Уравнение линии bc по координатам

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

6. Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти: 1) длину стороны BC; 2) уравнение линии BC; 3) уравнение высоты,

проведенной из точки A; 4) величину угла B; 5) систему неравенств, определяющую треугольник ABC. Сделать чертеж.
A (-14,10), B (10,3), С (-8,27)

1) Длина стороны по теореме Пифагора.

BC = √900 = 30 — длина ВС — ответ.

2) Уравнение ВС.

ДАНО: В(10;3), С(-8;27)
, НАЙТИ: Y = k*x + b

1) k = ΔY/ΔX = (Вy-Сy)/(Вx-Сx)=(3-(27))/(10-(-8))= — 4/3 (-1,33) — коэффициент наклона прямой

2) b=Вy-k*Вx=3-(- 4/3)*10= 16 1/3- сдвиг по оси ОУ

Уравнение Y(ВС) = — 4/3*x+16 1/3 — ответ

3) Уравнение высоты из А к ВС.

Высота AF перпендикулярна к ВС.

Коэффициент наклона по формуле:

K = -1/k = — 1/(-4/3) = 3/4 — наклон.

Теперь проводим прямую из точки А по заданному наклону.

Дано: Точка A(-14,10), наклон k = 0,75

b = Aу — k*Ax = 10 — (0,75)*(-14) = 20,5

Уравнение прямой — Y(A) = 0,75*x + 20,5 — высота AF — ответ.

4) Величина угла В между прямыми ВА и ВС.

Находим уравнение стороны АВ.

ДАНО: В(10;3), А(-14;10)
. НАЙТИ: Y = k*x + b

1) k = ΔY/ΔX = (Вy-Аy)/(Вx-Аx)=(3-(10))/(10-(-14))= -7/24 — коэффициент наклона прямой

2) b=Вy-k*Вx=3-(- 7/24)*10= 5 11/12- сдвиг по оси ОУ

Уравнение Y(ВА) = — 7/24*x+ 5 11/12 — сторона ВА.

tgβ = (k₂ — k₁)/(1 + k₁k₂) =(-7/24 — (-4/3))/(1 7/18) = 25/24 : 25/18 = 3/4

β = arctg(3/4) = 0.644 рад = 36,87° — угол В — ответ.

5)Система неравенств описания АВС.

Нужно третье уравнение — стороны АС

ДАНО: С(-8;27), А(-14;10)
. НАЙТИ: Y = k*x + b

1) k = ΔY/ΔX = (Сy-Аy)/(Сx-Аx)=(27-(10))/(-8-(-14))= 2 5/6 — коэффициент наклона прямой

2) b=Сy-k*Сx=27-(2 5/6)*(-8) = 49 2/3 — сдвиг по оси ОУ

Уравнение Y(СА) = 2 5/6*x + 49 2/3 — сторона АС.

Составляем систему уравнений из трех уравнений прямых.

Уравнение средней линии

Как составить уравнение средней линии треугольника по координатам его вершин? Как записать уравнение средней линии трапеции?

Для решения этих задач используем свойства средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Найти координаты середин двух сторон и составить уравнение прямой, проходящей через две найденные точки.

1) Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника с вершинами в точках A(-2;-4), B(1;6), C(7;0), пересекающей стороны AB и BC в точках M и N.

М — середина отрезка AB, N — середина BC.

Составим уравнение прямой MN, например, в виде y=kx+b:

Найти координату одной из точек средней линии и составить уравнение прямой, параллельной стороне треугольника.

— середина отрезка AB. Составим уравнение прямой AC:

Составим уравнение прямой MN как уравнение прямой, проходящей через точку M и параллельной прямой AC.

Угловой коэффициент прямой MN равен угловому коэффициенту прямой AC:

то есть уравнение прямой MN ищем в виде

Поскольку точка M принадлежит прямой, её координаты удовлетворяют этому уравнению. Отсюда находим значение b:

Таким образом, уравнение прямой MN

Аналогичные рассуждения применимы и при составлении уравнения средней линии трапеции.

Написать уравнение прямой, содержащей среднюю линию трапеции с вершинами в точках A(-2;1), B(1;5), C(4;-1), D(0;-3).

Сначала следует определить основания данной трапеции.

Составим уравнения сторон AD и BC. Если эти прямые параллельны, то AD и BC — основания трапеции. Если эти прямые не параллельны, то основания трапеции — AB и CD.

Значит, уравнение прямой AD: y= -2k-3.
B(1;5), C(4;-1),

Уравнение прямой BC: y= -2k+7.

Поскольку угловые коэффициенты прямых равны:

то AD ∥BC, то есть AD и BC являются основаниями трапеции ABCD. Значит AB и CD — боковые стороны. Найдём координаты точек M и N — середины AB и CD соответственно.

Составим уравнение прямой MN, M(-1/2;3), N(2;-2):

Уравнение AD — y= -2k-3, середина AB — M(-1/2;3). Составляем уравнение прямой MN, параллельной прямой AD.

Значит уравнение MN ищем в виде y= -2x+b.

Так как прямая проходит через точку M, её координаты удовлетворяют уравнению прямой:

Следовательно, уравнение средней линии трапеции ABCD имеет вид y=-2x+2 или 2x+y-2=0.