесии находится и любая часть тела, которую можно мысленно из него выделить. Из тела выделяется маленький (строго говоря, бесконечно малый) прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы Oxyz (рис. 1).

Пусть ребра параллелепипеда имеют длины dx, dy, dz соответственно (здесь, как обычно dx есть дифференциал x, и т.д.). Согласно теории напряжений, на гранях параллелепипеда действуют компоненты тензора напряжений, которые обозначаются:

при этом компоненты с одинаковыми индексами (например s xx) действуют перпендикулярно грани, а с разными индексами – в плоскости площадки.

На противоположных гранях значения одноименных компонент тензора напряжений немного отличаются, это связано с тем, что они являются функциями координат и изменяются от точки к точке (всегда, кроме известных простейших случаев), а малость изменения связана с малыми размерами параллелепипеда, поэтому можно считать, что если на грани OABC действует напряжение s yy, то на грани GDEF действует напряжение s yy + ds yy, причем малая величина ds yy именно в силу своей малости может быть определена с помощью разложения в ряд Тейлора:

(здесь используются частные производные, т.к. компоненты тензора напряжений зависят от x, y, z).

Аналогично можно выразить напряжения на всех гранях через s ij и ds ij. Далее, чтобы перейти от напряжений к силам, нужно умножить величину напряжения на площадь той площадки, на которой оно действует (например, s yy + ds yy умножить на dx dz). Когда все силы, действующие на параллелепипед, определены, можно, как это делают в статике, записать уравнение равновесия тела, при этом во всех уравнениях для главного вектора останутся только члены с производными, так как сами напряжения взаимно уничтожаются, а множители dx dy dz сокращаются и в результате

Аналогично получаются уравнения равновесия, выражающие равенство нулю главного момента всех сил, действующих на параллелепипед, которые приводятся к виду:

Эти равенства означают, что тензор напряжений есть симметричный тензор. Таким образом, для 6 неизвестных компонент s ij есть три уравнения равновесия, т.е. уравнений статики недостаточно для решения задачи. Выход из положения состоит в том, чтобы выразить напряжения s ij через деформации e ij с помощью уравнений закона Гука, а затем деформации e ij выразить через перемещения u_i с помощью формул Коши, и результат подставить в уравнения равновесия. При этом получается три дифференциальных уравнения равновесия относительно трех неизвестных функций u_x u_y u_z, т.е. число неизвестных равно числу уравнений. Эти уравнения называются уравнениями Ламе

не учитываются массовые силы (вес и др.)

D – оператор Лапласа, то есть

Теперь нужно задать на поверхности тела граничные условия;

основные виды этих условий следующие:

1. На известной части поверхности тела S₁ заданы перемещения, т.е. вектор перемещений равен известному вектору с компонентами < f_x; f_y; f_z>:

2. На остальной части поверхности S₂ заданы поверхностные силы. Это означает, что распределение напряжений внутри тела таково, что величины напряжений в непосредственной близости от поверхности, а в пределе – на поверхности на каждой элементарной площадке создают вектор напряжений, равный известному вектору внешней нагрузки с компонентами < F_x ;F_y ; F_z> поверхностных сил. Математически это записывается так: если в точке A поверхности вектор единичной нормали к этой поверхности имеет компоненты n_x, n_y, n_z то в этой точке должны быть выполнены равенства относительно (неизвестных) компонент s ij:

В этих формулах появляется вектор нормали, так как компоненты тензора s ij определены на площадках, параллельных координатным плоскостям, а малая площадка на поверхности ориентирована, вообще говоря, произвольно, и ее ориентация как раз и задается вектором Сами формулы получаются аналогично тому, как были получены уравнения равновесия, но исходя из равновесия малого тетраэдра, у которого три грани параллельны координатным плоскостям, а четвертая является частью поверхности тела и имеет нормаль , причем на этой площадке действует вектор внешних усилий .

В граничных условиях все компоненты напряжений s ij считаются выраженными через производные от u_x, u_y, u_z как это делается при выводе уравнения Ламе.

Уравнения Ламе и граничные условия и образуют краевую задачу теории упругости, для которой, при естественных ограничениях, доказаны существование и единственность решения.

В теорию упругости входит еще одна группа уравнений – уравнения совместности деформаций. Если формулы Коши рассматривать как уравнения относительно трех неизвестных компонент перемещений u_x, u_y, u_z считая заданными шесть величин e ij, то для трех неизвестных получим шесть уравнений, то есть переопределенную систему. Эта система будет иметь решение только при выполнении дополнительных условий относительно e ij. Эти условия и есть уравнения совместности.

Эти уравнения часто называют условиями сплошности, подразумевая при этом, что они обеспечивают сплошность тела после деформации. Это выражение образное, но неточное: эти условия обеспечивают существование непрерывного поля перемещений, если в качестве неизвестных принять компоненты деформаций (или напряжений). Невыполнение этих условий ведет не к нарушению сплошности, а к отсутствию решения задачи.

Таким образом, теория упругости дает дифференциальные уравнения и граничные условия, которые позволяют сформулировать краевые задачи, решение которых дает полную информацию о распределении в рассматриваемых телах напряжений, деформаций и перемещений. Методы решения таких задач весьма сложны и наилучшие результаты дает сочетание аналитических методов с численными, использующими мощные компьютеры.

Ильюшин А.А., Ленский В.С. Сопротивление материалов. Физматгиз, 1959
Гордон Дж. Почему мы не проваливаемся сквозь пол? М., Изд-во «Мир», 1971
Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М., «Высшая школа»,1981

Уравнение ламе выражающее механическое напряжение в кровеносных сосудах

Механические свойства сосудов

Сосуды являются важными элементами в целостном организме. В зависимости от морфологического строения стенок кровеносные сосуды делятся на эластические (с преобладанием эластической ткани), мышечные (с преобладанием гладкомышечной ткани) и смешанные.

Диаметр кровеносных сосудов и тканевой состав их стенок различны в зависимости от типа сосуда (рис. 17.9). Как правило, в стенках артерий больше эластической ткани и меньше коллагеновых волокон, чем в стенках вен; вены же, напротив, более богаты коллагеновыми волокнами. Капилляры имеют эндотелиальный слой, но их стенки лишены мышечной и соединительной ткани. Стенки всех крупных артерий имеют три оболочки: внутреннюю, среднюю и наружную.

Эндотелиальные клетки, выстилающие сосуд изнутри, играют важную роль в гемодинамике, нарушение их целостности ведет к риску возникновения тромбов.

Лимфатические сосуды, выполняющие особую функцию, по строению сходны с венами, отличаясь от них меньшей толщиной и большей проницаемостью. Лимфатические сосуды пронизывают почти все органы, за исключением кожи, волос, роговицы и некоторых других.

Рис. 17.9. Строение кровеносных сосудов различных отделов сосудистой

системы. Вся сосудистая сеть выстлана слоем эндотелиальных клеток;

количество же мышечной и соединительной ткани в стенках различных сосудов варьирует (R.F. Rushmer, 1970)

Лимфатическая система образована преимущественно околовенозными, т. е. идущими вдоль вен (а также вдоль артерий) лимфатическими сосудами. Эти сосуды бывают глубокими и поверхностными и по структуре напоминают вены, отличаясь от них меньшей толщиной стенки и большей проницаемостью. Как и вены, они имеют клапаны, препятствующие обратному току лимфы.

В среднем ток лимфы у человека составляет 1,4 мл/кг веса в 1 ч, или около 2 л за сутки. Каждый 24 ч в лимфу переходит от 1 /4 до половины всех белков плазмы крови.

Току лимфы способствуют как сокращения мышц, так и сокращения непосредственно самих лимфатических сосудов. На него влияют также изменения давления в тканях и капиллярах.

Закупорка (или сдавление) лимфатических сосудов в результате воспалительных процессов вызывает заболевание, называемое слоновостью, характеризующееся прекращением оттока лимфы и непомерным увеличением и утолщением тканей конечности.

Так же как и в венах, в лимфатических сосудах существует градиент давления, направленный от периферии к центральным сосудам (грудному и правому лимфатическим протокам).

Стенки кровеносных сосудов постоянно подвергаются периодическому нагружению пульсирующим давлением. В материале стенок, рассматриваемом как линейно-вязкоупругий (Y. Fung, 1981) и подверженным действию периодического напряжения, изменяющегося по определенному закону, результирующие деформации будут запаздывать на определенную фазуΔφ, величина которой зависит от свойств исследуемого материала. Комплексный динамический модуль упругости для такого материала определяется как Един = Е’ + jE’. Здесь Е’ — упругий модуль, а Е» — модуль потерь, определяемые по формулам Е’ = Е cosΔφ и Е» = Е sinΔφ, где Е — модуль упругости.

Динамический модуль упругости при частоте выше 1—2 Гц практически не изменяется, его увеличение происходит только при более низких частотах. Угол запаздывания относительно мал и составляет менее 10°. В пределах физиологических давлений при частоте 2 Гц отношение Е» / Е’ Предмет: Биомеханика Автор: Владимир Иванович Дубровский Год издания: 1977 Язык учебника: Русский Рейтинг: Просмотров: 4382

Механические свойства ткани кровеносных сосудов

Прочностные и деформационные свойства стенок кровеносных сосудов и изменение этих свойств (с возрастом) имеет большое значение для медицины.

Кровеносные сосуды состоят из трех концентрических слоёв: внутренний – интима; средний – средняя сосудистая оболочка; наружный – внешняя сосудистая оболочка.

Механические свойства кровеносных сосудов обуславливаются, главным образом, свойствами средней сосудистой оболочки, состоящей из коллагена, эластина и гладких мышечных волокон.

Представим таблицу допускаемых деформаций этих элементов.

Элемент	Деформация ε (%)	Модуль Юнга (МПа)
Эластин	200-300	0,1 – 0,6
Коллаген	до 10	10 – 100
Мышечное волокно (при сокращении)	20	0,01 – 0,1
Кровеносный сосуд	5-50	0,06 – 0,7

Следует отметить, что гладкие мышечные клетки могут менять свою длину (сокращаться) под действием нервных или химических стимуляторов. Гладкая мышца осуществляет активное поведение кровеносных сосудов, так как в результате её сокращения меняется диаметр кровеносного сосуда и механические свойства сосудистой стенки в целом. Таким образом, достигается оптимальное распределение и регулирование кровяного потока.

Содержание трёх основных компонентов сосудистой ткани меняется для различных мест стенки. Отношение эластина к коллагену в сосудах ближе к сердцу равно 2:1, но оно убывает с удалением от него и в бедренной артерии оно равно 1:2. С удалением от сердца увеличивается содержание гладких мышечных волокон, и уже в артериолах они становятся основной составляющей сосудистой ткани.

Установлено, что сосудистая ткань является практически несжимаемой. Кровеносные сосуды обладают криволинейной ортотропией, т.е. их механические свойства в радиальном, осевом и кольцевом направлениях существенно различны.

Механическое поведение сосудов усложняется ещё и тем, что в организме они находятся под влиянием окружающих тканей, растянуты в продольном направлении и их деформации в этом направлении ограничены. В сосудах наблюдаются значительные отклонения механических характеристик для отдельных индивидов от установленных средних значений.

Напряжение, возникающее при деформации в стенке кровеносного сосуда, определяется уравнением Ламе.

Вывод уравнения Ламе

Возьмём часть кровеносного сосуда длиной и толщиной стенки . Представим стенки сосуда вдоль и поперёк:

Две половины цилиндрического сосуда взаимодействуют между собой по сечениям стенок сосуда. Общая площадь сечения взаимодействия будет , тогда сила взаимодействия двух половинок:

Эта сила уравновешивается силами давления крови изнутри:

уравнение Ламе

Таким образом, напряжение, возникающее в стенках кровеносных сосудов, зависит от величины давления крови, внутреннего радиуса и от толщины стенок кровеносного сосуда.