Уравнение линейной регрессии пример статистика

Решения задач: линейная регрессия и коэффициент корреляции

Парная линейная регрессия — это зависимость между одной переменной и средним значением другой переменной. Чаще всего модель записывается как $y=ax+b+e$, где $x$ — факторная переменная, $y$ — результативная (зависимая), $e$ — случайная компонента (остаток, отклонение).

В учебных задачах по математической статистике обычно используется следующий алгоритм для нахождения уравнения регрессии.

1. Выбор модели (уравнения). Часто модель задана заранее (найти линейную регрессию) или для подбора используют графический метод: строят диаграмму рассеяния и анализируют ее форму.
2. Вычисление коэффициентов (параметров) уравнения регрессии. Часто для этого используют метод наименьших квадратов.
3. Проверка значимости коэффициента корреляции и параметров модели (также для них можно построить доверительные интервалы), оценка качества модели по критерию Фишера.
4. Анализ остатков, вычисление стандартной ошибки регрессии, прогноз по модели (опционально).

Ниже вы найдете решения для парной регрессии (по рядам данных или корреляционной таблице, с разными дополнительными заданиями) и пару задач на определение и исследование коэффициента корреляции.

Примеры решений онлайн: линейная регрессия

Простая выборка

Пример 1. Имеются данные средней выработки на одного рабочего Y (тыс. руб.) и товарооборота X (тыс. руб.) в 20 магазинах за квартал. На основе указанных данных требуется:
1) определить зависимость (коэффициент корреляции) средней выработки на одного рабочего от товарооборота,
2) составить уравнение прямой регрессии этой зависимости.

Пример 2. С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты Х и числа уволившихся за год рабочих Y:
X 100 150 200 250 300
Y 60 35 20 20 15
Найти линейную регрессию Y на X, выборочный коэффициент корреляции.

Пример 3. Найти выборочные числовые характеристики и выборочное уравнение линейной регрессии $y_x=ax+b$. Построить прямую регрессии и изобразить на плоскости точки $(x,y)$ из таблицы. Вычислить остаточную дисперсию. Проверить адекватность линейной регрессионной модели по коэффициенту детерминации.

Пример 4. Вычислить коэффициенты уравнения регрессии. Определить выборочный коэффициент корреляции между плотностью древесины маньчжурского ясеня и его прочностью.
Решая задачу необходимо построить поле корреляции, по виду поля определить вид зависимости, написать общий вид уравнения регрессии Y на Х, определить коэффициенты уравнения регрессии и вычислить коэффициенты корреляции между двумя заданными величинами.

Пример 5. Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей X и стоимостью ежемесячного технического обслуживания Y. Для выяснения характера этой связи было отобрано 15 автомобилей. Постройте график исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.

Корреляционная таблица

Пример 6. Найти выборочное уравнение прямой регрессии Y на X по заданной корреляционной таблице

Пример 7. В таблице 2 приведены данные зависимости потребления Y (усл. ед.) от дохода X (усл. ед.) для некоторых домашних хозяйств.
1. В предположении, что между X и Y существует линейная зависимость, найдите точечные оценки коэффициентов линейной регрессии.
2. Найдите стандартное отклонение $s$ и коэффициент детерминации $R^2$.
3. В предположении нормальности случайной составляющей регрессионной модели проверьте гипотезу об отсутствии линейной зависимости между Y и X.
4. Каково ожидаемое потребление домашнего хозяйства с доходом $x_n=7$ усл. ед.? Найдите доверительный интервал для прогноза.
Дайте интерпретацию полученных результатов. Уровень значимости во всех случаях считать равным 0,05.

Пример 8. Распределение 100 новых видов тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем X (ден. ед.) и выручка от них Y (ден.ед.) приводится в таблице:
Необходимо:
1) Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии;
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:
А) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;
Б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;
В) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю выручку от мобильных систем с 20 новыми видами тарифов.

Коэффициент корреляции

Пример 9. На основании 18 наблюдений установлено, что на 64% вес X кондитерских изделий зависит от их объема Y. Можно ли на уровне значимости 0,05 утверждать, что между X и Y существует зависимость?

Пример 10. Исследование 27 семей по среднедушевому доходу (Х) и сбережениям (Y) дало результаты: $\overline=82$ у.е., $S_x=31$ у.е., $\overline=39$ у.е., $S_y=29$ у.е., $\overline =3709$ (у.е.)2. При $\alpha=0,05$ проверить наличие линейной связи между Х и Y. Определить размер сбережений семей, имеющих среднедушевой доход $Х=130$ у.е.

Задача №1 Построение уравнения регрессии

Имеются следующие данные разных стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у).

Требуется:

1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:

В) равносторонней гиперболы.

2. Для каждой модели рассчитать показатели: тесноты связи и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=138.

Решение:

1. Для расчёта параметров линейной регрессии

Решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 1.

Таблица 1 Расчетные данные для оценки линейной регрессии

№ п/п	х	у	ху	x 2	y 2
1	100	70	7000	10000	4900	74,26340	0,060906
2	105	79	8295	11025	6241	79,92527	0,011712
3	108	85	9180	11664	7225	83,32238	0,019737
4	113	84	9492	12769	7056	88,98425	0,059336
5	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
6	118	85	10030	13924	7225	94,64611	0,113484
7	110	96	10560	12100	9216	85,58713	0,108467
8	115	99	11385	13225	9801	91,24900	0,078293
9	119	100	11900	14161	10000	95,77849	0,042215
10	118	98	11564	13924	9604	94,64611	0,034223
11	120	99	11880	14400	9801	96,91086	0,021102
12	124	102	12648	15376	10404	101,4404	0,005487
13	129	105	13545	16641	11025	107,1022	0,020021
14	132	112	14784	17424	12544	110,4993	0,013399
Итого:	1629	1299	152293	190557	122267	1299,001	0,701866
Среднее значение:	116,3571	92,78571	10878,07	13611,21	8733,357	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х	х

Среднее значение определим по формуле:

Cреднее квадратическое отклонение рассчитаем по формуле:

и занесём полученный результат в таблицу 1.

Возведя в квадрат полученное значение получим дисперсию:

Параметры уравнения можно определить также и по формулам:

Таким образом, уравнение регрессии:

Следовательно, с увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1, индекс промышленного производства увеличивается в среднем на 1,13.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь прямая, достаточно тесная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 74,59% объясняется вариацией фактора х.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения .

,

следовательно, параметры уравнения определены правильно.

Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации – среднее отклонение расчётных значений от фактических:

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,01%.

Оценку качества уравнения регрессии проведём с помощью F-теста.

F-тест состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера.

F_факт определяется по формуле:

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.

Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

2. Степенная регрессия имеет вид:

Для определения параметров производят логарифмиро­вание степенной функции:

Для определения параметров логарифмической функции строят систему нормальных уравнений по способу наи­меньших квадратов:

Построим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 2.

Таблица 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

№п/п	х	у	lg x	lg y	lg x*lg y	(lg x) 2	(lg y) 2
1	100	70	2,000000	1,845098	3,690196	4,000000	3,404387
2	105	79	2,021189	1,897627	3,835464	4,085206	3,600989
3	108	85	2,033424	1,929419	3,923326	4,134812	3,722657
4	113	84	2,053078	1,924279	3,950696	4,215131	3,702851
5	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
6	118	85	2,071882	1,929419	3,997528	4,292695	3,722657
7	110	96	2,041393	1,982271	4,046594	4,167284	3,929399
8	115	99	2,060698	1,995635	4,112401	4,246476	3,982560
9	119	100	2,075547	2,000000	4,151094	4,307895	4,000000
10	118	98	2,071882	1,991226	4,125585	4,292695	3,964981
11	120	99	2,079181	1,995635	4,149287	4,322995	3,982560
12	124	102	2,093422	2,008600	4,204847	4,382414	4,034475
13	129	105	2,110590	2,021189	4,265901	4,454589	4,085206
14	132	112	2,120574	2,049218	4,345518	4,496834	4,199295
Итого	1629	1299	28,90474	27,49904	56,79597	59,69172	54,05467
Среднее значение	116,3571	92,78571	2,064624	1,964217	4,056855	4,263694	3,861048
	8,4988	11,1431	0,031945	0,053853	х	х	х
	72,23	124,17	0,001021	0,0029	х	х	х

Продолжение таблицы 2 Расчетные данные для оценки степенной регрессии

№п/п	х	у
1	100	70	74,16448	17,34292	0,059493	519,1886
2	105	79	79,62057	0,385112	0,007855	190,0458
3	108	85	82,95180	4,195133	0,024096	60,61728
4	113	84	88,59768	21,13866	0,054734	77,1887
5	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
6	118	85	94,35840	87,57961	0,110099	60,61728
7	110	96	85,19619	116,7223	0,11254	10,33166
8	115	99	90,88834	65,79901	0,081936	38,6174
9	119	100	95,52408	20,03384	0,044759	52,04598
10	118	98	94,35840	13,26127	0,037159	27,18882
11	120	99	96,69423	5,316563	0,023291	38,6174
12	124	102	101,4191	0,337467	0,005695	84,90314
13	129	105	107,4232	5,872099	0,023078	149,1889
14	132	112	111,0772	0,85163	0,00824	369,1889
Итого	1629	1299	1296,632	446,4152	0,703074	1738,357
Среднее значение	116,3571	92,78571	х	х	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры логарифмической функции.

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата . По ним рассчитаем показатели: тесноты связи – индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

Связь достаточно тесная.

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 5,02%.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

3. Уравнение равносторонней гиперболы

Для определения параметров этого уравнения используется система нормальных уравнений:

Произведем замену переменных

и получим следующую систему нормальных уравнений:

Решая систему нормальных уравнений, определяем параметры гиперболы.

Составим таблицу расчётных данных, как показано в таблице 3.

Таблица 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

№п/п	х	у	z	yz
1	100	70	0,010000000	0,700000	0,0001000	4900
2	105	79	0,009523810	0,752381	0,0000907	6241
3	108	85	0,009259259	0,787037	0,0000857	7225
4	113	84	0,008849558	0,743363	0,0000783	7056
5	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
6	118	85	0,008474576	0,720339	0,0000718	7225
7	110	96	0,009090909	0,872727	0,0000826	9216
8	115	99	0,008695652	0,860870	0,0000756	9801
9	119	100	0,008403361	0,840336	0,0000706	10000
10	118	98	0,008474576	0,830508	0,0000718	9604
11	120	99	0,008333333	0,825000	0,0000694	9801
12	124	102	0,008064516	0,822581	0,0000650	10404
13	129	105	0,007751938	0,813953	0,0000601	11025
14	132	112	0,007575758	0,848485	0,0000574	12544
Итого:	1629	1299	0,120971823	11,13792	0,0010510	122267
Среднее значение:	116,3571	92,78571	0,008640844	0,795566	0,0000751	8733,357
	8,4988	11,1431	0,000640820	х	х	х
	72,23	124,17	0,000000411	х	х	х

Продолжение таблицы 3 Расчетные данные для оценки гиперболической зависимости

№п/п	х	у
1	100	70	72,3262	0,033231	5,411206	519,1886
2	105	79	79,49405	0,006254	0,244083	190,0458
3	108	85	83,47619	0,017927	2,322012	60,61728
4	113	84	89,64321	0,067181	31,84585	77,1887
5	118	85	95,28761	0,121031	105,8349	60,61728
6	118	85	95,28761	0,121031	105,8349	60,61728
7	110	96	86,01027	0,10406	99,79465	10,33166
8	115	99	91,95987	0,071112	49,56344	38,6174
9	119	100	96,35957	0,036404	13,25272	52,04598
10	118	98	95,28761	0,027677	7,357059	27,18882
11	120	99	97,41367	0,016024	2,516453	38,6174
12	124	102	101,46	0,005294	0,291565	84,90314
13	129	105	106,1651	0,011096	1,357478	149,1889
14	132	112	108,8171	0,028419	10,1311	369,1889
Итого:	1629	1299	1298,988	0,666742	435,7575	1738,357
Среднее значение:	116,3571	92,78571	х	х	х	х
	8,4988	11,1431	х	х	х	х
	72,23	124,17	х	х	х	х

Значения параметров регрессии a и b составили:

Связь достаточно тесная.

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 4,76%.

Таким образом, Н₀ – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания х = 138, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:

По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи по сравнению с линейной и степенной регрессиями. Средняя ошибка аппроксимации остаётся на допустимом уровне.

Простая линейная регрессия

В предыдущих заметках предметом анализа часто становилась отдельная числовая переменная, например, доходность взаимных фондов, время загрузки Web-страницы или объем потребления безалкогольных напитков. В настоящей и следующих заметках мы рассмотрим методы предсказания значений числовой переменной в зависимости от значений одной или нескольких других числовых переменных. [1]

Материал будет проиллюстрирован сквозным примером. Прогнозирование объема продаж в магазине одежды. Сеть магазинов уцененной одежды Sunflowers на протяжении 25 лет постоянно расширялась. Однако в настоящее время у компании нет систематического подхода к выбору новых торговых точек. Место, в котором компания собирается открыть новый магазин, определяется на основе субъективных соображений. Критериями выбора являются выгодные условия аренды или представления менеджера об идеальном местоположении магазина. Представьте, что вы — руководитель отдела специальных проектов и планирования. Вам поручили разработать стратегический план открытия новых магазинов. Этот план должен содержать прогноз годового объема продаж во вновь открываемых магазинах. Вы полагаете, что торговая площадь непосредственно связана с объемом выручки, и хотите учесть этот факт в процессе принятия решения. Как разработать статистическую модель, позволяющую прогнозировать годовой объем продаж на основе размера нового магазина?

Как правило, для предсказания значений переменной используется регрессионный анализ. Его цель — разработать статистическую модель, позволяющую предсказывать значения зависимой переменной, или отклика, по значениям, по крайней мере одной, независимой, или объясняющей, переменной. В настоящей заметке мы рассмотрим простую линейную регрессию — статистический метод, позволяющий предсказывать значения зависимой переменной Y по значениям независимой переменной X. В последующих заметках будет описана модель множественной регрессии, предназначенная для предсказания значений независимой переменной Y по значениям нескольких зависимых переменных (Х₁, Х₂, …, X_k). [2]

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel2013

Виды регрессионных моделей

В заметке Представление числовых данных в виде таблиц и диаграмм для иллюстрации зависимости между переменными X и Y использовалась диаграмма разброса. На ней значения переменной X откладывались по горизонтальной оси, а значения переменной Y — по вертикальной. Зависимость между двумя переменными может быть разной: от самой простой до крайне сложной. Пример простейшей (линейной) зависимости показан на рис. 1.

Рис. 1. Положительная линейная зависимость

Простая линейная регрессия:

где β₀ — сдвиг (длина отрезка, отсекаемого на координатной оси прямой Y), β₁ — наклон прямой Y, ε_i— случайная ошибка переменной Y в i-м наблюдении.

В этой модели наклон β₁ представляет собой количество единиц измерения переменной Y, приходящихся на одну единицу измерения переменной X. Эта величина характеризует среднюю величину изменения переменной Y (положительного или отрицательного) на заданном отрезке оси X. Сдвиг β₀ представляет собой среднее значение переменной Y, когда переменная X равна 0. Последний компонент модели ε_i является случайной ошибкой переменной Y в i-м наблюдении. Выбор подходящей математической модели зависит от распределения значений переменных X и Y на диаграмме разброса. Различные виды зависимости переменных показаны на рис. 2.

Рис. 2. Диаграммы разброса, иллюстрирующие разные виды зависимостей

На панели А значения переменной Y почти линейно возрастают с увеличением переменной X. Этот рисунок аналогичен рис. 1, иллюстрирующему положительную зависимость между размером магазина (в квадратных футах) и годовым объемом продаж. Панель Б является примером отрицательной линейной зависимости. Если переменная X возрастает, переменная Y в целом убывает. Примером этой зависимости является связь между стоимостью конкретного товара и объемом продаж. На панели В показан набор данных, в котором переменные X и Y практически не зависят друг от друга. Каждому значению переменной X соответствуют как большие, так и малые значения переменной Y. Данные, приведенные на панели Г, демонстрируют криволинейную зависимость между переменными X и Y. Значения переменной Y возрастают при увеличении переменной X, однако скорость роста после определенных значений переменной X падает. Примером положительной криволинейной зависимости является связь между возрастом и стоимостью обслуживания автомобилей. По мере старения машины стоимость ее обслуживания сначала резко возрастает, однако после определенного уровня стабилизируется. Панель Д демонстрирует параболическую U-образную форму зависимости между переменными X и Y. По мере увеличения значений переменной X значения переменной Y сначала убывают, а затем возрастают. Примером такой зависимости является связь между количеством ошибок, совершенных за час работы, и количеством отработанных часов. Сначала работник осваивается и делает много ошибок, потом привыкает, и количество ошибок уменьшается, однако после определенного момента он начинает чувствовать усталость, и число ошибок увеличивается. На панели Е показана экспоненциальная зависимость между переменными X и Y. В этом случае переменная Y сначала очень быстро убывает при возрастании переменной X, однако скорость этого убывания постепенно падает. Например, стоимость автомобиля при перепродаже экспоненциально зависит от его возраста. Если перепродавать автомобиль в течение первого года, его цена резко падает, однако впоследствии ее падение постепенно замедляется.

Мы кратко рассмотрели основные модели, которые позволяют формализовать зависимости между двумя переменными. Несмотря на то что диаграмма разброса чрезвычайно полезна при выборе математической модели зависимости, существуют более сложные и точные статистические процедуры, позволяющие описать отношения между переменными. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь линейную зависимость.

Вывод уравнения простой линейной регрессии

Вернемся к сценарию, изложенному в начале главы. Наша цель — предсказать объем годовых продаж для всех новых магазинов, зная их размеры. Для оценки зависимости между размером магазина (в квадратных футах) и объемом его годовых продаж создадим выборки из 14 магазинов (рис. 3).

Рис. 3. Площади и годовые объемы продаж 14 магазинов сети Sunflowers: (а) исходные данные; (б) диаграмма разброса

Анализ рис. 3 показывает, что между площадью магазина X и годовым объемом продаж Y существует положительная зависимость. Если площадь магазина увеличивается, объем продаж возрастает почти линейно. Таким образом, наиболее подходящей для исследования является линейная модель. Остается лишь определить, какая из линейных моделей точнее остальных описывает зависимость между анализируемыми переменными.

Метод наименьших квадратов

Данные, представленные на рис. 1а, получены для случайной выборки магазинов. Если верны некоторые предположения (об этом чуть позже), в качестве оценки параметров генеральной совокупности (β₀ и β₁) можно использовать сдвиг b₀ и наклон b₁ прямой Y. Таким образом, уравнение простой линейной регрессии принимает следующий вид:

где — предсказанное значение переменной Y для i-гo наблюдения, X_i — значение переменной X в i-м наблюдении.

Для того чтобы предсказать значение переменной Y, в уравнении (2) необходимо определить два коэффициента регрессии — сдвиг b₀ и наклон b₁ прямой Y. Вычислив эти параметры, проведем прямую на диаграмме разброса. Затем исследователь может визуально оценить, насколько близка регрессионная прямая к точкам наблюдения. Простая линейная регрессия позволяет найти прямую линию, максимально приближенную к точкам наблюдения. Критерии соответствия можно задать разными способами. Возможно, проще всего минимизировать разности между фактическими значениями Y_i, и предсказанными значениями . Однако, поскольку эти разности могут быть как положительными, так и отрицательными, следует минимизировать сумму их квадратов.

Поскольку = b₀ + b₁X_i, сумма квадратов принимает следующий вид:

Параметры b₀ и b₁ неизвестны. Таким образом, сумма квадратов разностей является функцией, зависящей от сдвига b₀ и наклона b₁ выборки Y. Для того чтобы найти значения параметров b₀ и b₁, минимизирующих сумму квадратов разностей, применяется метод наименьших квадратов. При любых других значениях сдвига b₀ и наклона b₁ сумма квадратов разностей между фактическими значениями переменной Y и ее наблюдаемыми значениями лишь увеличится.

До того, как Excel взял на себя всю рутинную работу, вычисления по методу наименьших квадратов были очень трудоемкими. Excel позволяет решать подобные задачи двумя способами. Во-первых, можно воспользоваться Пакетом анализа (строка Регрессия). Результаты представлены на рис. 4. Во-вторых, можно, выделив точки на графике (как на рис. 3б), кликнуть правой кнопкой мыши и выбрать Добавить линию тренда. Далее можно выбрать вид линии тренда (в нашем случае – Линейная), отформатировать линию, показать на графике уравнение и величину достоверности аппроксимации (R 2 ) (рис. 5).

Рис. 4. Результаты решения задачи о зависимости между площадями и годовыми объемами продаж в магазинах сети Sunflower (получены с помощью Пакета анализа Excel)

Рис. 5. Диаграмма разброса и линия регрессии (тренда) в задаче о выборе магазина

Как следует из рис. 4 и 5, b₀ = 0,9645, а b₁ = 1,6699. Таким образом, уравнение линейной регрессии для этих данных имеет следующий вид: = 0,9645 + 1,6699X_i. Вычисленный наклон b₁ = +1,6699. Это означает, что при возрастании переменной X на единицу среднее значение переменной Y возрастает на 1,6699 единиц. Иначе говоря, увеличение площади магазина на один квадратный фут приводит к увеличению годового объема продаж на 1,67 тыс. долл. Таким образом, наклон представляет собой долю годового объема продаж, зависящую от размера магазина. Вычисленный сдвиг b₀ = +0,9645 (млн. долл.). Эта величина представляет собой среднее значение переменной Y при X = 0. Поскольку площадь магазина не может равняться нулю, сдвиг можно считать долей годового дохода, зависящей от других факторов. Следует отметить, однако, что сдвиг переменной Y выходит за пределы диапазона переменной X. Следовательно, к интерпретации параметра b₀ необходимо относиться внимательно.

Пример 1. Один экономист решил предсказать изменение индекса 500 наиболее активно покупаемых акций на Нью-Йоркской фондовой бирже, публикуемого агентством Standard and Poor, на основе показателей экономики США за 50 лет. В результате он получил следующее уравнение линейной регрессии: Ŷ_i = –5,0 + 7Х_i. Какой смысл имеют параметры сдвига b₀ и наклона b₁.

Решение. Сдвиг регрессии b₀ равен –5,0. Это значит, что если рост экономики США равен нулю, индекс акций за год снизится на 5%. Наклон b₁ равен 7. Следовательно, при увеличении темпов роста экономики на 1% индекс акций возрастает на 7%.

Пример 2. Вернемся к сценарию, изложенному в начале заметки. Применим модель линейной регрессии для прогноза объема годовых продаж во всех новых магазинах в зависимости от их размеров. Предположим, что площадь магазина равна 4000 квадратных футов. Какой среднегодовой объем продаж можно прогнозировать?

Решение. Подставим значение X = 4 (тыс. кв. футов) в уравнение линейной регрессии: = 0,9645 + 1,6699X_i = 0,9645 + 1,6699*4 = 7,644 млн. долл. Итак, прогнозируемый среднегодовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, составляет 7 644 000 долл.

Прогнозирование в регрессионном анализе: интерполяция и экстраполяция

Применяя регрессионную модель для прогнозирования, необходимо учитывать лишь допустимые значения независимой переменной. В этот диапазон входят все значения переменной X, начиная с минимальной и заканчивая максимальной. Таким образом, предсказывая значение переменной Y при конкретном значении переменной X, исследователь выполняет интерполяцию между значениями переменной X в диапазоне возможных значений. Однако экстраполяция значений за пределы этого интервала не всегда релевантна. Например, пытаясь предсказать среднегодовой объем продаж в магазине, зная его площадь (рис. 3а), мы можем вычислять значение переменной Y лишь для значений X от 1,1 до 5,8 тыс. кв. футов. Следовательно, прогнозировать среднегодовой объем продаж можно лишь для магазинов, площадь которых не выходит за пределы указанного диапазона. Любая попытка экстраполяции означает, что мы предполагаем, будто линейная регрессия сохраняет свой характер за пределами допустимого диапазона.

Оценки изменчивости

Вычисление сумм квадратов. Для того чтобы предсказать значение зависимой переменной по значениям независимой переменной в рамках избранной статистической модели, необходимо оценить изменчивость. Существует несколько способов оценки изменчивости. Первый способ использует общую сумму квадратов (total sum of squares — SST), позволяющую оценить колебания значений Y_i вокруг среднего значения . В регрессионном анализе полная вариация, представляющая собой полную сумму квадратов, разделяется на объяснимую вариацию, или сумму квадратов регрессии (regression sum of squares — SSR), и необъяснимую вариацию, или сумму квадратов ошибок (error sum of squares — SSE). Объяснимая вариация характеризует взаимосвязь между переменными X и Y, а необъяснимая зависит от других факторов (рис. 6).

Рис. 6. Оценки изменчивости в модели регрессии

Сумма квадратов регрессии (SSR) представляет собой сумму квадратов разностей между Ŷ_i (предсказанным значением переменной Y) и (средним значением переменной Y). Сумма квадратов ошибок (SSE) является частью вариации переменной Y, которую невозможно описать с помощью регрессионной модели. Эта величина зависит от разностей между наблюдаемыми и предсказанными значениями.

Полная сумма квадратов (SST) равна сумме квадратов регрессии плюс сумма квадратов ошибок:

(3) SST = SSR + SSE

Полная сумма квадратов (SST) равна сумме квадратов разностей между наблюдаемыми значениями переменной Y и ее средним значением:

Сумма квадратов регрессии (SSR) равна сумме квадратов разностей между предсказанными значениями переменной Y и ее средним значением:

Сумма квадратов ошибок (SSE) равна сумме квадратов разностей между наблюдаемыми и предсказанными значениями переменной Y:

Суммы квадратов, вычисленные с помощью программы Пакета анализа Excel при решении задачи о сети магазинов Sunflowers, представлены на рис. 4.

Полная сумма квадратов разностей равна SST = 116,9543. Эта величина состоит из суммы квадратов регрессии (SSR) равной 105,7476, и суммы квадратов ошибок (SSE), равной 11,2067.

Коэффициент смешанной корреляции. Величины SSR, SSE и SST не имеют очевидной интерпретации. Однако отношение суммы квадратов регрессии (SSR) к полной сумме квадратов (SST) представляет собой оценку полезности регрессионного уравнения. Это отношение называется коэффициентом смешанной корреляции r 2 :

Коэффициент смешанной корреляции оценивает долю вариации переменной Y, которая объясняется независимой переменной X в регрессионной модели. В задаче о сети магазинов Sunflowers SSR = 105,7476 и SST = 116,9543. Следовательно, r 2 = 105,7476 / 116,9543 = 0,904. Таким образом, 90,4% вариации годового объема продаж объясняется изменчивостью площади магазинов, измеренной в квадратных футах. Данная величина r 2 свидетельствует о сильной положительной линейной взаимосвязи между двумя переменными, поскольку применение регрессионной модели снижает изменчивость прогнозируемых годовых объемов продаж на 90,4%. Только 9,6% изменчивости годовых объемов продаж в выборке магазинов объясняются другими факторами, не учтенными в регрессионной модели.

Коэффициент смешанной корреляции в задаче о сети магазинов Sunflowers представлен в таблице Регрессионная статистика на рис. 4.

Среднеквадратичная ошибка оценки. Хотя метод наименьших квадратов позволяет вычислить линию, минимизирующую отклонение от наблюдаемых значений, наличие суммы квадратов ошибок (SSE) свидетельствует о том, что линейная регрессия не дает абсолютной точности прогноза, если, конечно, точки наблюдения не лежат на регрессионной прямой. Однако ожидать этого так же неестественно, как предполагать, что все выборочные значения точно равны их среднему арифметическому. Следовательно, необходима статистика, которая позволила бы оценить отклонение предсказанных значений переменной Y от ее реальных значений, аналогично тому, как стандартное отклонение, введенное ранее, позволяет оценить колебание данных вокруг их средней величины. Стандартное отклонение наблюдаемых значений переменной Y от ее регрессионной прямой называется среднеквадратичной ошибкой оценки. Отклонение реальных данных от регрессионной прямой в задаче о сети магазинов Sunflowers показано на рис. 5.

Среднеквадратичная ошибка оценки

где Y_i — фактическое значение переменной Y при заданном значении X_i, Ŷ_i — предсказанное значение переменной Y при заданном значении X_i, SSE — сумма квадратов ошибок.

Поскольку SSE = 11,2067, по формуле (8) получаем:

Таким образом, среднеквадратичная ошибка оценки равна 0,9664 млн. долл. (т.е. 966 400 долл.). Этот параметр также рассчитывается Пакетом анализа (см. рис. 4). Среднеквадратичная ошибка оценки характеризует отклонение реальных данных от линии регрессии. Она измеряется в тех же единицах, что и переменная Y. По смыслу среднеквадратичная ошибка очень похожа на стандартное отклонение. В то время как стандартное отклонение характеризует разброс данных вокруг их среднего значения, среднеквадратичная ошибка позволяет оценить колебание точек наблюдения вокруг регрессионной прямой. Cреднеквадратичная ошибка оценки позволяет обнаружить статистически значимую зависимость, существующую между двумя переменными, и предсказать значения переменной Y.

Предположения

Обсуждая методы проверки гипотез и дисперсионного анализа, мы не раз подчеркивали важность условий, которые должны обеспечивать корректность сделанных выводов. Поскольку и регрессионный, и дисперсионный анализ используют линейную модель, условия их применения приблизительно одинаковы:

• Ошибка должна иметь нормальное распределение.
• Вариация данных вокруг линии регрессии должна быть постоянной.
• Ошибки должны быть независимыми.

Первое предположение, о нормальном распределении ошибок, требует, чтобы при каждом значении переменной X ошибки линейной регрессии имели нормальное распределение (рис. 7). Как и t— и F-критерий дисперсионного анализа, регрессионный анализ довольно устойчив к нарушениям этого условия. Если распределение ошибок относительно линии регрессии при каждом значении X не слишком сильно отличается от нормального, выводы относительно линии регрессии и коэффициентов регрессии изменяются незначительно.

Рис. 7. Предположение о нормальном распределении ошибок

Второе условие заключается в том, что вариация данных вокруг линии регрессии должна быть постоянной при любом значении переменной X. Это означает, что величина ошибки как при малых, так и при больших значениях переменной X должна изменяться в одном и том же интервале (см. рис. 7). Это свойство очень важно для метода наименьших квадратов, с помощью которого определяются коэффициенты регрессии. Если это условие нарушается, следует применять либо преобразование данных, либо метод наименьших квадратов с весами.

Третье предположение, о независимости ошибок, заключается в том, что ошибки регрессии не должны зависеть от значения переменной X. Это условие особенно важно, если данные собираются на протяжении определенного отрезка времени. В этих ситуациях ошибки, присущие конкретному отрезку времени, часто коррелируют с ошибками, характерными для предыдущего периода.

Анализ остатков

Чуть выше при решении задачи о сети магазинов Sunflowers мы использовали модель линейной регрессии. Рассмотрим теперь анализ ошибок — графический метод, позволяющий оценить точность регрессионной модели. Кроме того, с его помощью можно обнаружить потенциальные нарушения условий применения регрессионного анализа.

Оценка пригодности эмпирической модели. Остаток, или оценка ошибки е_i, представляет собой разность между наблюдаемым (Y_i) и предсказанным (Ŷ_i) значениями зависимой переменной при заданном значении X_i.

Для оценки пригодности эмпирической модели регрессии остатки откладываются по вертикальной оси, а значения X_i — по горизонтальной. Если эмпирическая модель пригодна, график не должен иметь ярко выраженной закономерности. Если же модель регрессии не пригодна, на рисунке проявится зависимость между значениями X_i и остатками е_i.

Рассмотрим примеры (рис. 8). Панель А иллюстрирует возрастание переменной Y при увеличении переменной X. Однако зависимость между этими переменными носит нелинейный характер, поскольку скорость возрастания переменной Y падает при увеличении переменной X. Таким образом, для аппроксимации зависимости между этими переменными лучше подойдет квадратичная модель. Особенно ярко квадратичная зависимость между величинами X_i и e_i проявляется на панели Б. Графическое изображение остатков позволяет отфильтровать или удалить линейную зависимость между переменными X и Y и выявить недостаточную точность модели простой линейной регрессии. Таким образом, в данной ситуации вместо простой линейной модели должна применяться квадратичная модель, обладающая более высокой точностью.

Рис. 8. Исследование эмпирической модели простой линейной регрессии

Вернемся к задаче о сети магазинов Sunflowers и посмотрим, хорошо ли подходит простая линейная регрессия для ее решения. Соответствующие данные и расчеты приведены на рис. 9а (формулы можно посмотреть в Excel-файле). Построим диаграмму разброса, откладывая по вертикальной оси остатки e_i, а по горизонтальной — независимую переменную X_i (рис. 9б). Несмотря на большой разброс остатков, между e_i и Х_i нет ярко выраженной зависимости. Остатки одинаково часто принимают как положительные, так и отрицательные значения. Это позволяет сделать вывод, что модель линейной регрессии пригодна для решения задачи о сети магазинов Sunflowers.

Рис. 9. Остатки e_i, вычисленные при решении задачи о сети магазинов Sunflowers

Значения остатков (таблица на рис. 9а) и график остатков (аналог рис. 9б) можно получить непосредственно в процедуре Регрессия Пакета анализа. Просто поставьте соответствующие галки (рис. 10).

Рис. 10. Остатки e_i и график остатков полученные с помощью Пакета анализа

Проверка условий. График остатков позволяет оценить вариации ошибок. На рис. 10 нет особых различий между ошибками, соответствующими разным значениям X_i. Следовательно, вариации ошибок при разных значениях Х_i приблизительно одинаковы. Рассмотрим гипотетическую ситуацию, в которой это условие не выполняется (рис. 11). На этом рисунке изображен эффект веера: при возрастании значений Х_i ошибки увеличиваются. Таким образом, изменчивость значений Y_i при разных значениях Х_i является непостоянной.

Рис. 11. Пример нарушения условия независимости вариаций ошибок от X_i

Нормальность. Чтобы проверить предположение о нормальном распределении ошибок, построим график нормального распределения на основе точечного графика, на вертикальной оси которого отложены значения остатков, а на горизонтальной оси — соответствующие квантили стандартизованного нормального распределения (подробнее см. Проверка гипотезы о нормальном распределении). Для построения такого графика значения остатков должны быть упорядочены по возрастанию (рис. 12). График нормального распределения может быть построен одним кликом с помощью Пакета анализа Excel – просто поставьте соответствующую галочку в окне Регрессия (см. рис. 10, самый низ окна Регрессия – опция График нормальной вероятности).

Рис. 12. График нормального распределения для остатков

Без визуализации данных (с помощью гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочной диаграммы или графика как на рис. 12) проверить предположение о нормальном распределении ошибок очень трудно. Данные, изображенные на рис. 12, не слишком сильно отличаются от нормального распределения. Устойчивость регрессионного анализа и небольшой объем выборки позволяют утверждать, что условие о нормальном распределении ошибок нарушается незначительно.

Независимость. Предположение о независимости ошибок также проверяется с помощью графика остатков. Данные, собранные на протяжении некоторого периода времени, иногда демонстрируют эффект автокорреляции между последовательными наблюдениями. В таких ситуациях остатки зависят от значений предыдущих остатков. Подобная связь между остатками нарушает предположение о независимости ошибок. Эффект автокорреляции хорошо выявляется на графике. Кроме того, его можно измерить с помощью процедуры Дурбина-Уотсона (см. ниже). Если данные о размерах магазинов и объемах продаж собирались в течение одного и того же периода времени, гипотезу об их независимости проверять не имеет смысла.

Измерение автокорреляции: статистика Дурбина–Уотсона

Одним из основных предположений о регрессионной модели является гипотеза о независимости ее ошибок. Если данные собираются в течение определенного отрезка времени, это условие часто нарушается, поскольку остаток в определенный момент времени может оказаться приблизительно равным предыдущим остаткам. Такое поведение остатков называется автокорреляцией. Если набор данных обладает свойством автокорреляции, корректность регрессионной модели становится весьма сомнительной.

Распознавание автокорреляции с помощью графика остатков. Для выявления автокорреляции необходимо упорядочить остатки по времени и построить их график. Если данные обладают положительной автокорреляцией, на графике возникнут кластеры остатков, имеющие одинаковый знак. В случае отрицательной автокорреляции остатки будут скачкообразно принимать то положительные, то отрицательные значения. Этот вид автокорреляции очень редко встречается в регрессионном анализе, поэтому мы рассмотрим лишь положительную автокорреляцию. Проиллюстрируем ее следующим примером. Предположим, что менеджер магазина, доставляющего товары на дом, пытается предсказать объем продаж по количеству клиентов, совершивших покупки в течение 15 недель (рис. 13).

Рис. 13. Количество клиентов и объемы продаж за 15 недель

Поскольку данные собирались на протяжении 15 последовательных недель в одном и том же магазине, необходимо определить, наблюдается ли эффект автокорреляции. Построим регрессию с использованием Пакета анализа; включим вывод Остатков, но не будем включать График остатков (рис. 14).

Рис. 14. Параметры линейной регрессии, полученные с использованием Пакета анализа

Анализ рис. 14 показывает, что r 2 = 0,657. Это значит, что 65,7% вариации объемов продаж объясняется изменчивостью количества клиентов. Кроме того, сдвиг b₀ переменной Y равен –16,032, а наклон b₁ = 0,0308. Однако, прежде чем применять эту модель, необходимо выполнить анализ остатков. Поскольку данные собирались на протяжении 15 последовательных недель, их следует отобразить на графике в том же порядке (рис. 15).

Рис. 15. Зависимость остатков от времени

Анализ рис. 15 показывает, что остатки циклически колеблются вверх и вниз. Эта цикличность является явным признаком автокорреляции. Следовательно, гипотезу о независимости остатков следует отклонить.

Статистика Дурбина-Уотсона. Автокорреляцию можно выявить и измерить с помощью статистики Дурбина-Уотсона. Эта статистика оценивает корреляцию между соседними остатками:

где е_i — остаток, соответствующий i-му периоду времени.

Чтобы лучше понять статистику Дурбина-Уотсона, рассмотрим ее составные части. Числитель представляет собой сумму квадратов разностей между соседними остатками, начиная со второго и заканчивая n-м наблюдением. Знаменатель является суммой квадратов остатков. Вот, что по этому поводу написано в Википедии:

где ρ₁ – коэффициент автокорреляции; если ρ₁ = 0 (нет автокорреляции), D ≈ 2; если ρ₁ ≈ 1 (положительная автокорреляции), D ≈ 0; если ρ₁ = -1 (отрицательная автокорреляции), D ≈ 4.

На практике применение критерия Дурбина-Уотсона основано на сравнении величины D с критическими теоретическими значениями d_L и d_U для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели k (для простой линейной регрессии k = 1) и уровня значимости α. Если D d_U, гипотеза не отвергается (то есть автокорреляция отсутствует); если d_L t_U = 2,1788 (рис. 19), нулевая гипотеза Н₀ отклоняется. С другой стороны, р-значение для Х = 10,6411, вычисляемое по формуле =1-СТЬЮДЕНТ.РАСП(D3;12;ИСТИНА), приближенно равно нулю, поэтому гипотеза Н₀ снова отклоняется. Тот факт, что р-значение почти равно нулю, означает, что если бы между размерами магазинов и годовым объемом продаж не существовало реальной линейной зависимости, обнаружить ее с помощью линейной регрессии было бы практически невозможно. Следовательно, между средним годовым объемом продаж в магазинах и их размером существует статистически значимая линейная зависимость.

Рис. 19. Проверка гипотезы о наклоне генеральной совокупности при уровне значимости, равном 0,05, и 12 степенях свободы

Применение F-критерия для наклона. Альтернативным подходом к проверке гипотез о наклоне простой линейной регрессии является использование F-критерия. Напомним, что F-критерий применяется для проверки отношения между двумя дисперсиями (подробнее см. Однофакторный дисперсионный анализ). При проверке гипотезы о наклоне мерой случайных ошибок является дисперсия ошибки (сумма квадратов ошибок, деленная на количество степеней свободы), поэтому F-критерий использует отношение дисперсии, объясняемой регрессией (т.е. величины SSR, деленной на количество независимых переменных k), к дисперсии ошибок (MSE = S_YX 2 ).

По определению F-статистика равна среднему квадрату отклонений, обусловленных регрессией (MSR), деленному на дисперсию ошибки (MSE): F = MSR/MSE, где MSR = SSR / k, MSE = SSE/(n– k – 1), k – количество независимых переменных в регрессионной модели. Тестовая статистика F имеет F-распределение с k и n – k – 1 степенями свободы.

При заданном уровне значимости α решающее правило формулируется так: если F > F_U, нулевая гипотеза отклоняется; в противном случае она не отклоняется. Результаты, оформленные в виде сводной таблицы дисперсионного анализа, приведены на рис. 20.

Рис. 20. Таблица дисперсионного анализа для проверки гипотезы о статистической значимости коэффициента регрессии

Аналогично t-критерию F-критерий выводится в таблицу при использовании Пакета анализа (опция Регрессия). Полностью результаты работы Пакета анализа приведены на рис. 4, фрагмент, относящийся к F-статистике – на рис. 21.

Рис. 21. Результаты применения F-критерия, полученные с помощью Пакета анализа Excel

F-статистика равна 113,23, а р-значение близко к нулю (ячейка Значимость F). Если уровень значимости α равен 0,05, определить критическое значение F-распределения с одной и 12 степенями свободы можно по формуле F_U =F.ОБР(1-0,05;1;12) = 4,7472 (рис. 22). Поскольку F = 113,23 > F_U = 4,7472, причем р-значение близко к 0 0, r = –, если b₁ 2 = 0,904, а b₁— +1,670 (см. рис. 4). Поскольку b₁ > 0, коэффициент корреляции между объемом годовых продаж и размером магазина равен r = +√0,904 = +0,951. Проверим нулевую гипотезу, утверждающую, что между этими переменными нет корреляции, используя t-статистику:

При уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу следует отклонить, поскольку t = 10,64 > 2,1788. Таким образом, можно утверждать, что между объемом годовых продаж и размером магазина существует статистически значимая связь.

При обсуждении выводов, касающихся наклона генеральной совокупности, доверительные интервалы и критерии для проверки гипотез являются взаимозаменяемыми инструментами. Однако вычисление доверительного интервала, содержащего коэффициент корреляции, оказывается более сложным делом, поскольку вид выборочного распределения статистики r зависит от истинного коэффициента корреляции.

Оценка математического ожидания и предсказание индивидуальных значений

В этом разделе рассматриваются методы оценки математического ожидания отклика Y и предсказания индивидуальных значений Y при заданных значениях переменной X.

Построение доверительного интервала. В примере 2 (см. выше раздел Метод наименьших квадратов) регрессионное уравнение позволило предсказать значение переменной Y при заданном значении переменной X. В задаче о выборе места для торговой точки средний годовой объем продаж в магазине площадью 4000 кв. футов был равен 7,644 млн. долл. Однако эта оценка математического ожидания генеральной совокупности является точечной. Ранее для оценки математического ожидания генеральной совокупности была предложена концепция доверительного интервала. Аналогично можно ввести понятие доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X:

где , = b₀ + b₁X_i – предсказанное значение переменное Y при X = X_i, S_YX – среднеквадратичная ошибка, n – объем выборки, X_i — заданное значение переменной X, µ_Y|_X=Xi – математическое ожидание переменной Y при Х = Х_i, SSX =

Анализ формулы (13) показывает, что ширина доверительного интервала зависит от нескольких факторов. При заданном уровне значимости возрастание амплитуды колебаний вокруг линии регрессии, измеренное с помощью среднеквадратичной ошибки, приводит к увеличению ширины интервала. С другой стороны, как и следовало ожидать, увеличение объема выборки сопровождается сужением интервала. Кроме того, ширина интервала изменяется в зависимости от значений X_i. Если значение переменной Y предсказывается для величин X, близких к среднему значению , доверительный интервал оказывается уже, чем при прогнозировании отклика для значений, далеких от среднего.

Допустим, что, выбирая место для магазина, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для среднего годового объема продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4000 кв. футов:

Следовательно, средний годовой объем продаж во всех магазинах, площадь которых равна 4 000 кв. футов, с 95% -ной вероятностью лежит в интервале от 6,971 до 8,317 млн. долл.

Вычисление доверительного интервала для предсказанного значения. Кроме доверительного интервала для математического ожидания отклика при заданном значении переменной X, часто необходимо знать доверительный интервал для предсказанного значения. Несмотря на то что формула для вычисления такого доверительного интервала очень похожа на формулу (13), этот интервал содержит предсказанное значение, а не оценку параметра. Интервал для предсказанного отклика Y_X=Xi при конкретном значении переменной X_i определяется по формуле:

Предположим, что, выбирая место для торговой точки, мы хотим построить 95%-ный доверительный интервал для предсказанного годового объема продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов:

Следовательно, предсказанный годовой объем продаж в магазине, площадь которого равна 4000 кв. футов, с 95%-ной вероятностью лежит в интервале от 5,433 до 9,854 млн. долл. Как видим, доверительный интервал для предсказанного значения отклика намного шире, чем доверительный интервал для его математического ожидания. Это объясняется тем, что изменчивость при прогнозировании индивидуальных значений намного больше, чем при оценке математического ожидания.

Подводные камни и этические проблемы, связанные с применением регрессии

Трудности, связанные с регрессионным анализом:

• Игнорирование условий применимости метода наименьших квадратов.
• Ошибочная оценка условий применимости метода наименьших квадратов.
• Неправильный выбор альтернативных методов при нарушении условий применимости метода наименьших квадратов.
• Применение регрессионного анализа без глубоких знаний о предмете исследования.
• Экстраполяция регрессии за пределы диапазона изменения объясняющей переменной.
• Путаница между статистической и причинно-следственной зависимостями.

Широкое распространение электронных таблиц и программного обеспечения для статистических расчетов ликвидировало вычислительные проблемы, препятствовавшие применению регрессионного анализа. Однако это привело к тому, что регрессионный анализ стали применять пользователи, не обладающие достаточной квалификацией и знаниями. Откуда пользователям знать об альтернативных методах, если многие из них вообще не имеют ни малейшего понятия об условиях применимости метода наименьших квадратов и не умеют проверять их выполнение?

Исследователь не должен увлекаться перемалыванием чисел — вычислением сдвига, наклона и коэффициента смешанной корреляции. Ему нужны более глубокие знания. Проиллюстрируем это классическим примером, взятым из учебников. Анскомб показал, что все четыре набора данных, приведенных на рис. 23, имеют одни и те же параметры регрессии (рис. 24).

Рис. 23. Четыре набора искусственных данных

Рис. 24. Регрессионный анализ четырех искусственных наборов данных; выполнен с помощью Пакета анализа (кликните на рисунке, чтобы увеличить изображение)

Итак, с точки зрения регрессионного анализа все эти наборы данных совершенно идентичны. Если бы анализ был на этом закончен, мы потеряли бы много полезной информации. Об этом свидетельствуют диаграммы разброса (рис. 25) и графики остатков (рис. 26), построенные для этих наборов данных.

Рис. 25. Диаграммы разброса для четырех наборов данных

Диаграммы разброса и графики остатков свидетельствуют о том, что эти данные отличаются друг от друга. Единственный набор, распределенный вдоль прямой линии, — набор А. График остатков, вычисленных по набору А, не имеет никакой закономерности. Этого нельзя сказать о наборах Б, В и Г. График разброса, построенный по набору Б, демонстрирует ярко выраженную квадратичную модель. Этот вывод подтверждается графиком остатков, имеющим параболическую форму. Диаграмма разброса и график остатков показывают, что набор данных В содержит выброс. В этой ситуации необходимо исключить выброс из набора данных и повторить анализ. Метод, позволяющий обнаруживать и исключать выбросы из наблюдений, называется анализом влияния. После исключения выброса результат повторной оценки модели может оказаться совершенно иным. Диаграмма разброса, построенная по данным из набора Г, иллюстрирует необычную ситуацию, в которой эмпирическая модель значительно зависит от отдельного отклика (Х₈ = 19, Y₈ = 12,5). Такие регрессионные модели необходимо вычислять особенно тщательно. Итак, графики разброса и остатков являются крайне необходимым инструментом регрессионного анализа и должны быть его неотъемлемой частью. Без них регрессионный анализ не заслуживает доверия.

Рис. 26. Графики остатков для четырех наборов данных

Как избежать подводных камней при регрессионном анализе:

• Анализ возможной взаимосвязи между переменными X и Y всегда начинайте с построения диаграммы разброса.
• Прежде чем интерпретировать результаты регрессионного анализа, проверяйте условия его применимости.
• Постройте график зависимости остатков от независимой переменной. Это позволит определить, насколько эмпирическая модель соответствует результатам наблюдения, и обнаружить нарушение постоянства дисперсии.
• Для проверки предположения о нормальном распределении ошибок используйте гистограммы, диаграммы «ствол и листья», блочные диаграммы и графики нормального распределения.
• Если условия применимости метода наименьших квадратов не выполняются, используйте альтернативные методы (например, модели квадратичной или множественной регрессии).
• Если условия применимости метода наименьших квадратов выполняются, необходимо проверить гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии и построить доверительные интервалы, содержащие математическое ожидание и предсказанное значение отклика.
• Избегайте предсказывать значения зависимой переменной за пределами диапазона изменения независимой переменной.
• Имейте в виду, что статистические зависимости не всегда являются причинно-следственными. Помните, что корреляция между переменными не означает наличия причинно-следственной зависимости между ними.

Резюме. Как показано на структурной схеме (рис. 27), в заметке описаны модель простой линейной регрессии, условия ее применимости и способы проверки этих условий. Рассмотрен t-критерий для проверки статистической значимости наклона регрессии. Для предсказания значений зависимой переменной использована регрессионная модель. Рассмотрен пример, связанный с выбором места для торговой точки, в котором исследуется зависимость годового объема продаж от площади магазина. Полученная информация позволяет точнее выбрать место для магазина и предсказать его годовой объем продаж. В следующих заметках будет продолжено обсуждение регрессионного анализа, а также рассмотрены модели множественной регрессии.

Рис. 27. Структурная схема заметки

[1] Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 792–872

[2] Если зависимая переменная является категорийной, необходимо применять логистическую регрессию.