Уравнение лапласа с граничными условиями

Граничные условия для решения уравнения Лапласа и построения гидродинамической сетки

Граничные условия для решения уравнения Лапласа и построения гидродинамической сетки

Граничные условия для решения уравнения Лапласа и построения гидродинамической сетки. Рассмотрим постановку граничных условий фильтрационного режима на примере наиболее важной задачи гидравлического применения напорной фильтрации под бетонными плотинами(рис. 13.28). Как правило, горизонтальных размеров фундамента плотины, называемого планшетным, недостаточно для обеспечения приемлемой потери воды из пласта, но и для предотвращения разрушения грунта под действием фильтрационных сил, поэтому в конструкцию включены дополнительные элементы в виде горизонтального слоя гидроизоляции верхнего бассейна(насосного бассейна) и вертикальной шпунтовой стенки (шпунта).

Бетонная плотина гравитационного типа устанавливается на проницаемом грунте, а горизонтальная водозаборная плита устанавливается на глубине T ниже поверхности Земли. Людмила Фирмаль

• Эти элементы вместе с планшетом образуют подземный контур бетонной плотины (на рисунке 13.28 подземный контур обозначен пунктирной линией). Для расчета гидродинамического давления H и скорости фильтрации в каждой точке фильтрационного потока необходимо решить уравнение Лапласа (13.71).Используйте пример области, показанной на рисунке, чтобы записать граничные условия этого уравнения. 13.28. 1. AB-в нижней части нисходящего потока гидродинамическое давление постоянно и становится равным и (AB-живое сечение равной линии давления и фильтрационного потока）： H = b [(условие Дирихле).

До н. э.-подземные элементы цепи являются водонепроницаемыми, так что до нашей эры обтекаемый. Нормальная составляющая скорости фильтрации на этой границе равна n-O, согласно закону Дарси = 0 (условие Неймана). (13.78） 3. В нижней части Си-нисходящей головки давление постоянно(СО-давление равно, живое сечение потока）： H = b2 (условие Дирихле). (13.79） 4. ЕР-гидрозатвор является текущей строки. англ. =0 (условие Неймана). (13.80)） Вверх 248. 5. Границы АР и ОЭ предполагаются достаточно удаленными от основания плотины, поэтому неточность постановки условий на них практически не влияет на решение уравнений вблизи подземной части circuit. As как правило, эти границы можно считать линией течения, если они отделены от плотины (2-3> т и более).

• В этой области можно также решить уравнение Лапласа (13.73), где искомой функцией является текущая функция q. Граничные условия текущей функции являются: 1-AB-это живая секция, и поверх нее есть 0.И так оно и есть.、 (13.81)） (13.82） ^ = 0 или| ^ = 0(условие Неймана). 2. BC-линии тока по определению y (x, x)= sosh (условие Дирихле). 3. SB-Живая секция, о них= 0, следовательно、 =0 или = 0 (условие Неймана). (13.83） Да. 4. EP-обтекаемый y (x, r)= SOP $ 12 (условие Дирихле). (13.84） Если, согласно свойствам функции потока, насадка установлена на^ = 0, то в (13.84)sosh12 будет равен определенному (на единицу ширины) фильтрационному расходу под плотиной. 5. АР и Е) Э-рационализация при вышеуказанных условиях \ г(х, х)= SOP512. Таким образом, как для функции давления H (x, 2), так и для функции потока yy (x, x) формулируется смешанная краевая задача уравнения Лапласа.

Ее решение позволяет определить следующие характеристики гидродинамической сетки: 1.In геометрически подобная фильтруя область, гидродинамическая сетка подобна、 2.Контур гидродинамической сетки не зависит от численного и b2 или разности между ними-давление, оказываемое на гидротехническое сооружение 2 = b! Б2.Изменение численного значения этих величин приводит только к численному изменению функции потока, обусловленному равным давлением, или к линии потока, образующей другую линию или гидродинамическую сетку того же давления. Основываясь на законе Дарси, можно доказать, что удельный расход фильтрационного потока q конкретной области фильтрации пропорционален коэффициенту фильтрации k и давлению здания 2.

Кроме того, поскольку постановка краевой задачи, определяющей гидродинамическую сетку, не включает в себя коэффициент фильтрации, контуры сетки не зависят от коэффициента фильтрации. Людмила Фирмаль

• Учитывая вышесказанное, для удобства расчетов вместо реальной схемы подземного контура используется так называемая схема редукции considered. It может быть: b> = 1, b,= 0 (2 = 1) и k = 1 (Линейная единица измерения 249. То же самое для всех названных величин).После решения уравнения Лапласа конкретной области с граничными условиями, соответствующими приведенной выше схеме, строится гидродинамическая сетка функций декомпрессии Нг (х, г) и потока декомпрессии \ DG (X, R).Также найдите уменьшение расхода фильтрационного потока под structure. It рассчитывается по зависимостям, в любой точке области и фактическому расходу Ч(х, м)〜В2 + 2 ХГ(х, р); (13.85） м =(13.86） Примеры использования схемы, описанной выше, можно найти в разделе 13.19.

Смотрите также:

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Уравнение Лапласа

Многие стационарные физические задачи, т.е. такие, в которых рассматриваются явления, неизменные с течением времени (исследования потенциальных течений жидкости, определение формы нагруженной мембраны, задачи теплопроводности и диффузии в стационарных случаях и др.) сводятся к решению уравнения Пуассона вида

(2.88)

Если , то уравнение (2.88) называется уравнением Лапласа. Для простоты будем рассматривать двумерное уравнение Лапласа

(2.89)

Решение этого уравнения будем искать для некоторой ограниченной области Gизменения независимых переменных х, у. Границей области Gявляется замкнутая линия L. Для полной формулировки краевой задачи кроме уравнения Лапласа нужно задать граничное условие на границе L. Примем его в виде

(2.90)

Задача, состоящая в решении уравнения Лапласа (или Пуассона) при заданных значениях искомой функции на границе расчетной области, называется задачей Дирихле.

Одним из способов решения стационарных эллиптических задач, в том числе и краевой задачи (2.89), (2.90), является их сведение к решению некоторой фиктивной нестационарной задачи (гиперболической или параболической), найденное решение которой при достаточно больших значениях времени tблизко к решению исходной задачи. Такой способ решения называется методом установления.

Поскольку решение U(x,y) уравнения (2.89) не зависит от времени, то можно в это уравнение добавить равный нулю (при точном решении) член ¶U/¶t. Тогда уравнение (2.89) примет вид

(2.91)

Это известное нам уравнение теплопроводности, для которого в разд. 2.3.2, 2.3.3 уже строили разностные схемы. Остается только задать начальное условие. Его можно принять практически в произвольном виде, согласованном с граничными условиями. Примем

(2.92)

Граничное условие (2.90) при этом остается стационарным, т. е. не зависящим от времени.

Процесс численного решения уравнения (2.91) с условиями (2.92), (2.90) состоит в переходе при t→∞ от произвольного значения (2.92) к искомому стационарному решению. Счет ведется до выхода решения на стационарный режим. Естественно, решением ограничиваются при некотором достаточно большом t, если искомые значения на двух последовательных слоях совпадают с заданной степенью точности.

Метод установления фактически представляет итерационный процесс решения задачи (2.91) с условиями (2.92), (2.90), причем на каждой итерации значения искомой функции получаются путем численного решения некоторой вспомогательной задачи. В теории разностных схем показано, что этот итерационный процесс сходится к решению исходной задачи, если такое стационарное решение существует.

Другой способ решения задачи Дирихле состоит в построении разностной схемы путем аппроксимации уравнения (2.89). Введем в прямоугольной области Gсетку с помощью координатных прямых х = const и у = const. Примем для простоты значения шагов по переменным х и у равными h(предполагается, что стороны области Gсоизмеримы). Значения функции Uв узлах (xi, yj) заменим значениями сеточной функции uij. Тогда, аппроксимируя в уравнении (2.89) вторые производные с помощью отношений конечных разностей, получим разностное уравнение (шаблон изображен на рис. 2.27).

(2.93)

Рис. 2.27. Шаблон для уравнения Лапласа

С помощью данного уравнения можно записать систему линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в узлах в виде

(2.94)

Значения сеточной функции в узлах, расположенных на границе расчетной области, могут быть найдены из граничного условия (2.90):

В теории разностных схем доказывается, что решение построенной разностной задачи существует, а сама схема устойчива.

Перейдем теперь, к практическому вычислению искомых значений, т.е. к решению системы (2.94). Каждое уравнение системы (за исключением тех, которые соответствуют узлам, расположенным вблизи границ) содержит пять неизвестных. Одним из наиболее распространенных методов решения этой системы линейных уравнений является итерационный метод. Каждое из уравнений записываем в виде, разрешенном относительно значения uij в центральном узле (см. рис. 2.27):

(2.95)

Алгоритм решения задачи Дирихле с использованием итерационного метода Гаусса-Зейделя решения системы разностных уравнений (2.95) изображен на рис. 2.28. В алгоритме предусмотрен выбор начальных значений uij. Иногда полагают, что uij=0 для всех i, j.

Рис. 2.28. Алгоритм решения задачи Дирихле

Итерационный процесс контролируется максимальным отклонением М значений сеточной функции в узлах для двух последовательных итераций. Если его значение достигнет некоторого заданного малого числа ε,итерации прекращаются и происходит вывод результатов.

Рассмотренные разностные схемы метода сеток используют конечно-разностные аппроксимации входящих в уравнения производных по всем переменным. В ряде случаев уравнение с частными производными удобно привести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых оставлены производные искомой функции лишь по одной переменной.

Такой способ можно использовать и для решения уравнения Лапласа (2.89). Пусть требуется решить для него задачу Дирихле в прямоугольнике ABCD(рис. 2.29). Разобьем прямоугольник на полосы с помощью прямых, параллельных оси х. Для определенности проведем три отрезка l1, l2, l3, которые разделят прямоугольник на четыре полосы постоянной ширины h. Решение Uзадачи Дирихле приближенно заменим набором функций ui,каждая из которых определена на отрезке li и зависит только от одной переменной х, т.е.ui= ui(х) (i = 1,2,3). На отрезках l0 и l4 значения u0(x) и u4(x) заданы граничными условиями.

Рис. 2.29. К решению задачи Дирихле в прямоугольнике ABCD

Построим разностную схему для определения значений функций u(х). Аппроксимируя в уравнении (2.89) вторую производную по у с помощью отношения конечных разностей, получаем

(2.96)

Таким образом, решение задачи Дирихле (2.89), (2.90) сводятся к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.96) относительно значений искомой функции вдоль прямых l1, l2, l3. В этом состоит метод прямых. Граничные условия для уравнений (2.96) при х = а, х = bможно получить из уравнений

Направление дискретизации у обычно легко выбрать в тех случаях, когда заранее известен характер поведения искомой функции, это направление должно соответствовать направлению наибольшей гладкости функции.

Метод прямых широко используют для решения нестационарных задач. Например, если имеются две независимые переменные х, t, а искомый параметр является гладкой функцией переменной х, то дискретизацию вводят по этой переменной. Тогда исходную задачу заменяют задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

Боковая панель

Полное и подробное, насколько это возможно, решение уравнения Лапласа в сферических координатах, приводящее к шаровым и сферическим функциям. Всё самое интересное на, хоть и длинной, но одной странице. Много математики — много веселья!

Эту запись можно посмотреть в nbviewer.

Уравнение Лапласа в сферических координатах

Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид

где $ r, \vartheta = 90^\circ — \varphi, \lambda $ — радиус, полярное расстояние (дополнение широты $\varphi$ до $90^\circ$), долгота соответственно.

Решить уравнение Лапласа это значит найти конкретный вид гармонической функции $f \left( r, \vartheta, \lambda \right)$, удовлетворяющей ему.

Прежде, чем переходить к решению, заметим важное и полезное свойство уравнения Лапласа: оно линейно. Это означает, что если есть два решения этого уравнения $f_1$ и $f_2$, то есть

$$ \Delta f_1 = 0,\qquad \Delta f_2 = 0, $$

то их линейная комбинация

$$ f = \alpha f_1 + \beta f_2 $$

тоже является решением $\Delta f = 0$.

Разделение переменных

Будем искать решение уравнения Лапласа методом разделения переменных, суть которого в следующем. Представим искомую функцию $f$ трёх переменных $r, \vartheta, \lambda$ как произведение трёх других функций

\begin f \left(r, \vartheta, \lambda \right) = R(r) \cdot \Theta \left( \vartheta \right) \cdot \Lambda \left( \lambda \right), \end

каждая из которых теперь зависит только от одной переменной: $R$ есть функция только от $r$, $\Theta$ есть функция только от $\vartheta$, а $\Lambda$ есть функция только от $\lambda$. Стоит заметить, что не всякая система координат позволяет решить уравнение Лапласа методом разделения переменных, например этого нельзя сделать в геодезических координатах $H, B, L$.

Итак, делаем подстановку

Замечаем, что частные производные заменены на полные дифференциалы, поскольку функции $R, \Theta, \Lambda$ имеют только одну переменную. Разделим обе части уравнения на $R\Theta\Lambda$ и умножим на $r^2$:

Первый член уравнения зависит только от $r$, а вся оставшаяся часть зависит только от угловых величин $\vartheta, \lambda$. Для того, чтобы равенство выполнялось необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $\alpha$:

Первое уравнение будем называть радиальной частью уравнения Лапласа, поскольку она зависит только от $r$. Оставшуюся часть умножим на $\sin^<2><\left(\vartheta \right)>$ и запишем уравнение

которое является угловой частью уравнения Лапласа и называется дифференциальным уравнением сферических функций, поскольку, как увидим позже, именно они будут его решением.

И снова становится очевидным, что для сохранения равенства в полученном уравнении необходимо, чтобы обе части равнялись некоторой постоянной $\beta$:

Таким образом, уравнение Лапласа, дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, разбивается на три обыкновенных дифференциальных уравнения второго порядка:

$$ \begin r^2 \frac R>> + 2 r \frac — \alpha R &= 0, \label \tag<1>\\ \frac<1> <\Theta>\frac \Theta>> + \frac<1>< \tan<\left(\vartheta \right)>> \frac— \alpha \Theta \sin^<2><\left(\vartheta \right)>— \dfrac<\beta \Theta><\sin<\vartheta>> &= 0, \label \tag <2>\\ \frac\Lambda>> + \beta \Lambda &= 0. \label \tag <3>\end $$ Нам требуется теперь решить каждое из уравнений в отдельности, а заодно и определить вид постоянных $\alpha$ и $\beta$.

Отметим, что угловая часть уравнения Лапласа $Y (\vartheta, \lambda) = \Theta (\vartheta) \Lambda (\lambda)$ зависит только от полярного расстояния $\vartheta$ и долготы $\lambda$, то есть явялется функцией, заданной на сфере, следовательно решение этой части должно быть периодическим: $\pi$ для широтной части и $2\pi$ для долготной части. Только при этих условиях функция $Y (\vartheta, \lambda)$ может быть однозначно заданной на сфере.

Уравнение гармонических колебаний

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида

называется уравнением гармонических (или свободных) колебаний.

Оно имеет два линейно независимых решения при $\beta > 0$

что легко проверяется подстановкой.

Как уже было сказано выше, для того, чтобы функция $Y \left( \vartheta, \lambda \right)$ была однозначной на сфере, необходимо, чтобы функция $\Lambda$ имела период $2\pi$. Из последнего уравнения нетрудно установить, что такое возможно только при $\beta = m^2$, $m = 0, 1, 2, …$ Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний принимают вид

линейная комбинация которых

является общим решением дифференциального уравнения. Здесь $C_1$ и $C_2$ — произвольные константы.

Присоединённое уравнение Лежандра

Перепишем второе уравнение, подставив в него значение $\beta = m^2$:

И подставляя всё это, получим уравнение без тригонометрических функций в явном виде:

$$ \left( 1 — t^2 \right) \dfrac— 2 t \dfrac