Уравнение лапласа для тонкой оболочки

iSopromat.ru

Оболочки, имеющие форму тел вращения (рис. 11.1), стенки которых тонки ( t ≤ 0,1D₀ ), не имеют резких переходов и изломов при действии осесимметричных нагрузок (например, давления жидкости или газа), попадают под класс тонкостенных сосудов и могут быть рассчитаны по безмоментной теории.

Связь между меридиональными σ_m и кольцевыми σ_t нормальными напряжениями (рис. 11.1) описывается уравнением Лапласа:

где ρ_m и ρ_t – радиусы кривизны серединной поверхности меридионального и кольцевого сечений на уровне рассматриваемой точки;
р – интенсивность внутреннего давления.

Для определения σ_m обычно используется зависимость

где Q – вес части сосуда и жидкости ниже рассматриваемого сечения.

Уравнения (11.1) и (11.2) позволяют найти величины σ_m и σ_t в каждой точке сосуда.

Рассмотрим частные случаи:

Сферическая оболочка

Сферический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис.11.2).

Благодаря симметричности сосуда

Из уравнения (11.1) находим

Цилиндрическая оболочка

Цилиндрический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис. 11.3).

Для цилиндрической части сосуда имеем:

Из уравнения (11.1) находим

Из уравнения (11.2), полагая cosα = 1, Q = 0,

Напряжения в днищах определяем, как в сферическом сосуде:

Напряжения в стенках труб

Напряжения в стенке трубы определяются аналогично, как для цилиндрической части тонкостенного сосуда.

Сравнение (11.4) и (11.5) показывает, что σ_t = 2σ_m , т.е. напряжения, растягивающие стенки цилиндрической части сосуда, по окружности в 2 раза больше напряжений вдоль образующей. Поэтому разрушение котлов, труб обычно происходит от кольцевых напряжений вдоль образующей.

Третье главное напряжение, перпендикулярное к поверхности сосуда со стороны, где действует давление,

с противоположной стороны, σ₃ =0 .

В тонкостенных оболочках обычно величины σ_m и σ_t намного больше, чем интенсивность внутреннего давления р, и поэтому величиной σ₃ можно пренебречь, т.е. считать равной нулю.

Так как в любой точке тонкостенного сосуда имеет место сложное напряженное состояние, для расчета на прочность в зависимости от материала следует пользоваться соответствующей гипотезой прочности

Для рассматриваемой задачи при неучете σ₃ эквивалентные напряжения по третьей гипотезе прочности и по гипотезе Мора одинаковы, т.е.

а по энергетической теории

Если тонкостенный сосуд имеет резкие переломы в очертании (например, примыкание днищ к цилиндрической части), а также в местах закрепления, приложения сосредоточенных сил, установки патрубков, фланцев, у краев оболочки возникает изгиб. Зоны, прилегающие к таким местам, должны рассчитываться по моментной теории.

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Осесимметричные оболочки вращения. Их основные нагрузки и напряжения. Уравнения Лапласа.

Оболочка вращения называется осесимметричнойесли она нагружена: силами распределенными симметрично вокруг оси; краевыми силами, распределенными равномерно по параллельному кругу; краевыми моментами, равномерно распределенными по параллельному кругу.

Самым общим случаем нагружения каждой точки поперечного сечения осесимметричных оболочек вращения действуют следующие удельные нагрузки, распределенные равномерно по толщине стенки оболочки:

1. S – меридиональная сила – это сила приходящаяся на единицу длины параллельного круга и растягивающая элемент в меридиональном направлении.

2.Т – кольцевая сила – это сила приходящаяся на единицу длины меридиана и стремящаяся растянуть элемент в направлении параллельного круга.

3.М – меридиональный момент – это момент, приходящийся на единицу длины параллельного круга и стремящийся изменить кривизну элемента в направлении меридиана.

4.К – кольцевой момент – изгибающий момент, приходящийся на единицу длины меридиана и стремящийся изменить кривизну элемента в направлении параллельном меридиана.

5.Q – поперечная сила – это сила, приходящаяся на единицу длины меридиана.

Напряжения, возникающие от действия удельных нагрузок определяются если предположить, что грани элемента к которому приложена нагрузка имеют форму прямоугольника с основанием равным 1 и высотой равной толщине стенки аппарата.

Согласно принципа суперпозиции (независимости действия сил) одноименные силы суммируются

Вывод: таким образом самым общим случаем нагружения ассиметричные оболочки вращения испытывают действия трех напряжений: меридиональное, кольцевое и касательное, которые учитывают действие всех внутренних удельных нагрузок.

Теория расчета оболочек, которая учитывает действие всех внутренних удельных нагрузок – моментная теория расчета.

На практике при расчете тонкостенных оболочек вращения, находящихся под действием равномерно распределенного давления поперечную силу и изгибающие моменты не учитывают. Такую теорию расчета называют безмоментной теорией расчета оболочек.

Основным уравнением безмоментной теории расчета на прочность ассиметричных оболочек вращения нагруженных давлением является уравнение Лапласа.

,

Р – внутреннее давление;