Уравнение лапласа для магнитного поля

Закон био-савара-лапласа и его полевая трактовка — справочник студента

1.3. Закон Био – Савара – Лапласа и его применение к расчету магнитного поля.

Французские физики Ф. Савар и Ж.Б. Био изучали магнитное поле, создаваемое проводниками с постоянным током различной формы. На основании многочисленных опытов они пришли к выводу, что магнитная индукция поля проводника с током пропорциональна силе тока I, зависит от формы и размеров проводника, а также от расположения рассматриваемой точки по отношению к проводнику.

Био и Савар пытались получить самый общий закон – для проводника любой формы и любой точки поля. Однако сделать это им не удалось. По их просьбе этой проблемой занялся французский математик П.С.Лаплас. Он высказал важную гипотезу о том, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимости действия полей.

Если имеется несколько проводников с током, каждый из которых создает в исследуемой точке магнитное поле с индукциями …, то результирующая магнитная индукция будет равна векторной сумме всех: .

Если перейти к малым отрезкам провода с током, то суммирование надо заменить интегрированием и тогда индукция , создаваемая всем проводником с током I, будет равна: где– индукция, создаваемая элементом длины проводника dℓ, интегрирование проводится по всей длине проводника.

Лаплас обобщил экспериментальные результаты Био и Савара в виде дифференциального закона, называемого законом Био – Савара – Лапласа, по которому магнитная индукция , создаваемая в некоторой точке А элементом проводника dℓ с током I, определяется формулой

Выберем произвольную точку А вблизи проводника. Вектор направлен в точке А перпендикулярно плоскости, построенной на векторах и по правилу правого винта (буравчика), и совпадает с направлением касательной к линии индукции в точке А (пунктирный круг) (рис.1.7). Коэффициент пропорциональности k зависит от выбора системы единиц. В СИ это размерная величина, равная μ0/4π, где μ0 — магнитная постоянная, равная 4π∙10-7Гн/м. Все выше изложенное относится к вакууму.

Таким образом, магнитную индукцию поля, создаваемую в вакууме током I, текущим по проводу конечной длины ℓ и любой формы, можно найти по формуле

Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Рассмотрим круговой проводник с током, изображенный на рис.1.8.

Все элементы данного проводника dℓ создают в его центре (точке А) магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали к площади витка.

Поэтому, как и в предыдущем случае, сложение векторов можно заменить сложением их модулей. Элементы dℓ перпендикулярны R и sinα=1. Используя закон Био-Савара-Лапласа, получим:

Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Представим себе ток, текущий по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1.9). Возьмем произвольную точку А на расстоянии R от проводника.

Согласно правилу правого винта (буравчика), векторы от каждого элемента тока dℓi имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (на нас). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей.

При суммировании всех будет меняться угол α между r и dℓ, поэтому выберем α в качестве переменной интегрирования. Выразим через α все остальные величины, полагая, что отрезок АD ≈ r из-за малости dℓ.

В данном выражении α1 и α2 — значения угла α для крайних точек проводника. Если прямолинейный проводник бесконечно длинный, то α1 = 0, α2 = π. Магнитная индукция в любой точке поля такого проводника с током:

Напомним, что линии магнитной индукции поля прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей.

Магнитное поле соленоида. Если витки соленоида расположены вплотную друг к другу, то соленоид можно рассматривать как систему последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью.

Обозначим через L длину соленоида, а через n — число витков, приходящихся на единицу длины соленоида. Магнитная индукция поля соленоида В равна геометрической сумме магнитных индукций Вi полей всех его витков.

Если L>>R (радиуса витков), тогда В в точке А, лежащей на оси вдали от концов такого соленоида, вычисляется по формуле (без вывода): В = μ0nI.

Закон Био Савара Лапласа

Закон Био Савара Лапласа — Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемая отдельными участками токов.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

• Закон Био-Савара-Лапласа для некоторых токов:
• Магнитное поле прямого тока: .
• Магнитное поле кругового тока: .
• Обозначения:
• dB — магнитная индукция;
• dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током;
• — магнитная постоянная;
• μ — относительная магнитная проницаемость (среды);
• I — сила тока;
• R — расстояние от провода до точки, где мы вычисляем магнитную индукцию;
• α — угол между вектором dl и r.
• В современной формулировке закон Био — Савара — Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля:

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r — положение точек контура γ, dr — вектор элемента контура (ток течет вдоль него); μ0 — магнитная постоянная; r,r0 — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

В принципе контур γ может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).

В случае простого контура, ток I одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

где — вектор, описывающий кривую проводника с током I, r — модуль , — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника .

Закон Био-Савара-Лапласа: применение

В предыдущей статье мы подробно поговорили про магнитное поле. Данная статья является продолжением этой темы и мы поговорим про закон Био-Савара-Лапласа в магнитном поле и его применение.

Применение закона Био-Савара-Лапласа в магнитном поле

Полученное в предыдущей статье выражение для магнитного поля dB, сечения с током I длины dl:

Мы можем объединить всю длину любой изогнутой или даже запутанной направляющей.

Затем мы получим криволинейный интеграл, определяющий поле B, данное в этом руководстве.

Этот интеграл выражает закон Био-Савара-Лапласа, что в принципе позволяет ему получить поле B из любого руководства. Условие состоит в том, что мы можем интегрировать сложную кривую. Численные методы могут быть незаменимы здесь.

Задача на применение закона Био-Савара-Лапласа

Задача состоит в том, чтобы найти магнитное поле B на оси кругового контура с радиусом и на расстоянии x от его центра, когда через контур течет сила тока I. Разобьем петлю тока на бесконечно малые участки для d. Поле dВ одной такой секции находятся на основании закона Био-Савара-Лапласа:

Вектор dB делится на две составляющие: параллельно оси x dBx и перпендикулярно оси x dBy. Компонент dBy будет стерты при цикле контура и эти компоненты не будут дополнительно рассмотрены. Для ситуации, показанной на картинке

мы можем написать

В середине цикла, когда x уменьшается до нуля (x = 0), поле B имеет значение

Для плотно намотанной катушки с N обмотками

Закон Био — Савара — Лапласа — это… Что такое Закон Био — Савара — Лапласа?

Закон Био́—Савара—Лапла́са — физический закон для определения модуля вектора магнитной индукции в любой точке магнитного поля, порождаемого постоянным электрическим током на некотором рассматриваемом участке.

Был установлен экспериментально в 1820 году Био и Саваром.

Лаплас проанализировал данное выражение и показал, что с его помощью путём интегрирования, в частности, можно вычислить магнитное поле движущегося точечного заряда, если считать движение одной заряженной частицы током.

Формулировка

Пусть постоянный ток течёт по контуру γ, находящемуся в вакууме, — точка, в которой ищется поле, тогда индукция магнитного поля в этой точке выражается интегралом (в системе СИ)

Направление перпендикулярно и , то есть перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление , если поступательное движение буравчика соответствует направлению тока в элементе. Модуль вектора определяется выражением (в системе СИ)

Векторный потенциал даётся интегралом (в системе СИ)

Вывод из уравнений Максвелла

Закон Био — Савара — Лапласа может быть получен из уравнений Максвелла для стационарного поля. При этом производные по времени равны 0, так что уравнения для поля в вакууме примут вид (в системе СГС)

где — плотность тока в пространстве. При этом электрическое и магнитное поля оказываются независимыми. Воспользуемся векторным потенциалом для магнитного поля (в системе СГС):

Калибровочная инвариантность уравнений позволяет наложить на векторный потенциал одно дополнительное условие:

Раскрывая двойной ротор по формуле векторного анализа, получим для векторного потенциала уравнение типа уравнения Пуассона:

Его частное решение даётся интегралом, аналогичным ньютонову потенциалу:

Тогда магнитное поле определяется интегралом (в системе СГС)

аналогичным по форме закону Био — Савара — Лапласа. Это соответствие можно сделать точным, если воспользоваться обобщёнными функциями и записать пространственную плотность тока, соответствующую витку с током в пустом пространстве. Переходя от интегрирования по всему пространству к повторному интегралу вдоль витка и по ортогональным ему плоскостям и учитывая, что

получим закон Био — Савара — Лапласа для поля витка с током.

Литература

Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к расчету магнитного поля

Магнитное поле постоянных токов различной формы изучалось французскими учеными Ж. Био (1774—1862) и Ф. Саваром (1791—1841). Результаты этих опытов были обобщены выдающимся французским математиком и физиком П. Лапласом.

Закон Био — Савара — Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl создает в некоторой точке А (рис. 164) индукцию воля dВ, записывается в вид

где dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током, r — радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в точку А поля, r — модуль радиуса-вектора r. Направление dВ перпендикулярно dl и r, т. е.

перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции.

Это направление может быть найдено по правилу нахождения линий магнитной индукции (правилу правого винта): направление вращения головки винта дает направление dВ, если поступательное движение винта соответствует направлению тока в элементе.

Модуль вектора dВ определяется выражением

• где a — угол между векторами dl и r.
• Для магнитного поля,как и для электрического, справедливпринцип суперпозиции:магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторнойсумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:
• (110.3)

Расчет характеристик магнитного поля (В и H) по приведенным формулам в общем случае сложен. Однако если распределение тока имеет определенную симметрию, то применение закона Био — Савара — Лапласа совместно с принципом суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим два примера.

1. Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому провод бесконечной длины (рис. 165). В произвольной точке А, удаленной от оси проводника

Рис. 164Рис. 165

на расстояние R, векторы dВ от всех элементов тока имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа (“к нам”). Поэтому сложение векторов dВ можно заменить сложением их модулей. В качестве постоянной интегрирования выберем угол a(угол между векторами dl и г), выразив через него все остальные величины. Из рис. 165 следует, что

(радиус дуги СD вследствие малости dl равен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти выражения в (110.2), получим, что магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника, равна

Таккак угол a для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до p, то, согласно (110.3) и (110.4),

1. Следовательно, магнитная индукция поля прямого тока
2. (110.5)

2. Магнитное поле в центрекругового проводника с током (рис. 166). Как следует из рисунка, все элементы кругового проводника с током создают в центре магнитные поля одинакового направления — вдоль нормали от витка.

Поэтому сложение векторовdВ можно заменить сложениемих модулей.

Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sina=1) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно (110.2),

• .
• Тогда
• .
• Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током
• .

§ 111. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов

Магнитное поле (см. § 109) оказывает на рамку с током ориентирующее действие. Следовательно, вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия сил на отдельные ее элементы.

Обобщая результаты исследования действия магнитного поля на различные проводники с током, Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника dl с током, находящегося в магнитном поле,прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl проводника на магнитную индукцию В:

Направление вектора dF может быть найдено, согласно (111.1), по общим правилам векторного произведения, откуда следуетправило левойруки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы, действующей на ток.

Модуль силы Ампера (см. (111.1)) вычисляется по формуле

где a — угол между векторамиdI и В.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных тока I1 и I2; (направления токов указаны на рис. 167), расстояние между которыми равно R.

Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I1 на элемент dl второго проводника с током I2.

Ток I1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концентрические окружности. Направление вектора B1 задается правилом правого винта, его модуль по формуле (110.5) равен

Направление силы dF1, с которой полеВ1 действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно (111.2), с учетом того, что угол a. между элементами тока I2 и вектором В1 прямой, равен

1. ,
2. Рис. 167
3. или, подставляя значение для В1, получим
4. (111.3)
5. Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF1 с которой магнитное поле тока I2 действует на элемент dl первого проводника с током I1, направлена в противоположную сторону и по модулю равна

Сравнение выражений (111.3) и (111.4) показывает, что

т. е. два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания, определяемая формулой (111.5).

§ 112. Магнитная постоянная. Единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля

Если два параллельных проводника с током находятся в вакууме (m=1), то сила взаимодействия на единицу длины проводника, согласно (111.5), равна

Для нахождения числового значения m0 воспользуемся определением ампера, согласно которому при I1=I2=1A и R=1 м =2·10-7 Н/м. Подставив это значение в формулу (112.1), получим m0=4p·10-7 Н/А2=4p·10-7 Гн/м, где генри (Гн) — единица индуктивности (см. § 126).

Закон Ампера позволяет определить единицу магнитной индукции В. Предположим, что элемент проводника dl с током I перпендикулярен направлению магнитного поля. Тогда закон Ампера (см. (111.2)) запишется в виде

• ,
• откуда
• .
• Единица магнитной индукции — тесла (Тл): 1 Тл — магнитная индукция такого однородного магнитного поля, которое действует с силой 1 Н на каждый метр длины
• прямолинейного проводника, расположенного перпендикулярно направлению поля, если по этому проводнику проходит ток 1 А:
• 1 Тл==1 Н/(А·м).
• Таккак m0=4·10-7 Н/А2, а в случае вакуума (m=1), согласно (109.3), В=m0Н, то для данного случая
• .
• Единица напряженности магнитного поля —ампер наметр (А/м): 1 А/м — напряженность такого поля, магнитная индукция которого в вакууме равна 4p·10-7 Тл.
• § 113. Магнитное поле движущегося заряда

Каждый проводник с током создает в окружающем пространстве магнитное поле. Электрический же ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов. Поэтому можно сказать, что любой движущийся в вакууме или среде заряд создает вокруг себя магнитное поле.

В результате обобщения опытных данных был установлен закон, определяющий поле В точечного заряда Q, свободно движущегося с нерелятивистской скоростью v. Под свободным движением заряда понимается его движение с постоянной скоростью.

Этот закон выражается формулой

где r — радиус-вектор, проведенный от заряда Q, к точке наблюдения М (рис. 168). Согласно выражению (113.1), вектор В направлен перпендикулярно плоскости, в которой расположены векторы v и г, а именно: его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от v к г. Модуль магнитной индукции (113.1) вычисляется по формуле

где a — угол междувекторами v и г.

Сравнивая выражения (110.1) и (113.1), видим, что движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока:

Приведенные закономерности (113.1) и (113.2) справедливы лишь при малых скоростях (váác) движущихся зарядов, когда электрическое поле свободно движущегося заряда можно считать электростатическим, т. е. создаваемым неподвижным зарядом, находящимся в той точке, где в данный момент времени расположен движущийся заряд.

Формула (113.1) определяет магнитную индукцию положительного заряда, движущегося со скоростью v. Если движется отрицательный заряд, то Q. надо заменить на —Q. Скорость v — относительная скорость, т. е.

скорость относительно наблюдателя. Вектор В в рассматриваемой системе отсчета зависиткак от времени, так и от положения точки М наблюдения.

Поэтому следует подчеркнуть относительный характер магнитного поля движущегося заряда.

Впервые поле движущегося заряда удалось обнаружить американскому физику Г. Роуланду (1848—1901). Окончательно этот факт был установлен профессором Московского университета А. А.

Эйхенвальдом (1863—1944), изучившим магнитное поле конвекционного тока, а также магнитное поле связанных зарядов поляризованного диэлектрика. Магнитное поле свободно движущихся зарядов было измерено академиком А. Ф.

Иоффе, доказавшим эквивалентность, в смысле возбуждения магнитного поля, электронного пучка и тока проводимости.

§ 114. Действие магнитного поля на движущийся заряд

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током (см. § 111), но и на отдельные заряды, движущиеся в магнитном поле. Сила, действующая на электрический заряд Q, движущийся в магнитном поле со скоростью v, называется силой Лоренца и выражается формулой

где В — индукция магнитного поля, в котором заряд движется.

Направление силы Лоренца определяется с помощьюправила левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил векторВ, а четыре вытянутых пальца направить вдоль вектора v (для Q>0 направления I и v совпадают, дня Q

§2. Закон Био – Савара – Лапласа

Автор Чивилев Виктор Иванович 383 статьи

В 1820 году французские учёные Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой с током и т. д. На основании многочисленных опытов они пришли к следующим выводам:

– магнитная индукция в произвольной точке поля зависит от расположения этой точки по отношению к проводу с током;– магнитная индукция зависит от конфигурации (формы и размеров) провода с током;

– во всех случаях модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого тонким проводом с током, пропорционален силе тока.

Био и Савар пытались получить общий закон, позволяющий вычислить магнитную индукцию в каждой точке поля, создаваемого электрическим током, текущим в проводнике любой формы. Но сделать им это не удалось, и они обратились к известному французскому математику, физику и астроному П. Лапласу.

Лаплас учёл векторный характер магнитного поля и высказал важную гипотезу о том, что индукция B→vec в каждой точке магнитного поля любого проводника с током представляет собой векторную сумму индукций ΔB→iDelta vec_i магнитных полей, создаваемых каждым достаточно малым участком проводника (элементом тока):

Этим Лаплас предположил, что при наложении магнитных полей справедлив принцип суперпозиции, то есть принцип независимого действия магнитных полей, создаваемых несколькими источниками полей.

Обобщив результаты экспериментов Био и Савара, Лаплас пришёл к выводу, что модуль вектора магнитной индукции ΔBDelta B поля, создаваемого элементом тока в исследуемой точке CC (рис. 3), пропорционален силе тока II, длине элемента тока ΔlDelta l, синусу угла αalpha между направлением тока и направлением на исследуемую точку СС и обратно пропорционален квадрату расстояния rr до точки CC.

Направлен же вектор ΔB→vec перпендикулярно плоскости, проходящей через элемент тока и исследуемую точку, причём направление тока в элементе тока и направление поля в исследуемой точке СС связаны правилом буравчика: при движении острия буравчика в направлении тока вращение рукоятки буравчика показывает направление поля в точке CC. Остриё буравчика помещается, естественно, вблизи элемента тока. На рис. 3 поле в точке CC направлено за плоскость чертежа и обозначено поэтому крестиком.

Приведём для справки, но не для запоминания, полученную Лапласом формулу, выражающую закон Био – Савара – Лапласа:

Здесь коэффициент пропорциональности kk зависит от выбора системы единиц. В системе СИ k=10-7k=10^ <-7>ед. СИ.

Следует заметить, что правило буравчика при установлении связи между направлением тока и поля можно применять и в обратном порядке, то есть вращать буравчик так, чтобы его остриё, помещённое в исследуемую точку, двигалось по направлению вектора индукции магнитного поля, а конец рукоятки двигался в направлении тока. Проверьте это для случая, изображённого на рис. 3. Такой подход особенно удобен для витка с током при нахождении направления магнитного поля внутри витка (рис. 4).

То, что в законе Био – Савара – Лапласа модуль вектора индукции магнитного поля, создаваемого элементом тока в некоторой точке, пропорционален силе тока и длине элемента тока, легко запомнить, так как это следует непосредственно из принципа суперпозиции магнитных полей.

Действительно, увеличим ток в элементе тока в два раза.

Тогда модуль вектора магнитной индукции поля, создаваемого в некоторой точке этим элементом, увеличится тоже в два раза, не изменив направления, поскольку элемент тока с током 2I2I можно представить как два плотно прижатых друг к другу элемента тока с токами II в каждом и применить принцип суперпозиции для полей, создаваемых этими двумя элементами. Аналогичные рассуждения будут и при увеличении тока в любое число раз. Это доказывает, что модуль вектора магнитной индукции пропорционален току. Похожие рассуждения можно провести и в отношении длины элемента тока.

Следует отметить одно полезное следствие из закона Био – Савара – Лапласа. Поле, создаваемое элементом тока в произвольной точке AA (рис. 3) на оси элемента, равно нулю, т. к. для этой точки sin α=0 extrm: alpha = 0.

Это легко запомнить, если учесть, что при попытке найти направление поля в точке АА с помощью правила буравчика мы столкнёмся с неопределённостью направления поля, что указывает на то, что поле в этой точке не имеет направления, то есть отсутствует.

Попробуйте применить правило буравчика в этом случае.

В качестве самостоятельного упражнения полезно объяснить с помощью закона Био – Савара – Лапласа и правила буравчика ход магнитных силовых линий на всех рисунках школьного учебника.

Закон взаимодействия элементов тока (закон Лапласа-Био-Савара-Ампера). Полевая трактовка закона взаимодействия элементов тока. Релятивистская природа магнитного поля

Эксперименты
Х.Эрстеда и А.Ампера в 1820г. показали, что
магнитная стрелка возле провода
поворачивается при пропускании тока
по проводу, и два провода с током
притягиваются или отталкиваются в
зависимости от направления токов в них.

— закон
Био-Савара-Лапласа-Ампера (формула
Грассмана). Гн/м

— сила, с которой
элемент тока первого контура

png»>действует на элемент тока второго
контура.
Если элементы токов лежат в плоскости
рис.

68, то направление этой силы совпадает
с направлением нормали.

Закон
Био-Савара-Лапласа–Ампера экспериментально
проверить нельзя, но следствия из него
подтверждаются на практике.

Во всех точках
пространства, окружающего произвольный
ток, всегда существует обусловленное
этим током поле сил, которое по сложившейся
исторически терминологии называется
магнитным полем.

— закон
Био-Савара-Лапласа для расчета индукции
магнитного поля, создаваемого элементом
тока в некоторой точке.

Экспериментально
проверить эту формулу нельзя, но можно
рассчитать индукцию магнитного поля,
созданного всем контуром с током,
используя установленный на опыте принцип
суперпозиции магнитных полей: .

5jcV/img-08tjYP.png»>-лишь
формальная запись, на практике
интегрирование возможно лишь для
проекций вектора магнитной индукции.

Если
задана объемная плотность тока,

Магнитное
поле порождается движущимися зарядами
(токами). Если скорость направленного
движения зарядов в проводнике ,
то. Тогда:

150 Тл — получена в виде импульса.

где k— постоянная
вид, которой зависит от выбора системы
отсчета, в системе СИ ;
ε0
— электрическая
постоянная; —
радиус-вектор, проведенный из центра
поля, в котором расположен зарядq,
до интересующей нас точки.

Напряженность
поля в системе СИ выражается ввольтах
на метр
(В/м). В зависимости от знака заряда q
вектор направлен так же, как и

png»>(для
положительного заряда), или противоположно
ему (для отрицательного заряда).

По существу, формула
выражает не что иное, как закон
Кулона,
но в «полевой» форме.
Вся совокупность экспериментальных
фактов показывает, что этот закон
справедлив для расстояний от 10 см до
нескольких километров, и пока нет никаких
оснований ожидать, что этот закон не
выполняется и при больших расстояниях.

Напряженность
поля системы точечных неподвижных
зарядов равна векторной сумме
напряженностей полей, которые создавали
бы каждый из зарядов в отдельности:

Релятивистская
природа магнитного поля.

В ряде современных
учебных курсов по физике, изданных в
течение последнего десятилетия появилось
и стремительно распространяется
воззрение на магнитное поле как на
релятивистский эффект.

Магнитное поле
трактуется не как самостоятельная
физическая материальная сущность и
даже не как одна из форм проявления
электромагнитного поля, а лишь как
процесс, релятивистский эффект,
возникающий в пространстве, окружающем
точечные заряды, вследствие конечной
скорости передачи изменений величины
электрического поля через пространство.

/Цитата 1/ Из
формул полей (8.1) и (8.2) вытекает весьма
замечательный вывод: возникновение
магнитного поля является чисто
релятивистским эффектом, вследствие
наличия в природе предельной скорости
,
равной скорости света в вакууме.

Если бы эта
скорость была бесконечной (соответственно
и скорость распространения взаимодействий),
никакого магнетизма вообще не существовало
бы.

В самом деле,
рассмотрим свободный электрический
заряд. В системе отсчета где он покоится, существует только
электрическое поле. А это значит, согласно
(8.1), что в любой другой

png»>-
системе отсчета, если бы,
никакого магнитного поляне возникало бы. Оно возникает только
из-за конечности,
т.е.

в конечном счете вследствие
релятивистского эффекта

Формулы (8.1) и (8.2)
в источнике представлены так

и — напряженность электрического поля и
индукция магнитного поля соответственно.

/Цитата 2/
Таким образом, появление магнитного
поля токов есть чисто релятивистский
эффект и никакой новой физической
субстанции (например, в виде магнитных
зарядов) появляться не должно, что и
подтверждается экспериментально

/Цитата 3/ В
результате магнитное поле можно
рассматривать как неизбежный релятивистский
результат движения электрич.
зарядов(тока
)
и нестационарности создаваемого ими
электрич.
поля (тока
смещения

В приведенных выше
цитатах, взятых из разных источников,
присутствует общая идея, которую можно
сформулировать так: «реальные» поля в
природе неизменно должны иметь
корпускулярный источник. Поля, не имеющие
такого источника суть эффекты или
процессы, происходящие в «реальных»
полях. Здесь под «реальными» понимаются
поля, признаваемые как самостоятельные
материальные сущности.

Изучение магнитного поля (закон Био-Савара-Лапласа)

Федеральное агентство
по образованию

Государственное образовательное
учреждение высшего профессионального
образования

Санкт-Петербургский государственный
горный институт им. Г.В. Плеханова

• (технический университет)
• Кафедра Общей и Технической физики
• Лабораторная работа №3
• Изучение
  магнитного поля (закон Био-Савара-Лапласа)

ВЫПОЛНИЛА: ст. гр. ТНГ-10-1 /Бикбулатов Ф.Р./

ПРОВЕРИЛ: ассистент ______________ /Черняев А.В./

Цель
работы:Измерение магнитных полей, создаваемых проводниками различных конфигураций. Экспериментальная проверка закона Био-Савара-Лапласа.

Явление, изучаемое
в работе — магнитное поле.

Основные определения о понятия:

Магнитное поле – силовое поле в пространстве, окружающем токи и постоянные магниты. Создается только движущимися зарядами и действует только на движущиеся заряды.

1. Соленоид – свернутый в спираль изолированный проводник, по которому течет электрический ток.
2. Магнитная проницаемость
   среды – безразмерная величина, показывающая во сколько раз магнитное поле макротоков усиливается за счет поля микротоков среды.
3. Электрический ток – направленное движение электрически заряженных частиц.
4. Сила тока – скалярная физическая величина, равная величине электрического заряда, переносимого через поперечное сечение проводника за единицу времени.
5. Индуктивность – величина, характеризующая магнитные свойства проводника.
6. Магнитная индукция – основная характеристика магнитного поля, представляющая собой среднее значение суммарной напряженности микроскопических магнитных полей, созданных отдельными электронами и другими элементарными частицами.

Напряженность магнитного поля – векторная величина, являющаяся количественной характеристикой магнитного поля. Не зависит от магнитных свойств среды.

• Основные физические законы и соотношения:
• Закон Био-Савара-Лапласа:
• Определяет индукцию поля
  создаваемого элементом проводника с током в точке, находящейся на расстоянии r от элемента проводника.
• Магнитное поле на оси короткой катушки:
• В соответствии с принципом суперпозиции магнитное поле катушки представляет собой алгебраическую сумму полей отдельных витков.
• Циркуляции
  вектора магнитной индукции:
• Принцип суперпозиции магнитных полей:
• Магнитная индукция результирующего
  поля, создаваемого несколькими потоками или движущимися зарядами, равна
  векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым током или движущимися зарядами в отдельности:
• Правило правого
  винта:
• За положительное направление принимается направление поступательного движения винта, головка которого вращается в направлении тока, текущего в рамке.
• Схема установки:
• Принципиальная
  электрическая схема установки
• 1 – измеритель индукции
  магнитного поля (тесламетр), А –
  амперметр, 2 – соединительный провод, 3 – измерительный щуп, 4 – датчик
  Холла, 5 – исследуемый объект (короткая катушка, прямой проводник, соленоид), 6 – источник тока, 7 – линейка для фиксирования положения датчика, 8 – держатель щупа.
• Основные расчетные
  формулы:
• Магнитная индукция, создаваемая короткой катушкой:
• – радиус катушки, [
  ] — м
• z – расстояние от центра катушки до датчика Холла, [z] — м
• – число витков катушки.
• – магнитная постоянная, [
  ] – Гн/м
• – магнитная проницаемость среды
• – сила тока, [
  ] — А
• – магнитная индукция, [
  ] — Тл
• Магнитная индукция, создаваемая соленоидом:
• — длина соленоида, [
  ] — м
• — число витков соленоида
• – магнитная постоянная, [
  ] – Гн/м
• – магнитная проницаемость
  среды
• – сила тока, [
  ] — А
• – магнитная индукция, [
  ] — Тл
• Кратчайшее
  расстояние от датчика до проводника с током:
• Индуктивность соленоида:
• Y – потокосцепление
• Потокосцепление:
• Площадь сечения
  соленоида:
• Погрешности прямых измерений:
• ∆I=5∙10-2 (A)
• ∆R=0,5∙10-3(Ом)
• ∆l=0,5∙10-3(м)
• ∆z=0,5∙10-3(м)
• ∆B=0,01(мТл)
• Формулы погрешности
  косвенных измерений:
• Максимальная абсолютная погрешность измерения магнитной
  индукции, создаваемой короткой катушкой:
• Максимальная абсолютная погрешность измерения магнитной
  индукцией, создаваемой соленоидом:
• Максимальная относительная
  погрешность измерения кратчайшего
  расстояния от датчика Холла до проводника с током:
• Максимальная относительная
  погрешность измерения индуктивности соленоида:
• Максимальная относительная
  погрешность измерения потокосцепления:
• Максимальная относительная
  погрешность измерения площади
  сечения соленоида:
• Таблицы измерений:

Измерение зависимости
магнитной индукции на оси короткой катушки от расстояния до центра катушки.

Измерение магнитной
индукции в центре короткой катушки
от силы тока в ней.

Измерение зависимости
магнитной индукции на оси соленоида
от расстояния до его центра.

Измерение магнитной
индукции в центре соленоида от силы тока в нем.

Измерение магнитной
индукции, создаваемой прямолинейным
проводником от силы тока в нем.

Закон Био Савара Лапласа

Закон Био Савара Лапласа — Магнитное поле любого тока может быть вычислено как векторная сумма полей, создаваемая отдельными участками токов.

.

Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция результирующего поля, создаваемого несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

.

Закон Био-Савара-Лапласа для некоторых токов:

Магнитное поле прямого тока: .

Магнитное поле кругового тока: .

dB — магнитная индукция;

dl — вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий по направлению с током;

— магнитная постоянная;

μ — относительная магнитная проницаемость (среды);

I — сила тока;

R — расстояние от провода до точки, где мы вычисляем магнитную индукцию;

α — угол между вектором dl и r.

В современной формулировке закон Био — Савара — Лапласа чаще рассматривают как следствие двух уравнений Максвелла для магнитного поля при условии постоянства электрического поля:

где квадратными скобками обозначено векторное произведение, r — положение точек контура γ, dr — вектор элемента контура (ток течет вдоль него); μ₀ — магнитная постоянная; r,r₀ — единичный вектор, направленный от элемента контура к точке наблюдения.

В принципе контур γ может иметь ветвления, представляя собой сколь угодно сложную сеть. В таком случае под выражением, приведенным выше, следует понимать сумму по всем ветвям, слагаемое же для каждой ветви является интегралом приведенного выше вида (контур интегрирования для каждой ветви может быть при этом незамкнутым).

В случае простого контура, ток I одинаков на всех участках контура и может быть вынесен за знак интеграла. (Это справедливо отдельно и для каждого неразветвленного участка разветвленной цепи).

Если же взять за точку отсчёта точку, в которой нужно найти вектор магнитной индукции, то формула немного упрощается:

где — вектор, описывающий кривую проводника с током I, r — модуль , — вектор магнитной индукции, создаваемый элементом проводника .

Пример решения задачи закона Био Савара Лапласа.

Применим закон Био — Савара — Лапласа для вычисления поля прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 1). Все векторы dB в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае «к нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии r₀ от провода. Из рис. 1 видно, что

r =R/sinα, dl =rdα/sinα = R dα/ sin 2 α.

Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

dB = (μ₀ μ/4π) I R sinα sin 2 α dα /R 2 sin 2 α = (μ₀ μ/4π) I sinα dα /R.

Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в пределах от 0 до π. Следовательно,

B = ∫ dB = (μ₀μ/4π) I/R∫ sinα dα = (μ₀ μ/4π) 2I/R.

Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током

B = (μ 0 μ/4π) 2I/R,

где R – кратчайшее расстояние от оси проводника.

Аналогичным образом можно найти магнитное поле в центре кругового проводника с током (рис. 2). Как следует из рисунка, все элементы кругового тока создают в центре магнитное поле одинакового направления — вдоль нормали витка. Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны радиусу-вектору (sin α=l) и расстояние всех элементов проводника до центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно закону Био-Савара-Лапласа,

dB=(μ₀ μ/4π) I/R 2 dl. Тогда

Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током равна B = μ 0 μI/2R.

Изучаем закон Био-Савара-Лапласа

Одним из величайших достижений науки о природе 19 века является доказательство непосредственной связи между электрическим и магнитным полем. Считается, что полным описанием их взаимодействия являются уравнения Максвелла. Закон Жана-Батиста Био и Феликса Савара можно рассматривать как одно из их следствий, но он был открыт намного раньше.

История открытия закона

Электрическое и магнитное поле сначала рассматривали отдельно. Экспериментально установил факт порождения электрическим током магнитного поля датский учёный Ханс Кристиан Эрстед в 1820 году. Публичная демонстрация этого эффекта показала, что под воздействием электрического тока происходит отклонение магнитной стрелки. Открытия Эрстеда послужили основанием для исследований, проводимых Био и Саваром. Последние постарались выявить математические закономерности рассматриваемой зависимости.

Жан-Батист Био был профессором физики в Сорбонне. Узнав о достижениях Эрстеда, он с помощью коллеги Феликса Савара стал проверять воздействие проводников на различные разновидности магнитных стрелок. В итоге была найдена математически выраженная закономерность зависимости.

Формулировка закона

При описании эффектов необходимо разбить проводник, через который проходит ток, на элементарные участки, имеющие минимальную длину. Каждый из них создаёт магнитное поле. Воздействие всех участков необходимо просуммировать, чтобы узнать силу воздействия поля в конкретной точке. Это правило называется принципом суперпозиции.

Закон утверждает, что магнитное поле прямо пропорционально длине прямолинейного участка провода и силе тока, а также обратно пропорционально расстоянию до рассматриваемой точки. Оно направлено перпендикулярно электрическому току и направлению от проводника к точке измерения.

Направленность поля можно определить по правилу правой руки. Если указательный палец направлен также как сила тока, средний палец направлен на точку, где определяется магнитное поле, то большой палец, поставленный перпендикулярно к указательному и среднему, показывает направление магнитного поля.

Формула, связывающая эти величины, представлена на рисунке ниже.

Чтобы определить, какое магнитное поле создаёт весь проводник, проводится суммирование влияния каждого участка. В отдельных случаях могут быть получены относительно простые формулы, в других для получения результата нужно разбираться в методах дифференциального и интегрального исчисления.

В качестве примера можно привести формулу для кругового тока.

Для прямого тока эта формула будет выражена следующим образом:

При вычислениях надо помнить, что dl, dB и B являются векторными величинами. В первом случае величина элемента тока равна длине участка, а направление совпадает с тем, которое имеет проходящий по нему ток. Направление dB определяется по правилу правой руки, а величина — по приведённой формуле. B представляет векторную сумму всех имеющихся dB.

Закон Био-Савара и уравнения Максвелла

Экспериментально подтвержденный закон в формулировке Био-Савара был важным этапом в познании электромагнитных полей. В частности, на их основе Максвелл разработал свои уравнения, описывающие такие поля. Впоследствии была сделана математическая формулировка закона на основании этих уравнений.

Однако надо отметить, что вычисления Максвелла более сложные по сравнению с тем, как их трактует закон о магнитном поле Био-Савара. Формулировка Максвелла с учётом того, что электрическое поле постоянно, выглядит таким образом:

Эта формула может быть применена к контуру произвольной сложности. Если сила тока I является постоянной величиной, то его можно вынести за знак интеграла. В формуле использованы знаки умножения в смысле векторной операции. Если в качестве точки отсчёта будет использована точка, где происходит определение напряжённости электромагнитного поля, то формула может быть упрощена и будет выглядеть таким образом.

Особенности вычислений

При рассмотрении закона Био-Савара речь идёт о бесконечно малых проводниках. Точную их длину указать нельзя. Известно только то, что она настолько мала, что участок можно считать прямолинейным.

Ещё одно предположение состоит в том, что речь идёт об очень тонких проводах. Это означает, что их толщина пренебрежимо мала по сравнению с расстоянием от точки измерения.

Фактически вычисления основаны на том, что для малых и тонких проводников задача относительно простая, но если сложить их влияние, то будет получена точная величина магнитного поля в нужной точке.

В приведённых рассуждениях предполагалось, что для простых случаев линии напряжённости являются концентрическими окружностями. Если среда неоднородная, то магнитная проницаемость в различных точках может отличаться, что сделает форму силовых линий более сложной.

Закон в формулировке Био-Савара позволяет определить характеристики магнитного поля постоянного тока для практически любой конфигурации контура. Этот закон также носит имя Лапласа.

Био и Савар предприняли тщательные экспериментальные исследования рассматриваемого вопроса и предложили формулу для вычисления в некоторых относительно простых случаях. Лаплас обобщил полученные результаты. Он предложил использовать принцип суперпозиции и бесконечно малые участки провода для описания свойств сложных контуров. Фактически закон является плодом усилий этих трёх известных учёных, поэтому его полное название — закон Био-Савара-Лапласа.

При этом нужно учитывать, что Лаплас фактически был одним из создателей дифференциального и интегрального исчисления, принципы которого он использовал для углублённого изучения рассматриваемого закона.

Видео по теме