Уравнение лапласа для электрического поля постоянного тока

Электрическое поле в проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа

Электрическое поле в проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа

Электрическое поле проводящей среды следует уравнению Лапласа. Подобно электростатическому полю, напряженность электрического поля проводящих сред составляет E = —град

• Для полей, не зависящих от времени, div 6 = divy £ = 0- (14.7) Если среда не меняется от точки к точке, то есть если среда однородна и изотропна,

то y как постоянное значение можно взять из знака расходимости Людмила Фирмаль

Вместо divуЕ-0 вы можете написать div divЕ = 0 или divÅ = 0. (14.8) Другими словами, div (-gradtp) = О или V?

Следовательно, оно следует полевому уравнению Лапласа для однородной проводящей среды.

• Уравнение Лапласа описывает потенциальное поле.

Следовательно, поле постоянного тока в проводящей среде

является потенциальным полем. Людмила Фирмаль

Среди них в районах, не занятых источниками (г-н Эдл-0.

Если вам потребуется заказать решение по электротехнике (ТОЭ) вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

2.4. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде

Поскольку электрическое поле в проводящей среде является потенциальным, то справедливо равенство

.

Подставив последнее выражение в уравнение для плотности тока (2.1), а затем плотность тока в уравнение (2.3), получим

Если среда однородна и изотропна по отношению к удельной проводимости, то

Таким образом, поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа.

Закон Био Савара Лапласа

Закон Био Савара Лапласа — Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемая отдельными участками токов.

.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

.

Закон Био-Савара-Лапласа для некоторых токов:

Магнитное поле прямого тока: .

Магнитное поле кругового тока: .

dB — магнитная индукция;

dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током;

— магнитная постоянная;

μ — относительная магнитная проницаемость (среды);

I — сила тока;

R — расстояние от провода до точки, где мы вычисляем магнитную индукцию;

α — угол между вектором dl и r.

В современной формулировке закон Био — Савара — Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля:

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r — положение точек контура γ, dr — вектор элемента контура (ток течет вдоль него); μ₀ — магнитная постоянная; r,r₀ — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

В принципе контур γ может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).

В случае простого контура, ток I одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

где — вектор, описывающий кривую проводника с током I, r — модуль , — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника .

Пример решения задачи закона Био Савара Лапласа.

Применим закон Био — Савара — Лапласа для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае «к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии r₀ от провода. Из рис. 1 видно, что

r =R/sinα, dl =rdα/sinα = R dα/ sin 2 α.

Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

dB = (μ₀ μ/4π) I R sinα sin 2 α dα /R 2 sin 2 α = (μ₀ μ/4π) I sinα dα /R.

Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до π. Следовательно,

B = ∫ dB = (μ₀μ/4π) I/R∫ sinα dα = (μ₀ μ/4π) 2I/R.

Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током

B = (μ 0 μ/4π) 2I/R,

где R – кратчайшее расстояние от оси проводника.

Аналогичным образом можно найти магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 2). Как следует из рисунка, все элементы кругового тока создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin α=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно закону Био-Савара-Лапласа,

dB=(μ₀ μ/4π) I/R 2 dl. Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна B = μ 0 μI/2R.