Уравнение лапласа в различных системах координат

Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа. Понятие о криволинейных координатах

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление gradtx для скалярного поля а и rot а для векторного поля а = а(ж, у, г). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора V («набла»): Оператор V (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и вектор- ными свойствами.

Формальное умножение, например, умножение ^ на функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование: В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором V будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы: 1.

Если — скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим где P, Q, R — дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты 3.

Вычисляя векторное произведение [V, а], получим Для постоянной функции и = с получим а для постоянного вектора с будем иметь Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем Замечание 1. Формулы (5) и (6) можно трактовать тамке как проявление дифференциальных свойств оператора «набла» (V — линейный дифференциальный оператор). Условились считал., что оператор V действует на все величины, написанные за ним.

В этом смысле, например, — скалярный дифференциальный оператор.

Применяя оператор V к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения. Пример 1. Доказать, что По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем или Чтобы отметить тот факт, что «набл а» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается. Пример 2.

Пусть u(xty,z) — скалярная дифференцируемая функция, а(х,у,г) — векторная дифференцируемая функция. Доказать, что 4 Перепишем левую часть (8) в символическом виде Учитывая дифференциальный характер оператора V, получаем . Так как ие — постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что а (на последнем шаге мы опустили индекс е). В выражении (V, иас) оператор V действует только на скалярную функцию и, поэтому В итоге получаем Замечай ие 2.

Используя формализм действа с оператором V как с вектором, надо помнить, что V не является обычным вектором — он не им«ет ни длины, ни направления, так что. например, вектор [V,aJ не будет, вообще говоря, перпендикулярным вектору а (впрочем, для плоского поля вектор перпендикулярен плоскости ,а значит, и вектору а).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Не имеет смысла и понятие коллинеарности по отношению к символическому вектору V. Например, выражение , где V и ^ — скалярные функции, формально напоминает векторное произведение двух коллинеарных векторов, которое всегда равно нулю. Однако вобшем случае это не имеет места. В самом деле, вектор = grad направлен по нормали к поверхности уровня , а вектор Vy = grad t> определяет нормаль к поверхности уровня i> = const.

быть коллннеарнымн (рис. 40). С другой стороны, в любом дифференцируемом скалярном поле ) имеем Эта примеры показывают, что с оператором «набла» нужно обращаться с большой осторожностью и при отсутствии уверенности в полученном результате его следует проверить аналитическими методами. §12. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа Дифференциальные операции второго порядка получаются в результате двукратного применения оператора V. 1.

Скалярное поле

В этом поле оператор V порождает векторное поле В векторном поле grad и можно определить две операции: что приводит к скалярному полю, и что приводит к векторному полю. 2. Пусть задано векторное поле . Тогда оператор V порождает в нем скалярное поле В скалярном поле div а оператор V порождает векторное поле 3.

В векторном поле оператор V порождает также векторное поле Применяя к этому полю снова оператор V, получим: а) скалярное поле Выберем в пространстве прямоугольнуюдекартову систему координат Oxyz и рассмотрим каждую из формул (1)-(5) более подробно. 1. Предполагая, что функция имеет непрерывные вторые частные производные , получим Символ называется оператором Лапласа, или лапласианом. Его можно представить как скалярное произведение оператора Гамильтона V на самого себя,т. е. Оператор Д (дельта) играет важную роль в математической физике.

Уравнение называется уравнением Лапласа. С его помощью описывается, например, стационарное распределение тепла. Скалярное поле и, удовлетворяющее условию , называется лапла-совым или гармоническим полем. Например, скалярное поле является гармоническим во воем трехмерном пространстве: из того, что получаем Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты 2.

Пусть функция и имеет непрерывные частные производные второго порядка включительно. Тогда В самом деле, действуя формально, получим ибо как векторное произведение двух одинаковых «векторов». Tor же результат можно получить, используя выражения градиента и ротора в декартовых координатах Пусть задано векторное поле координаты которого P, Q, R имеют непрерывные частные производные второго порядка. Тогда получим 4. При тех же условиях, что и в пункте 3, имеем Это соотношение уже было доказано ранее путем непосредственных вычислений.

Здесь мы приведем его формальное доказательство, используя известную формулу из векторной алгебры Имеем как векторное произведение двух одинаковых «векторов». 5. Покажем, наконец, что при тех же условиях, что и ранее, Так как то, полагая в формуле для двойного векторного произведения получим Поэтому окончательно будем иметь где grad diva выражается по формуле (8), а Да для вектора надо понимать так:. В заключение приведем таблицу дифференциальных операций второго порядка. Скалярное поле Векторное поле Заштрихованные прямоугольники означают, что соответствующая операция не имеет смысла (например, градиент от. § 13.

Понятие о криволинейных координатах Во многих задачах бывает удобно определять положение точки пространства не декартовыми координатами ), а тремя другими числами (qh 42,4з), более естественно связанными с рассматриваемой части ой задачей. Если задано правило, согласно которому каждой точке М пространства отвечает определенная тройка чисел и, обратно, каждой такой тройке чисел отвечает единственная точка М, то говорят, что в пространстве задана криволинейная координатная система.

В этом случае величины ф, называют криволинейными координатами точки М. Координатными поверхностями в системе криволинейных координат q\tqi, Яз называются поверхности На координатных поверхностях одна из координат сохраняет постоянное значение. Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями. В качестве примеров криволинейных координат рассмотрим цилиндрические и сферические координаты. 13.1.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах положение точки М в пространстве определяется тремя координатами: (р = const — полуплоскости, примыкающие к оси Oz\ z = const — плоскости, перпендикулярные оси Oz (рис. 41). Координатные линии: 1) линии (р) — лучи, перпендикулярные оси Oz и имеющие начало на этой оси, т.е. линии пересечения координатных поверхностей у? = const, z = const; 2) линии (ip) — окружности с центрами на оси Oz, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси Oz\ 3) линии (z) — прямые, параллельные оси Связь декартовых координат точки с цилиндрическими координатами ( задается формулами 13.2.

Сферические координаты В сферических координатах положение точки Af в пространстве определяется следующими координатами: Координатные поверхности (рис.42): г = const — сферы с центром в точке О; • в = const — круговые полуконусы с осью полуплоскости, примыкающие к оси Oz. Координатные линии: 1) линии (г) — лучи, выходящие източки О; 2) линии (в) — меридианы на сфере; 3) линии — параллели на сфере. Связь декартовых координат (х, у, z) точки М с ее сферическими координатами задается формулами.

Введем единичные векторы (орты), направленные по касательным к коор-динатнымлиниям вточке М всторонувозрастанияпеременных qx, q2, соответствен но. Определение. Система криволинейных координат называется ортогональной, если в каждой точке М орты попарно ортогональны. В такой системе ортогональны и координатные линии, и координатные поверхности. Примерами ортогональных криволинейных координат служатсистемы цилиндрических и сферических координат.

Мы ограничимся рассмотрением только ортогональных систем координат. Пусть — радиус-вектор точки М — Тогда можно показать, что Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты Аналогично для сферических координат имеем Величины являются дифференциалами длин дуг соответс твующих координатных линий.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Оглавление

. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

. Бесселевы функции первого рода

. Общее решение уравнения Бесселя

. Функции Бесселя полуцелого порядка

. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя

Список использованной литературы

Введение

Немецкий астроном и математик Фридрих Вильгельм Бессель (1784-1846) родился в небольшом городе Минден на северо-западе Германии в семье мелкого чиновника. Свой жизненный путь Бессель начал торговым служащим. В юности был астрономом-любителем. Серьезно занимался самообразованием. В 1804 самостоятельно вычислил орбиту кометы Галлея, чем заслужил похвалу Г.В. Ольберса. В 1806 стал ассистентом частной обсерватории И.И. Шрётера в Лилиентале. В 1810 был приглашен в Кёнигсберг для организации новой обсерватории, директором которой проработал до последних лет своей жизни. Бессель является одним из основоположников астрометрии Разработал теорию ошибок инструмента и последовательно проводил в жизнь идею о необходимости вносить соответствующие поправки в результаты наблюдений. При обработке результатов наблюдений широко применял различные математические методы, в частности использовал результаты теории вероятностей и метод наименьших квадратов. В честь немецкого математика и астронома было названо дифференциальное уравнение, Бессель подробно исследовал его и показал (в 1824 году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя.

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

х2 у» + ху’ + (х2 — ν2)у = 0

где ν — произвольное вещественное число, называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя ν и (-ν) порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ν). Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

1.

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах

Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:

. (1)

Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:

, , ,

то уравнение (1) примет следующий вид:

. (2)

Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:

,

где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.

Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:

,

откуда (после деления на )

.

Записав это в виде:

,

найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

; ;

; ;

.

В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:

, ;

, .

Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:

, (3)

, ,

из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.

Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:

.

Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , — любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .

Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию — буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:

. (4)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.

Уравнение Лапласа

Определение и формула уравнения Лапласа

Уравнение с частными производными вида:

называемое уравнением Лапласа в декартовых координатах.

Это частный случай уравнения Гельмгольца. Его можно рассматривать в трехмерных (1), двумерных (2), одномерных и n-мерных пространствах:

Оператор называется оператором Лапласа (оператор Лапласа эквивалентен последовательному градиенту и расходимости).

Решение уравнения Лапласа

Решения уравнения Лапласа являются гармоническими функциями.

Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.

Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение производной f по нормали к границе.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа может быть записано не только в декартовых координатах.

В сферических координатах уравнение Лапласа имеет следующий вид:

В полярных координатах система координат уравнения:

В цилиндрических координатах уравнение имеет вид:

Многие проблемы физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки, приводят к уравнению Лапласа. Таким образом, уравнение Лапласа описывает потенциал сил в области, которая не содержит массы, потенциал электростатического поля — в области, которая не содержит зарядов, температуры во время стационарных процессов и т. Д. стационарная фильтрация подземных вод, возникновение поля вокруг электромагнита, а также стационарное электрическое поле вблизи фарфорового изолятора или электрического кабеля, встроенного в землю. Я имею переменное поперечное сечение, сводящееся к решению трехмерного Лапласа или уравнения Пуассона. Оператор Лапласа играет большую роль в квантовой механике.

Примеры решения проблем

Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами r1 и r2, разность потенциалов между которыми равна

Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом осевой симметрии:

Он имеет решение . Выберем нулевой потенциал на внешнем цилиндре, найдем, получим:

В результате мы имеем:

Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией.

Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу).

Поместите начало координат в положение равновесия частицы. В этом случае мы можем предположить, что потенциал представлен как:

где все производные берутся в точке равновесия.

Для устойчивости положительного заряда необходимо, чтобы потенциальная энергия возрастала в любом из направлений, т. Е. Вторые производные от по координатам были больше .Но это противоречит уравнению Лапласа . Если ( следует учитывать следующие члены разложения .

Можно показать, что в этом случае устойчивое равновесие невозможно.